SKKN phân dạng bài tập viét phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ OXYZ nhằm giúp học sinh ôn thi THPT quốc

Đặc biệt là các bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu chứa tham số học sinh thường lúng túng hay mắc sai lầm trong việc nhận dạng nên chưa có phương pháp giải phù hợp.. Chính vì vậy

Mục lục

2 1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3-4

2 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh 4 nghiệm

2 3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử 4-18 dụng để

giải quyết vấn đề

2 4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt 18 động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học cơ bản của các môn học khác, đòi hỏi người học, người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ mĩ và kiên nhẫn mới có thể nắm được Nó là môn học khó, trừu tượng với thời lượng và nội dung chương trình sâu gây khó khăn cho người học và người dạy Thực tế cho thấy nhiều học sinh đam mê, yêu thích môn toán nhưng kết quả thi đại học các năm về trước và thi trung học phổ thông (THPT) quốc gia các năm gần đây không cao so với các môn khác

Chúng ta biết rằng trong các kì thi trung học phổ thông quốc gia những năm gần đây bao giờ cũng có ít nhất một bài toán liên qua đến mặt cầu Đó là những dạng toán vừa dễ mà cũng vừa khó đối với học sinh khi làm bài Đặc biệt

là các bài tập liên quan đến phương trình mặt cầu chứa tham số học sinh thường lúng túng hay mắc sai lầm trong việc nhận dạng nên chưa có phương pháp giải phù hợp

Bên cạnh đó, mặt cầu là một nội dung quan trọng của chương trình toán THPT

Nó vừa là đối tượng, nhưng hơn thế nó vừa là công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều vấn đề phức tạp của toán THPT

Về vấn đề này, cũng đã có rất nhiều tài liệu, sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) viết Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống và phân dạng bài toán không nhiều Vì thế học sinh thường gặp khó khăn khi gặp các bài tập liên quan đến viết phương trình mặt cầu

Do đó việc chọn lựa một đề tài SKKN nhằm góp phần giải quyết vấn đề trên là việc làm phù hợp với thực tiễn, nâng cao chất lượng giáo dục, thể hiện tình yêu nghề và trách nhiệm của người cán bộ giáo viên Chính vì vậy tôi chọn

đề tài SKKN là:

“Phân dạng bài tập viết phương trình mặt cầu trong không gian tọa độ Oxyz nhằm giúp học sinh ôn thi trung học phổ thông quốc gia tốt hơn”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về việc giải một số dạng bài toán

về phương trình mặt cầu

- Giúp học sinh nhận dạng được bài tập về phương trình mặt cầu để từ đó có cách giải phù hợp

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

- Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong

kỳ thi THPT quốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong đời sống hàng ngày, chúng ta gặp rất nhiều đồ vật có dạng hình cầu như: Quả bóng, quả địa cầu…nhưng rất ít người biết

về tính chất và phương trình của nó ra sao Học sinh được học mặt cầu và phương trình mặt cầu ở chương III sách giáo khoa 12 cơ bản và nâng cao của bộ giáo dục và đào tạo phát hành Trong chương III này có ba đối tượng được nghiên cứu đó là: đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu Khi dạy về phương trình mặt cầu tôi nhận thấy rằng học sinh tiếp thu tốt nhưng khi vận dụng vào bài tập vẫn còn học sinh không làm được, không nhận dạng được bài tập để có phương pháp giải thích hợp

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về mặt cầu và phương trình mặt cầu Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp trên Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi đại học, THPT quốc gia các năm gần đây và sắp xếp từ dễ đến khó Trong các tiết học trên lớp tôi ra cho học sinh giải các vi dụ này dưới nhiều phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt của phương pháp trên

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã

sử dụng các phương pháp sau:

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế (công việc dạy - học của giáo viên và HS)

- Phương pháp thu thập thông tin (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,

…)

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông qua trao đổi trực tiếp)

1.5 Những điểm mới của SKKN

- Đưa ra tập tài liệu chính thống và cụ thể giúp học sinh hiểu và giải được các bài toán liên qua đến mặt cầu và phương trình mặt cầu

- Hệ thống và phân dạng được một số bài tập về phương trình mặt cầu đưa ra cách giải cụ thể

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh

Đối với bài sáng kiến kinh nghiệm này tôi sử dụng nguồn tài liệu chính là:

- Sách giáo khoa hình học 12 cơ bản và nâng cao ( bộ giáo dục và đào tạo) phát hành

- Giải toán hình học 12 ( Bài giảng chuyên sâu toán THPT) của Lê Hồng Đức

và nhóm Cự Môn

- Tài liệu chuyên toán ( bài tập hình học 12) của Đoàn Quỳnh (chủ biên)

- Tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXB Giáo dục của Bộ giáo dục đào tạo- Hội toán học Việt Nam (1996- 2007)

Ngoài ra còn sử dụng tài liệu khai thác trên mạng

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực

tiễn học tập và giảng dạy, bản thân nhận thấy bài toán phương trình mặt cầu

trong các bài thi cấp THPT là rất đa dạng, đặc biệt là trong bài toán phương trình mặt cầu chứa tham số Nhưng học sinh thường không mạnh dạn, tự tin khi giải các toán dạng này vì:

- Mặt cầu là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học hiện đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 12

- Tài liệu viết và phân dạng bài tập phương trình mặt cầu không nhiều, học sinh không nhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán một cách trọn vẹn

- Số lượng các bài toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi THPT quốc gia những năm gần đây

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

a.Phương pháp giải

Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả đã giúp học sinh nhận dạng bài toán và phương pháp giải các dạng toán theo hệ thống bài tập được sắp xếp theo một trình tự logic

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi phân loại bài tập viết phương trình mặt cầu như: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước, viết phương trình mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước, lập phương trình tiếp diện của mặt cầu, xác định tâm và bán kính của đường tròn là giao của mặt phẳng và mặt cầu, ứng dụng của mặt cầu để giải một số bài toán đại số

b Phương trình mặt cầu:

Dạng 1:

Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: x a 2 y b 2 z c 2 R2 (1)

Dạng 2: x2 y 2 z2 2ax + 2by + 2cz + d = 0 a 2 b 2 c2 d 0 (2).

Khi đó mặt cầu (S) có tâm I(-a; -b; -c), bán kính R a 2 b 2 c 2 d

c Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:

Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng

Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng : d I,

Nếu d I ,R thì S ;

Nếu d I ,R thì S tại 2 điểm phân biệt;

Nếu d I ,R thì , S tiếp xúc nhau, gọi là tiếp tuyến của mặt cầu

d Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:

Cho mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng

P : Ax + By + Cz + D = 0

Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P): d I , P Aa +Bb +Cc+D

A2 B 2

2) d I , P R thì PS là đường tròn H ; rR 2 d 2 I ; với H là

hình chiếu của I trên (P)

Vậy đường tròn trong không gian có phương trình:

y bz c R

x a

Ax + By + Cz + D = 0

3) d I , P R thì mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) tiếp xúc nhau tại điểm H là hình

chiếu của I trên mặt phẳng (P) Khi đó mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)

e Các dạng toán:

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu cho trước

(Dạng phương trình (2)):

Cách 1: Đưa về dạng 1

Cách 2: Kiểm tra điều kiện a 2 b 2 c 2 d 0 tâm và bán kính

Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 1= 0

b x 2 y 2 z 2 4 x 8 y 2 z 4= 0

Bài giải

a Từ x 2 y 2 z 2 8 x 2 y 1= 0 ta có x 4 2 y 12 z 2 16 Vậy mặt cầu

(S) có tâm I 4; 1; 0 và bán kính R4

b Từ x 2 y 2 z 2 4 x 8 y 2 z 4= 0 ta có: x 2 2 y 4 2

z 1 2 25

Vậy mặt cầu (S) có tâm I 2; 4;1 và bán kính R 5

Ví dụ 2: ( Giải toán hình học 12 của Lê Hồng Đức và nhóm Cự Môn)

Cho họ S m : x 2 y 2 z 2 4 mx 2 my 6 z + m 2 4 m = 0

a Tìm điều kiện để Sm trên là phương trình mặt cầu

b Chứng minh rằng tâm của S m nằm trên một đường thẳng cố định Viết

phương trình đường thẳng cố định đó

Bài giải

a Phương trình đã chox 2 m 2 y m 2 z 3 2 4 m 2 4 m 9

Ta thấy 4 m 2 1 2 8 0, m

4 m 9 4 m

2

Vậy Sm trên là phương trình mặt cầu với mọi m

b Mặt cầu S m có tâm I m 2 m; m;3

2

Ta có: y m

z 3 z 3

Vậy trong mặt phẳng z = 3 tâm I m 2 m; m;3 luôn nằm trên đường thẳng y 1 x

2

Ví dụ 3:

Cho phương trình: x 2 y 2 z 2 2 m 2 x 4 my + 8 m2 4 = 0

a Tìm điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu

b Khi đó tìm tập hợp tâm của họ mặt cầu đó

Bài giải

a Phương trình đã cho x m 2 2 y 2 m 2 z 2 m 4 4m2 4

là phương trình mặt cầu m 4 4 m 2 4 m 2 2 2 0m2

b Khi đó tâm I ( m 2 ; 2 m; 0) Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và

x I y I2

4

y2

Vậy tập hợp tâm I là parabol x nằm trong mp Oxy bỏ đi 2 điểm:

M (2; 2 2; 0) và N (2; 2 4

2;0).

Dạng 2: Viết phương trình của mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước

a Biết tâm và bán kính

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a Biết tâm I 2; 4;1 và bán kính R 4

b Có đường kính AB với A 1;3;1 , B 2; 0;1

Bài giải

a Phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2; 4;1 và bán kính R 4 có dạng:

x 2 2 y 4 2 z 1 2 16

b Ta có: AB 3; 3; 0 AB 3 2

Gọi I là trung điểm của AB nên I 1 3

2 2

Mặt cầu tâm 1 3 bán kính R A

B

3 2 có phương trình:

I ; ;1

b Đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu:

- Biết tâm: tìm bán kính;

- Biết bán kính: tìm tâm;

- Chưa biết tâm và bán kính: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với 2 mặt phẳng cho trước thường xác định tâm trước sau đó đi tìm bán kính

Ví dụ 1:

Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với: A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2)

Bài giải

Phương trình mặt phẳng (ABC): x y z 1 x y z 2 0

2 2 2

Bán kính mặt cầu: R d I , ABC 4 Phương trình mặt cầu:

3

x 1 2 x 2 2 x 3 2 16

3

Ví dụ 2: : Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A 2, 0,1 , B 1, 0, 0 ,

C 1,1,1 và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x y z 2 0

Bài giải

Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng:

x 2 y 2 z 2 2ax + 2by + 2cz + d = 0 a 2 b 2 c 2 d 0

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I a , b , c

Theo đề bài phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A 2, 0,1 , B 1, 0, 0 , C 1,1,1

và có tâm thuộc mặt phẳng (P) nên khi đó ta có hệ:

4 a 2 c d 5 a 1

2 a 2b 2c d 3 c 1

Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm:

x 2 y 2 z 2 2x - 2z +1= 0 hay x 1 2 y 2 x 1 2 1

Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) sao cho mặt cầu cắt đường

thẳng d có phương trình: 5x 4 y + 3z 20 = 0 tại 2 điểm A, B sao cho AB =

+ z 8 = 0

Bài giải

Đường thẳng d đi qua M(11; 0; -25) và có véc tơ chỉ phương u 2;1; 2

MI , u

Gọi H là hình chiếu của I trên d Ta có: IH d I , AB 15

u

2

AB 2

Khi đó bán kính mặt cầu: R IH 17

2

Vậy phương trình mặt cầu: x 2 2 y 3 2 z 1 2 289

Ví dụ 4:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương trình:

x 1 y 2 z 3

và hai mặt phẳng

P1 : x + 2y + 2z 2= 0; P2 : 2x + y + 2z 1= 0

Lập phương trình mặt cầu có tâm I nằm trên d và tiếp xúc với 2 mặt

phẳng trên Bài giải

Điểm I d I 2t 1;t 2;2t 3

Mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng d I , P1 d I , P2

8t 99t 9 t 0

8t 9 9t 9 t

17

Với t = 0 ta có tâm và bán kính là: I1 1;2;3 ; R1 3

Nên phương trình mặt cầu S1 : x 1 2 y 2 2 z 3 2 9

Với t ta có tâm và bán kính là: I2

19 2 16 2 15 2 9

Ví dụ 5:

Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) và D(1; -1; 2)

Bài giải

Cách 1: Gọi I(x; y; z) tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Khi đó ta có

IA

IB 2 IC2tâm và bán kính là I 1;1;1 , R IA 2

IC

Cách 2:

Gọi phương trình mặt cầu là:

x 2 y 2 z 2 2ax + 2by + 2cz + d = 0 a 2 b 2 c 2 d 0 .

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:

Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 2 y 1 2 z 2 2 4

Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu

Bài toán 1:

Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I, bán kính R tại điểm A

Cách giải:

Mặt phẳng (P) đi qua A và nhận véc tơ IA làm véc tơ pháp tuyến

Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S):

x 2 y 2 z 2 2x - 4y - 6z = 0 tại điểm M 4;3;1

Bài giải

Mặt cầu (S) có tâm I 1;2;3 và có bán kính R 14 .

Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm M 4;3;1 Khi đó mặt

phẳng (P) đi qua M và nhận IM (3;1; 2) làm véc tơ pháp tuyến nên đó mặt phẳng (P) có phương trình:

Bài toán 2:

Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết

n A; B; C

Cách giải

P : Ax + By + Cz + D = 0

Có: d I , PR Aa +Bb +Cc+D R tìm được D suy ra phương trình mặt

A2 B2 C2

phẳng (P)

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S):

x 2 y 2 z 2 4x - 2y - 6z 5= 0 biết véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

n1;2;2

Bài giải

Mặt cầu (S) có tâm I 2;1;3 và có bán kính R 3

Gọi (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) có dạng:

Với D = -1 thì mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y + 2z -1= 0

Với D = -19 thì mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y + 2z -19 = 0

Ví dụ 2: ( Đề thi chính thức kì thi THPT quốc gia năm 2017)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

S : x 1 2 y 1 2 z 2 2 2 và hai đường thẳng d : x

tiếp xúc với mặt cầu (S), song song với d và ?

A x y 1 0 B y z 3 0 C x z 1 0 D x z 1 0

Bài giải

R 2 Đường thẳng d và có các vectơ chỉ phương

u 1;1; 1

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm Mặt phẳng (P) song song với d

pháp tuyến n u ,u 2 1;0; 1 Khi đó mặt phẳng có dạng:

1

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên

Vậy đáp án cần tìm là D.

Chú ý:

Trong bài toán cho biết véc tơ pháp tuyến dưới dạng:

u d 1;2; 1 và

và nên véc tơ

x z d 0

- Biết P song song với một mặt phẳng hoặc song song với 2 đường thẳng cho trước

- Biết vuông góc với 1 đường thẳng cho trước

Ví dụ 3: ( Tài liệu chuyên toán bài tập hình học 12 của Đoàn Quỳnh):

Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình:

P : 2x - 3y 2z 3= 0

S : x 8 2 y 8 2 z 7 2 68

Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài giải

Mặt cầu (S) có tâm I 8; 8;7 và có bán kính R 2 17 .

Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm Do P / / Q nên mặt phẳng (Q) có dạng:

2x - 3y 2z D= 0

Mặt khác mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:

d I , P R 2.8 3 8 2.7 D 2 17 54 D 34 D 20

223 22 2 2x - 3y 2z 20= 0 D 88

Với D = -20 thì mặt phẳng (P) có dạng:

Với D = -88 thì mặt phẳng (P) có dạng: 2x - 3y 2z 88= 0

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d và mặt cầu (S) có phương trình:

x 3 2t

d : y 3 2t , và S : x 2 y 4 2 z 3 2 18

t R

z 1 t

Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài giải

Mặt cầu (S) có tâm I 1;4;3 và có bán kính R 3 2 .

Đường thẳng d có véctơ chỉ phương u 2;2;1 và đi qua điểm M 3;3;1

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d

nên mặt phẳng (P) nhận véctơ chỉ phương

2;2;1

véctơ pháp tuyến nên mặt phẳng (P) có dạng: 2x 2y z D= 0

Mặt khác mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:

9 2

Với D 13 9 2 thì mặt phẳng (P) có dạng: 2x 2y z 13 9 2=0

Với D 13 9 2 thì mặt phẳng (P) có dạng: 2x 2y z 13 9 2=0

Bài toán 3: