SKKN một vài kinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thứ

Tuy nhiên vớimột số bài toán về bất đẳng thức đại số nếu ta sử dụng kiến thức lượng giác vàogiải quyết thì lại rất dễ dàng.Với lý do đó, tôi nghiên cứu thực hiện đề tài: ‘ Một vàikinh gh

Mục lục

Phần I : Mở đầu trang 2

Phần II : Nội dung trang 2

1 Cơ sở lý luận trang 2

2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến trang 4

3 Các giải pháp trang 5

4 Hiệu quả của sáng kiến………trang 16Phần III : Kết luận trang 17Tài liệu tham khảo trang 19Phụ lục trang 20-21

1 MỞ ĐẦU 1.1.Lí do chọn đề tài:

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạtđộng học của trò, xuất phát từ mục tiêu: “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi

dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức phổ thông, đặc biệt

là bộ môn Toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người.Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phầncác em ngại học môn này

Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, vấn đề tìm tòi đúc kết nâng tầmgiải toán theo hướng tổng quát, từ đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặcbiệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu và cónhiều cơ hội sáng tạo, đó cũng chính là đổi mới phương pháp dạy học

Qua thực tế giảng dạy, việc chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng kiếnthức về lượng giác đối với học sinh còn mới mẻ, chưa thành thạo Tuy nhiên vớimột số bài toán về bất đẳng thức đại số nếu ta sử dụng kiến thức lượng giác vàogiải quyết thì lại rất dễ dàng.Với lý do đó, tôi nghiên cứu thực hiện đề tài: ‘ Một vàikinh ghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức

đại số’’.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Nghiên cứu ứng dụng của lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Hướng dẫn học sinh sử dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đạisố

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến

+.Tập xác định, tập giá trị, chu kỳ của các hàm số lượng giác.

Chú ý: Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có kết quả sau

sin x cos x 2 2 sin2 x cos2 x

Vậy ta có: sin x cos x 22

sin xcos x 22 (*)Kết quả (*) sẽ được áp dụng nhiều trong đề tài

 Nếu a x 0, ta có thể đặt :

; 0 hoặc x a.cos

2) Nếu có điều kiện của x là x a, (a 0) , ta có thể đặt:

với

3) Nếu x R , ta có thể đặt:

x tan với 2 ; 2 hoặc

Trong trường hợp riêng:

Chú ý : Vì hàm lượng giác là tuần hoàn nên khi đặt điều kiện các biểu thức lượng

giác thật khéo léo sao cho lúc khai căn không có giá trị tuyệt đối, có nghĩa luônluôn dương

5) Các biểu thức thường được lượng giác hóa

Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức

4

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

Hầu hết học sinh kể cả với những học sinh khá giỏi các em đều cảm thấy

“ngại” khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất vànhỏ nhất.Quá trình giảng dạy tại trường THPT Quan Hóa giúp tôi thấy được thựctrạng đáng buồn là gần như 100% học sinh đều xem như “không có” bất đẳng thứctrong việc học tập và ôn luyện môn toán Qua tìm hiểu và khảo sát với câu hỏi “Bấtđẳng thức là gì? Có quan tâm đến bài toán bất đẳng thức trong các kỳ thi haykhông?” tôi nhận được kết quả như sau:

Trả lời Không biết, Biết chút ít Có quan tâm Biết, quan tâm

Từ thực tế “đáng buồn” như vậy dẫn đến việc cả giáo viên và học sinhthường hay bỏ qua chủ đề bất đẳng thức trong việc ôn luyện, ảnh hưởng không nhỏđến kết quả cuối cùng trong việc thi cử Với mong muốn phần nào đó dần dần khắcphục vấn đề này tôi đã thực hiện thí điểm đề tài ở các lớp 11A1, 11A4 trong cáctiết tự chọn sẵn có

2.3 Các giải pháp

Để thay đổi hình thức của bài toán từ việc chứng minh bất đẳng thức đại sốthành việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác, ta thực hiện theo 2 bước sau đây:

-Bước 1: Từ bài toán với cách đặt hợp lý, ta chuyển từ bài toán bất đẳng thức

đại số về bài toán bất đẳng thức lượng giác

-Bước 2: Thực hiện việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác.

Chú ý: Để thực hiện đề tài trên một cách hiệu quả, ta phân loại thành các dạng cụ

thể, qua cách phân loại đó khi áp dụng đề tài trên giảng dạy cho học sinh thì họcsinh dễ dàng tiếp thu hơn và hình thành kỹ năng cơ bản khi sử dụng lượng giác vàochứng minh một số bài toán về bất đẳng thức đại số một cách rõ ràng Trong khuônkhổ của đề tài phân thành một số dạng sau:

Điều kiện: 1 – x2 ³ 0 Û ½x½ £ 1

Đặt x = cosa với a Î [0; p]

Khi đó bất đẳng thức (1) được biến đổi về dạng:

Û ½4(cos3a - sin3a) – 3 (cosa - sina)½ £ 2

Û ½(4cos3a - 3cosa) + (3sina - 4sin3a)½£ 2 Û½cos3a + sin3a½£ 2

π ) 1 (đúng)Ûcos(3α-

4Vậy (1) được chứng minh

Nhận xét: Qua ví dụ 1, từ bài toán bất đẳng thức đại số (1) với cách đặt x cos , ta

chuyển về chứng minh bất đẳng thức lượng giác (2) Sử dụng kiến thức lượng giác

ta chứng minh được bất đẳng thức (2), có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứngminh

Ta xét tiếp các ví dụ tiếp theo sau đây

6 cos 1 cos 2 4(2 cos 2 1)5 3sin 24 cos 25 (luôn đúng) Thật vậy

theo BĐT Bunhiacopxki thì 3sin 2 4 cos 2 32 4 2 sin 2 2 cos 2 2 5Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : Nếu x 1 và y 1 thì

(1 x2 )(1 y 2 )

Giải

Từ giả thiết: x 1, y 1 nên ta đặt

x cos , y cos với , 0;

Khi đó (1) trở thành:

4 cos cos sin sin cos 2 cos 2 1

sin 2 sin 2cos 2 cos 21

Vậy (1) được chứng minh

Đặt: x acos với0;

Khi đó (1) trở thành:

2 ha cos a 2 (1 cos 2 ) ka 2 (2 cos 2 1) a 2 h 2 k 2

a 2 2 h cos sin k cos 2 a 2 h 2 k 2

h sin 2 k cos 2 h 2 k 2

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : Với a > 0, ta có

h ( x x 2 y 2 y a 2 x 2 ) k ( xy (a 2 x 2 )(a 2 y 2 ) a 2 h 2 k 2 (1)Giải

Điều kiện: x a , y a

x = a sin ,

ha 2 (sin cos sin cos ) ka 2 (sin sin cos cos ) a 2 h 2 k 2

(luôn đúng )

Vậy (1) được chứng minh

3- Dạng 3: Nếu cho x 2 + y2 =1 x cos và y sin

Vậy (1) được chứng minh.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Với mọi x , y ta có :

Đặt: x 2cos , y 2sin

Khi đó (1) trở thành : 12cos2 32sin cos 12sin2 20

12(cos2sin2 ) 16.2sin cos 20

12 cos 2 16 sin 2 20 (luôn đúng)Vậy (1) được chứng minh

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 3 : Cho x 2 y2 4 Chứng minh rằng :

x 3 3 x 3 y y3 22 (1)

Giải

Đặt: x 2cos , y 2sin

Khi đó (1) trở thành : 8cos36cos 6sin 8sin3 2 2

2(4 cos 3 3cos ) 2(3sin 4 sin 3 ) 2 2

2 cos 3 2sin 3 2 2 (luôn đúng)Vậy (1) được chứng minh

5- Dạng 5: Nếu cho (ax) 2 + (by) 2 = 1

Ta đặt: ax = sin , by = cos ( hoặc đặt ax = cos , by = sin )

Khi đó (1) trở thành : cos 2sin 22sin cos 2

cos 2 sin 2 2 (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh

Ví dụ 4 : Cho a2x2b 2 y2 1 Chứng minh rằng : h(a2 x2 b2 y2 ) k 2abxy h2 k 2

(1)Giải

x2 1 cost (tan t ) cost sin t

cos t( tan t2 ) sin t2 cost 22 (luôn đúng)

Vậy (1) được chứng minh

Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh

Ví dụ 5: Chứng minh rằng:

Giải

13

Điều kiện: x2 – 1 ³ 0 Û ½x½ ³ 1.

1Đặt: ½x½ = cos , với a Î [0; 2)

Khi đó bất đẳng thức (1) được biến đổi về dạng:

21

23

cos

Û sina + 3 cosa £ 2 Û sina +2 2cosa £ 1

Û sin (a + 3) £ 1 (luôn đúng)Vậy (1) được chứng minh

= c12 (a.cos2 t bc tan t.cos2 t) c12 [a

2(1 cos 2t) bcsint.cost]

= c 12 [ a

2 1

2 ( a cos 2t bc sin 2t )]

Ta có (1) 5( x2 1) 24x 13 (2)

5(tan 2 1) 12.2 tan 5cos 2 12sin 2 13

tan 2 1

Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : Với mọi x ta có (1)

ak 2 (tan 2 1) 2 k 2 b tan a cos 2 b sin 2 a 2b 2

k 2 (tan 2 1)

Vậy (2) đúng nên (1) được chứng minh

Ví dụ 3: Chứng minh rằng (a + b)4 £ 8(a4 + b4) (1)

Giải

*Với a = 0: bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

*Với a ¹ 0: chia hai vế cho a4 b 4

a 2 b 2 c2

)

2

trở thành

15

Bất đẳng thức (2) trở thành: (1 + tan )4 £ 8(1 + tan4 )

Û (cos + sin )4 £ 8(cos4 + sin4 )

Û 8(cos4 + sin4 ) – (cos + sin )4³ 0 (3)

Vì sin4 + cos4 = (sin2 + cos2 )2 – 2sin2 cos2 = 1 sin 2 2 3 cos 4

4 2

(sin + cos )4 = (1 + sin2 )2 = 3 4 sin 2 cos 4

Nên: 8(cos4 + sin4 ) – (sin + cos )4 = cos4 – 2sin2 ³ 0

Điều này hiển nhiên đúng vì cos4 ³ –1 và –2sin2 ³ –2 nên (3) đúng

Vậy (1) được chứng minh

2.4 Hiệu quả của sáng kiến

Qua việc thực hiện đề tài với các em học sinh, tôi thấy đề tài:

+ Ngoài các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đã biết, đề tài trang bị chohọc sinh thêm một phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số bằng cách sửdụng kiến thức về lượng giác Đôi khi một số bài toán nếu giải theo những cáchkhác thì việc giải quyết có thể phức tạp nhưng nếu sử dụng kiến thức lượng giácvào giải quyết thì bài toán trở nên dễ dàng Tuy nhiên để áp dụng được lượng giácvào chứng minh bất đẳng thức đại số đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thứcvềlượng giác, kiến thức về bất đẳng thức

+ Với việc ứng dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số đãtruyền cho học sinh sự sáng tạo trong cách học toán, truyền thêm sự say mê toánhọc

+ Với việc ứng dụng lượng giác trong việc chứng minh bất đẳng thức đại số của

đề tài, từ đó bằng cách tương tự ta có thể vận dụng vào giải quyết một số bài toánđại số khác: chứng minh đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất, giảiphương trình, giải hệ phương trình… và vận dụng lượng giác trong giải một số bàitoán hình học Nói cách khác là đề tài trên còn gợi ý cho ta giải quyết nhiều bàitoán đại số, hình học dựa vào lượng giác

+ Thực hiện đề tài trên với các em học sinh lớp 11A1, 11A4 do tôi dạy, tôi thấycác em rất hứng thú học tập bởi nó đã trang bị cho các em thêm một phương phápgiải toán về bất đẳng thức và như vậy đề tài trên thật sự có ích đối với học sinh Đềtài này có thể áp dụng trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi; bồi dưỡng độituyển, ôn thi Đại học Tuy nhiên để đạt hiệu quả cao khi giảng dạy cho học sinh thì

giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh là: khi gặp bài toán có dấu hiệu gì thì dùng được phương pháp lượng giác, chính vì vậy trong đề tài tôi đã phân loại một số

dạng toán nhằm tạo cho học sinh nhận biết cách làm dễ dàng, qua đó hình thành kỹnăng dùng lượng giác để giải toán

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Trên đây là một số suy nghĩ của tôi sau khi viết nên đề tài này, đề tài mà tôithực hiện mong là đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp học sinh thấy được mối liên

hệ giữa đại số và lượng giác với nhau và quan trọng là có thêm một phương phápchứng minh bất đẳng thức đại số, qua đó áp dụng giải các dạng toán khác nhau, đócũng là mục đích mà tôi muốn vươn tới trong đề tài này Tuy nhiên trong quá trìnhthực hiện đề tài sẽ không tránh khỏi thiếu sót, rất mong sự đóng góp của đồngnghiệp để đề tài của tôi hoàn thiện hơn

* Kiến nghị và đề xuất:

- Với nhà trường: Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện để học sinh và giáo viên

có nhiều hơn nữa các tài liệu, sách tham khảo để nghiên cứu học tập nâng cao kiếnthức chuyên môn nghiệp vụ Nhà trường tổ chức nhiều các chuyên đề bồi dưỡnghọc sinh giỏi, tổ chức các buổi trao đổi về chuyên môn với các trường bạn, mờichuyên viên của Sở giáo dục về truyền đạt lại một số kinh nghiệm dạy học

- Với Sở giáo dục và đào tạo: Tổ chức các đợt tập huấn về chuyên môn cho giáo

viên để nâng cao trình độ

Trên đây là đề tài nghiên cứu khoa học của tôi Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để đề tài được đầy đủ hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, ngày 10tháng 05 năm 2019

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

Hà Thị Nga

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Phương (2009), Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học,

NXB Tri thức

[2] G Polya (1978), Sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục.

[3] Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Ngọc Bích, Lê Hữu Trí (2006), Các phương pháp giải bằng phép lượng giác hóa, NXN Hà Nội.

[4] Võ Thanh Vân, Lê Ngọc Sơn, Nguyễn Ngọc Thủy (2010), Chuyên đề ứng dụng hàm số lượng giác và phương trình lượng giác trong giải toán THPT, NXB Đại

PHỤ LỤC MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 : Cho a , b 1 Chứng minh rằng : 1 1 2

Bài 10: Cho xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng:

1 x 2 1 y2 1 z2 2

Bài 18: Cho 4 số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt Chứng minh rằng có thể chọn được

ít nhất 2 trong 4 số đó sao cho:

ai a j

0 £1 a i a j 2a ia <2- 3

j

Bài 19: Cho a1, a 2,… a17 là 17 số thực đôi một khác nhau Chứng minh rằng ta luôn

chọn được hai số aj, ai từ 17 số đó sao cho:

(Tuyển sinh khối A năm 2009)

Bài 21: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 (Ukraine 2005)