SKKN một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian

Phân tích Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức 1.. Phân tích Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn Thực tế dạy và học cho thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết như học sinh học hình còn yếu, đặc biệt là khi phải vẽ thêm đường phụ, chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo, trong quá trình giải toán hình học không gian Đặc biệt từ năm học 2017 – 2018, chương trình Toán 11 được đưa vào kỳ thi THPT Quốc gia, những học sinh sử dụng kết quả môn Toán để xét Đại học – Cao đẳng cần phải làm được câu hỏi ở mức độ vận dụng, đặc biệt

là những câu hỏi vận dụng về góc trong hình học không gian Để làm được câu hỏi dạng này đòi hỏi học sinh ngoài việc học tốt kiến thức về hình học không gian còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để từ đó quy bài toán khó

về dễ và phù hợp với kiến thức mình đang có, đặc biệt là kỹ năng phân tích, xác định phương pháp và tính toán nhanh để đạt được yêu cầu kiến thức lẫn thời gian của một câu hỏi trắc nghiệm

Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, tác giả trăn trở về vấn đề này

nên chọn đề tài “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian”để giúp các em có hướng làm bài hiệu quả hơn mà rút ngắn

được thời gian

1.2 Mục đích nghiên cứu

Để giải bài toán về góc, chúng ta thường xác định góc rồi tính giá trị của góc đó Nhưng để giải quyết bài toán bằng phương pháp này yêu cầu học sinh phải biết cách xác định các đường vẽ phụ, mà điều này không phải lúc nào cũng đơn giản, nên khi gặp bài toán khó học sinh thường gặp khó khăn để định hướng cho việc tìm lời giải Qua thực tế giảng dạy, tác giả rút ra được kinh nghiệm nhỏ

trong việc xác định góc trong hình học không gian “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian”là đề tài giúp các em

học sinh không còn e ngại giải các bài tập liên quan đến góc trong hình học không gian, hơn nữa còn giúp các em giải quyết các bài toán trắc nghiệm một cách hiệu quả trong thời gian ngắn nhất

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số vấn đề như sau:

Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm góc nhanh trong không gian về

1.3.1 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1.3.2 Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng

Ngoài ra một đối tượng nghiên cứu khác chính là các em học sinh của lớp 11A5; 11A7 trường THPT Sầm Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trường trong tỉnh

1.4.2 Nghiên cứu tài liệu

1.4.3 Thực nghiệm

1.4.4 Nhận xét

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Vấn đề tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung góc trong hình học không gian ở chương trình hình học 11 Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán

đã làm và bài toán mới Các bài tập của một chuyên đề phải được thiết kế theo một hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của học sinh Hệ thống bài tập giúp các em học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời giải Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt hơn Trong quá trình giảng dạy nội dung góc của hình học không gian lớp 11 và ôn thi THPT Quốc gia lớp 12, tôi thấy kỹ năng giải bài toán về góc của học sinh còn yếu, đặc biệt là các bài toán trắc nghiệm đòi hỏi thời gian ngắn đa số các em bỏ qua Do đó cần phải cho học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, thiết kế trình tự bài giảng hợp lí giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo

và lĩnh hội kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài toán trắc nghiệm khách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất trong các kỳ thi

2.1.1 Góc giữa hai đường thẳng

2.1.1.1 [1] Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 là góc giữa hai đường thẳng '

1 và '2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với 1 và 2

2

2.1.1.2 Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1 và 2 bất kì trong không gian Từ điểm O nào đó, ta

vẽ hai đường thẳng '1 và '2 lần lượt song song (hoặc trùng) với 1 và

2 Khi đó góc giữa hai đường thẳng'

1 và '

2 chính là góc giữa hai đường

thẳng 1 và 2

2.1.1.3 Chú ý

0 0;900

Góc giữa hai đường thẳng có giá trị trong đoạn .

2.1.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2.1.2.1 [1] Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P) thì góc giữa a và hình chiếu a'

của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng

(P) .

2.1.2.2 Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Khi a không vuông góc với mặt phẳng

một điểm A tùy ý trên a khác điểm O Gọi H

( )

là góc giữa a và P thì AOH .

2.1.2.3 Chú ý

(P)

và a cắt (P) tại điểm O , ta lấy

là hình chiếu của A lên (P) và

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có giá trị trong đoạn

2.1.3 Góc giữa hai mặt phẳng

2.1.3.1 [1] Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

2.1.3.2 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Giả sử hai mặt phẳng P và Q cắt nhau theo giao tuyến là Từ một điểm I

bất kì nằm trên ta dựng một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng P vuông góc với và dựng một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng Q vuông

00;900

góc với Góc giữa hai mặt phẳng P và Q là góc giữa hai đường thẳng a và b

2.1.3.3 Chú ý

0 0 ;90 0 . Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng có giá trị trong đoạn

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nội dung góc trong hình học không gian lớp 11 là một phần kiến thức tương đối khó với học sinh Học sinh rất nhanh quên và không vận dụng được những kiến thức đã học vào giải toán Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018,

2019 nội dung này được đưa ra dưới hình thức trắc nghiệm Với thực thế ấy để giúp học sinh có định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán góc, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán để tìm lời giải Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ năng quy lạ về quen, quy cái chưa biết về cái đã có Chính vì vậy đề tài này đưa

ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán góc cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản thân, chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia Vì vậy, tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng vận dụng tốt các kiến thức về góc trong hình học không gian để đưa ra giải pháp nhằm giải quyết bài toán về góc một cách nhanh chóng, chính xác và hiệu quả nhất

2.3 Các giải pháp thực hiện

2.3.1 Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng AB không song song với mặt phẳng P , gọi là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng P , đặt C AB P Thì ta có

sin d ( A, P ) d ( B , P ) (1)

d ( A, C ) d ( B , C)

Nếu B AB P thì ta cósin

d ( A, P ) d ( A, P )

d ( A, B ) AB

Chú ý: Cho tứ diện ABCD gọi là góc giữa đường thẳng ABvà mặt phẳng

ABCD AB.S BCD .

BCD

Ví dụ 1 Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Đường thẳng

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Góc giữa đường thẳng SC và mặt

phẳng SAB là , khi đó tan

nhận giá trị nào trong các giá trị sau

A.

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

S

Ta có SC SAB S nênsin d (C , SAB ) d (C , S ) BC SC a 3 a 13

2

Chọn A.

Vậy

Ví dụ 2 Cho hình chóp S

ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Đường thẳng SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 6 Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC là , khi đó hệ thức nào sau đây đúng

A.

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

5

SB

Do SA SAC

2

14 Chọn B.

Vậy

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD , đáy ABCD

là hình chữ nhật có AD 3a , AC 5a Góc giữa hai mặt phẳng

SCD

và ABCD bằng 450 Gọi là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng SBC

Hệ thức nào sau đây đúng

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

S

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SCD và ABCD .

Ta có SCD ABCD CD nên

6

Mặt khác SD SBC S nên

1

2 2 2

sin

D

5

5 Chọn D.

Vậy

Ví dụ 4 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C '

, đáy ABC là tam giác vuông tạiA,

AC a

, BC 2a và AA' a3 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm cạnh A ' B' Gọi là góc giữa đường thẳngIG

mặt phẳng ABC Tính cos

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

A' I

C'

B'

A M G

Gọi M là trung điểm AB

Ta có IG ABC G nên sin d ( I , ABC ) d ( I , G ) d ( A ',( ABC )) IG IM AA'2 MG2

Chọn A.

Ví dụ 5.[4] (Đề thi THPTQG năm 2018)

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB 2a Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng

A. 60 0 B. 90 0 C. 30 0 D. 45 0

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

7

Lời giải

S

Ta có SB ABCD B nên

sin( SB ,( ABCD)) d ( S ,( ABCD )) S

d ( S , B ) S

B

.

Vậy ( SB ,( ABCD)) 60 0

ChọnA.

Ví dụ 6.[5] (Đề thi thử THPTQG Trường Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 2 năm 2019)

Cho hình chóp S

ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều và AB BC CD a Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa

SC và ABCD bằng600 Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳngSAD

A. 8 . B 6. C.8. D 2.

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

S

H B

C

sin SC , ABCD d ( S , ABCD ) SH S

H

d (C , SAD ) 3 d ( H , SAD )

Ta có SC SAD S

1 1 1 d H, SAD a

d 2 (H, SAD ) HS 2 2(H, AD)

Do đó sin SC , SAD

3 3

8 Chọn A.

Ví dụ 7.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quãng Ngãi -2019)

Cho hình chóp S

ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD 2a,AB a ; O là giao điểm

SO a

của AC và BD , SO vuông góc với mặt phẳng và 2 Gọi là góc

giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD , tính sin

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

S

O

Ta có SC SAD S sin d (C , SAD ) 2 d ( O , SAD )

OC2 a6

sin 1

Ví dụ 8.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11- Sở GD & ĐT Hà Tĩnh - 2019)

Cho hình chóp tứ giác S

ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O , cạnh

AB a,AD

2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC Biết rằng

SA SB SC SD và góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD

là60 0 Tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1)

Lời giải

ABCD

I

O

Vì SA SB SC SD nên

d ( M , ABCD ) 1 SO

Ta có MN ( ABCD ) N

d ( M , N )

Gọi I là hình chiếu của M lên

ABCD .

MN MI2 IN2 SO 2 IK2 KN2 SO 2 13a2

SO a 39

2 Gọi P là trung điểm của SD Suy ra

Khi đó MNCP là hình bình hành nên MN song song với CP

Do đó sin MN , SBD sin CP , SBD

Mà CP SBD

P sin CP , SBD d ( C , SBD )

sin MN , SBD sin CP , SBD 4

65

Vậy

2.3.2 Công thức tính góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng

Cho tứ diện ABCD gọi là góc giữa mặt phẳng ABC và mặt phẳng

BCD

thì ta có sin d ( A, BCD ) d ( D , ABC ) (2)

d ( A, BC ) d ( D , BC)

Với BC ABC BCD

, tổng quát ta có:

ABCD

ABC S BCD

Chú ý: Ta có một công thức đổi khoảng cách như sau

d ( A, BCD ) d ( A, CD)

,trong đó BCD ACD CD Cho tứ diện ABCD ta có d ( B ,( ACD )) d ( B , CD)

10

Công thức này thực ra chính là công thức đổi đỉnh khi sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách, tuy nhiên bằng công thức sin

số (2) ta có thể dễ dàng chứng minh nó mà không cần thông qua khái niệm thể tích của lớp 12

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt

phẳng ABCD là , khi đó tan nhận giá trị nào trong các giá trị sau

A.

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải

S

Ta có SCD ABCD CD nên

sin d ( S , ABCD ) S

A

d ( S , CD ) S

D

Vậy tan 1

Chọn B.

Ví dụ 10 Cho hình chóp S

ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,

đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD ,AB BC a , AD

2a

Góc

giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 450 Tính góc giữa hai mặt

phẳng SAD và SCD

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải

Vì SC ABCD C nên sin 45

0

sin( SC ,( ABCD))d ( S , ABCD ) SA 2

Mặt khác SAD SCD SD nên

sin d ( A, SCD ) d

( A, SD)

SA 2 AC 2 2 a 2 2a2 3

SA 2 AD 2 2 a 2 4a2

Vậy 600

Chọn C.

Ví dụ 11 Cho hình chóp S

ABC có đường cao SA bằng2

a , tam giác ABC

vuông ở C có AB 2 a , CAB 30 0 Gọi H là hình chiếu của A trên SC Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SAB vàSBC Tính sin

7

B. sin

D. sin

1

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải

S

H

B

42

Ta có SAB SBC SB nên

SA 2 AB2

7

Chọn B.

Vậy

Ví dụ 12.[5] (Đề thi thử THPTQG của Sở GD & ĐT Thanh Hóa năm 2019)

Cho hình chóp đều S

ABCD có tất cả các cạnh bằng a Gọi M là trung điểm của

SC Tính góc giữa hai mặt phẳng MBD và ABCD

B. 30 0

.

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải

S

M

H B

C

Ta có MBD ABCD BD nên

1 d ( S ,( ABCD )) 1SH

d ( M ,( ABCD ))

2

SC2 HC2 2

Vậy 450 Chọn C.

Ví dụ 13.[5] (Đề thi thử THPTQG của Sở GD & ĐT Bắc Giang năm 2019)

Cho hình chóp S

ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD 2a Cạnh SA

vuông góc với đáyABCD, SA 2

a Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng

SBD và ABCD

A 2 B 5

C 5 D 5

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải

Ta có SBD ABCD BD nên

sin(( SBD ),( ABCD)) d ( S , ( ABCD )) SA

d ( S , BD) SA 2 d 2 ( A, BD)

Mà d 2 (A,BD) AB

2 AD 2 4 a2 5

sin(( SBD ),( ABCD )) 5 tan SBD , ABCD5

6

Ví dụ 14 [5] (Đề thi thử THPTQG Trường Trần Phú – Hà Tĩnh - lần 2 năm 2019)

Cho tứ diện OABC cóOA,OB

,OC

đôi một vuông góc vàOB OC a 6,OA a .

Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC

và OBC

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải

A

M B

Ta có ABC OBC BC nên

sin ABC , OBC d ( A, OBC ) OA

d ( A, BC ) AM

14

Mà AM AB

2 BM 2 OA 2 OB 2 BM 2 2a

Vậy sin

ABC , OBC 1 ABC , OBC 300

Ví dụ 15.[5](Đề thi thử THPTQG Trường Quỳnh Lưu 2 - lần 1 năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA 2

a vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm cạnh SD Côsin của góc tạo bởi hai mặt

phẳng AMC và SAC bằng

A 2 B. 3 C. 5 D. 3

Phân tích

Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2)

Lời giải

S

M

I

J

H

Ta có AMC SAC AC nên

sin AMC , SAC d ( M , SAC )

d ( M , AC)

Mà d ( M , SAC )

1 d D , SAC 1 DH a 2

d ( M , AC ) MJ MI 2 IJ 2 3a

2 2

Do đó sin AMC , SAC

1 cos AMC , SAC 2 2

2.4 Hiệu quả nghiên cứu

Tác giả đã thực hiện việc áp dụng cách làm này trong nhiều năm với những mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng một khóa học hoặc giữa các lớp ở các khóa học khác nhau

Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy ở lớp 11A5 năm học 2018-2019 ở Trường THPT Sầm Sơn Trong quá trình học đề tài này, học sinh thực sự thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập,

15