SKKN một số phương pháp giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp

Khi gặp bài toán giảiphương trình vô tỷ học sinh dựa vào công cụ hỗ trợ là máy tính cầm tay có thể dễ dàng biết được phương trình có nghiệm bằng bao nhiêunhưng việc nhìn ra cách giải thì

I B Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

Một số giải pháp

Phương pháp đánh giá hai vế

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán trung học phổ thông, bài toán “giải phương trình vô tỷ” là một trong những bài toán hay và khó Khi gặp bài toán giải

phương trình vô tỷ học sinh dựa vào công cụ hỗ trợ là máy tính cầm tay

có thể dễ dàng biết được phương trình có nghiệm bằng bao nhiêunhưng việc nhìn ra cách giải thì các em còn lúng túng và thường mắcnhiều sai sót trong quá trình giải quyết

Trong các đề thi Đại học - Cao đẳng các năm, các đề thi chọn học sinhgiỏi cấp tỉnh từ trước đến nay hay đề thi THPT Quốc Gia, đề thi học sinh

giỏi, bài toán “giải phương trình vô tỷ” bằng cách nhân lượng liên hợp

thường xuất hiện Để giải quyết bài toán đó học sinh thường sử dụngcác cách giải của phương trình vô tỷ Tuy nhiên khi áp dụng học sinhthường gặp phải khó khăn trong việc nhìn ra cách giải thích hợp phươngtrình sau khi nhân lượng liên hợp Trong đề tài này, tôi xin trình bày

“Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp” và khắc phục những khó khăn thường của các em học sinh

khi gặp bài toán giải phương trình vô tỷ, các bài tập đưa ra nhằm phục

vụ cho mục đích đó

Với mục đích là giúp các em học sinh có thể giải quyết được dễ dàng

hơn đa số các bài toán “giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp” và có phương pháp vững chắc về giải phương trình vô tỷ.

II Mục đích nghiên cứu

Đề tài giúp các em học sinh Trung học phổ thông có kiến thức vàphương pháp vững chắc để giải quyết bài toán giải phương trình chứacăn thức bằng phương pháp nhân lượng liên hợp trong các đề thi THPTQuốc gia, thi học sinh giỏi tỉnh, Đồng thời rèn luyện cho các em kỹnăng giải và trình bày bài toán này Góp phần nâng cao chất lượng dạyhọc môn Toán trong Nhà trường

III Đối tượng nghiên cứu

Để hoàn thành đề tài nói trên tôi đã nghiên cứu dựa trên các phươngpháp giải phương trình chứa căn thức trong chương trình Đại số và Giảitích thuộc môn Toán Trung học phổ thông

IV Phương pháp nghiên cứu

Đề tài đã thực hiện các phương pháp nghiên cứu như:

- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về phương trình chứa căn

thức trong chương trình Toán Trung học phổ thông

- Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh giải quyết bài

toán có chứa căn thức bằng cách nhân lượng liên hợp

- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm trên một số đối

tượng học sinh cụ thể để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế kinh nghiệm đãgiảng dạy các tiết học Tự chọn và Ôn thi Trung học phổ thông Quốc Gia,

ôn thi học sinh giỏi phần “phương trình vô tỷ”.

Khi giải bài tập toán, học sinh phải được trang bị các kiến thức cơbản của lớp dưới, các kỹ năng phân tích đề bài để từ đó suy luận raquan hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, giữa bài toán đã làm và bàitoán sẽ làm, hình thành phương pháp giải toán bền vững và sáng tạo

Các tiết dạy bài tập phải được thiết kế theo hệ thống từ dễ đến khónhằm gây hứng thú cho học sinh, kích thích óc tìm tòi, sáng tạo của họcsinh

Hệ thống bài tập phải giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắtnhững kiến thức cơ bản nhất và dần dần phát triển khả năng suy luận,khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạovào giải thuật của một bài toán Từ đó học sinh có hứng thú và tạo rađộng cơ học tập tốt đối với môn Toán, đồng thời phát triển được nănglực và phẩm chất của người học

II Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm.

Trong quá trình giảng dạy phương trình, bất phương trình vô tỷ,các dạng bài tập ở mức độ vận dụng và vận dụng cao, phương phápgiải bằng phương pháp nhân đại lượng liên hợp, tôi thấy học sinh đã giảiquyết được vấn đề nhân lượng liên hợp nhưng khi gặp phương trìnhsau khi nhân liên hợp đa số các em còn lúng túng và thường giải saihoặc không giải quyết được

tiếp bài toán, Từ đó tôi nghĩ phải nghiên cứu và trang bị cho

các em một số phương pháp cơ bản để giúp các em giải quyết được tốthơn phương trình vô tỷ gặp phải sau khi nhân lượng liên hợp và giúpcác em bớt ngại khi gặp bài toán giải phương trình vô tỷ Sau một thờigian nghiên cứu tôi thấy nếu đưa ra được một hệ thống các cách giảiphương trình vô tỷ gặp phải sau khi nhân lượng liên hợp có thể giảiquyết được vấn đề khó khăn của các em học sinh thường gặp

Đánh giá thực trạng:

Năm học 2016-2017, tôi được phân công tiếp tục giảng dạy hai lớpđầu khối 11A; 11B của nhà trường, ngay từ đầu năm học để kiểm trakiến thức các em đã tích lũy ở lớp 10, kiến thức trong ôn đội tuyển họcsinh giỏi và cũng để kiểm nghiệm sử dụng phương pháp tôi đã thực hiệnkhảo sát ở hai lớp 11A và 11B, mỗi lớp 15 em học sinh có năng lực khá– giỏi trở lên bằng 2 bài tập sau:

Bài 1 Giải phương trình 2 x 6 x 6 3 x 2 0

Bài 2 Giải phương trình x 2 2 x 8

( x 1)( x 2 2)

x 2 2 x 3

Kết quả thu được như sau:

Đặt được điều Nhân được Giải quyết được

Từ kết quả đó tôi thấy: Rất nhiều học sinh xử lý được khâu

mở đầu, các em đã tìm ra được nghiệm hoặc một nghiệm của phươngtrình bằng cách xử dụng máy tính và nhân lượng liên hợp Tuy nhiên sốlượng các em học sinh không giải quyết được trọn vẹn bài toán sau khinhân lượng liên hợp còn nhiều Trong đó, chưa có kỹ năng và địnhhướng phương pháp giải là chủ yếu

III Một số giải pháp

Trước khi trình bày về một số phương pháp giải phương trình vô tỷsau khi nhân lượng liên hợp, tôi xin trình bày phương pháp nhân lượngliên hợp trong bài toán giải phương trình chứa căn thức.

1 Kỹ thuật nhân lượng liên hợp.

1.1 Lý thuyết cơ bản: Cho hàm số y f x xác định trên D Nếu x x0 là nghiệm phương trình f x 0 khi và chỉ khi x0 D ;

f ( x0 ) 0 Theo định lí Bơzu nếu x a là một nghiệm của đathức P x thì P x x – a P1 x

Từ đây ta có nhận xét: Nếu x x0 là một nghiệm củaphương trình f x 0 thì ta có thể đưa phương trình f x 0 vềdạng x –x0 F x 0 và khi đó việc giải phương trình f x 0 đượcquy về giải phương trình F x 0

Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh họa về cách tìm đại

lượng liên hợp để biến đổi phương trình về dạng tích

x – x0 F x 0 , mà chưa đưa ra cách giải quyết triệt để bài toán

Ví dụ 1 Giải phương trình x3 6 x2 12 x 10 x 2 0

Lời giải

Sử dụng máy tính cầm tay hoặc nhẩm nghiệm ta thấy x 2 là một nghiệmcủa phương trình Từ đây ta biến đổi phương trình như sau:

Từ đây việc đưa về phương trình tích trở và tìm được nghiệm

x 1 trở nên đơn giản

Từ đó ta biến đổi phương trình như sau:

Ví dụ 5 Giải phương trình x 2 x 1 x 2 x 2 2x 2

Lời giải

Đối với bài này, khi học sinh bấm máy sẽ được nghiệm x1

3,828427125 Đến đây nhiều em sẽ bỏ cuộc hoặc chọn sang hướng giảikhác Tuy nhiên nếu ta tiếp tục sử dụng máy tính sẽ biết được phươngtrình có thêm nghiệm x2 1,828427125 Từ đó các em sẽ thấy một biểu thứcquen thuộc x1x2 2 và x1 x2 7 Như vậy bài toán có thể đưa được về nhân

tử chung là x 2 2x – 7 Vấn đề khó khăn đầu tiên của bài toán đã đượcgiải quyết

Mặc dù vậy, nhưng không phải em nào cũng sử dụng mấy tính cóthể giải được nghiệm của các phương trình chứa căn Vậy ta có cáchnào khác để giải quyết vấn đề trên không? Đối với những em không sửdụng máy tính có thể giải ra nghiệm thì các em có thể sử dụng phươngpháp đồng nhất hệ số để tìm ra

biểu thức cần nhân liên hợp Tôi xin quay lại Ví dụ 5 ở trên và

đưa ra cách khác để tìm nhân tử chung x 2 2 x – 7 như sau:

Do x 2 không thỏa mãn nên ta giả sử:

Chú ý Trước khi nhân liên hợp phải xét xem thử biểu thức dưới mẫu

sau khi nhân liên hợp có triệt tiêu hay không

Trên đây chỉ là một số ví dụ minh họa về một số cách để tìm ra biểu thứcnhân liên hợp Ngoài các cách trên còn có một số cách khác mà trong

đề tài này tôi xin không đề cập hết

2 Một số phương pháp giải phương trình sau khi nhân lượng liên hợp.

Sau khi nhân liên hợp, tôi định hướng học sinh suy nghĩ cách xử lýbài toán theo các hướng sau đây và đây cũng là nội dung chính của đềtài

2.1 Phương pháp đánh giá hai vế.

Đối với phương pháp này chúng ta có thể dựa vào điều kiện củabài toán để đánh giá trực tiếp hoặc đánh giá qua đại lượng trung gian,hàm số,…

Ví dụ 1 (Khối B - 2010) Giải phương trình

Suy ra phương trình * vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 3 .

Vậy phương trình có nghiệm x 1; x 3

Nhận xét Từ Ví dụ 3 và Ví dụ 4 nhiều em sẽ đặt ra câu hỏi: Tại sao ta

không biến đổi bài toán về tích có thừa số x 1 mà lại chọn x – 3 ? Ở đây

ta thấy biểu thức x 1 nằm dưới dấu căn thức nên nếu ta đưa về nhân tử

x 1 thì sẽ biến đổi phương trình về phương trình * phức tạp và việc giảiquyết tiếp bài toán sẽ khó khăn hơn Nên việc chọn biểu thức liên hợpcũng ảnh hưởng rất nhiều đến việc giải bài toán sau khi nhân liên hợp

Nếu x 1 thì x 1 x 1 và x 6 x 6 nên phương trình (*) vô

Thật vậy, ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm củaphương trình là: x1 0,6180339887 ; x2 1,618033989 sau đó gán hai nghiệm nàyvào hai biến A và B

Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng cách tình A B và AB , ta thu được kết quả “đẹp” sau: A B 1, AB 1

Điều đó đã chứng tỏ A , B là hai nghiệm của phương trình: X2 X 1 0

Và từ đây, ta có thể dự đoán được x 2x 1 chính là nhân tử của phương trình Nhưvậy vấn đề khó khăn nhất đã được giải quyết

Ta viết phương trình đã cho lại thành: x3 3x 1 px q 8 3 x 2 px q 0

Nhận xét Việc đánh giá phương trình (*) có thể trực tiếp hoặc là gián

tiếp thông qua một hằng số, một biểu thức trung gian, dùng hàm số Từ

đó sẽ giúp chúng ta chứng minh được phương trình (*) vô nghiệm hoặc

có thêm nghiệm nữa Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau:

b) 3 x 2 1 x x3 2

c) 3 x x 2 5 5 x2 12

2.2 Phương pháp lũy thừa hai vế.

+/ Ta có một số phép biến đổi bình phương hai vế:

d) f x g xh x (Đặt điều kiện, lũy thừa hai vế đưa về dạng b)

+/ Thông thường khi gặp phương trình A BCD , ta thường bìnhphương hai vế, tuy nhiên nhiều trường hợp điều đó lại gặp khó khăn

+/ Đối với phương trình dạng 3 A 3B 3C A B 33 AB 3 A 3 B C , và ta

sử dụng phép thế 3 A 3 B 3 C ta được phương trình A B 33 ABC C

Ví dụ 1 Giải phương trình 2 x 6 x 6 3 x 2 0

Ta thấy x 3 là một nghiệm của phương trình, do đó ta có thểđưa phương trình về dạng: x – 3 F x 0 nên ta biến đổi phương

Như vậy, việc giải phương trình 2x 6 x 6 3 x 2 0

đến đây ta chỉ cần giải phương trình *

Ví dụ 2 Giải phương trình 5x 1 2x 4 x 1 x 3

Lời giải

Ta thấy 2 x 4 x 1 x 3 , nên từ đây ta nghĩ tới việc nhân liên

hợp, biến đổi phương trình về dạng tích có nhân tử x– 3 nhưsau:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =1; x 1 2 và x 2 3

Nhận xét Ở trong Ví dụ 3, việc đặt t 4 x 5 là để cho bài toán đở phức tạphơn, còn bản chất của bài toán vẫn giải bằng cách bình phương hai vế củaphương trình * Nếu bạn nào xem 4x 5 là ẩn của phương trình thì đểnguyên bình phương hai vế vẫn giải được một cách bình thường Tất nhiên nếulàm vậy sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích thành phương trình tích để tìmnghiệm

Tuy nhiên nếu xem xét x 3 3 x 1 thì ta có: x 3 3 x 1 2 2x ,

từ đó gợi cho ta cách biến đổi phương trình như sau:

sau đó ta bình phương giải phương trình hệ quả

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau:

a) 5x 1 x 1 2 x 2 5 3x

b) 2x 1 1 3x x 2

2 x 2

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ.

Trong phần này, tôi chỉ đưa ra một số dạng phương trình giải bằng cáchđặt ẩn phụ mà các em học sinh có thể gặp phải sau khi nhân lượng liênhợp

2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ 2 ẩn

f x g x h x , h x có thể là hằng số, có thể là biểu thứcchứa x Ta có thể giải như sau:

Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình có nghiệm x 0 ; x 8 .

7

Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy phương trình nhận x 1 làm một nghiệm nên ta

có thể đưa phương trình về dạng phương

trình tích xuất hiện nhân tử

Đến đây ta có thấy việc bình phương hai vế để khử căn thức là

không khả quan Nhưng nếu đặt a x 2 7 x 10 ; bx 2 12 x 20

Nhận thấy phương trình có một nghiệm x 3 Ta biến đổi

đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm ngoại lai

Đối với phương trình dạng này, có thể chúng ta không cần đặt ẩnphụ mà để nguyên biểu thức phương trình sau khi nhân lượng liên hợpkết hợp với phương trình ban đầu để đưa về hệ Việc đặt ẩn phụ trongtrường hợp này chỉ có tác dụng làm cho hệ phương trình gọn và dễ nhìnhơn

2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai đối với 2 ẩn.

Chúng ta đã biết cách giải phương trình a2mab nb2 0 1 Với b

0 thử trực tiếp vào phương trình 1

Với b 0 , phương trình trở thành: m n 0 .

b b

Các phương trình có dạng sau cũng đưa được về phương trình dạng (1)

Bình phương hai vế ta được nghiệm x 1 5 thỏa mãn.

2Vậy phương trình có nghiệm x 1 5

Định lí: Nếu hàm số y f x luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) thì số nghiệm

của phương trình f x k không nhiều hơn một và f u f v khi và chỉ khi u v

Ví dụ 1 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015) Giải phương

trình trên tập số thực: x2 2 x 8 x 1 x 2 2

x2

2 x 3

Lời giải

Đối với bài này đa số học sinh nhận ra được x = 2 là một nghiệm của

phương trình Nhưng sau khi nhân liên hợp thì việc giải quyết bài toán lại

là một vấn đề khó mà các em gặp phải Đa số các em đều giải được:Với x 2 , nhân liên hợp vế phải ta được phương trình:

Ta có f t 3t 2 4t 2 0; t 0; , nên hàm số y f t đồng biến trên0; Khi đó 1 f x 2 f x 1x 2 x 1

3(1 9x 2 )( 1 x x 2 1) (4x 2)(x 1)(2 9x2 3)

Lời giải

Nhận xét Nhìn vào phương trình này thì đa số các em học sinh không nghĩ ra

cách giải Nhưng nếu để ý thì ta thấy đề ra đã có một sự gợi ý về phương phápnhân liên hợp, đó là: 1 x x2 1 x x 1 và 4 9x2 3 1 9x2 Từ đó ta

Vậy phương trình có nghiệm x 1; x 1

+ b a b c 2 ; với a,b 0 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khia b

+ a 2 b 2 x 2 y 2ax by 2 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ay bx

+/ Bất đẳng thức côsi: Cho n số không âm a1 , a 2 , , a n Ta có:

a1 a2 a n n a1a2 a n Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khia1a 2 a n

Dấu “ ” xảy ra khi x 1.

Vậy phương trình có nghiệm x 1.

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau:

- Đối tượng áp dụng: Học sinh có năng lực khá – giỏi về môn Toán;

- Thời gian thực hiện: 3 buổi (9 tiết)

Kết quả thực nghiệm

Sau khi thử nghiệm dạy nội dung của đề tài cho 30 em học sinh khá –giỏi ở 2 lớp 11A và 11B (Mỗi lớp 15 em), tôi đã tiến hành cho các emlàm bài kiểm tra với nội dung 2 câu ở mức độ vận dụng Tôi thu được kết quả như sau:

Đặt được điều Nhân được Giải quyết được

Căn cứ vào kết quả trên ta thấy đề tài bước đầu đã có tác dụng

trong việc trang bị cho các em học sinh năng lực, kỹ năng giải quyết bàitoán sau khi nhân lượng liên hợp

C KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

I Kết luận

Xuất phát từ thực tế về công tác giảng dạy của bản thân và qua quátrình học tập của học sinh, từ sự thích nghiên cứu, tìm tòi và ham họchỏi của các em trong khi giải toán, tôi thấy việc đưa ra cho học sinhnhững cách giải và cách nhìn khác về một bài toán là rất cần thiết

Qua một thời gian nghiên cứu tìm tòi, tổng hợp và đưa vào vận dụngđối với học sinh lớp 11 có năng lực khá – giỏi trong ôn thi THPT QuốcGia, Ôn thi học sinh giỏi Tôi thấy đa số các em học sinh có thể nắmđược nội dung và phương pháp của đề tài, vận dụng thành thạo vào cácbài toán cụ thể Tuy nhiên khi áp dụng vào đối tượng học sinh lớp 10, 11thì tuy theo mức độ nhận thức, học lực và kiến thức đã học của các em

mà ta có thể đưa ra các bài tập áp dụng và phương pháp phù hợp

II Kiến nghị

Phương pháp giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên

hợp chỉ phù hợp với học sinh có năng lực khá – giỏi nên chỉ xem nó là tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong ôn thi