SKKN một số kỹ NĂNG cơ bản tìm CÔNG THỨC TỔNG QUÁT của dãy số TRONG bồi DƯỠNG học SINH GIỎI môn TOÁN lớp 11 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KỸ NĂNG CƠ BẢN TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11- THPT N

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KỸ NĂNG CƠ BẢN TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH

GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11- THPT

Người thực hiện: Phạm Công Dũng Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

MỤC LỤC Trang

1.Mở đầu ……… 2

1.1 Lý do chọn đề tài ……… ………… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu ……….……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……….……….…… …… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu ………… ……….…… …… 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……… ……… … 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ……….………… ………… …… 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm …… …. 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ……… … 3

2.3.1 Kỹ năng cộng dồn vế các số hạng của dãy ……… ……… 3

2.3.2 Kỹ năng sử dụng dãy số phụ ……… ………… 5

2.3.3 Kỹ năng sử dụng Quy nạp ……….… 14

2.3.4 Kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác ……… ……… 16

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, 19 với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ……… …

3 Kết luận, kiến nghị ……….… 20

3.1 Kết luận ……… 20

3.2 Kiến nghị ……… 20

Tài liệu tham khảo ……… 21

Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên ……… 21

1.Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài.

Ông cha ta đã đúc kết: “Hiền tài là nguyên khí của quốc gia” Bồi dưỡng họcsinh giỏi là bước đi đầu tiên để đào tạo nhân tài cho đất nước, là nhiệm vụ quantrọng của mỗi nhà trường Do đó hằng năm mỗi nhà trường đều có đội ngũ thầy

cô giáo tham gia làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, chất lượng mũi nhọn củamỗi nhà trường là tiêu chí quan trọng trong công tác thi đua giữa các trườngTHPT trên địa bàn tỉnh Thanh Hóa

Đối học sinh giỏi nói chung và học sinh giỏi môn toán nói riêng thì cầnngười học sinh phải có tố chất, tư duy lôgic và sáng tạo, có những kỹ năng cầnthiết để xử lý những vấn đề về toán học Hiện nay công tác bồi dưỡng học sinhgiỏi cũng được nhà trường hết sức quan tâm Trong quá trình bồi dưỡng họcsinh giỏi tại trường, gặp không ít khó khăn, đó là chất lượng đầu vào thấp, tỷ lệhọc sinh đạt giải môn toán ở cấp hai hầu như không có Trong kỳ thi học sinhgiỏi lớp 11 của tỉnh Thanh Hóa cũng như các tỉnh khác có sự xuất hiện của bàitoán dãy số với bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số, khiến cho học sinhlúng túng, chưa có kỹ năng giải toán Mặt khác chuyên đề dãy số được trình bàyrất hạn chế trong sách giáo khoa, với thời lượng ít, gây khó khăn cho học sinhkhi tiếp cận vấn đề Mặt khác tài liệu tham khảo về dãy số còn hạn chế, chỉ chútrọng về mặt phương pháp, chưa chỉ rõ bản chất thật sự của vấn đề, chưa chútrọng rèn luyện kỹ năng để tìm ra công thức tổng quát của dãy số Do đó dẫnđến học sinh không nắm vũng các kỹ năng đó, dẫn đến không giải quyết bài

toán được Xuất phát từ thực trạng đó tôi đã mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số

kỹ năng cơ bản tìm công thức tổng quát của dãy số trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 11 - THPT”

1.2 Mục đích nghiên cứu :

Mục đích nghiên cứu của đề tài để nâng cao chất lượng giảng dạy, nhất làchất lượng học sinh giỏi Giúp các em học sinh có thể làm tốt bài toán tìm sốhạng tổng quát của dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, cũng như kỳ thiTHPT quốc gia sau này Góp phần làm cho các em thấy cái hay, cái đẹp củamôn toán, tạo động lực giúp các em học tốt hơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số bài toán về dãy số, từ đó trang bị cho các em họcsinh khá giỏi lớp 11 một số kỹ năng giải cơ bản khi tìm công thức tổng quát củadãy số trong chương trình môn toán bậc THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Phương pháp điều tra tham dò khả năng làm bài tập của học sinh

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Thống kê, tổng hợp, phân tích các dạng toán

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Để thực hiện đề tài tác giả đã dựa trên những cơ sở lý thuyết cơ bản sau :

a) Phương pháp quy nạp toán học

b) Cấp số cộng

- Dãy số u n là cấp số cộng u n 1 u n d với n * , trong đó d là số không đổi gọi

là công sai của cấp số cộng

- Nếu dãy số u n là cấp số cộng thì u n u1 n 1 d

- Nếu dãy số u n là cấp số cộng thì tổng S n u1 u 2 u n n u1 u n

- Dãy số u n là cấp số nhân u n1 u n q với n * , trong đó q là số không đổi gọi là

công bội của cấp số nhân

- Nếu dãy số u n là cấp số nhân thì u n u1 q n1

- Nếu dãy số u n là cấp số nhân với q 1 thì tổng

S n u u u n u 1 q n

1 q

d) Các công thức lượng giác và đẳng thức lượng giác

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn 6 xã vùng đồi phía tây bắc cóhuyện Hậu Lộc có điều kinh tế khó khăn và trình độ dân trí còn thấp, chất lượngđầu vào thấp nhất huyện, tỷ lệ học sinh khá giỏi ít Thực trạng trong năm học2017- 2018 bắt đầu thi học sinh giỏi khối 11 và trong đề thi thử THPT quốc giaxuất hiện một số bài toán về dãy số, khiến các em học lúng túng và không biếtphải xử lý như thế nào Nhất là những dãy số cho bởi công thức truy hồi, khôngthể tìm ra số hạng tổng quát được, những bài này thậm trí máy tính cầm taycũng khó giải quyết Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy đây làphần mà các em sợ nhất, mà nó lại xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi của tỉnhThanh Hóa nói riêng và các kỳ thi học sinh giỏi các cấp lớp 11 nói chung Hầunhư qua các bài kiểm tra liên quan đến tìm số hạng tổng quát của dãy thì các em

bỏ trống, hoặc nếu làm được chỉ những bài hết sức cơ bản Những bài đòi hỏi tưduy và kỹ năng thì các em không xử lý được Do đó cần tìm ra những biện pháp

để giúp đỡ các em học sinh thoát khỏi nỗi sợ hải về dãy số, làm tròn trách nhiệmcủa mỗi người thầy cô giáo Giúp các em tự tin hơn trong giải toán, làm cho các

em đam mê học tập đạt hiệu quả cao

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 11 về chuyên đềdãy số, tác giả đã tổng hợp được 4 kỹ năng cơ bản để giải bài toán tìm số hạngtổng quát của dãy số

2.3.1 Kỹ năng cộng dồn vế các số hạng của dãy

Đây là dãy số không phải là cấp số cộng và cấp số nhân thông thường Ta thấy

hệ số của các số hạng của u n và u n 1 đều bằng nhau nên ta liên tưởng đến việccộng dồn vế để triệt tiêu còn u1 và u n

Lời giải Từ giả thiết u n 1 u n n đúng với mọi n * nên ta có

dùng kỹ năng cộng dồn vế thì bài toán được giải quyết.

Lựa chọn một dãy số phụ sao cho dãy đó là một cấp số cộng hoặc một cấp

số nhân Để thực hiện điều này tác giả đã trang bị cho học sinh một số kỹ năng

cơ bản để xây dựng một dãy số phụ như sau :

Đây là dãy số không phải là cấp số cộng và cấp số nhân thông thường Ta thấy

hệ số của các số hạng của u n và u n 1 khác nhau nên dùng kỹ năng cộng dồn vếthì không thể triệt tiêu các số hạng của dãy Do đo cần lựa chọn một dãy số phụ

để đưa về một cấp số nhân Vậy làm sao để thiết kế một dãy số phụ ?

Từ hệ thức truy hồi u n1 3u n 4 ta cần tìm số a sao cho u n1 a 3(u n a)

Thật vậy u n1 a 3(u n a ) u n1 3u n 2a , đồng nhất ta có 2 a 4 a 2

Vậy ta có u n1 2 3(u n 2) nên chỉ cần đặt v n u n 2 , suy ra v n1 3v n Ta có

v n là một cấp số nhân cơ bản Bài toán được giải quyết

Lời giải Ta có u n 1 3u n 4 u n 1 2 3(u n 2) (1)Đặt v n u n2 thì (1) trở thành v n1 3v n Nên v n là một cấp số nhân với công bội q 3

và số hạng đầu v13 Ta có số hạng tổng quát v n3 3n13n

Do đó u n v n 2 3n 2 Vậy u n 3n 2 với n *

Nhận xét Nhờ thiết kế dãy số phụ mà bài toán được giải quyết nhanh chóng,

cho lời giải đẹp Ta có thể tổng quát hóa dãy số u n xác định

u n1 bu n c

Ta cần tìm số a,b sao cho u n 1 a ( n 1) b 3(u n an b)

Thật vậy u n1 a ( n 1) b 3(u n an b ) u n1 u n 2an a 2b

Đồng nhất hệ số ta có

Ta có u n13( n 1) 2 3(u n 3n 2) nên chỉ cần đặt v n u n 3n 2 , suy ra v n1 3v n Ta có

v nlà một cấp số nhân cơ bản Bài toán được giải quyết

Lời giải Ta có u n 1 3u n 6 n 1 u n 1 3(n 1) 2 3(u n 3n 2) (1)Đặt v n u n 3n 2 thì (1) trở thành v n1 3v n Nên v n là một cấp số nhân vớicông bội q 3 và số hạng đầu v1 1 3.1 2 6

Ta cần tìm số a,b sao cho u n 1 a.3 n 1 2(u n a.3 n )

Thật vậy u n1 a.3 n 1 2(u n a.3 n ) u n 1 2u n a.3 n

Đồng nhất hệ số ta có a 1

Ta có u n1 3n1 2(u n 3n ) nên chỉ cần đặt v n u n 3n, suy ra v n1 2v n Ta có

v n là một cấp số nhân cơ bản Bài toán được giải quyết

Lời giải Ta có u n1 2u n 3 n u n1 3 n1 2(u n 3 n ) (1)

Đặt v n u n 3n thì (1) trở thành v n1 2v n Nên v n là một cấp số nhân vớicông bội q2 và số hạng đầu v1u13 5 Ta có số hạng tổng quát v n5.2n1

Do đó u n v n 3n 5.2 n1 3n Vậy u n 5 2 n1 3n với n *

Nhận xét Bằng cách làm hoàn toàn tương tự như trên ta có thể giải quyết nhanh

bài toán Ta có thể tìm số hạng tổng quát u n của dãy số u n có dạng tổng quátxác định u1 a n , với d b (2.4).

Đây là đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019.

Nếu làm như ví dụ 4 :

Thật vậy u n 1 a.4 n 1 4(u n a.4 n ) u n 1 4u n ( vô lý ) nên sẽ không tìm được giá trị

của a Điều này khiến học sinh lúng túng, theo như nhận xét trên thì đây là

trường hợp d b nên không thể áp dụng cách làm giống ví dụ 4 được Sử

dụng kỹ năng chia hai vế từ hệ thức truy hồi cho 4n1 ta được u n 1 u

Nhận xét Từ hệ thức truy hồi chỉ bằng động tác chia hai vế 4n1 ta có thể đưa

bài toán khó về bài toán cơ bản có thể giải quyết được Ta có thể tìm số hạngtổng quát u n của dãy số u n có dạng tổng quát xác định

Để giải bài toán này ta cần định hướng để học sinh đưa về dãy số có dạng (2.6)

Đặt u n v n m thay vào hệ thức truy hồi ta được

Lời giải Đặt u n v n m thay vào hệ thức truy hồi ta được

Nhận xét Nhờ đồng nhất hệ số mà ta có thể giải quyết tốt bài toán trong đề thi

học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018 Ta có thể tìm số hạngtổng quát u n của dãy số u n có dạng tổng quát xác định

u n 2 2u n 1 2(u n1 2u n ), n 1 Suy ra dãy v n 1 u n 1 2u n là một cấp số

nhân có công bội q 2 v 2 n1 v 2 n 1 (3 2.1) 2n1

công bội q 2 và số hạng đầu v1 1 1 6 Ta có số hạng tổng quát

1 u1 1

Nhận xét Chỉ cần động tác chia hai vế của công thức truy hồi cho u n 1 ta có thể

thiết kế dãy số phụ một cách nhanh chóng

Việc thiết kế dãy số phụ để tạo thành một dãy mới là một cấp số cộng hay cấp

số nhân là một việc làm khó khăn Do đó ta cần chuyển hướng sang việc tínhtoán vài số hạng đầu Chẳng hạn

Nhận xét Cả hai cách làm điều có cái hay riêng của nó, giáo viên cần trang bị

cho các em những kỹ năng cần thiết này, phát triển tư duy linh hoạt và sáng tạo.

Thật vậy u k 1 4u k 4u k1 4( k 1).2 k 2 4 k 2 k 3 ( k 1).2 k k.2 k 1

2 k1 (2k 2 k ) 2 k 1 (k 2) Vậy u n ( n 1)2 n 2, n *

Nhận xét Ta thấy nếu sử dụng quy nạp ngắn hơn nhưng lại khó khăn trong cách phán đoán công thức tổng quát, thậm chí không tìm ra.Còn sử dụng dãy số

phụ tuy dài hơn nhưng sẽ thực hiện một cách trôi chảy

2.3.4 Kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác.

Những dãy số có công thức truy hồi có dạng giống hoặc gần giống với côngthức lượng giác thì ta liên tưởng đến kỹ năng sử dụng phép thế lượng giác đểtìm ra số hạng tổng quát của dãy số

Từ công thức truy hồi ta thấy nó giống công thức nhân đôi của hàm số côsin cos

2 a 2cos 2 a 1, chính vì vậy ta liên hệ đến phép thế lượng giác

Lời giải Từ giả thiết ta có

u 3 cos ; u2 2cos 21 cos 2 cos ; u3 2cos 21 cos 2

Nhận xét Nhờ phép thế lượng giác mà ta đã xác định được số hạng tổng quát

của dãy số một cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp Bài toán này nếu không dùng phép thế lượng giác thì rất khó khăn, thậm chí không giải được

Lời giải Ta có u 2 sin ; u2 3sin 4sin 3sin 3 ;

Chứng minh bằng quy nạp ta được u n sin , n *

Xuất phát từ u2 2. 2 2cos và công thức truy hồi có thể đặt

Nhìn vào công thức truy hồi ta thấy giống công thức cộng đối với tang

tan( a b) tan a tan b và ta cũng có 2 1 tan Bài toán đến đây đã xuất

a) Đối với hoạt động giảng dạy của bản thân và đồng nghiệp

Đề tài được bản thân áp dụng thành công ở lớp 11C1, đặc biệt là đối vớihọc sinh khá giỏi tham gia đội tuyển môn toán 2017-2018 và 2018-2019, đượcđồng nghiệp đánh giá có ứng dụng thực tiễn cao trong công tác giảng dạy và bồidưỡng học sinh giỏi môn toán bậc THPT Vận dụng đề tài vào giảng dạy đã gópphần nâng cao chất lượng giờ dạy, tăng cường tính hứng thú cho người học Đápứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, hội nhập quốc tế

Đề tài đã được các giáo viên trong tổ toán- tin, nhất là các giáo viên ôn độituyển học sinh giỏi và ôn thi THPT quốc gia, phần vận dụng cao về dãy số ápdụng giảng dạy ngay tại lớp mình phụ trách và đem lại kết quả tương đối kháchquan Qua phong trào đúc rút kinh nghiệp giúp bản thân và đồng nghiệp có thểtrao dồi kiến thức và kỹ năng, học tập kinh nghiệm lẫn nhau để cùng tiến bộ Từ

đó ngày càng nâng cao chất lượng giáo dục và giảng dạy của nhà trường, gópphần nhỏ tạo nên chất lượng giáo dục của toàn ngành

b) Đối với học sinh :

Đề tài có tính hiệu quả và thực tiễn cao trong công tác dạy học đối với họcsinh khá giỏi và học sinh ôn thi THPT quốc gia Trang bị cho các em những kỹnăng cơ bản để tìm số hạng tổng quát của dãy số Các em bây giờ không còn sợcác bài toán về dãy số, hình thành cho các em niềm đam mê trong học tập, chủđộng tiếp thu bài và hình thành những hướng tư duy mới trong giải toán về dãy

số nói riêng và toán học nói chung Áp dụng đề tài vào thực tiễn thu được kếtquả hoàn toàn khả quan

Kết quả kiểm tra đội tuyển toán lớp 11C1 năm học 2018-2019

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận :

Đề tài đã tổng hợp đã tổng hợp 4 kỹ năng cơ bản để tìm công thức tổng quátcủa dãy số, đưa ra cách giải các dạng dãy tổng quát thông qua các ví dụ phongphú và đa dạng, định hướng, phân tích và so sánh các cách giải Đề tài còn cóthể áp dụng rộng rãi cho học sinh khá giỏi ôn thi THPT quốc gia Đề tài có thểnghiên cứu bổ sung tiếp để trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh vàđồng nghiệp

3.2 Kiến nghị :

i) Đối với Sở giáo dục :

Kính mong Sở giáo dục và đào tạo tiếp tục chỉ đạo công tác nghiên cứu khoahọc, triển khai những sáng kiến có chất lượng trong toàn tỉnh đến các trườngTHPT để chúng tôi học hỏi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

ii) Đối với nhà trường :

Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để traođổi về chuyên môn, xây dựng các chuyến đề bồi dưỡng học sinh giỏi đểbồi dưỡng năng lực toán cho các em học sinh Đề tài chắc chắn khôngtránh khỏi những thiếu xót và để hoàn thiện hơn nữa tác giả rất mongđược sự bổ sung và góp ý chân thành của các đồng nghiệp./

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 28 tháng 5 năm 2019

ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

Tác giả

Phạm Công Dũng

TÀI LIỆU THAM KHẢO :

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Phạm Công Dũng Chức vụ và đơn vị công tác: Chủ tịch Công đoàn, Tổ trưởng chuyên môn

Nâng cao hiệu quả giải hệ phương

một số bài toán trắc nghiệm khách

quan giải tích lớp 12 - THPT