SKKN sử dụng công cụ véc tơ để phát triễn một số bài toán mới từ một số bài toán cơ bản trong sách hình học 10

Việc sángtạo các bài toán mới từ các bài toán cơ bản có trong sách giáo khoa nhằm mục đíchkhuyến khích sự tìm tòi, tư duy, sáng tạo cho học sinh, cũng như tạo cho các em sựsay mê môn hìn

I MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình dạy học ở trường phổ thông tôi nhận thấy học sinh rất engại học môn hình học vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tếkhách quan Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này Việc sángtạo các bài toán mới từ các bài toán cơ bản có trong sách giáo khoa nhằm mục đíchkhuyến khích sự tìm tòi, tư duy, sáng tạo cho học sinh, cũng như tạo cho các em sựsay mê môn hình học, phát triển khả năng tự phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề,

từ đó nâng cao chất lượng dạy học Đây cũng là một trong những mục tiêu quantrong mà giáo dục hiện nay đang hướng tới Qua những năm giảng dạy môn họcnày tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm về vấn đề này nhằm giúp các emtiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tậpcủa học sinh, đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Vì vậy tôi đã chọn

đề tài: “ Sử dụng công cụ vectơ để phát triển một số bài toán mới từ một số bài toán cơ bản trong sách hình học 10 "

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đưa ra một hệ thống kiếnthức hoàn toàn mới, một kết quả mới về mặt toán học; ở đây tôi chỉ trình bàynhững kết quả mà trong quá trình dạy học về hinh học 10 tôi đã tích luỹ, tìm tòi;nhằm hướng tới mục đích giúp các em học sinh nắm vững kiến thức cơ bản Trên

cơ sở từ một số bài toán điển hình tôi sẽ đưa ra phương pháp giải cho bài toán đó

và một nhóm các bài toán tương tự; đồng thời giúp học sinh khái quát hóa để đượccác bài toán mới , qua đó giúp rèn luyện, phát triển tư duy giải toán hình học chohọc sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài này sẽ được nghiên cứu trên học sinh lớp 10A2 và 10A3 trường THPT

Lê Hoàn - Thọ Xuân - Thanh Hoá Trong quá trình giảng dạy bản thân sẽ địnhhướng, dẫn dắt học sinh phát triển một số bài toán mới từ một số định lý hoặc bàitoán cơ bản Việc phát triển một số bài toán mới có thể đi theo chiều hướng mởrộng sang không gian hoặc thay đổi giả thuyết của bài toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu lý luận:

+Thông qua việc nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, chuyên môn có liênquan đến đề tài

+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa toán 10 và 11, mục đích yêu cầu dạy hình học ở trường phổ thông

- Phương pháp đàm thoại lấy ý kiến của học sinh và giáo viên có nhiều kinh

nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Trang 1

II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh

nghiệm 2.1.1 Định nghĩa về vectơ.

a Các định nghĩa

- Định nghĩa 2.1.1.1: Vectơ là một đoạn thẳng đã được định hướng, nghĩa làtrong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chĩ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào làđiểm cuối

- Định nghĩa 2.1.1.2: Hai vectơ bằng nhau a b khi và chỉ khi chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau

- Định nghĩa 2.1.1.3: Hai vectơ đối nhau a b khi và chỉ khi chúng ngược hướng và có độ dài bằng nhau

b Các ký hiệu thường dùng

- Ký hiệu AB chỉ độ dài đoạn thẳng AB

- Ký hiệu AB chỉ vectơ AB

- Ký hiệu | AB | chỉ độ dài của vectơ AB Như vậy | AB | AB

- Ký hiệu AB chỉ độ dài đại số của vectơ AB

c Phép nhân vectơ với một số.

- Cho vectơ u và số k Vectơ ku được xác định bởi:

+ ku cùng hướng với vectơ u nếu k 0 và ngược hướng với vectơ unếu k < 0

+ | ku | = | k | | u |

Trang 2

- Cho b 0 và a cùng phương với b Khi đó, tồn tại duy nhất một số thực k sao cho: a kb

- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC là các vectơ cùng phương

d Tích vô hướng của hai vectơ.

- Cho trước hai vectơ a, b Từ một điểm O cố định, dựng các vectơ

OA a, OB b Khi đó góc AOB·

là góc giữa hai vectơ a, b Ký hiệu: (a,·r

b) hoặc (a, b)

- Tích vô hướng của hai vectơ: a.b | a | | b | cos(a, b)

- a b a.b 0

- a.a a 2 | a |2

2.1.3 Khai triển một vectơ theo các vectơ không cùng phương

a Khai triển một vectơ qua hai vectơ không cùng phương trong mặt

phẳng

Định lý 1 Cho hai vectơ không cùng phương a và b Khi đó mọi vectơ x đều có thể

biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số

Định nghĩa 1: Trong mặt phẳng cho vectơ v 0 , phép biến hình biến mỗi điểm M

thành điểm M’ sao cho MM ' = v , gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v

Kí hiệu: T v

Vậy: T v (M) = M’ MM ' =v

* Phép vị tự

Trang 3

Định nghĩa 2: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k 0, phép biến hình biến mỗi

điểm M thành điểm M’ sao cho OM ' kOM , gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k Kí

hiệu:V O ; k

Vậy: V O ; k M M '

OM ' kOM

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Khi dạy hình học ở lớp 10 ta nhận thấy một số bài toán cơ bản được chứngminh trên cơ sở là công cụ vectơ Sau đó sách giáo khoa cũng đã đưa ra một số bàitập mang tính chất vận dụng Bản thân tôi thấy nếu chỉ dừng lại ở đây thì làm chohọc sinh chưa thật sự hứng thú với bộ môn hình học, cũng như chưa khai thácđược khả năng phát hiện vấn đề cũng như giải quyết vấn đề, đặc biệt với các emhọc sinh khá giỏi

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi,tôi đã tổng hợp và lựa chọn một số bài toán cơ bản, giải quyết nó bằng công cụvectơ Trên cơ sở đó tôi hướng dẫn học sinh tìm tòi, phát triển thêm một số bàitoán mới đồng thời giải quyết bài toán đó bằng công cụ vectơ

Bài toán 1 (Bài toán về trọng tâm)

Bài toán cơ sở: Cho tam giác ABC , ta luôn có:

a Một điểm G duy nhất sao cho GA GB GC 0

b Ba đường trung tuyến đồng quy ở điểm G, điểm G chia mỗi đường trung tuyến

theo tỉ số -2

Mở rộng bài toán từ tam giác sang tứ diện ta có một số bài toán mới :

Bài toán 1.1 Cho tứ diện ABCD ta luôn có :

a Một điểm G duy nhất sao cho GA GB GC GD 0

b Ba đường trung bình đồng quy ở điểm G , điểm G chia mỗi đường trung bình

theo tỉ số -1

c Bốn đường trọng tuyến cũng đồng quy ở G, điểm G chia mỗi đường theo tỉ số -3

Bài toán 1.2 Trong không gian (hoặc mặt phẳng ) cho hệ n điểm A1, A2 , ….

c Điểm G chia mỗi đường trung tuyến bậc k theo tỉ số n k

k

Trang 4

Bình luận : Cả ba bài toán trên đều tương tự nhau, có sự mở rộng dần

không gian và mở rộng dần các khái niệm, tính chất; Các bài toán này cũng đã có hướng giải quyết trong sách giáo khoa , tuy nhiên cách giải quyết bằng công cụ véc tơ có thể giải quyết được cả ba bài toán

b) , c) Lấy k điểm X1 , X2 , … ,X k bất kì từ họ điểm đã cho và gọi trọng tâm

của hệ này là G1 và trọng tâm của hệ n - k điểm X k + 1 , X k+ 2 , … , X n còn lại là

đồng thời G chia G1G'1 (trung tuyến bậc k) theo tỉ số (k-n)/k

Vậy b), c) được chứng minh

Nhận xét 1.1 Từ bài toán trọng tâm tam giác, nhìn nhận dưới góc độ diện tích

Từ đây ta có thể đưa ra bài toán tổng quát:

Bài toán 1.3 Cho tam giác ABC và M là một điểm thuộc miền trong tam

giác Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB Chứng minh: S1 MA S 2 MB S 3 MC 0

Suy ra điều phải chứng minh (*).

Nhận xét 1.2 Từ bài toán trên ta có thể thay giả thiết Hìnhthuđược3.1 một số bài toán sau:

Bài toán 1.4 Cho O là điểm nằm ngoài tam giác ABC thuộc miền trong của

góc tạo bởi hai tia CA,CB Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích các tam giác OBC, OCA, OAB Chứng minh S1 OA S 2 OB S 3 OC 0

Sau khi giải bài toán này giáo viên có thể yêu cầu học sinh tự đề xuất các bài toán tương tự khi cho điểm M nằm ngoài tam giác nhưng ở miển trong của hai góc còn lại.

Nhận xét 1.3 Từ bài toán 1 này ta chọn M là các điểm đặc biệt của tam giác ABC ta có một số bài toán mới như sau

Bài toán 1.5 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh

a.IA b.IB c.IC 0 ( Bài 37 sách bài tập HH10 nâng cao)

Bài toán 1.6 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Chứng

minh:

a sin2AOA sin2B.OB sin2C.OC 0

b (tan B tan C ).OA (tan A tan C ).OB (tan A tan B ).OC 0

c sin B.sinC OA sin A.sinC OB sin OC 0

sin 2 A.OA sin 2 B.OB sin 2C OC 0

2sin A.cosA.OA 2sinB cos B.OB 2sinC cosC OC 0

cos B

cosC

cos A cosC cos A cos

B

sin(B C ) sin( A C) sin( A B)

cos B

cosC cos A cosC cos A cos B

(tan B tan C ).OA (tan A tan C ).OB (tan B tan A).OC 0

Bài toán 1.7 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm của tam

giác ABC Chứng minh:

a tan A HA tan B HB tan C HC 0

cosC

Nhận xét : Cho M là điểm nằm trong ABC không có góc nào bằng 120 0 và luôn nhìn các cạnh của tam giác dưới một góc 120 0 ta có bài toán mới

Bài toán 1.8 Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho M luôn nhìn các

đoạn AB,BC, CA dưới một góc 1200 Chứng minh:

Bình luận: điểm M nói trên là giao của 3 đường tròn ngoại tiếp các tam

giác đều lần lượt có các cạnh AB,BC,CA dựng ra phía ngoài tam giác.

Bài toán 2 Bài toán về tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Bài toán cơ sở: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với BC=a, AC=b,

( Phần chứng minh đã được chứng minh trong sách bài tập hình học 10)

Nhận xét 2.1 Xuất phát từ đẳng thức a IA b IB c.IC 0 , nếu ta nhìn cạnh dưới

góc độ chiều cao ta có bài toán mới như sau

a c

IB a b IC 0

4 S 2 4 S 2 4S 2

h b h c IA h a h c IB h a h b IC 0

Trang 7

Bài toán 2.1 Cho tam giác ABC với các cạnh BC= a, CA=b,AB=c Gọi I là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi ha , hb , hc lần lượt là chiều cao của tam giác

I

A I B IC

Bài toán 2.2 Cho tam giác ABC với các đường tròn nội tiếp

tam giác ABC Gọi cạnh BC= a, CA=b,AB=c Gọi I là tâm lần lượt là chiềucao của tam giác

a b c 2 R a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C .

sin A sin B sin C

Bài toán 2.3 Cho tam giác ABC với các cạnh BC = a, CA = b,AB = c Gọi I là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: sin A IA sin B IB sin C . IC 0

Nhận xét 2.3 Bài toán ban đầu được mở rộng trong không gian khi xét cho tứ diện bất kì và diện tích của các tam giác cần chứng minh sẽ chuyển thành thể tích của các tứ diện.

Bài toán 2.4 Cho tứ diện ABCD, O là một điểm bất kì thuộc miền trong tứ diện

Gọi V1, V2, V3, V4 lần lượt là thể tích của các tứ diện OBCD, OCDA, OABD và

nên ta có điều phải chứng minh.

b.IB c.IC 0 , Nếu ta bình phương vô hướng hai vế sau Hình 3.2

đó biến đổi ta sẽ kiến tạo được một số bài toán mới.

Ta có: (a.IA b.IB c.IC)2 0

a 2 IA 2 b 2 IB 2 c 2 IC 2 2 abIA.IB 2bcIB.IC 2acIA.IC 0 Vì IA

IB BA ( IA IB )2 BA 2 c 2

2 IA.IB IA 2 IB 2 c2

Trang 8

Từ đó ta có:

a 2 IA 2b 2 IB 2 c 2 IC 2 ab ( IA 2 IB 2 c 2 ) bc ( IB 2 IC 2 a 2 ) ac ( IA 2 IC 2 b2 ) 0 ( a b

c )( a.IA 2 b.IB 2 c.IC 2 ) abc ( a b c)

IA2 IB2 IC 2 1

bc ca ab

Do đó ta có bài toán mới:

Bài toán 2.5 Cho tam giác ABC với các cạnh BC=a, CA=b, AB=c Gọi I là tâm

đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh rằng: IA2 IB 2 IC2

1

bc ca ab

Nhận xét 2.5: Nếu thay tâm I bởi điểm M bất kỳ nằm trong tam giác ta có

a.MA2 b.MB 2 c.MC 2 abc

Do đó ta có bài toán mới:

Bài toán 2.6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với BC=a,CA=b, AB=c Tìm

điểm M sao cho biểu thức P = a.MA 2 b.MB 2 c.MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Nhận xét 2.6 Từ đẳng thức về tâm đường tròn nội tiếp tam giác ta xây dựng công thức tính khoảng cách giữa các điểm đặc biệt trong tam giác theo độ dài các cạnh a, b, c và các yếu tố khác.

+ Tính OJ với O, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam

(a b c).OJ a.OA b.OB c.OC

Bình phương hai vế và sử dụng phép biến đổi như trên ta có:

+ Các đoạn OH, HG được tính theo OG và đẳng thức OH 3.OG

Bài toán 3 Bài toán về đường cao trong tam giác vuông

Bài toán cơ sở : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi I là

trung điểm của AH Chứng minh rằng a 2 IA b 2 IB c 2 IC 0 (1)

Trang 10

Hoàn toàn tương tự ta có: y c2 Suy ra điều phải chứng minh.

2a2

Mở rộng bài toán sang không gian ta có

Bài toán 3.1. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc Gọi S 0 , S A, S B ,S C lần lượt là diện tích các mặt của tứ diện đối diện với các đỉnh

tương ứng O,A, B, C Gọi I là trung điểm đường cao OH của tứ diện Chứng minh

rằng S O IO S A IA S B IB S C IC 0 (1)

Ta có điều phải chứng minh

Bài toán 4 Bài toán về đường thẳng Euler trong tam giác

Bài toán cơ sở Chứng minh trong tam giác ABC bất kì, trọng tâm G, trực

tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng và GH 2GO ( Bài toán 3 SGK

Hình học 10 nâng cao trang 21)

Trang 11

Nhận xét: Bài toán này đã được chứng minh dựa vào kiến thức của lớp 10 Tuy

nhiên để phát triển tư duy cũng như làm tiền đề cho bài toán tiếp theo tôi trình bàylời giải thông qua phép vị tự của lớp 11

Chứng minh hệ thức GH=2GO ta dùng phép vị tự tâm G biến điểm O thành điểm

H hoặc ngược lại Dựa vào hình vẽ ta đoán tỉ số vị tự là -2 hoặc -1

Phép vị tự bảo toàn tính vuông góc nên sẽ biến trực tâm của tam giác ABC thành

trực tâm của tam giác MNP.

Theo giả thiết H là trực tâm của tam giác ABC và O là trực tâm của tam giác MNP,

vì vậy VG2 : H O GO 2 GH

Từ đó H,G,O thẳng hàng và GH=2GO

Mở rộng bài toán sang không gian ta có bài toán mới

Bài toán 4.1 Chứng minh rằng, với tứ diện trực tâm ABCD ta luôn có trọng

tâm G, trực tâm H , tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thẳng hàng và GH = GO.

A'CB'D là hình bình hành.

Mặt khác trong tứ diện trực tâm ABCD

có hai cạnh đối diện vuông góc với nhau nên

AB CDA'B' CD A'CB'D là hình thoi A'C = A'D'

Chứng minh tương tự ta cũng có A'C = A'B A’ cách đều B, C, D Hình 3.10

Từ giả thiết ta cũng có O cách đều B,C,D nên A'O là trục của đường tròn ngoại tiếp BCD A'O (BCD) A'O (B'C'D') (1).

Trang 12

Tương tự (1), ta cũng có B'O (A'C'D') (2); C'O (B'A'D') (3)

O là trực tâm của tứ diện A'B'C'D'.

Xét phép vị tự V 1 , ta có: V 1 : A A', B B, C C', D D'

Như vậy, V 1 : ( ABCD ) ( A ' B ' C ' D ') nên phép vị tự sẽ biến trực tâm của

G

tứ diện ABCD thành trực tâm O của tứ diện A’B’C’D’.

Suy ra: V G1 : H O hay GO GHH, G, O thẳng hàng và GO = GH.

Bài toán 5 Bài toán đi qua điểm cố định

Bài toán cơ sở: Trên 2 cạnh của góc xOy có 2 điểm M , N thay đổi sao cho

a b 1, trong đó a , b là các độ dài cho trước Chứng minh rằng M N luôn

đi qua 1 điểm cố định

Bài giải

Trên các tia Ox , Oy đặt các đoạn OA = a , OB = b ; gọi E là trung điểm của AB và

Vậy MN luôn đi qua điểm cố định là F

Bài toán 5.1 Hai điểm M, N thứ tự thay đổi trên 2 nửa đường thẳng chéo

nhau Ax, By sao cho AM a BN b 1 (a, b là 2 độ dài cho trước) Chứng minh rằng

A

x'

M' A'

B

b

Trang 13 B'

N y

Hình 3.21

Bài giải

Dựng tia Bx' // Ax , lấy M' trên Bx' sao cho MM'//AB

Trên Bx' , By đặt các đoạn BA' = a , BB' = b

Bài toán 5.2 Trên các tia Ox , Oy , Oz tương ứng có các điểm M , N , P thay

đổi sao cho luôn có OM a ON b OP C 1, trong đó a , b , c là các độ dài cho trước

Chứng minh rằng mp (MNP) luôn đi qua 1 điểm cố định.

C

P B

z F

M

N

Bài toán 6: Công thức tính độ dài đoạn trung tuyến

Bài toán cơ sở: Cho tam giác ABC với AB=c, BC= a, AC=b và trung tuyến AM

Khi đó AM 2 ma 2 2( b 2 c2 ) a2 (Bài tập 3 trang 58 SGK Nâng cao)

Nhận xét 6.1 Từ bài toán tính độ dài trung tuyến của tam giác trong mặt

phẳng, mở rộng sang không gian ta thu được bài toán mới:

Bài toán 6.1 Cho tứ diện ABCD Gọi m a là độ dài đoạn trọng tuyến nối từ đỉnh A

đến trọng tâm A 1 của BCD Tính độ dài m a theo a i (i =1,6) (a 1 = AB; a 2 = AC; a 3 = AD; a 4 = BC; a 5 =BD; a 6 = CD).

Đáp số: m 2 a = 1

3(a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 ) - 1

9(a 2 4 + a 2 5 + a 2 6 )

Nhận xét 6.2 Lấy M là điểm bất kỳ trên đoạn BC ta có bài toán mới:

Bài toán 6.2 (định lý Stewart) Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh AB=c, BC=

a, AC= b Gọi D là điểm bất kỳ trên cạnh BC , BD= a1, CD= a2 Chứng minh rằng:

+ Nếu D là chân đường phân giác trong của góc A, tức là D chia đoạn BC theo tỉ số

DC DB b c Khi đó ta có công thức tính độ dài đường phân giác:

Từ bài toán trên tiếp tục mở rộng sang không gian ta có bài toán mới

Bài toán 6.3 Cho tứ diện ABCD Gọi N, M lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh

CD, BN sao cho CN l CD , BM k BN Tính AM theo k, l và các cạnh của tứ

Bài toán 7 Bài toán về hai trung tuyến vuông góc

Bài toán cơ sở: Cho tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung

tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là: b 2 c 2 5a2 (Bài tập 7 trang 70 SGK Hình

học 10- Nâng cao).

Trang 15