SKKN sử DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH học để GIẢI NHANH một số bài TOÁN cực TRỊ về TOẠ độ TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ TOẠ ĐỘ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Người th

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ TOẠ ĐỘ

TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Người thực hiện : Lê Minh Hoà

SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học

THANH HOÁ, NĂM 2019

1 – MỞ ĐẦU:

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2019 môn Toán vẫn tiếp tục năm thứ 3với hình thức thi trắc nghiệm Các bài toán cực trị về hình học độ toạ trongkhông gian thường là các bài toán vận dụng Vì thế, học sinh rất dễ mất bìnhtĩnh, hoang mang không biết phải nhận dạng và làm bài toán cực trị về toạ độtrong hình học tọa độ không gian như thế nào, lấy những yếu tố nào là điểmquan trọng để phát hiện vấn đề Có rất nhiều phương pháp để giải quyết bài toánnày như phương pháp hàm số, phương pháp hình học Tuy nhiên, để giải nhanhbài toán cực trị về toạ độ trong hình học tọa độ không gian, chúng ta cần tìmđược vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài )xảy ra Khi biết vị trí đặc biệt đó, việc tính toán chỉ còn vài dòng đơn giản là rakết quả Trong quá trình trực tiếp giảng dạy chương: Phương pháp toạ độ trongkhông gian trong chương trình hình học lớp 12, thông qua nghiên cứu tài liệutham khảo, tôi rút ra một phương pháp giúp học sinh giải quyết vấn đề trên

nhanh và chính xác Và đã viết thành một sáng kiến kinh nghiệm có tên: “Sử dụng phương pháp hình học để giải nhanh một số bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian ”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này góp phần trang bị thêm dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu hiệutrực quan của các dạng bài cực trị về toạ độ trong hình học không gian, kĩ năngphán đoán, phân tích nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh:

tư duy phân tích, tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giảiquyết một vấn đề luôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệunhận biết mấu chốt để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài được áp dụng trong chương: Phương pháp toạ độ trong không giancủa chương trình hình học lớp 12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắcnghiệm về cực trị về toạ độ trong hình học không gian, tôi thường hướng dẫnhọc sinh nêu vấn đề từ những kiến thức nào đã học, trình bày bài cực trị về toạ

độ trong hình học gian rồi mới nhận dạng có dài, mất thời gian hay không ? Cógiải quyết được vấn đề hay không ? Có gặp khó khăn gì không? Từ đó khuyếnkhích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc trưng có thể làm dấu hiệunhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để

Để học sinh tiếp cận vấn đề, tôi đưa các bài toán cực trị về toạ độ tronghình học không gian đặc trưng và phương pháp hàm số để giải qua đó thấy rằngviệc giải theo phương pháp này mất thời gian Vì vậy đưa ra dấu hiệu nhận biếtđặc trưng của từng bài toán để từ đó học sinh hình dung một cách trực quan vàbiết cách sử dụng phương pháp hình học vào các bài toán đó để đưa ra đượcphương án trả lời nhanh và chính xác nhất

1

2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

2.1 Cơ sở lí luận:

Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:

- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cos = u1 u2 trong đó 1 , 2 lần lượt

u u

1 2

là hai VTCP của hai đường thẳng

- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng sinΨ = n.u trong đó

u u

u , n lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng

- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cos = n1 n2 trong đó 1 2 trong

n n

n , n

1 2

đó lần luợt là hai VTPT của hai mặt phẳng

- Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x;y ;z ); B(xB;yB;zB)

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và ’, trong đó đi qua điểm M0

, có vectơ chỉ phương và đường thẳng ’ đi qua điểm M1 , có vectơ

u , u ' MM

u ,u

- Công thức tính diện tích hình bình hành : SABCD= AB, AD

- Công thức tính diện tích tam giác : SABC=

AB, AC

- Công thức tính thể tích hình hộp : VABCD.A’B’C’D = .AA

AB, AD

- Công thức tính thể tích tứ diện : VABCD = AB, AC AD

Chú ý: Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện: 0 ; Ψ

Cực trị về toạ độ trong hình học không gian là một trong những nội dung quantrọng chương trình toán lớp12 và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia Bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian là phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là phần thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp kiến thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề.

Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm cực trị về toạ độ trong hình học không gianthoạt nhìn thì có vẻ đơn giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệuđặc trưng thì thời gian giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng

nề, mất bình tĩnh, và tiêu tốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác

Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12C1 tôi trực tiếpgiảng dạy năm học 2017 - 2018 trường THPT Hàm Rồng , kết quả như sau:

Số học sinh Số học sinh trả lời chính

xác

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK Song song với việc cung cấp trithức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài )xảy ra Từ đó phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề:

Để làm bài toán về cực trị về toạ trong hình học không gian, học sinh cóthể dựa vào phương pháp hàm số Sau đây ta xét một số bài toán cực trị về toạ

độ trong không gian bằng phương pháp hàm số Đây là cách thức trước khi đổimới

2.3.1 Các bài toán cực trị toạ độ trong hình học không gian giải

Lập bảng biến thiên Max f(t) = tại t= 1.

Vậy Max d(M,(a)) = 3 khi =1 Từ TH1 và TH2 suy ra A = C và B = -4Cphương trình mặt phẳng cần tìm là x - 4y + z - 3 = 0

Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d tạo

với đường thẳng d’( d’ không song song với d) một góc lớn nhất Ví dụ 2:

Max f(t) = tại t = -7 hay = -7 Vậy Max Sin Ψ= So sánh TH1 và TH

Ψmax Û Sin Ψ= với = -7

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 7x - y + 5z - 9 = 0

Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước

và nằm trong mặt phẳng P cho trước và cách một điểm M cho trước một

khoảng nhỏ nhất ( AM không vuông góc với (P)).

+) Tương tự cho trường hợp còn lại.

Nhận xét: Có rất nhiều bài toán cực trị về toạ độ trong không gian có thể giải bằng phương pháp hàm Tuy nhiên cách làm trên lại gặp khó khăn do mất quá

nhiều thời gian Vì vậy tôi đã hướng dẫn học sinh có thể dựa vào vị trí đặc biệtcủa nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách, độ dài ) xảy ra để tìm đượcphương án chính xác một cách nhanh nhất

Sau đây ta sẽ xét một số bài toán quen thuộc trên và thêm các bài khác nữa để thấy rõ tính ưu việt của phương pháp hình học giải nhanh bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian.Trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn học sinh cách phân tích sử dụng phương pháp hình học phù hợp để đưa ra cáchgiải đúng và ngắn gọn nhất Sau đây là các bài toán sau khi đổi mới:

2.3.2 Các bài toán cực trị về toạ độ trong hình học không gian giải bằng phương pháp hình học.

Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng d và cách

vuông góc với mặt phẳng chứa M và d.

Mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến nu d , AM ,u trong đó

d

Ví dụ 1: Viết phương trình mp chứa đường thẳng d : x 1 y z 2

2M(2;1;1) một khoảng lớn nhất

Hướng dẫn :Ta có u d (2;1; 1) , A(2;1;-1) => AM (1;1;3) Vậy

Hướng dẫn: Bản chất mp cần tìm vẫn đi qua đường thẳng cố định qua O

và vuông góc với (P) Nếu véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là

n n( Q) , OM ,n( Q) .

Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, tạo

với đường thẳng d’( d’ không song song với d) một góc lớn nhất.

Hướng dẫn:

Lấy K là điểm thuộc d, vẽ đường thẳng KM

song song với d’ Gọi H và I là hình chiếu

vuông góc của M trên (P) và

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) cần tìm là n u d ,u d ;

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d : x

2 1 y 1 1 z

2 2 và tạo

với đường thẳng d ': x

1 1 2y z 1 1 một góc lớn nhất.

Hướng dẫn: Ta có: n u d ,u d ,u d (3; 12;3) (P) đi qua điểm A(1; 1;2)

nên có phương trình (x-1)-4(y+1)+(z-2)=0 <=> x-4y+z-7=0

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O và vuông góc với mặt

phẳng (P):2x+y-z-1=0 và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.

Hướng dẫn: Bản chất không thay đổi, mặt phẳng cần tìm có véc tơ pháp tuyến

n n P , j ,n P ( 2;5;1) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 2x-5y-z=0.

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua O, song song với đường thẳng

d : x

2 1 1 y z 3 2 vào tạo với mặt phẳng (P): x+2y-z+1=0 một góc nhỏ nhất

Hướng dẫn: Bản chất bài toán vẫn là tìm phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng a (qua O và song song với d) và tạo với đường thẳng b vuông góc với mp(P) một góc lớn nhất Vậy véc tơ pháp tuyến mp cần tìm là

n u d ,n P ,u d ( 12; 27;17) nên phương trình mặt phẳng cần tìm là: 12x

+ 27y - 17z = 0

Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1;2;-1), B(2;1;3) và tạo với trục Ox một góc lớn nhất.

Hướng dẫn: Mặt phẳng cần tìm đi qua AB, cũng là mặt phẳng chứa đường

thẳng AB cố định cho trước Vậy n AB , i , AB ( 17; 1;4)

7

Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước

và nằm trong mặt phẳng P cho trước và cách một điểm M cho trước một khoảng nhỏ nhất ( AM không vuông góc với (P)).

Hướng dẫn: Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên (P) và d

Hay d là đường thẳng đi qua A và hình chiếu H

của M trên (P).Véc tơ chỉ phương của đường

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 4 x 13y 5z .

Ví dụ 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;2), vuông góc với

x 1 y z 3

Hướng dẫn: Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng cốđịnh (qua A và vuông góc với a) Nên vec tơ chỉ phương vẫn là

u d u a , OA ,u a .

Ví dụ 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua O và song song với mặt

phẳng (P):2x-y-z+1=0 và cách điểm M(1;-1;2) một khoảng nhỏ nhất.

Hướng dẫn: Bản chất d vẫn là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng cốđịnh (qua O và song song với (P)) Nên véc tơ chỉ phương vẫn là

Hướng dẫn: Đường thẳng d đã cho đi qua điểm cố định A(1;2;1) và do

u d ( a; b;2a b ) n(2; 1; 1) nên d nằm trong mặt phẳng (P) qua A có véc tơ pháp tuyến n Vậy véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là

Hướng dẫn:Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M

M

trên (P) và d Khi đó ta dế thấy d M ; d MK MA , khoảng

cách d M ; d lớn nhất khi và chỉ khi K trùng A, hay d là

đường thẳng nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với

AM

AK H

Đường thẳng d cần tìm có véc tơ chỉ phương là: d

( P)

Ví dụ 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;-1) cho trước,

nằm trong mp (P): 2x - y - z = 0 và cách điểm M(0;2;1) một khoảng lớn nhất

9

Hướng dẫn: Ta có vec tơ chỉ phương đường thẳng cần tìm là

u AM , n (1;3; 1) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

Hướng dẫn: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là u u d1 , AM

Ví dụ 13: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;0;2), song song với

mặt phẳng (P): 2x-y+z-1=0 và cách gốc toạ độ O một khoảng lớn nhất

Hướng dẫn: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là: u OA; n

Hướng dẫn: Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d đã cho, ta thấy d

đi qua điểm cố định A(1;0;3) ứng với t=2 và vuông góc với đường thẳng có véc

tơ chỉ phương u1 (1;1; 1) Do đó véc tơ chỉ phương của đường thẳng d khi

1 32; ;

( dAIH

P '

)

Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và điểmA P , và đường thẳng d ( d cắt (P) và

d không vuông góc với (P)) Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua A, nằm trong (P) và tạo với d một góc nhỏ nhất.

Hướng dẫn: Từ A vẽ đường thẳng AM//d

Gọi H, I lần lượt là hình chiếu vuông góccủa M trên (P) và d’ Ta có

MH MI

cos(d ; d ') cosMAH AM MA

Vậy góc (d;d’) bé nhất khi và chỉ khi I trùng H

Hay d’ đi qua A và H, hay d’ đi qua A và songsong với hình chiếu vuông góc của d trên (P)

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d’ cần tìmlà

u d' n( P) , n( P) ,u d

Ví dụ 15: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O, nằm trong mặt

phẳng (P):2x+y-z=0 và tạo với đường thẳng d : 2 x y 11 z

2 1 một góc nhỏnhất

Hướng dẫn: Véc tơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là

u a n( P) , n( P) ,u d ( 10;7; 13)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 10 7 13 .

Ví dụ 16: Viết phương trình đường thẳng đi qua O, vuông góc với đường thẳng

d: x

2 1 y 2 1 z 2 1 và tạo với mặt phẳng (P): x - y + 2z - 1 =0 một góc lớn nhất

11

Hướng dẫn: Bản chất vẫn là bài toán 5, với véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Bài toán 6: Cho mặt phẳng P và điểm A P và đường thẳng d cắt (P) tại

điểm khác M khác A Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P), đi qua A và khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất.

Hướng dẫn: Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và song song với d’ Khi đó d d; d '

d Q ; d ' d A, Q Theo bài toán 1, khoảng cách này lớn nhất khi và chỉ khi n(

Q) u d , u d , AB , B d Khi đó do d’//(Q) và d’ nằm trong (P), nên

u d ' n(Q ) , n( P) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d cần tìm là:

Ví dụ 19: Cho mặt phẳng P : 2x y z 1 0 Viết phương trình đường thẳng d

nằm trong mp(P), song với mặt phẳng Q : x 2 y z 2 0 và cách gốc O một

Hướng dẫn :Véc tơ pháp tuyến của mp cần tìm là n AM

Ví dụ 20: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;-3) và cách điểm

Hướng dẫn : Giả sử mp(P) qua K và vuông góc với d cắt d tại I, d’ tại M Khi

đó ta có IM 3 , trong mp(P): ta cần tìm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính

R=3 cách K một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất

13

trục là d, bán kính R 3 Gọi (P) là mặt phẳng chứa và song song với d Dễ dàng

thấy ngay, d’ là giao mặt trụ trên với mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với(P) ( trong trường hợp (P) không cắt mặt trụ )

Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là n( P) u d ,u (3;3;3) Phương trình mặt

phẳng (P) là : x + y + z - 3 = 0 Lấy I(3;3;3) d, hình chiếu của I trên (P) là

H(1;1;1), IH 2 3 Gọi M(x;y;z) là giao điểm của IH với mặt trụ (Gần (P))

nhất Ta có: IM 1 IH M (2;2;2) Vậy phương trình đường thẳng d’ cần tìm

Câu 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1;0;1), B(2;1;3) và cách gốc toạ

độ O một khoảng lớn nhất (P) đi qua điểm nào sau đây?

A M(0;2;-1) B M(1;1;1) C M(3;2;1) D M(- 1;1;1) Câu 3: Gọi d là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng (Oxy) và cách

điểm M(1;-2;1) một khoảng nhỏ nhất Tính góc giữa d và trục tung

A a 0 B a 5 C a 3 D a 4

x 1 t

Gọi d’ là đường thẳng đi qua điểm

Câu 6: Cho đường thẳng d : y 2

I(1;2;1) và tạo với d một góc 300 và cách điểm J(0;0;-2) một khoảng nhỏ nhất.Một véc tơ chỉ phương của d’ là:

A u ( 1;1;0) B u (1;1;0) C u ( 1;0;1) D u ( 1;1;2) Câu 7: Cho hai điểm

A(0;0;3), B(1;4;0) và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 -8y +2z +9 =0.

Gọi M thuộc mặt cầu (S) Tính giá trị nhỏ nhất của |MA - 2MB|.

Câu 8: Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với mặt phẳng z+1=0 và tạo với trục Ox một góc nhỏ nhất Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?

(P):2x+3y-A M(5;-3;1) B M(2;-3; -1) C M(4;6;2) D (5;-6;1) Câu 9: Gọi d là đường

thẳng đi qua điểm A(1;2;0) và nằm trong mặt phẳng

(xOy) và cách điểm B(2;1;1) một khoảng lớn nhất Tìm véc tơ chỉ phương của d

Câu 10: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với đường thẳng

d : x y 1 z 1 và cách điểm A(-1;2;3) một khoảng lớn nhất Hỏi (P) song song với

khoảng nhỏ nhất Hỏi d’ đi qua điểm nào dưới đây?