Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến để khảo sát hàm số

Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương trình...  Nội dung Một số bài tập ví dụ giải phương trình  Bài tập tự luyện... Chứng minh rằng phương trình sau đây khôn

Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến

của hàm số để

giải phương trình

 Nội dung

 Một số bài tập ví dụ giải phương trình

 Bài tập tự luyện

Bài 1 Giải phương trình:

Điều kiện x  2/3

Vì x  2/3  x + 3 > 0 , ta được phương trình

Khi đó , suy ra hàm số f(x) đồng biến

Mà f(2) = 5, do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Bài 2 Giải phương trình:

 Giải

Phương trình tương đương với:

Đặt f(t) = 2t + t, khi đó ta có f’(t) = 2t.ln2 + 1 > 0 nên hàm số f(t) đồng biến trên (- ∞; +∞ ) Do đó: (*)  x2 – x = x – 1  x = 1

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

Bài 3 Giải phương trình

Xét hàm số f(t) = log3t + t, khi đó với mọi t > 0

Suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến khi t > 0

Bài 4 Chứng minh rằng phương trình sau đây không có nghiệm âm:

 Đặt xác định trên R.



 Ta nhận thấy f’’(x) < 0 với mọi x < 0 Do đó f’(x) là hàm nghịch biến trong

 khoảng (- ∞; 0) Mà f’(0) = 0 , nên f’(x) > 0 với mọi x < 0.

 Vì vậy hàm f(x) đồng biến trong khoảng(- ∞; 0) mà f(0) = 0 nên f(x) < 0 với

 mọi x < 0 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm

 Bài 5 Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 6 Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt

f’

( x )

+ 0

- +

f(

x )

1/2 0

Bài 7 Tìm tất cả các giá trị m để phương trình:

 có nghiệm thuộc nửa khoảng [32; + )

 Bài 8 Cho phương trình

9max f(x) = 3 2 +

Bài 9 Tìm tất cả các giá trị m để phương trình:

Có hai nghiệm thỏa mãn bất phương trình:

Bất phương trình (2) tương đương với hệ

Đặt f(x) = x2 - 2x + 5 với x  (1; 3) f’(x) = 2(x -1) > 0, nên

hàm số f(x) đồng

biến trong khoảng (1; 3) Ta có f(1) = 4, f(3) = 8  4 < f(x) < 8

Đặt t = log2(x2 – 2x + 5)  log2 4 < t < log2 8  2 < t < 3

 Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm

Bài 10 Cho phương trình

1 Giải phương trình khi a = 7

2 Biện luận theo a số nghiệm của phương trình

Đặt thì phương trình đã cho trở thành

Khi a = 7, ta có phương trình t2 - 8t + 7 = 0 có hai nghiệm t =

1, t = 7

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm

Số nghiệm của phương trình đã cho đúng bằng số nghiệm dương của phương trình: -t2 + 8t = a

Xét sự biến thiên của hàm số f(t) = -t2 + 8t,

 Bài 10 (tt)

 Bảng biến thiên:

 Từ đó ta có kết quả:

 Nếu a > 16 thì phương trình vô nghiệm.

 Nếu a = 16 hoặc a < 0 thì phương trình có nghiệm duy

nhất.

 Nếu 0 ≤ a < 16 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

t 0

4 +

f’(

t) + 0 f(t

-)

16

0 -

Bài 11 Tìm tất cảc các giá trị của m để phương trình:

 (x - 2)log24(x - 2) = 2m(x – 2)3

có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

Phương trình đã cho được biến đổi thành

log24(x - 2).log2(x - 2) = m + 3log2(x - 2) (1)

Đặt t = log2(x – 2) thì (1) trở thành t2 – t = m (2) Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa

t) - 0 + f(t

) 2

0 -1/4

Bài 12 Với những giá trị nào của m thì

phương trình có 4 nghiệm phân biệt

trình đã cho tương đương với PT:

|x - 4x + 3| = log (m - m + 1) = a

2 2

Õ

Bài 13 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT(*) có nghiệm t

với |t| ≥ 2, điều này tương đương với đường thẳng y = m cắt đồ

t

Bài 4: Tìm m để phương trình có nghiệm.

Bài 5: Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất

Bài 6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình m(x2 +3x

+3) +x +1= 0

2

xb) 1- = cosx



  

