SKKN sử dụng đại số tổ hợp, đạo hàm, tích phân và số phức trong việc rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán về biể

Để đáp ứng được nhu cầu đó, đòi hỏi dạy học ở các trường phổ thông phải thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo “Phương pháp dạy học tích cực”, nhằm giúp HS phát huy

Mục lục

Trang

1 MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm……… 3

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 3

1.5 Những điểm mới của SKKN 3

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…… … 4

2.1 Một số vấn đề về lí thuyết 4

2.2 Kiến thức bổ sung 4

2.3 Các ví dụ minh họa 6

2.4 Kiểm nghiệm của đề tài 17

3 KẾTLUẬN, KIẾN NGHỊ 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 18

1 MỞ ĐẦU

Thế kỷ XXI mở ra nhiều thách thức và vận hội đối với đất nước Đại hội Đảng lần thứ VIII đã quyết định đẩy mạnh CNH, HĐH đất nước nhằm mục tiêu: Dân giàu nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh; đất nước vững bước

đi lên chủ nghĩa xã hội; “Giáo dục phải thực sự trở thành quốc sách hàng

đầu…” Cải tiến chất lượng dạy và học để hoàn thành tốt việc đào tạo bồi

dưỡng nguồn lực con người cho CNH, HĐH đất nước Để đáp ứng được nhu cầu đó, đòi hỏi dạy học ở các trường phổ thông phải thay đổi lối dạy học truyền

thụ một chiều sang dạy học theo “Phương pháp dạy học tích cực”, nhằm giúp

HS phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo, rèn luyện thói quen và

khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập, làm cho học là quá trình kiến tạo,học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác và xử lý thông tin, tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất Do vậy bộ SKG mới được ra đời để đáp ứng yêu cầu đó với chương trình được xây dựng và phát triển theo các quan điểm:

- Kế thừa và phát huy truyền thống dạy học môn toán ở Việt Nam, tiếp cận với trình độ giáo dục toán học phổ thông của các nước phát triển trong khu vực và thế giới

- Lựa chọn các kiến thức toán học cơ bản, cập nhật thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giản, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung giáo dục, thể hiện vai trò công cụ của môn toán

- Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán, gắn liền với thực tiễn

- Tạo điều kiện đẩy mạnh vận dụng các phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, sáng tạo Rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, phát triển năng lực trí tuệ chung

Do nhu cầu của người học và sự phát triển mạnh mẽ của giáo dục nước nhà, đòi hỏi mỗi giáo viên phải không ngừng nỗ lực tự học, tự nghiên cứu để nâng cao trình độ chuyên môn Nghiên cứu khoa học là một nhiệm vụ không thể thiếu của mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy Từ quá trình giảng dạy mỗi giáo viên đúc kết được những kinh nghiệm cho riêng mình, từ đó đề xuất phương pháp cải tiến để việc dạy – học thực sự có hiệu quả, đáp ứng được sự phát triển vượt bậc của đất nước trong công cuộc đổi mới nói chung và sự nghiệp giáo dục nói riêng

1.1 Lý do chọn đề tài

Kiến thức về Đại số - Tổ hợp trước đây theo chương trình SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 được các tác giả viết sách đặt ở chương cuối cùng của Giải tích

12 Tuy nhiên, theo SGK mới của Bộ GD ban hành từ năm học 2006 chương Đại số - Tổ hợp và Xác suất được đặt vào nửa cuối học kì I của lớp

2

11 Chính vì thế sự liên kết các dạng toán về biểu thức tổ hợp của chương Đại

số - Tổ hợp và Xác suất với chương Đạo hàm, chương Nguyên hàm – Tích phân

và số phức mà bản thân chỉ dùng kiến thức của một chương có thể không giải quyết được hoặc một bài toán có thể sử dụng các kiến thức ở các phần khác nhau cùng đưa ra kết quả bài toán mà lời giải đều có một vẻ đẹp khác nhau Trong Sáng kiến kinh nghiệm này tôi tập trung giải quyết một số dạng toán liên quan đến biểu thức tổ hợp mà ta sử dụng linh hoạt kiến thức về đại số Tổ hợp, Đạo hàm – Tích phân, Số phức sẽ giải quyết được chúng, tuy nhiên nếu tìm hiểu sâu hơn và vận dụng một số công thức về tổ hợp có thể giải quyết triệt để các bài toán này, bên cạnh đó tôi cũng tìm tòi và đưa ra các bài toán đặc thù mà thoạt nhìn, về mặt hình thức chúng ta thường liên tưởng đến việc vận dụng Đạo hàm, Tích phân để giải chúng Tuy nhiên ngay cả việc vận dụng kiến thức Đạo hàm và Nguyên hàm- Tích phân cũng không dễ để tìm ra lời giải hoặc không thể hoặc từ công thức tổ hợp và nhị thức Niu-tơn không thể giải quyết được nếu không có sự phối hợp kiến thức số phức

Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy, tôi xây dựng đề tài: “Sử dụng Đại số tổ

hợp, Đạo hàm, Tích phân và Số phức trong việc rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán về biểu thức tổ hợp”.

1.2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm.

Đề tài của tôi được trình bày nhằm mục đích:

- Cung cấp thêm một lời giải mới cho một lớp các bài toán, góp phần nâng cao khả năng tư duy lôgic cho học sinh

- Phục vụ cho việc nghiên cứu khoa học sư phạm của giáo viên bộ môn Toán.

- Phục vụ cho các kì thi: THPT Quốc gia

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu cách vận dụng các kiến thức

phổ thông để hình thành một số bài tập vận dụng cao về toán tính biểu thức tổ

hợp.

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích lớp 11,12

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Thông qua những bài tập cụ thể với cách tiếp cận khái niệm, cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh vận dụng được các kĩ năng đã có Các khái niệm và ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ đề thi đại học, các đề thi thử đại học, sách nâng cao và sáng tạo Trong các tiết học trên lớp tôi đã dạy bài trên để học sinh biết vận dụng linh hoạt các kiến thức có liên quan

1.5 Những điểm mới của SKKN

Trong Sáng kiến kinh nghiệm này tôi tập trung giải quyết một số dạng toán liên quan đến biểu thức tổ hợp mà ta sử dụng linh hoạt kiến thức

về đại số Tổ hợp, Đạo hàm – Tích phân, Số phức sẽ giải quyết được chúng, tuy nhiên nếu tìm hiểu sâu hơn và vận dụng một số công thức về tổ hợp có thể giải quyết triệt để các bài toán này, bên cạnh đó tôi cũng tìm tòi và đưa ra

các bài toán đặc thù mà thoạt nhìn, về mặt hình thức chúng ta thường liên tưởng đến việc vận dụng Đạo hàm, Tích phân để giải chúng Tuy nhiên ngay cả việc vận dụng kiến thức Đạo hàm và Nguyên hàm- Tích phân cũng không dễ để tìm

ra lời giải hoặc không thể hoặc từ công thức tổ hợp và nhị thức Niu-tơn không thể giải quyết được nếu không có sự phối hợp kiến thức số phức

2.NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Một số vấn đề về lý thuyết

Kiến thức cơ bản

*) Công thức nhị thức Niu-tơn

n b) n C n0 a n C n1 a n1b C n k a n k b k C n n b n C n k a n k b k

k 0

Chú ý:

a/ Trong công thức nhị thức Niu-tơn, thay a = b = 1, ta được:

n

k 0

b/ Trong công thức nhị thức Niu-tơn, thay a = 1, b =-1, ta được:

**) Tính chất của các số C n k

C n k C n n k ;

C n k C n k 1 C n k 1

***) Số phức : z = a+ bi, với a,b R,i2 1,

b i; với a ,a 2 ,b ,b R

z1 z2 a a

b1 b2

2.2 Kiến thức bổ sung

Định lí 1: Với k, n nguyên dương, k n, n 2 ta có công thức:

kC n k nC n k11 (1)

k!(n k)! (k 1)!((n 1) (k 1))!

Chú ý: Công thức (1) có thể viết ở dạng khác:

4

C k C k 1

n n 1 (2)

Định lý 2: Với k,n nguyên dương, k n, n 3 ta có công thức:

k(k 1)C n k n(n 1)C n k22 (3)

Chứng minh

k!(n k)! (k 2)![(n-2) - (k-2)!

Chú ý: Công thức (3) có thể viết ở dạng khác:

C n k C n k 22

(4)

n(n 1) k(k 1)

Định lí 3: Với k, n nguyên dương, k n, n 4 ta có công thức:

Chứng minh:

Ta có:

k(k 1)(k 2)C n k k(k 1)(k 2) n!

k!(n k)!

n(n 1)(n 2)(n 3)! n(n 1)(n 2)C k 3

Chú ý: Công thức (5) có thể viết ở dạng khác:

n(n 1)(n 2) k(k 1)(k 2)

Định lí 4: Với k, n là các số nguyên dương, ta có:

C k C k

1 C k

1 C k C k 1

1 (7)

Chứng minh

C k k 1 C k k11 C k 2

C k k 2 C k k 21 Ck 3

C k k 3 C k k 31 Ck 4

………

………

C k

1 C k 1

1 C k 1

C k C k 1

C k 1 1

Cộng vế với vế n đẳng thức trên, ta có:

C k C k

1 C k

1 C k C k 1

1

2.3 Các ví dụ minh họa

Bài 1 Tính giá trị biểu thức

C2019k

k 1 k!.(2019 k)! k 1 k!.(2019 k)! k 1

C2019k C2019k ( C2019k C20190 C20192019 ) (22019 2) 22018 1

2

Vậy A 2 2018 1

2019!

Bài 2 Tính các giá trị biểu thức sau

A 1 C20162 C20164 C20166 C20162014 C20162016

C C20162 C20166C201610 C20162010 C20162014

Giải

- Ta có (1 i)2016 ((1 i)2 ) 1008 (2i)1008 2 1008 (*) mà

2016

k0

2 1008

(1 1)2016 22016 C20160 C20161 C20162 C20163 C20162015 C20162016

- Ta có 0 (1 1)2016 C20160 C20161C20162 C20163 C20162015 C20162016

22016

C20160 C20162 C20164 C20162016 22015 (***)

2

2

6

Vậy A= 21008 ; B=0, C 2 2014 2 1007

Nhận xét :Việc tính các biểu thức tổ hợp trên ta không thể dùng trực tiếp công

thức nhị thức Niu- tơn để ra kết quả mà ta phải kết hợp với công thức tổ hợp, số phức mới tìm ra được kết quả của bài toán.

Bài 3 Tìm số nguyên dương n sao cho

C21 n1 2.2C22n1 3.22 C23n 1 4.23 C24n 1 (2n 1)22n C22n n112005

(Đề thi ĐH – CĐ khối A năm 2005)

Giải

Sử dụng công thức (2) khi thay n bởi 2n + 1 và k = 1,2,…, 2n + 1 ta có:

C21n1 (2n 1)C2

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta có:

VT (2n 1)(C20n 2C21n 22 C22n 23 C23n 2n C2 n )

Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta có thể giải bài toán như sau:

Sử dụng công thức khai triển Niu-tơn ta có:

f (x) (1 x)2n1 C20n 1 C21 n 1 x C22n 1 x2 C23n 1 x3 C22n n11 x2n1 Đạo hàm hai vế ta có:

f (x) (2n 1)(1 x)2n C21n1 2C22n 1 x 3C23n1 x2 (2n 1)C22n n 11 x 2n f ( 2) 2n 1

C21 n1 2.2C22n1 3.22 C23n1 4.23 C24n 1 (2n 1)22 n C22n n 11

Từ đó, ta có: 2n + 1 = 2005 n = 1002

Bài 4: Chứng minh rằng:

2.1C n2 3.2.C n3 4.3C n4 (n 1)nC n n n(n 1)2 n2 với n

nguyên dương, n 2.

Giải

Vận dụng công thức (2) ta có:

7

2.1C n2 n ( n 1)C n 2

n ( n 1)C n n ( n 1)C n 2

VT n ( n 1)[C0

n - 2 C n12 C n22 C n 2 ] = n (n - 1) 2n - 2

Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta có thể giải bài toán theo cách sau đây:

(1 x ) n C n0 C n1 x C n2 x 2 C n3 x 3 C n n x n

Đạo hàm đến cấp hai hai vế, ta có:

n (1 x ) n1 C n1 2C n2 x 3C n3 x 2 nC n x n1

n ( n 1)(1 x ) n2 2C n2 3.2C n3 x 4.3.C n4 x 2 n ( n 1)C n n x n 2 Cho x

= 1, ta có: n ( n 1)2 n 2 2.1C n2 3.2C n3 4.3C n4 n ( n 1)C n n

Bài 5: Tìm số n nguyên dương thỏa mãn đẳng thức:

12 C n122 C n232 C n3 n 2 C n n n ( n 1).262144

Giải

C n1 2C n2 3C n3 nC n n n (C n01C n1 1 C n21 C n n11 ) n2 n 1.

sử dụng kết quả bài 4, ta có:

2.1C n 3.2C n 4.3C n n ( n 1)C n n ( n 1)2 n2 Do vậy

VT n.2 n1 n ( n 1)2 n2 n.2 n2 (2 n 1) n ( n 1)2 n2

2n 2 262144 218 n 20

Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta có thể giải bài toán theo cách sau đây:

Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có:

f ( x ) (1 x ) n C n0 C n1 x C n2 x 2 C n3 x 3 C n n x n

Đạo hàm đến cấp hai hai vế, ta có:

f ' (x ) n (1 x ) n1 C n1 2C n2 x 3C n3 x 2 nC n x n1

f '' (x ) n ( n 1)(1 x ) n 2 2.1C n 3.2C n x 4.3C n x 2 n ( n 1)C n x n 2

f ' (1) n 2 n1 C n1 2C n2 3C n3 nC n n

f'' (1) n (1 1)2 n 2 2.1C n2 3.23

n n ( n 1)C n n

Xét tổng: f ' (1) f '' (1) n ( n 1)2 n2 12 C n1 22 C n2 32 C n3 n 2C n n Từ

Bài 6: Cho hàm số:

f ( x ) C 20181 x (1 x ) 2017 2C 20182 x 2 (1 x ) 2016 2018C 20182018 x2018

Giải

Áp dụng công thức (2) ta được:

C 20181 2018C20170

2C 20182 2018C20171

Do đó:

Vì vậy:

f ( x ) 2018x C 0 (1 x ) 2017 C 1

f

x (1 x ) 2016 C 2017 x2017 2017

Chú ý: Nếu sử dụng đạo hàm ta có thể giải bài toán theo cách sau đây:

Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có:

g ( t ) (xt 1 x)2018

C 20180 (1 x ) 2018 C20181 xt (1 x ) 2017 C20182 x 2 t 2 (1 x ) 2016 C 20182018 x 2018t2018

Đạo hàm hai vế ta có:

g ' (t ) 2018x ( xt 1 x ) 2017 C 20181 x (1 x ) 2017 2C 20182 x 2 t (1 x ) 2016

2018C 20182018 x 2018t 2017

g ' (1) 2018x C 20181 x (1 x ) 2017 2C 20182 x 2 (1 x ) 2016 2018C 20182018 x2018

Từ đó, ta có: f ( x ) 2018x f 2018 2.

Bài 7 : Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có đẳng thức:

n 1

Giải:

Vận dụng công thức (2) ta có:

9

C n C n11

n 1

1

C n C n21

n 1

2

C n C n31

n 1

3

C n n C n n11

n 1 n 1

Cộng vế với vế n + 1 đẳng thức trên ta được:

n 1

1 (C n01 C n1 1 C n21 C n31 C n n11 ) C n01

2 n 1 1

n 1

Chú ý: Nếu dùng kiến thức về Tích phân ta có thể giải quyết bài toán

theo hướng sau:

Sử dụng khai triển Niu –tơn ta có:

f ( x ) C n0 C n1 x C n1 x 2 C n n x n Từ đó, ta có được:

1 (1 x ) n dx 1 (C n0 C n1 x C n1 x C n2 x 2 C n n x n )dx

0

Bài 8: Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có:

C 0 1 C 1 1 C 2 1 C 3 ( 1)k C k ( 1) n C n 1 .

Giải:

Vận dụng công thức (2) ta có:

C n C n 1

n 1

1

C n C n21

n 1

2

C n C n31

( 1) k C n k ( 1)k C n k11

( 1) n C n n ( 1)n C n n11

Cộng vế với vế n + 1 đẳng thức trên ta có:

C 0 1 C 1 1C 2 1C3 ( 1)k C k ( 1)n C n

n 1

1 (C n01 C n11 C n11 ( 1)k 1 C n k 11 .( 1)n1 C n n11) C n01 1

Chú ý: Nếu sử dụng tích phân ta có thể giải bài toán theo cách sau đây

Sử dụng khai triển Niu-tơn ta có:

f ( x ) C n0 C n1 x C n2 x 2 ( 1)n C n n x n Vì vậy, ta có:

1 (1 x ) n dx 1(C n0 C n1 x C n2 x 2 ( 1)n C n n x ) dx.

Từ đây ta sẽ có điều phải chứng minh

Bài 9 : Chứng minh rằng với n là số nguyên dương, C n k là số các tổ hợp chập k

của n phần tử, ta có đẳng thức:

(Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007)

Giải:

Sử dụng kết quả của bài 7, bài 8 khi thay n bởi 2n, ta có:

11

C 0

1

C 1

1

C 2

1

C 3

2 2 n 1 1 .

C 0 1C 1 1C 2 1C 3 1 C 2 n 1

Trừ vế với vế các đẳng thức trên, ta có:

2 1 1 1 3 1 5 1 2 n 1 22n 1 2

C

2n

2

1 C 1 1 C 3 1C 5 1 C 2 n 1 22n 1

n

Chú ý: Nếu dùng kiến thức tích phân để giải thì ta có thể thực hiện theo các

bước sau:

- Trước hết tính các phân tích phân dạng:

1 (1 x ) 2 n dx 1(C 20n C 21 n x C 22n x 2 C 23n x 3 C 22n n1 x 2n1 C 22n n x 2n )dx

1 (1 x ) 2n dx 1 (C 20n C 21 n x C 22n x 2 C 23n x 3 C 22n n1 x 2n1 C 22n n x 2n )dx;

Trừ vế với vế các đẳng thức này, ta có điều phải chứng minh

Bài 10:Tính tổng: S C 0 2 2 1C 1 2 3 1C 2 2 n 1 1C n.

(Đề thi ĐH – CĐ khối B năm 2003)

Giải:

Ta có:

2n1 1 0 1 1 1 2

C

n 2 C n 2 C

n 2

Áp dụng (1) khi thay n bởi n + 1, ta có:

C 0 1 C1

n 1

n 1 n n 1 n 1

Từ đó ta có:

C n0 21 1

2C n 2 2 1 3C n 2 3 n 1

1C n 2n1 n 1

1(C n 1 2 1 C n 1 2 2 C n 1 2n1 )

(C

n 12

S2 n1 1 3 n1 1 3 n 1 2 n 1 .

n 1n 1n 1

Chú ý: Nếu sử dụng tích phân ta có thể giải bài toán theo cách sau đây:

2 (1 x ) n dx 2 (C n0 C n1 x C n1 x 2 C n n x n )dx.

Từ đây ta sẽ có điều phải chứng minh

Bài 11: Chứng minh rằng với n là số nguyên dương, C n k là số các tổ hợp chập

k của n phần tử, ta có đẳng thức:

C 0 1 C 2 1 C 4 1 C 2 n 22n

2 n 3 2 n

Giải:

Sử dụng kết quả của bài 7, bài 8 khi thay n bởi 2n, ta có các đẳng thức:

2 n

C 0 1 C 1 1 C2 1 C 3 1 C 2n1 1 C2 n 1

2

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:

2C

2 n

C 0 1 C2 1 C 4 1 C 2n 22n

Chú ý: Nếu dùng kiến thức tích phân để giải thì ta có thể thực hiện theo các

bước sau:

- Trước hết tính các tích phân dạng:

1 (1 x ) 2 n dx 1(C 20n C 21 n x C 22n x 2 C 23n x 3 C 22n n1 x 2n1 C 22n n x 2n )dx ;

13