SKKN sử dụng tính đồng bậc trong giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Để giúpcác em học sinh làm tốt về phần này, không còn ngại khi gặp những bài toán vềgiải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình như thế, trong bài viết này,dựa trên kinh nghiệm

MỤC LỤC

1.MỞ ĐẦU.……… 2

1.1 Lý do chọn đề tài ……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

2.NỘI DUNG ……… 3

2.1 Cơ sở lý luận……… 3

2.2 Thực trạng vấn đề……… 3

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện……… 3

2 4 Nội dung đề tài……… 4

2 4.1 Sử dụng tính đồng bậc trong giải phương trình……… 4

2.4.2 Sử dụng tính đồng bậc trong giải bất phương trình…… 11

2.4.3 Sử dụng tính đồng bậc trong giải hệ phương trình…… 17

2.4.4 Hiệu quả của đề tài……… 22

3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.……… 23

3.1 Kết luận……… 23

3.2 Kiến nghị……… 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO.

1 MỞ ĐẦU

1 1 Lý do chọn đề tài

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình là những nội dung cơbản của chương trình toán THPT và là một phần trong các nội dung của đề thivào Đại học, cao đẳng hằng năm trước đây cũng như thi THPT Quốc gia hiệnnay Chính vì vậy các bài toán về phần này rất đa dạng và phong phú Trong quátrình học, học sinh cũng đã được trang bị những phương pháp và kỹ năng để giảicác bài toán về phần này Tuy nhiên với thời lượng còn hạn chế, nên các emđang còn lúng túng khi gặp những bài toán có vẻ “lạ” cần phải tư duy Để giúpcác em học sinh làm tốt về phần này, không còn ngại khi gặp những bài toán vềgiải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình như thế, trong bài viết này,dựa trên kinh nghiệm giảng dạy và ôn luyện, tôi xin đưa ra một hướng để giảiquyết, đó là sử dụng tính đồng bậc để giải, mà cơ sở ở đây là việc đưa vềphương trình đẳng cấp đối với các ẩn Từ đó giúp học sinh có tư duy sáng tạo,không còn lúng túng khi vận dụng các kiến thức để giải các bài toán về giảiphương trình, bất phương trình, hệ phương trình Vì vậy tôi lựa chọn đề tài

nghiên cứu: “sử dụng tính đồng bậc trong giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Cho học sinh thấy việc vận dụng tính đồng bậc trong nhiều bài toán nó nhưmột chiếc chìa khóa để giúp chúng ta mở được “nút thắt” của bài toán, từ đó vậndụng các kiến thức toán học để giải quyết trọn vẹn bài toán Tất nhiên trong quátrình giải một bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta cònphải vận dụng các phương pháp khác nữa như: đặt ẩn phụ, nhân liên hợp,

phương pháp hàm số…,nhất là “sử dụng phương pháp hàm số trong giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình”, đây cũng là một

đề tài SKKN mà tác giả đã đạt giải cấp ngành Việc sử dụng tính đồng bậc củacác ẩn để giải toán, trong nhiều trường hợp, ta giải quyết được các bài toántưởng như khó, phức tạp

Tạo cho học sinh nâng cao khả năng tư duy, hứng thú, bồi dưỡng niềm đam

mê toán học cho các em học sinh

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh THPT ở các khối, lớp 10, 11,

12 được phân công giảng dạy, sau khi các em đã được học về phần hàm số,phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và các tính chất về đa thức.Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các bài toán về giải phương trình, bấtphương trình, hệ phương trình nằm trong chương trình toán phổ thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phối hợp các phương pháp trong đó chủ yếu là phương pháp:

Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết : Dựa trên cơ sở kiến

thức sách giáo khoa, đề thi kiểm tra kiến thức Đại học, Cao đẳng trước đây và

đề thi kiểm tra kiến thức THPT Quốc Gia hiện nay Tài liệu tham khảo có liên

quan đến đề tài, rèn luyện kĩ năng phân tích, nhận dạng và áp dụng lí thuyết vàobài toán cụ thể.

Phương pháp thực hành: Soạn và ra hệ thống bài tập theo chuyên đề,

tiến hành thực nghiệm tại lớp 12A3, 10A2 năm học 2016 - 2017 và lớp11A2,10A3 năm học 2017 - 2018

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lý luận.

Trong chương trình phổ thông, phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình là những nội dung cơ bản của toán học Việc rèn luyện cho học sinh vậndụng các phương pháp không những để giải các bài toán đó mà còn là công cụ

để các em tiếp thu và giải quyết những vấn đề toán học khác Trong bài viết nàytôi đưa ra việc sử dụng tính đồng bậc của các ẩn trong các bài toán về giảiphương trình, bất phương trình, hệ phương trình Thông qua đó nhằm giúp các

em nắm vững các kiến thức, đồng thời rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt cácphương pháp để giải các bài toán trong khuôn khổ chương trình

2.2 Thực trạng của vấn đề.

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy, khi giải các bài toán về phươngtrình, bất phương trình, hệ phương trình, học sinh thường không hay nghĩ đếnphương pháp sử dụng tính đồng bậc của các ẩn mà hay sử dụng phương phápkhác Điều này có lí do từ việc các em đã làm quen với những phép biến đổi ởlớp dưới Mặt khác trong chương trình phổ thông, phương pháp sử dụng tínhđồng bậc cũng được đề cập, song học sinh chưa nắm được một cách tự nhiên,xem qua rồi lại quên, chưa có tư duy, kỹ năng vận dụng linh hoạt vào các bàitoán khác Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa nắm vững các tính chất vềhàm số, về đa thức, về các biểu thức đồng bậc của các ẩn cũng như việc vậndụng tính chất đó trong giải toán, đồng thời các em chưa phân biệt được rõ ràngcác dạng bài tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải toán thích hợp, nhất làdạng toán liên quan đến tính đồng bậc của các ẩn

Chính vì những lí do trên, trong quá trình dạy học tôi đã cố gắng trìnhbày, phân dạng và hệ thống các bài tập về phần này để các em có kỹ năng có thểvận dụng một cách tự nhiên vào việc giải các bài toán

từ đó so sánh và rút ra kết luận

Các bài tập giải bằng phương pháp sử dụng tính đồng bậc của các ẩn trongnhiều trường hợp được giải quyết ngắn gọn, trong sáng, tự nhiên, tạo cho họcsinh hứng thú tự tin trong học tập

3

Các bài tập được đề cập bắt nguồn từ sách giáo khoa, sách bài tập, trong các

đề thi Đại học, Cao đẳng trước đây, đề thi học sinh giỏi tỉnh Các bài toán trongcác đề kiểm tra kiến thức THPT Quốc gia hiện nay được lựa chọn theo hướng

cơ bản, có những kiến thức, những nhận xét để khai thác, khắc sâu

2.4 Nội dung đề tài

“Sử dụng tính đồng bậc trong giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình”.

* Cơ sở lý thuyết Các vấn đề được nêu trong đề tài đều xét trên tập số thực.

+) Định nghĩa: - Đa thức bậc n ( n ), ẩn x là biểu thức dạng

- Nếu tổng các hệ số của x với số mũ chẵn( n 0, 2, 4 ) bằng tổng các hệ số

của x với số mũ lẻ( n 1, 3,5 ) thì P(x) có nghiệm x0 = -1

- Nếu P ( x ) an x n a n1x n1 a2x2 a1x1 a0 ( a i) có nghiệm x 0 thì P(x)

có sự phân tích P(x)= (x - x0 ).Q(x) Trong đó để tìm Q(x) ta có thể thực hiện phép chia đa thức P(x) cho (x - x0) hoặc tìm các hệ số của Q(x) bằng sử dụng sơ

đồ Hooc-nơ

+) Biểu thức đồng bậc n theo hai biến

- Cho hai biến thực x, y Biểu thức dạng

F( x; y ) a x n a n 1 x n1 y a x k .y n k a x 2 y n 2 a x 1 y n 1 a 0 y n ( a)

Gọi là đồng bậc n

- Chẳng hạn: F ( x; y ) 3 x2 2 xy 5y2 gọi là đồng bậc hai hai ẩn x và y.

F ( x; y ) x 3 2 x 2 y 5xy 2 y3 gọi là đồng bậc ba hai ẩn x và y.

+) Phương trình đồng bậc n theo hai biến x, y

Dạng a n x n a n1x n1 y a k x k.y n k

a1 x 1 y n1 a 0 y n 0 ( a n 0; a i)

Còn gọi là phương trình thuần nhất bậc n theo hai biến x, y hay phương trình đẳng cấp bậc n.

2.4.1 Sử dụng tính đồng bậc trong giải phương trình.

Ta thực hiện theo hai hướng sau

Hướng 1: - Chuyển phương trình về dạng thuần nhất bậc n theo hai biến x, y

a x n a n 1 x n1 y a x k y n k a x1 y n1 a y n 0 (1) ( a 0; a)

- Với y = 0 thay vào (1) xét trực tiếp.

- Với y 0 chia hai vế của phương trình (1) cho y n ta được phương trình

đa thức ẩn t = x y bậc n

trong đó A, B là các biểu thức chứa biến.

- Với B = 0 thay vào (1) xét trực tiếp.

- Với B 0 chia hai vế của phương trình (1) cho B n ta được phương trình

Bài toán 1: Giải phương trình: ( x 4) 2 6 x 3 3 x 13

Giải: Điều kiện: x3 3 x 0 x 0.

Phương trình tương tương với x 2 8 x 3 6 x 3 3 x 0

x +) Với t = 4 ta có x 3 4 x 8 61, x 8 61

x

Vậy phương trình có 4 nghiệm x 1, x 3 , x 8 61, x 8 61

Nhận xét: - Ở phương trình đã cho ta đã biến đổi về dạng thuần nhất bậc hai

đối với hai biểu thức chứa ẩn là x2 3 và x

- Đối với phương trình đồng bậc hai theo hai biến A, B là a2 A 2a1A.B a0 B2 0

ta có thể xét A 0 để chia hai vế cho A 2 hoặc xét B 0 rồi chia hai vế cho B2 , hoặc xét A.B 0 rồi chia hai vế cho A.B ta cũng đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Trang này bài toán 1, tác giả tham khảo từ TLTK số 2.

5

Bài toán 2: Giải phương trình: x 1 x 2 2x x2

Giải: Điều kiện: x 1

Phương trình tương tương với x 1 x 2(1 x ) x2 0 (2)

Do x = 0 không là nghiệm của phương trình (2) nên chia hai vế của (2) cho

Nhận xét: -.Ta đưa phương trình đã cho về dạng thuần nhất bậc hai đối với

hai biểu thức chứa ẩn là 1 x và x

Bài toán 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1)

(2

2 8 x ((2 x x 1) (1 m) x 2 0

Giải: Điều kiện: x 0

x = 0 không là nghiệm của phương trình với mọi m.

bảng biến thiên để phương trình t2 8t 1 m (3)có nghiệm t 3 m - 15

chứa ẩn là 2x x 1 và x.

- Khi giải bài toán có chứa tham số trên ta đã sử dụng đặc điểm của parabol Trang này bài toán 2, tác giả tham khảo từ TLTK số 2; bài toán 2 tham khảo từ TLTK số 1

Bài toán 4:

Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 4 nghiệm thực

m ( x 4) x 2 2 5 x 2 8 x 24 (1)

Giải: Điều kiện x.

Phương trình tương đương với m ( x 4) x 2

2 ( x 4) 2 4( x2 2) (2)

+) Có x = - 4 không là nghiệm của phương trình với mọi m.

+) Với x - 4, chia hai vế (2) cho ( x 4) x2 2 ta được

- Bảng biến thiên của g (t ) t 1, -1 < t 3

có 2 giá trị của x phân biệt.

Bài toán 4 tham khảo từ TLTK số 1

7

t (1;3)

Vậy để (3) có đúng 4 nghiệm x thì (4) có 2 nghiệm t phân biệt t (1;3)

Từ bảng biến thiên của g (t ) t 1

+) x = - 2 không là nghiệm của phương trình.

+) x > - 2, chia hai vế của (*) cho x + 2 ta được

- Ta cũng có thể giải cách khác, sau khi biến đổi về phương trình (*), đặt

u = x2 2x 4 , v = x 2 rồi phân tích thành nhân tử theo hai biến u, v.

Bài toán 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

4x 1 ,ngoài ra ta sử dụng bảng biến thiên của hàm bậc hai để tìm điều kiện của m.

Bài toán 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

2 x 3 (2 2m ) x 3 (m 1) x2 9

Giải: Điều kiện: x2 9 0 (x 3)(x 3) 0 x 3 hoăc x 3

Phương trình tương đương với

2

x 3 (2 2m ) x 3 (m 1) x 3 x 3 (1)

+) x = 3 không là nghiệm của phương trình (1)

+) x 3 chia hai vế của (1) cho x 3 ta có

9

Nhận xét: Nhận thấy phương trình đã cho là đồng bậc hai đối với x 1 và, x 1

ngoài ra ta sử dụng sử dụng công cụ đạo hàm và tính chất hàm số để giải quyết bài toán.

Bài toán 8:

Giải phương trình: 4 sin 3 x 2 cos 3 x 3sin x 0 (1)

Giải: 4sin 3 x 2 cos 3 x 3sin x 0

4sin 3 x 2 cos 3 x 3sin x (sin 2 x cos 2 x) 0

sin3 x sinx.cos2 x 2cos3 x 0 (2)

- Với cosx = 0 từ (2) có sinx = 0 vô nghiệm, vì sin 2 x cos2 x = 1 x

- Với cosx 0, chia hai vế của (2) cho cos3 x ta được

a sin 2 x b cos 2 x c sin x cos x 0

a.sin 3 x b sin 2 x cos x c sin x cos 2 x d cos 3 x 0

+) Cách giải: - Nhận xét : cosx = 0 có là nghiệm hay không Nếu

là nghiệm , giải viết nghiệm

- Khi cosx 0 Ta chia hai vế của phương trình cho cosx (với lũy thừa bạc cao nhất).Chuyển phương trình đã cho thành phương trình

chứa một hàm số lượng giác tanx Sau đó đặt t=tanx

- Phương trình đã cho trở thành dạng f(t) = 0 ( Bậc hai , bậc ba đối với

t)

2 x b cos2 x c sin x cos x d 0

a.sin 3 x b sin2 x cos x c sin x cos2 x d cos3 x e sin x f cos x 0 chuyển về đồng bậc hai hoặc bậc ba đối với sinx và cosx bằng cách biến đổi

a sin2 x b cos2 x c sin x cos x d (sin2 x cos2 x) 0

a.sin3 x b sin2 x cos x c sin x cos2 x d cos3 x e sin x (sin2 x cos2 x ) f cos x (sin2 x cos2 x) 0 (a d )sin2 x (b d )cos2 x c sin x cos x 0

(a+e)sin3 x (b f )sin2 x cos x (c e )sin x cos2 x (d f )cos3 x 0

10

Trang này bài toán 8, tác giả tham khảo từ TLTK số 1

8) sin 3 x 3cos 3 x s inxcos 2 x 3 sin 2 x cos x

9) cos 3 x 4sin 3 x 3cos x sin 2 x s inx=0

10) sin( 4 3

2x ) 3sin( 4 2x) 11) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x 2 24 x 2 2x m x 0 12)Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m ( x 2 24 x 2 4) x 2 2 4 x2 4

13)Tìm m để phương trình x2 m ( x 1) 6x x 1

có bốn nghiệm thực phân biệt

14) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

trong đó A, B là các biểu thức chứa biến.

- Với B = 0 thay vào (1) xét trực tiếp.

- Với B > 0 hoặc B < 0 chia hai vế của phương trình (1) cho B n , chẳng

hạn B > 0 ta được bất phương trình đa thức ẩn t = B A bậc n.

Nhận xét: - Ta cũng có thể xét A = 0, A <0, A > 0 rồi chia hai vế của (1) cho A n

ta được bất phương trình đa thức bậc n ẩn t = B A

- Trong các bài toán thường ta hay gặp đưa về bất phương trình bậc hai hoặc bậc ba.

Bài toán 1 : Giải bất phương trình: 3 x 3 1 2 x 2 3 x 1

Giải: Điều kiện: x 1 Bất phương trình tương đương với

Nhận xét: - Nếu sử dụng phương pháp khác thì sẽ thấy khó khăn Ở đây ta làm

Giải: Bất phương trình tương đương với

9.32(2 x x 2 ) 34.32 x x 2.5 2 x x 2 25.5 2(2 x x2 ) 0 , chia hai vế cho 52(2 x x2) 0

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình S = ( ;1 3) (0;2) (1 3; )

Trang này: bài toán 2, tác giả tham khảo từ TLTK số 3

12

Nhận xét: Dựa vào đặc điểm bài toán, ta biến đổi bất phương trình về dạng

thuần nhất bậc hai đối

với

Bài toán 4:

4 2x 3; 4 x 2

Giải bất phương trình: x 3 (3x 2 4x 4) x 1 0

Giải: Tập xác định của bất phương trình D = [ 1; )

Bất phương trình tương đương với

+) y = 0 x = -1 thay vào (1) thõa mãn Vậy x = -1 là một nghiệm +)

y > 0 x > -1 chia hai vế của (2) cho y3

Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình (**) thõa mãn với mọi t 1 Xét hàm số f(t) = t 2 2t 1 , t 1 , ta có f’(t) = 2t (t 1)(t 2) , t 1

(2t 1)2

2t 1 f’(t) = 0 t 0 , do t 1 Ta có bảng biến thiên của f(t)

Nhận xét: Để giải trực tiếp bài toán thì ngoài việc sử dụng tính đồng bậc của

các biểu thức chứa ẩn ta còn sử dụng công cụ đạo hàm và tính biến thiên của hàm số Điều này đòi hỏi khả năng vận dụng linh hoạt các kiến thức của học sinh.

Bài toán 7:

Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực

3mx 2 0 x

( Kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh 2012 – 2013)

Từ bất phương trình (2), chia hai vế cho 22 x> 0

Với x (0;4] , (1) có nghiệm thõa mãn x (0;4]

Kết luận: hệ có nghiệm khi m 3.

Nhận xét: - Để giải bài toán trên, trước tiên ta phải giải bất phương trình đồng

bậc (2), từ đó kết hợp phương pháp hàm số để giải quyết bài toán.

*.Các bài tập vận dụng

Giải các bất phương trình sau

1) 2x 2

5x 1 7 x3 12) x 2 8x 3 6 x 3 3x

3) 2x 2

4 5 x3 14) 2(x 2 3x 2) 3 x3 8

2.4.3 Sử dụng tính đồng bậc trong giải hệ phương

trình Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước sau:

- Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức có trong hệ

- Từ hệ phương trình, rút ra một phương trình đồng bậc của các ẩn hoặc cácbiểu thức chứa ẩn

- Từ phương trình đồng bậc rút ra hệ thức đơn giản giữa các ẩn

- Sử dụng kết quả nhận được và kết hợp các phương pháp giải khác để giải

hệ phương trình

Bài toán 1: Giải hệ phương trình:

Giải: Điều kiện: x y 0

- Từ phương trình (1) nếu y = 0 x = 0 thay vào (2) không thõa mãn

- Với y 0 chia hai vế của (1) cho y3 ta được

Vây hệ có hai nghiệm (x; y) = (2; 2) và (x; y) = ( 32 8 15 ; 8 2 15 ).

Nhận xét: Ta nhận thấy ngay phương trình đầu là đồng bậc ba đối với x và y,

từ đó ta đưa về phương trình bậc ba một ẩn để tìm mối liên hệ đơn giản giữa x