SKKN sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán vận dụng và vận dụng cao về phương trình, bất phương trình mũ và

Từ kỳ thiTHPT Quốc gia năm 2017 đến nay có sự đổi mới về phương pháp thi đối với các môn đặcbiệt là môn toán từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm nên việc giảng dạy củagiáo vi

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Là CBQL ở một trường THPT miền núi cao, tôi nhận thấy học sinh có rất nhiềuthiệt thòi về mọi mặt trong đó có việc học tập và tiếp thu kiến thức Là một giáo viên dạyToán tôi càng thấu hiểu sự khó khăn trong quá trình học tập bộ môn Toán của học sinhtrong nhà trường Tôi biết:

Quá trình dạy học là một quá trình truyền thụ kiến thức cho học sinh Muốn quátrình đạt kết quả cao ta phải kiểm tra, đánh giá sự nhận thức của học sinh nhằm phân loạihọc sinh một cách tốt nhất Từ đó rút ra kinh nghiệm, điều chỉnh phương thức dạy họcđúng, phù hợp với sự tiếp thu, lĩnh hội kiến thức của học sinh Do đó quá trình kiểm trađánh giá sự tiếp thu kiến thức của học sinh là một khâu vô cùng quan trọng, nó chẳngnhững là khâu cuối cùng đánh giá độ tin cậy cao về sản phẩm đào tạo mà nó còn có tácdụng điều tiết trở lại hết sức mạnh mẽ đối với quá trình đào tạo

Có nhiều cách để kiểm tra, đánh giá học sinh Trong đó, trắc nghiệm là phươngpháp có thể đánh giá được năng lực của học sinh một cách nhanh nhất và thời gian chấmbài nhanh, khách quan nhất Sự kết hợp giữa phương pháp trắc nghiệm và phương pháp tựluận lại càng đạt được kết quả và độ tin cậy cao hơn

Hiện nay phương pháp dạy và học, cơ cấu và quy trình tổ chức đều có những thay đổi vềbản chất Người dạy trở thành chuyên gia hướng dẫn, giúp đỡ người học Người họchướng tới việc học tập chủ động, biết tự thích nghi Môi trường hợp tác tư vấn, đối thoạitrở nên quan trọng Kiến thức được truyền thụ một cách tích cực bởi cá nhân người học.Toán học là môn học có nhiều điều kiện thuận lợi để thực hiện các phương pháp dạy mớinày Để phù hợp với phương pháp dạy học mới người giáo viên cũng cần đổi mới phươngpháp kiểm tra đánh giá việc nhận thức của học sinh Trong quá trình giảng dạy môn Toán

12 tôi nhận thấy môn học có nhiều điều kiện thuận lợi cho việc sử dụng hình thức kiểmtra trắc nghiệm

Trước đây các bài thi và kiểm tra phương trình bất phương trình mũ và logarit luônbằng phương pháp tự luận và sách giáo khoa cũng viết theo định hướng tự luận Từ kỳ thiTHPT Quốc gia năm 2017 đến nay có sự đổi mới về phương pháp thi đối với các môn đặcbiệt là môn toán từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm nên việc giảng dạy củagiáo viên và việc học của học sinh gặp nhiều bỡ ngỡ và khó nắm bắt, nếu chỉ áp dụngcách giải tự luận đôi khi làm bài trắc nghiệm sẽ khó khăn đặc biệt là rất tốn thời gian Do

đó trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu và học hỏi, tôi mạnh dạn hệ thống và đưa ra: “Sửdụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán vận dụng cao về phương trình, bấtphương trình mũ và logarit trong các đề thi THPTQG đồng thời lồng ghép tích hợp tronggiải phương trình Mũ và Lôgarit’’ như sau Nhằm trang bị thêm cho học sinh một công cụhữu ích trong việc giải phương trình mũ và logarit chuẩn bị cho khì thi THPT quốc gianăm 2019

Trong quá trình viết sáng kiến không thể tránh khỏi các thiếu sót, rất mong cácThầy, Cô đóng góp ý kiến để tài liệu được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm giúp bản thân nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, giúp đồng nghiệp có thêmtài liệu tham khảo và giúp các em học sinh có thêm phương pháp giải toán dễ hiểu và hiệuquả

1

Nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh nhữngnăng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp giải phương trình, bất phươngtrình

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong sách giáo khoa, các đề thi thử THPTQG và các đề thi THPTQG

Trình bày một số kết quả nghiên cứu ban đầu để từ đó thấy rõ được vai trò của phương pháp giải mới Góp phần quan trọng giúp học sinh nâng cao năng lực giải toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, quan sát, tổng kết kinh nghiệm

- Khai thác tiềm năng dạy và học toán từ đó bồi dưỡng năng lực học toán cho các

em học sinh

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tếdạy học phần phương trình, bất phương trình Mũ và Lôgarit ở trường THPT ThườngXuân 3 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng phương pháp này trong việcnâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giảitích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, tài liệuphân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết mộtvấn đề là vô cùng quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp cácbài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho họcsinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang

bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lựccho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên

Trong sách Giải tích lớp 12 đã đưa ra một số phương pháp giải phương trình, bấtphương trình Mũ và Loogarit nhưng chưa giải quyết được những bài toán khó Vì vậy, tôinhận thấy mình cần bổ sung và khắc sâu thêm phương pháp giải phương trình, bấtphương trình Mũ và Loogarit bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số, giúp học sinh

dễ dàng giải quyết dạng toán này

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2

Trong quỏ trỡnh giảng dạy phần phương trỡnh, bất phương trỡnh mũ và logarit, tụithấy cỏc em rất bỡ ngỡ và khụng biết định hướng với việc làm bài kiểm tra trắc nghiệmphần vận dụng cao do thường là kỹ năng làm trắc nghiệm kộm dẫn đến dễ nhầm lẫn vàkhụng kịp thời gian làm hết bài Đề tài được viết từ thỏng 9/2018 đến thỏng 3/2019 nhằmgiỳp cỏc em học sinh khỏ giỏi lớp 12 cú thờm phương phỏp giải toỏn hiệu quả.

Trường THPT Thường Xuõn 3 là một trường nằm ở khu vực năm xuõn của huyện,

cú 5 xó đặc biệt khú khăn thuộc vựng V135, cú nhiều học sinh là con em dõn tộc thiểu sốnờn điểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế cũn khú khăn, đường

đi học cũn xa và khú đi nờn ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của cỏc em

2.3 Cỏc nội dung đó sử dụng để giải quyết vấn đề

A ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIấN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRèNH, BẤT PHƯƠNG TRèNH MŨ VÀ LOGARIT

I CƠ SỞ Lí THUYẾT:

1. Hàm số y=f(x) đồng biến trờn (a;b)x1 x2 ( a; b) Ta cú: f ( x1 ) f ( x2 )

2. Hàm số y=f(x) nghịch biến trờn (a;b)x1 x2 ( a; b) Ta cú: f ( x1 ) f ( x2 )

3. Hàm số y=f(x) liờn tục trờn đoạn a;b và đồng biến trờn khoảng (a;b) thỡ hàm số đồng biến trờn đoạn a;b

4. Hàm số y=f(x) liờn tục trờn đoạn a;b và nghịch biến trờn khoảng (a;b) thỡ hàm sốnghịch biến trờn đoạn a;b

5.Điều kiện cần và đủ đề hàm số y=f(x) đồng biến trờn (a;b) là:

f '( x ) 0; x ( a; b) Trong đú f’(x)=0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm ( a : b)

6.Điều kiện cần và đủ đề hàm số y=f(x) nghịch biến trờn (a;b) là:

f '( x ) 0; x ( a; b) Trong đú f’(x)=0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm ( a : b)

7.Nếu hàm số y=f(x) đồng biến trờn a;b thỡ Min f ( x ) f ( a ); Max f ( x ) f (b)

6.Nếu hàm số y=f(x) nghịch biến trờn a;b Min f ( x ) f (b ); Max f ( x ) f ( a)

thỡ x a;b a ; b

II- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP:

Xột bài toỏn liờn quan phương trỡnh, bất phương trỡnh mũ và logarit

Để vận dụng tớnh đơn điệu của hàm số trong giải phương trỡnh, bất phương trỡnh mũ

và logarit , ta cú một số hướng biến đổi (tương ứng với 2 dạng thụng dụng) sau đõy:

Dạng 1: Dạng F ( x) 0, vớ i F ( x) hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên D.

Chỉ rừ hàm số y F ( x) đồng biến hay nghịch biến trờn D.

x x0

Dạng 2: Dạng ph ơng trình F (u) F (v) (*), vớ i F ( x) hoặc đồng biến,

hoặc nghịch biến trên a; b Lúc đó, (*) có nghiệm duy nhất u v

Bước 2: Xột hàm số: y F (t).

3

Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên a; b

Lưu ý: Đối với bất phương trình, hệ phương trình, tư duy vận dụng tính đơn điệu hoàn

toàn tương tự như trên

III- MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 1: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018)

Bài 2: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018)

Số nghiệm của phương trình x2x ln x2 2

2018 là2

Ta có bảng biến thiên:

4

Nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình x22 x ln x2 2 2018 có 4 nghiệm.

Bài 3: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018)

Số nghiệm thực của phương trình 2018 x 1 1 2018 là

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên;1

Tương tự, trên 1; 2018 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Trên 2018;phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm thực

Bài 4: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Phương trinh

2 log 3 cot x log 2 cos x co bao nhiêu nghiêm trong khoang 0; 2018

A. 201

5

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất t 1 1 605

3

k

1

k.2 x 0; 2018 6 6 .log 2 cos x 1 cos

Bài 5: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018)

Phương trình 2017 sin x 2 cos x có bao nhiêu nghiệm thực trong đoạn

* .Điều kiện 2 cos 2x 0 1 sin 2 x

0

1 .Phương trình 2017 sinx sin x 1 sin2

Do đó trên 1;1 , phương trình f t 0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có 2023 nghiệm thực trong đoạn 5 ; 2017

Bài 6: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018)

Số nghiệm của phương trình sin 2x cosx 1

1 log 2 sin x log 2 cos x

log 2 cos x cos x log 2 sin

Do đó, hàm số f t đồng biến trên khoảng 0;1

Từ phương trình * , ta có f cosx f sin 2 x cos x sin 2x

sin x 21 hay x 6

Bài 7: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018)

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn

7

Từ bảng biến thiên ta thấy Tmin 3 2 3 tại x 2 3 .

Bài 8: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Số nghiệm của

Từ đó suy ra * * vô nghiệm

Như vậy, phương trình đã cho tương đương với

Bài 9: (THPT Ngô Quyền Hải Phòng 2019 lần 1)

8

f tt log t f t 1 1 0 t 0

9

Vậy hàm số đồng biến

x 3 5trở thành f 2x 1 f 2 x2 x 1

4

Bài 11: (Chuyên Thái Bình 2019 lần 2)

Cho phương trình: 2x 3 x2 2x m 2 x2 x x 3 3 x m 0 Tập các giá trị m để phươngtrình có 3

nghiệm phân biệt có dạng a;b Tổng a 2b bằng:

Lời giải Đáp án D.

b 2

Bài 12: (THPT Tuyên Quang 2019 lần 1): Giả sử a, b là các số thực sao cho

x 3 y 3 a 103z

b.102z

đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa mãn logx y z và

log x 2 y 2z 1 Giá trị của a b bằng

Lời giải Đáp án D.

Ta có: log x y z x y 10z

10

3 (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018)

11

Cho phương trình 1 x 2 x 3 log 2 2 x

4 (THPT Nguyễn Trãi-Đà Nẵng-lần 1 năm 2017-2018)

1 c x

6 (Chuyên Thái Nguyên 2019

Xét các số thực dương x,y thỏa mãn log

B ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM ĐIỀU KIỆN CÓ

NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

I C Ơ SỞ LÝ THUYẾT : (Như phần A)

II- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP:

1 Số nghiệm của phương trình f (x) m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f (x) và đường thẳng y m

2 Khi gặp phương trình tham số dạng g(x; m) 0 vớ x D và m là tham số ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Cô lập m: g(x; m) 0 f(x) h(m)

Bước 2: Khảo sat hàm số trên miền D, dựa vafd bảng biến thiên rồi kết luận (Nếu không được hoặc quá phức tạp ta chuyển sang bước 3)

Bước 3: Biểu diễn f(x ) P (u ( x)) , đặt t u ( x) tìm miền giá trịD'của t khix D

Bước 4: Phương trình f(x)h(m) đưa về dạng P (t)h(m) với t D ' Tiếp tục thực hiện như bước 2

Lưu ý:

1 Đối với bất phương trình, hệ phương trình, tư duy vận dụng tính đơn điệu hoàn

toàn tương tự như trên

2 Cho hàm số y f (x) xác định và liên tục trên tập D Khi đó:

12

a, Phương trình f (x) m có nghiệm x D min

xD f(x)

b, Bất phương trình f (x) m có nghiệm x Dmin

c, Bất phương trình f (x) m có nghiệm x Dm maxxDf(x)

d, Hàm số y f (x) đơn điệu trên tập D thì f(x) = f(y) x = y

III- MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA:

Câu 1: (Chuyên Thái Nguyên 2019)

Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x m 2 x 2 m 1 0 cónghiệm Tập \S có bao nhiêu giá trị nguyên?

Lời giải Đáp án C.

Đặt t 2 x 0 , khi đó phương trình trở thành:

t 2 mt 2 m 1 0 t 2 1 m t 2

Chia cả 2 vế của phương trình cho t 2 , ta được m t2

1

f tt

t 2

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y

m song song với trục hoành.

Câu 3: (Hội 8 trường chuyên Đồng Bằng Sông Hồng-Lần 1]

Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 2019; 2 để phương trình

14

Lời giải Đáp án A.

Dễ thấy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x0 1

m 2 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực

x2 1;

với mọi m 2

Vậy với mọi giá trị nguyên của m thuộc đoạn 2019; 2 thì phương trình đã cho luôn có hai

nghiệm thực phân biệt, tức là có 2022 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: (Yên Phong Bắc Ninh lần 1) Biết a ; b là tập tất cả các giá trị của tham số m để

A a b 4. B a b 2. C a b 0. D a b 6.

Đáp án D.

1 5

Bất phương trình đã cho tương log 4 x 2 2 x m 4 log 4 x 22 x m 5

Đặt t log4 x 2 2 x m , t 0.

Bất phương trình trở thành tt2 4

1 6

16

Câu 6: (Chuyên Bắc Giang lần 1) Có bao nhiêu số tự nhiênmđể phương trình sau cónghiệm: e m e3m 2

1

3 t *

2 Xét hàm số 3 ta có 2 Hàm số đồng biến trên

Câu 1 (THPT Thăng Long Hà Nội lần 1) Gọi a;b là tập các giá trị của tham số m

để phương trình 2e2 x8e x m0 có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 0; ln 5 Tổng a b

là

Câu2: (Chuyên Bắc Giang 2019 lần 1) Tất cả các giá trị của tham sốmđể bấtphương trình 10 1 x m 10 1

x 3x 1 nghiệm đúng với mọi xlà

A. m 7 B m 9 C. m 2. D. m 1

1

17

Câu3: (THPT Chuyên Bắc Giang lần 1) Tìm tất cả các giá trị của tham số mđểphương trình 9.9x2 2x 2m

Câu5: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018)

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2 x 1 2 log 2 x 2 2

x 3

4 x

m log 2 2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

Đánh giá:

a Giải pháp cũ thường làm:

- Chi tiết giải pháp cũ: dạy học dạy và làm bài theo hướng tự luận

- Ưu điểm, nhược điểm và những tồn tại cần khắc phục: Học sinh nắm kiến thứcbài bản cách trình bày hợp lý nhưng rất tốn thời gian và không phù hợp với việc thi trắcnghiệm hiện nay

b Giải pháp mới cải tiến:

- Mô tả bản chất của giải pháp mới: Định hướng học sinh cách tiếp cập và tư duy nhanh nhạy để giải nhanh bài toán vận dụng cao cho thi trắc nghiệm

18

- Tính mới, tính sáng tạo của giải pháp: Học sinh hiểu các cách làm nhanh hiểu rộng hơn về kiến thức phù hợp cho thi trắc nghiệm hiện nay.

- Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh trong nhóm đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có kết quả cụ thể

Từ những kết quả trên tôi mạnh dạn khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra làhoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học

2.4.2 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng nghiệp

và nhà trường

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã góp phần nâng cao chất lượnggiảng dạy phần về phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit của bản thân, góp phầnvào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán của nhà trường

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Như vậy khi gặp các bài toán về phương trình, bất phương trình mũ và logarit dạng trắcnghiệm Các em có thể tiến hành theo các bước như đã trình bày Phương pháp giải có thể ápdụng cho các em học sinh khá và giỏi đã học hết học kỳ I lớp 12 và các em học sinh ôn thiTHPTG

Trên đây là phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán vậndụng cao về phương trình, bất phương trình mũ trong các đề thi thử THPTQG và định hướng giải

đề thi THPT Quốc gia năm 2019 và các năm sau Tuy nhiên trong quá trình thực hiện không thểtránh khỏi thiếu sót Kính mong sự giúp đỡ và góp ý của các đồng nghiệp

Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡ đồngnghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoàn thành và đạtđược những kết quả chính sau đây:

+ Đề tài đã nêu lên thực trạng của việc dạy và học chủ đề “giải một số bài toán vậndụng cao về phương trình, bất phương trình mũ” hiện nay

+ Đề tài đã đưa ra giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng nghiệm củaphương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cho các bài toán khó mà đòi hỏi phải giảiquyết trong thời gian ngắn

+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp

19