SKKN rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình qua việc giải hệ phương trình bằng nhiều cách

Trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào THPT chuyên đều có bài toán vềgiải hệ phương trình phi tuyến tính.. Với mongmuốn giúp các em học sinh làm quen, có thêm phương pháp và biết cách x

MỤC LỤC

3.1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và đưa về Trang 4

3.4 Giải hệ hai phương trinh có ba ẩn Trang 11

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Trang 16

I MỞ ĐẦU

1

1 Lí do chọn đề tài.

Hệ phương trình nói chung và hệ phương trình phi tuyến tính nói riêng làmột trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình toán cấpTHCS Trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào THPT chuyên đều có bài toán vềgiải hệ phương trình phi tuyến tính Khi tiếp xúc với dạng toán này học sinhthường thấy khó khăn lúng túng vì nó vừa mới lại rất đa dạng phong phú lại đòihỏi nhiều kĩ năng của người học Hơn nữa trong các tài liệu cấp THCS ít trìnhbày về phương pháp giải các loại hệ phương trình này theo hệ thống Với mongmuốn giúp các em học sinh làm quen, có thêm phương pháp và biết cách xemxét, khai thác bài toán theo nhiều hướng khác nhau từ đó hình thành kĩ năng vàthêm hứng thú, tự tin khi giải dạng toán trên Chính vì những lí do trên nên tôichọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình phi tuyến thông qua khaithác một số bài toán thi học sinh giỏi”

2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu nhằ nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ sưphạm của bản thân, để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và tham gia nghiêncứu khoa học Giúp học sinh hiểu sâu và có hệ thống về chuyên đề hệ phươngtrình phi tuyến, đồng thời cũng tập cho học sinh thói quen khai thác và nghiêncứu lời giải sau khi giải xong một bài tập

3 Đối tượng nghiên cứu.

Hệ phương trình phi tuyến tính và học sinh khá giỏi lớp 9 ở huyện CẩmThủy

4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp thực

nghiệm khoa học Phương pháp phân tích tổng

kết kinh nghiệm Phương pháp phân loại và hệ

thống hóa lí thuyết

5 Những điểm mới của SKKN

Trong sáng kiến kinh nghiệm này có những điểm mới là: Một số bài tậpđược xem xét dưới nhiều góc cạnh, liên hệ và vận dụng lời giải để giải một sốbài toán tương tự, phân loại và hệ thống theo một trật tự lô gic một số dạng hệphương trình để học sinh dễ nhớ, đẽ hiểu Việc hướng dẫn học sinh biết thêmcác phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến thông qua những bài toán thihọc sinh giỏi mà các em đang có nhu cầu muốn tìm hiểu giúp học sinh hứng thúhơn trong học tập

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận.

1.1 Về phương pháp chung.

Trong phương pháp dạy học toán, thì việc khai thác và tổng quát hóa bàitoán là bước thư tư trong quá trình giải toán là việc cần thiết mà mỗi giáo viêncần phải thực hiện để giúp học sinh hiểu sâu và có cái nhìn đa chiều về vấn đềđược học

2

Việc hướng dẫn học sinh áp dụng và khai thác các bài toán nhằm vậndụng một cách linh hoạt những gì các em được học là một trong những côngviệc của người dạy toán cần thực hiện.

Mặt khác, việc khai thác các bài toán dạng này theo nhiều hướng khácnhau hầu như không được trình bày trong các tài liệu cụ thể nào, đòi hỏi ngườidạy phải định hướng để các em biết cách khai thác vận dụng linh hoạt nhữngphương pháp được học

Hơn nưa hiện nay thói quen khai thác, phân tích xem xét lời giải bài toánsau khi giải xong một bài tập nào đó của đa số học sinh thường ít được các emchú trọng Chính vì vậy giáo viên khi giảng dạy cần khơi dậy long say mê vàdần hình thành thói quen nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải,nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề sau khigiải xong một bài toán

( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015)

Cách giải 1: Dùng phương pháp thế một số bằng một biểu thức.

Với x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình.

Nhận thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại

Với x = y = 0 là một nghiệm của hệ phương trình

Nhận thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại

Xét x 0 ; y 0 hệ phương trình tương đương với:

4

3.1.1 Bài tập áp dụng bài toán 1:

Với cách giải 1 ta có thể thay thế một số bằng một biểu thức, học sinh

có thể vận dụng giải bài tập sau:

Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau:

Hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = ( 2:-1); (-2;1)

Để học sinh năm vững hơn về phương pháp thế giáo viên có thể hướng dẫn học sinh thêm dạng thế một ẩn hoặc thế một biểu thức Sau đây là một vài

ví dụ:

Bài tập 2:

x2 xy y2 1Giải hệ phương trình sau: ( x2 1)(x y 2) y 0

( Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Tỉnh Thái Bình năm học 2013-2014)

5

Từ phương trình đầu suy ra: x2+1= y(x-y) thay vào phương trình thứ hai ta

Với cách giải 2 biến đổi để xuất hiện tích và tổng của hai biểu thức

rồi dặt ẩn phụ học sinh có thể vận dụng giải các bài tập sau:

Bài tập 4: Giải hệ phương trình sau:

( xy 2 y2 )( x 2) 6 (1

x(y 1) 1 (2 )

)

( Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn, năm học 2014-2015)

Nhận xét: Ở phương trình (1) đã xuất hiện tích hai biểu thức, học sinh

có thể phân tích phương trình (2) về dạng tổng của hai biểu thức trên.

*Với x = 0 thay vào (2) ta được: y 2

* Với 7x-4y = 0 thay vào (2) ta được 4931 y2 4

Phương trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm

*Với 3x+y =0 thay vào (2) được y2 =9

giải được bài toán sau:

3.2.2 Bài tập áp dụng bài toán 2:

Bài tập 5: Gải hệ phương trình sau:

Nhân cả hai vế phương trình (2) với 2 rồi cộng theo từng vế hai phương

Cộng từng vế hai phương trình ta thu được:

(u v)2 2(u v) 48 0 u v 6 hoặc u+v = -8

3.3.2 Bài tập áp dụng bài toán 3:

Bài tập 6: Gải hệ phương trình sau:

Với 2x+3y =5 ta được hệ 2 x 3 y 5

Vậy nghiệm của hệ là: (1;1); ( 7 ; 17);( 1; 1);( 7; 17 ).

Cách 3: Đưa về phương trình đồng bậc giải để tìm x theo y.

- Dễ thấy y 0 và đặt x = ky ta thu được:

11

Suy ra a, b là hai nghiệm của phương trình ẩn t: t2 (2 c) t 4c2

3.4.2 Bài tập áp dụng bài toán 4.

Với hệ hai phương trình và ba ẩn giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử dụng các phương pháp như đưa về dạng toàn phương, sử dụng bất đẳng thức,

sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai hoặc sử dụng phương pháp đánh giá để giải Sau đây là một số bài tập áp dụng.

Từ (3) và (4) suy ra: y 1 Thay vào (1) ta có: x2 2 x 1 0 x 1

Thử lại thấy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = 1; y = -1

Bài tập 9: Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn:

x 2 y 2 4 z 5 2xy

x 4 y 4 9 z 5 4 z 2 2x 2 y2

Ta biến đổi hệ đã cho về dạng : x 2 y 2 2 xy 4 z 5

Ta thấy x= 2 , y = 2 cũng thỏa mãn phương trình (1)

Vậy hệ phương trình có nghiệ duy nhất là (2;2)

Dấu = xảy ra khi 9 x 9 y 9 z x y z

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x ;y ;z) là (5 ;5 ;5)

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

13

Sáng kiến kinh nghiệm trên chủ yếu được áp dụng cho học sinh khá giỏitrong việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và thi vào lớp 10 THPT chuyên Saukhi áp dụng đề tài này tôi nhận thấy rằng học sinh rất tự tin và hứng thú khi làmcác bài tập giải hệ phương trình phi tuyến.

Trong các năm học 2013-2014 và 2014- 2015, tôi được giáo nhiệm vụ thamgia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán huyện Cẩm Thủy, kết quả: Các emđều hoàn thành tốt các bài hình học có trong đề thi Trong các năm học 2013-

2014, 2014-2015 , 2015-2016 tôi đã có 08 em đạt giải học sinh giỏi môn toáncấp tỉnh

Kết quả kiểm tra của hai đội tuyển ở hai năm học 2014-2015 và 2016

Việc áp dụng đề tài trên giúp cho những học sinh khá, giỏi nắm vững hơn

về cách giải hệ phương trình phi tuyến tính, giúp các em học sinh hoàn thành tốtcác bài tập có tính chất nâng cao trong sách bài tập và một số sách tham khảo,chuẩn bị tốt cho các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi vào các trường THPTchuyên, góp phần nhỏ bé vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong nhà trường.Mặt khác qua đề tài trên còn góp phần cho học sinh rèn luyện thói quen pháttriển và khai thác các bài toán, thấy được mối quan hệ giữa các bài toán, từ đógiúp các em học tốt môn toán, đồng thời giúp cho học sinh làm quen với phươngpháp học theo hướng nghiên cứu bài học Trong khuôn khổ đề tài sáng kiến kinhnghiệm nên bản thân chỉ đưa ra một số kết quả mở rộng cơ bản theo một logicnhất định để học sinh dễ nhớ nên còn một số kết quả khác chưa đưa vào đề tàinày Do trình độ của bản thân còn hạn chế nên trong đề tài này sẽ không tránhđược những sai sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của hội đồng khoa học vàđồng nghiệp để đề tài này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,Cẩm Sơn, ngày 30 tháng 03 năm 2017

không sao chép nội dung của người khác

Người viết

Phạm Đức Chiến

Lê Trọng San

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa toán 9 - Nhà xuất bản giáo dục;

2 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp – Nhà xuất bản giáo dục;

3 Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 9 - Nhà xuất bản giáo dục;

4 Tạp chí toán học và tuổi trẻ;

5 Tạp chí toán tuổi thơ 2;

6 45 đề thi toán chọn lọc cấp THCS – Nhà xuất bản giáo dục

7 Tuyển chọn và giới thiệu các đè thi học sinh giỏi – Nhà xuất bản Đại học quốc gia

8 Tuyển chọn đề thi vào lớp 10 chuyên – Nhà xuất bản Đại học sư phạm

15

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C

TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Phạm Đức Chiến

Chức vụ và đơn vị công tác: Phó Hiệu trưởng - Trường THCS Cẩm Sơn

– Cẩm Thủy

Cấp đánh giá Kết quả xếp loại đánh giá Năm học

TT Tên đề tài SKKN (Ngành GD cấp xếp loại đánh giá

huyện/tỉnh; (A, B, xếp loại

Thủy

2 thác hằng đẳng thức bình

2011phương của một tổng Sờ GD&ĐT Tỉnh C

Thanh HóaGiúp học sinh lớp 9 học tốt Phòng GD& ĐT

2012-nhọn qua khai thác các bài Huyện Cẩm 2013

Thủytập

Hướng dẫn học sinh lớp 9 Phòng GD& ĐT

4 phát triển định lý về tứ giác Thủy

2014-nội tiếp thành một số bài Sờ GD&ĐT Tỉnh 2015

Thanh Hóa

Hướng dẫn học sinh giải hệ

5 phương trình phi tuyến

thông qua khai thác một số

bài toán thi học sinh giỏi

Phòng GD& ĐT

Thủy

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT

17

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GDĐT