SKKN rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM, GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ÔN TẬP T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM, GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ÔN TẬP THI THPT QUỐC GIA TẠI TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2.NỘIDUNGSÁNGKIẾNKINHNGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng 2

2.3 Giải quyết vấn đề 3

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 5

é ù khi biết đồ thị 2.3.2 Một số dạng bài toán về hàm số f (x), f u(x)

ê ú ë û của hàm số f '(x) 7

2.4 Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng 23

2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 25

3.KẾTLUẬN,KIẾNNGHỊ 26

3.1 Kết luận 26

3.2 Kiến nghị 26

TÀILIỆUTHAMKHẢO 27

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổimới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu.Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sángtạo của người học Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phươngpháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy họchiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyềnthống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụđộng sang chủ động

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, đạo hàm là mộtcông cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán Giữa hàm số f ( x ) và đạo hàmcủa nó f'( x ) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Đạo hàm của hàm số ngoài việc biểudiễn dưới dạng công thức nó còn được thể hiện qua đồ thị, việc dựa vào đồ thịcủa hàm số f'(x ) để tìm ra được các tính chất của hàm số f(x ) giúp ta giải quyếtđược rất nhiều bài toán khó

Từ năm học 2016- 2017, Bộ GD&ĐT đã thay đổi từ hình thức thi tự luậnsang trắc nghiệm đối với môn Toán, thì xuất hiện trong đề thi rất nhiều bài toán

có giả thiết là cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f'(x ) và yêu cầu chỉ racác tính chất của hàm số f ( x ) Đây là một yêu cầu khá mới mẻ đối với họcsinh, để giải quyết được các dạng bài toán này thì học sinh cần phải nắm vữngkiến thức về hàm số, đạo hàm và các ứng dụng của nó Xuất phát từ những lý do

trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị

của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT Quốc Gia tại trường THPT Như Thanh” để nghiên cứu.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đê tai này nghiên cưu nhằm giup hoc sinh giai quyêt tôt cac bai toan vậndụng, vận dụng cao vê hàm số f(x ),f u (x ) khi biết đồ thị hàm số f'( x)

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Sang kiên kinh nghiêm co đôi tương nghiên cưu la vận dụng một số lýthuyết trong chương trình SGK lớp 12 để giải quyết cac bai toan đơn điệu, cựctrị, GTLN-GTNN của hàm fu( x) khi biết đồ thị của hàm số f '(x )

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Đê trinh bay sang kiên kinh nghiêm nay, tôi đa sử dung phôi kêt hơpnhiêu phương phap như:

-Nghiên cưu tai liêu, quan sát, điều tra cơ bản, thưc nghiêm so sanh, phântich kêt qua thưc nghiêm, … phù hơp vơi môn hoc thuôc lĩnh vưc Toán hoc

- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

1

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về

đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới mạnh

mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực "

Mọi người đều cần phải học toán và dù̀ng toán trong cuộc sống hàngngày Vì thế mà Toán học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩ̃nh vực trongđời sống xã hội Hiểu biết về Toán học giúp cho người ta có thể tính toán, suynghĩ̃, ước lượng, và nhất là có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ̃,suy luận lôgic, trong giải quyết các vấn đề nảy sinh, trong học tập cũng nhưtrong cuộc sống hàng ngày

Ở trường phổ thông, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán Giải toánliên quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kỹ năng cơ bản,khám phá về các con số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi các ýtưởng liên quan, Giải toán đòi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống Học toán vàgiải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp.Kiến thức môn Toán còn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các môn họckhác như Vật lí, Hóa học, Sinh học,

Do đó, ở trường phổ thông nói chung, việc dạy học môn Toán để đáp ứngđược yêu cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay phải tập trung vào việc hìnhthành và phát triển các năng lực chung cũng như các năng lực chuyên biệt của

môn Toán như: Năng lực tư duy (gồm: tư duy lôgic; tư duy phê phán; tư duy

sáng tạo; khả năng suy diễn, lập luận toán học), Năng lực tính toán (gồm: năng lực sử dụng các phép tính; năng lực sử dụng ngôn ngữ toán; năng lực mô hình hóa; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán).

2.2 Thực trạng.

Trong quá trình dạy học ở trường THPT Như Thanh nhiều năm nay tôinhận thấy việc học bộ môn toán của học sinh là rất khó khăn, đặc biệt là các bàitoán về hàm số f ( x ) khi biết đồ thị của hàm số f '( x ) Các em không biết bắtđầu từ đâu, vận dụng kiến thức liên quan nào… Chính những khó khăn đó đãảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập môn Toán, dẫn đến các em không

có hứng thú trong việc học môn Toán

Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập

về hàm số f (x ) khi biết đồ thị của hàm số f '(x ) , các em thường thụ động trongviệc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào các cách giải mà giáo viên cungcấp chứ chưa chủ động trong việc giải các bài toán dạng này Kết quả khảo sát ởmột số lớp chọn khối A của trường chỉ có 10% học sinh hứng thú với các dạngbài toán này

2.3 Giải quyết vấn đề.

Năm học 2017-2018 là năm học thứ hai môn Toán được thi dưới hình thức trắc nghiệm, thì ở mã đề 101 có bài toán sau:

Cho hai hàm số y f x , y g x Hai hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình

vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

10 8 5 4

(Trích câu 50 đề chính thức thi THPT Quốc gia 2018).

Đây là bài toán tương đối khó với các em học sinh phổ thông, kể cả những học sinh có học lực giỏi Cái khó khăn của bái toán trên chính là việc tìm

hàm h( x) Sau đây là một số cách giải bài toán này.

3

Cho hàm số y=f (x) Đồ thị của hàm số y=f ¢(x) như hình bên Đặt

y

4 2

+ Tính đạo hàm: h x f x x2Ta có: h¢(x) = 2f ¢(x) - 2x

( )=2( )- f ¢x x

()=0Û2()-2=0Û ( ) =+ Vẽ thêm đường thẳng y= x vào đồ thị như hình bên dưới

4

- 2 < x < 2

êêx > 4 ë

+ Từ bảng biến thiên ta nhận thấy h(2) lớn nhất trong 3 giá trị cực trị

+ Chỉ cần so sánh hai giá trị cực tiểu còn lại

Ta có: h(4) - h(- 2) =ò- 42h '(x)dx= ò-22h '(x)dx + ò24h '(x)dx > 0 Û h(4) > h(- 2)

+ Vậy thứ tự đúng là: h(2) > h(4) > h(- 2) Vậy, chọn đáp án C

Như vây, các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số luôn xuất hiện nhiều trong đề thi chính thức ở 2 năm học qua cũng như đề minh hoạ của Bộ GD& ĐT năm học 2018-2019 Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ tập trung vào giải quyết các bài

Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định trên K.

Hàm số y f x được gọi là đồng biến (hay tăng) trênK nếu x1 , x2 K , x1 x2

a Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x x0h; x0 h và x x0 thì

ta nói hàm số f x đạt cực đại tại x0

b Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x x0h; x0 h và x x0 thì

ta nói hàm số f x đạt cực tiểu tại x0

Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D.

a Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên tập D nếu f x M

với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f x0 M Kí hiệu M max f x

D

5

b Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên tập D nếu f x m với mọi

D

2.3.1.2 Các tính chất.

Định lý 1: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K

+ Nếu f¢(x) > 0, "xÎ K thì hàm số y =f(x) đồng biến trên K

+ Nếu f¢(x) < 0, "xÎ K thì hàm số y =f(x) nghịch biến trên K

Định lý mở rộng: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K Nếu

f ¢(x) ³ 0, " x Î K (hoặc f ¢(x) £ 0, " x Î K ) và f x 0 chỉ tại một số hữu hạnđiểm thì hàm số y=f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K

Định lý 2:: Giả sử̉ hàm số f có cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu f có đạo hàmtại x thì f x 0.

Định lý 3: Giả sử̉ hàm số y f x liên tục trên khoảng K x0 h; x0 h và có

đạo hàm trên K hoặc trên K\ x0 , với h 0

a Nếu f ' x 0 trên khoảng x0 h; x0 và f ' x 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0

là một điểm cực đại của hàm số f x

b Nếu f ' x 0 trên khoảng x0 h; x0 và f ' x 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0

là một điểm cực tiểu của hàm số f x

2.3.1.3 Một số phép biến đổi đồ thị hàm số.

- Cho hàm số y f x có đồ thị C Đồ thị hàm số C1: y f x a được suy ra từ đồ thị C

bằng cách tịnh tiến đồ thị C theo phương trục hoành một đoạn bằng a Nếu a 0

tịnh tiến đồ thị C qua phải a đơn vị và nếu a0 tịnh tiến đồ thị C qua trái a đơn vị

- Cho hàm số y f x có đồ thị C Đồ thị hàm số C2 : y f x b được suy ra từ đồ thị C

bằng cách tịnh tiến đồ thị C theo phương của trục tung một đoạn bằng b Nếu b

0 tịnh tiến đồ thị C xuống dưới b đơn vị và nếu b 0 tịnh tiến đồ thị C lên trên b

+ Lấy đối xứng phần đồ thị C nằm bên phải trục Oy qua Oy

+ Giữ nguyên phần đồ thị C nằm trên Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị C nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị C

nằm dưới trục Ox

2.3.1.4 Một số ứng dụng của tích phân.

a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục, trụchoành và hai đường thẳng x a ;x b được tính theo công thức: S b f x dx

a

b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.

Cho hai hàm số y f x và liên tục trên đoạn a;b Khi đó diện tích S

của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y g x và hai đường thẳng

Với dạng này thì ta thường gặp dạng bài toán cơ bản sau đây:

Bài toán: Cho hàm số xác định, liên tục trên và có đồ thị của đạo

cực trị của hàm số y=fëéêu(x)ûùú

Để giải bài toán trên ta thường thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Từ đồ thị hàm số y f x tìm nghiệm của phương trình f¢(x)= 0

(hoành độ giao điểm của đồ thị hàm f x với trục Ox ) Giả sử̉ có các nghiệm

7

Bước 3: Tìm các khoảng f x 0, f x 0 Giả sử̉ f x 0, x a;b khi đó

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1: Cho hàm số Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ sau.

Tìm khoảng đồng biến của hàm số y f 2 x

(Trích đề minh hoạ năm 2018 – BGD&ĐT)

Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng 2;1

Qua ví dụ 1, học sinh hình thành tư duy tương tự cho bài toán cơ bản về việc xét tính đơn điệu của hàm số.

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , hàm số y f x có đồ thị như

hình vẽ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số g x f x x2

trên .

y f x

8

Để tìm được khoảng nghịch biến của hàm số ta phải dựa vào việc xét dấu củađạo hàm cấp 1.

1 2x f x x 2 , sự biến thiên của hàm số

g x f x x2 phụ thuộc vào dấu của g x

Từ đó ta cũng có bảng xét dấu g x như trên

Ví dụ 3: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên Đồ thị y f x như

hình vẽ bên và f 2 f 2 0

9

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số g xf 3 x 2

Giải

Ta có: g x 2 f ' 3 x f 3 x

Từ đồ thị của y f x ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra f x 0, xf 3 x 0, x

Hàm số g x f 3 x 2 nghịch biến khi và chỉ khi

Vậy, hàm số nghịch biến trên các khoảng 2;5 và ;1

Ví dụ 4: Cho hàm số y=f( x) có đạo hàm liên tục trên ¡y = f

10

Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0 :+¥ )

Ví dụ 5: Cho hàm số y f x có đạo hàm là hàm số f x trên Biết rằng hàm số y f x 2 2

có đồ thị như hình vẽ bên dưới Tìm khoảng nghịch biến của hàm số f x

đồ thị để được đồ thị như hình vẽ Từ đó ta có thể giải như sau:

11

Tuy nhiên ngoài cách giải trên ta cũng có thể giải bằng cách sau:

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có: f x 2 2 2, x 1;3 f x 2 0, x 1;3

Ví dụ 6: Cho ham sô y f x co đao ham trên Biêt đồ thị của ham sô y f ' x như

hinh ve Tìm điểm cực tiểu của hàm số g x f x x

Trên 2; đường thẳng y 1 nằm trên đồ thị hàm số y f ' x

Ta co bang biên thiên

Tư bang biên thiên suy ra ham sô g x đat cưc tiêu tai điêm x 1.

Ví dụ 7: Cho hàm số y=f (x) biết rằng hàm số y=f ¢(x) có đồ thị như hình vẽ

+ Vì đồ thị y = f ¢(x) tiếp xúc trục Ox tại điểm có hoành độ x = 1 nên x = 1 là

nghiệm bội chẵn Do đó ta chỉ cần xét số nghiệm hai phương trình:

thêm đúng hai nghiệm đơn khác 0

TH 1: ïì- m £ 0 ïì m ³ 0 Û 0 £ m < 3 phương trình (1) vô nghiệm hoặc

13

Vậy, 0 £ m< 3 thì hàm số y=f (x2+ m) có 3 cực trị.

Ví dụ 8: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên ¡ và đồ thị hình bên dưới là đồ thị

của đạo hàm y=f¢(x) Hàm số g(x)= f(x)+ 2019 có bao nhiêu điểm cực trị?

+Vì vậy hàm số y=f(x) có 3 cực trị trong đó có 2 cực trị có hoành độ dương

+Thực hiện biến đổi đồ thị hàm số dạng y= f(x ) Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung, lấy đôi xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung (hình

vẽ dưới đây) được đồ thị hàm số y= f(x )

Ví dụ 9: Cho hàm số f x có đạo hàm trên , đồ thị y f x

hàm số y f x như trong hình vẽ bên, f a 0 Tìm số

số giao điểm của đồ thị hàm số y f x với trục hoành

Đặt g( x ) 2 f x x 1 2 , x và h x 2 f x x 1 2 , x .

Ta có: h' x 2 f ' x 2 x 1 h ' x 0 f ' x x 1 (*)

Dự vào đồ thị, nghiệm của phương trình (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị

Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, so sánh các giá trị của hàm f (x)

khi biết đồ thị của hàm số f '(x) .

Cơ sở phương pháp của bài toán dạng này cũng là bài toán đã trình bày

trong dạng 1 Sau đây ta xét một số ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1: Cho hàm số f x có đạo hàm là f x Đồ thị của hàm số y f x được cho

như hình vẽ dưới đây:

Biết rằng f 1 f 0 f 1 f 2 Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

và giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn 1; 2

Từ đồ thị của hàm số y f x Giả

i

ta có bảng biến thiên của hàm số y f x

trên đoạn 1; 2 như sau:

16

Ví dụ 2: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm là f¢(x) Đồ thị của hàm số y= f¢(x)

được cho như hình vẽ bên Biết rằng ff( 0) + (3) = ff(2) + (5) Tìm giá trị x0 đềhàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn 0;5

Giải

+ Từ đồ thị ta có bảng biến thiên trên của hàm số y=f(x) trên éêë0;5úû.

+ Từ bảng biến thiên ta thấy min f x f (2)

0;5+ Để tìm Max f x ta so sánh f (0) vàf (5)

Ví dụ 3 : Cho hàm số y= f ( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ , đồ thị hàm số y = f ¢

(x) như trong hình vẽ bên dưới Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ nhất vàgiá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn a;c

Giải :

Từ đồ thị của hàm số y=f ¢(x) ta có bảng biến thiên như sau:

Max f x f (b) Để tìm giá trị nhỏ nhất ta so

sánh hai giá trị f (a);f(c) Tuy nhiên cái khó của bài toán này so với 2 ví dụ