SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỔNG HỢP, TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP CHO HỌC SINH, THÔNG QUA TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT SẦM SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỔNG HỢP, TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP CHO HỌC SINH, THÔNG QUA TỔNG HỢP CÁC BÀI
TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Người thực hiện: Lê Đình Lợi Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc bộ môn: Toán
THANH HOÁ, THÁNG 5 NĂM 2019
Trang 2MỤC LỤC
Trang
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2 2.3 Giải pháp áp dụng tổng hợp các dạng toán chủ đề Tiếp tuyến, giúp
học sinh rèn luyện kỹ năng tự học, tự tổng hợp và phát triển tư duy 3 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang 31 MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Như chúng ta đã biết nhiệm vụ của giáo dục phổ thông hiện nay không chỉ
là đổi mới chương trình giáo dục, mà điều quan trọng là đổi mới phương pháp dạy
và học Với mục tiêu đào tạo nguồn nhân lực Việt Nam đáp ứng yêu cầu của thời đại, đó là: Nguồn lao động năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có khả năng thích ứng, biết đoàn kết và hợp tác trong lao động sản xuất Vì thế trong Chiến lược phát triển giáo dục giai đoạn 2011 - 2020 ban hành kèm theo Quyết
định 711/QĐ-TTg ngày 13/6/2012 của thủ tướng chính phủ đã chỉ rõ: "Tiếp tục đổi mới PPDH và đánh giá kết quả học tập, rèn luyện theo hướng phát triển tích cực,
tự giác chủ động, sáng tạo và năng lực tự học của người học".
Hiện nay một trong những PPDH theo hướng tích cực hóa hoạt động của người học đó là '' Dạy học theo dự án'' Dạy học theo dự án đáp ứng quan điểm dạy học lấy học sinh làm trung tâm, các hoạt động học tập được thiết kế mang tính thiết thực, có liên quan đến kiến thức thực tiễn, giúp học sinh rèn luyện được một số năng lực quan trọng như: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn
đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng công nghệ thông tin
và truyền thông, năng lực tính toán … Tuy nhiên, dạy và học theo dự án đòi hỏi giáo viên phải mất nhiều thời gian công sức để thiết kế dự án khả thi và không phải nội dung nào cũng áp dụng được phương pháp này, không phải đối tượng học sinh nào cũng có thể tự nghiên cứu và biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn
để học theo dự án
Trong chương trình toán học phổ thông, các bài toán liên quan đến hàm số,
đồ thị hàm số là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng
Là một giáo viên toán THPT, qua những năm tham gia giảng dạy môn toán
ở trường THPT, tôi nhận thấy về mặt tâm lí học sinh THPT đã bộc lộ rõ thiên hướng, sở trường và hứng thú với từng lĩnh vực Tuy nhiên đối với đa số học sinh thì khả năng tự học chưa cao và các em thấy rất khó khăn trong giải Toán,
thậm chí có nhiều học sinh còn đặt câu hỏi “Học để làm gì” Nên một lượng
kiến thức cơ bản: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số và các bài toán liên quan đến hàm số, đồ thị hàm số như: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất, Cực trị, Sự tương giao của các đường, Tiếp tuyến, Phép suy đồ thị là những kiến thức thực sự cần thiết hàng đầu để học sinh trung học phổ thông tiếp thu và lĩnh hội
Với thực tế như trên và qua kinh nghiệm giảng dạy tôi mạnh dạn viết sáng
kiến kinh nghiệm với chủ đề: “ Rèn luyện kỹ năng tổng hợp, tạo hứng thú học
tập cho học sinh, thông qua tổng hợp các bài toán liên quan đến Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ”
1
Trang 4+ Tổng hợp một các khái quát nhất về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các vấn đề liên quan đến Tiếp tuyến
+ Nội dung bài viết dành cho tất cả các đối tượng học sinh, đặc biệt học sinh khối 12 trường THPT Sầm Sơn
1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
- Rèn luyện kỹ năng tổng hợp các dạng toán, kỹ năng làm toán trắc nghiệm cho học sinh
- Phát triển tư duy và sự tìm tòi trong học tập của học sinh
- Tạo sự hứng thú trong học tập qua các kết quả học tập của học sinh
1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Chủ đề Tiếp tuyến
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số, và các bài toán liên quan
- Hệ thống các bài toán giúp học sinh phân tích tổng hợp
1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu một số giáo trình, sách tham khảo về phương pháp dạy học toán, tuyển tập các đề thi ĐH – CĐ, và các đề thi học sinh giỏi
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết kinh nghiệm qua các năm trực tiếp giảng dạy chuyên đề, qua trao đổi với các đồng nghiệp để từ đó xây dựng được một hệ thống phương pháp, bài tập về tiếp tuyến
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thử nghiệm giảng dạy chuyên đề cho đối tượng là các học sinh Khá, Giỏi của trường trung học phổ thông và các lớp
ôn thi ĐH – CĐ các năm gần đây
2 NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Trong sách giáo khoa đại số và giải tích 11, phần ý nghĩa hình học của đạo hàm, giải tích 12 phần các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số viết khá ngắn gọn và sơ sài về Tiếp tuyến Với mục đích để giáo viên và học sinh khai thác sâu hơn chủ đề này thông qua phương trình Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm Và một thực tế đã nêu ở mục lí do chọn đề tài Đặc biệt khi giải các bài toán Tiếp tuyến qua điểm học sinh có thể nhầm lẫn với bài toán Tiếp tuyến tại điểm, và giải một số bài toán liên quan đến diện tích, chu vi tam giác
2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
a Thực trạng
Trong sách giáo khoa: Đại số và giải tích 11 (Chương trình nâng cao), ở
chủ đề V ''Đạo hàm'': chỉ dừng đến ý nghĩa hình học của đạo hàm là Tiếp tuyến
của đồ thị hàm số tại điểm
Trang 5Mặt khác nội dung Tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các vấn đề liên quan tương đối quan trọng trong thi học sinh giỏi và thi THPTQG
Và sự nhận dạng, phân tích, tổng hợp các dạng toán trong từng chủ đề của học sinh còn hạn chế
b Kết quả của thực trạng
Từ thực trạng trên dẫn đến:
Đối với giáo viên:
- Giáo viên không tổ chức tổng hợp được từng chủ đề, đa dạng về hình thức, đổi mới về phương pháp làm cho không khí học tập nhàm chán, đơn điệu
mà chỉ dạy mang tính chất đảm bảo phân phối chương trình
- Giáo viên chưa làm cho học sinh thấy được mối liên hệ thực tiễn rất gần gũi giữa các dạng toán của từng chủ đề
Đối với học sinh:
- Ngại học vì nhiều công thức, nhiều dạng toán
- Thiếu khả năng liên hệ giữa các nội dung, không biết vận dụng nội dung này để áp dụng vào nội dung khác
Vì vậy với sự nhận dạng, phân tích, tổng hợp hạn chế của học sinh Nên tôi mạnh dạn tổng hợp các bài toán về chủ đề Tiếp tuyến qua SKKN này để học sinh nắm vững và vận dụng Đồng thời vận dụng sự tổng hợp này để hình thành
kỹ năng phân tích, tổng hợp các dạng toán khác, phù hợp với vận dụng đổi mới
phương pháp dạy học ở trường THPT Sầm Sơn.
2.3 GIẢI PHÁP ÁP DỤNG TỔNG HỢP CÁC DẠNG TOÁN CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN, GIÚP HỌC SINH RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TỰ HỌC, TỰ TỔNG HỢP VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY:
Qua cơ sở và thực trạng nói trên, đúc kết kinh nghiệm tôi mạnh dạn tổng hợp một cách khái quát về chủ đề Tiếp tuyến của đồ thị hàm số với những nội dung sau:
NỘI DUNG I: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN (PTTT) CỦA ĐỒ
THỊ HÀM SỐ.
Học sinh cần tổng hợp và nắm vững được ba bài toán sau:
Bài toán 1 : Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm M 0(x0 ;y0 ) ( M0 thuộc đồ
thị hàm số )
Phương pháp
Pttt có dạng: y y0
f '(x
0
)(x x
0
)
Xác định x0
;y
0
; f'(x
0
)
rồi thay vào phương trình trên và biến đổi về dạng y ax b ta được pttt cần tìm
Bài toán 2: Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm
M1 (x1 ;y1 )(M 1 thuộc hoặc không thuộc đồ thị hàm số )
Phương pháp
3
Trang 6Giải bài toán này học sinh sử dụng một trong hai cách sau:
Cách 1:
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M1 (x1 ; y1 ) và có hệ số góc k là:
y y1 k(x x1 ) y k(x x1 ) y1
+ Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ sau có nghiệm:
f ( x)k ( xx1 )y1
f ' ( x)k
giải hệ tìm k thay vào tiếp tuyến d ta được pttt cần tìm.
Cách 2:
+
Pttt của đồ thị hàm số tại điểm M0
(x
0
;y
0
)
là: y y0 f '(x0
)(x x
0
) +
Cho tiếp tuyến trên đi qua M1 (x1 ; y1 ) nên ta có: y1 y0 f '(x0)(x
1 x0 )
Biểu thị y0 ; f ' (x0 ) qua x0 và thay vào phương trình trên ta được phương trình ẩn x0
giải tìm x0suy ra y0bài toán quy về viết pttt tại điểm
Ví dụ 1 : Viết pttt của đồ thị hàm số y (2 x 2 )2biết tiếp tuyến đi qua điểm
M (0;4)
Hướng dẫn giải
Lưu ý: Có nhiều học sinh kiểm tra thấy điểm M thuộc đồ thị hàm số, và sử dụng
bài toán ở dạng 1 để giải là nhầm lẩn Vì đây là bài toán pttt đi qua điểm và tiếp tuyến đi qua điểm thì có ít nhất một tiếp tuyến còn tại một điểm chỉ có duy nhất một tiếp tuyến
Cụ thể áp dụng
Cách 1:
+ Phương trình
+ Đường thẳng
dạng 2 và trình bày cho học sinh cả hai cách:
đường thẳng d đi qua điểm M (0;4) có hệ số góc k:
d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì hệ sau có nghiệm:
(2x 2 ) 2 kx4 44 x 2 x 4 4x 2x(4x 38x)
x 2 (3x 2 4)0
3 8 x
k4 x
x0k0
x 2 k 16
3 3
Vậy có ba pttt: y 4;y 16 x 4; y 16 x 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Cách 2:
+ Pttt của đồ thị hàm số tại điểm M 0 (x0 ; y0 ) là: y y0 f '(x0 )(x x0 )
y (4x0 8x0 )(x x0 ) x0 4x0 4
+ Cho tiếp tuyến trên đi qua M (0;4) ta được:
4 (4 x08 x0 )(x0 )x04 x043x04 x0 0
0y 04, y ' (0)0
x
0
Vậy có ba pttt: y 4; y 16 x 4; y 16 x 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán
y kx 4
Trang 7Bài toán 3: Viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho
trước
Phương pháp
+
Pttt của đồ thị hàm số tại điểm M0
(x
0
;y
0
)
là: y y0 f '(x0
)(x x
0
) + Theo giả thiết ta có f '(x0 )k giải tìm x0y
0 bài toán quay về viết pttt tại điểm
Chú ý 1 : Ở bài toán này hệ số góc của tiếp tuyến thường được cho gián tiếp
thông qua biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước
Cụ thể:
* Tiếp tuyến song song đường thẳng y ax b f '(x0 ) a
* Tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y ax b f '(x0 ) 1
a
Chú ý 2: Từ ba bài toán viết pttt của đồ thị hàm ở trên, học sinh cần tổng hợp
được: viết pttt của đồ thị hàm số đều quy về áp dụng bài toán viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm
Ví dụ 2 : Cho hàm số: có đồ thị là (C).
a Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
b Viết pttt của (C) tại điểm có tung độ bằng 8.
c Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình:
y=3x+1.
Hướng dẫn giải
Ta có: y' 3x 2
a Theo đề bài: x0 1 y0 1 và y' ( 1) 3
Vậy pttt: y=3x+2.
b. Theo đề bài: y0 8 x0 2 y'(2) 12
Vậy pttt: y-8=12(x-2) y=12x-16.
c. Tiếp tuyến tại M0
(x
0
; y
0
)
có hệ số góc y'(x0 ) 3x0 2 Theo đề
bài tiếp tuyến song song với đường thẳng y=3x+1,
suy ra: 3x02 3 x0 1 + Với x0 1
y
0 1
pttt y=3x-2
+ Với x0 1 y0 1 pttt y=3x+2
Vậy có hai pttt thỏa mãn yêu cầu bài toán: y=3x-2,
y=3x+2 Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2009).
Viết pttt của đồ thị hàm số y x 2 biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục
2x 3 tung lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân ở O.
Hướng dẫn giải
Trang 85
Trang 9+ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tại hai điểm cùng với gốc tọa
độ O tạo thành tam giác cân tại O, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1
, suy ra:
y'(x0 )1 1 1 1 1 x0 1 y0 1
2 y0 0
(2x0 3) 2
(2x0 3) 2
x
0
Với x0 1; y0 1 pttt y=-x (loại)
Với x0 2; y0 0 pttt y=-x-2 (thỏa mãn)
Vậy pttt cần tìm: y=-x-2.
Bài tập
1 Cho hàm số: y x x 1
1 , có đồ thị là (C).
a Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình:
y= 12 x+5.
2 Viết pttt của đồ thị hàm số y 1
x
a Tại điểm ( 12;2 )
b Tại điểm có hoành độ bằng 1
c Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1
3 Cho hàm số: y x3 3x 1
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2
c Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 23; 1 )
d Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+2
4 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x x 1
1 tại giao điểm của đồ thị
hàm số với trục tung là:
5 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y x3 3 x2 2 có hệ số góc k = -9 có phương
3
trình:
A y = -9x-43 B y = -9x+43 C y = - 9x+11 D y = -9x-27 NỘI DUNG
II : NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN Vấn đề 1 :
Tiếp tuyến với định lý Viet
Là vấn đề Tiếp tuyến của đồ thị hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó, và SKKN này tôi tổng hợp một số bài toán như:
+ Đồ thị hàm số có hai Tiếp tuyến vuông góc
6
Trang 10+ Đồ thị hàm số có hai Tiếp tuyến, tống hệ số góc hai Tiêp tuyến đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Phương pháp:
Để giải những bài toán thuộc vấn đề này ta áp dụng trực tiếp một trong các bài toán về phương trình tiếp tuyến kết hợp với sử dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai hoặc phương trình bậc ba
Cụ thể: Phương trình bậc hai: ax 2 +bx + c=0
S
c
x
1 x
Phương trình bậc ba: ax 3 +bx 2 +cx+d=0
x1 x 2 x 2 x 3 x1 x 3
a d
a
Ví dụ 4: Cho hàm số: y=x 3 + 3x 2 +mx+1
a. Khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số khi
m=3 Học sinh tự làm
b Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C, đồng thời tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B và C vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
+ Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y=1 là nghiệm của
phương trình:
x3 3x2 mx 1 1 x(x2 3x m) 0 x 0
Để đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình (1)
có hai nghiệm phân biệt x 0
4,(2 )
y'(x B ) y'(x C )1 (3x B2 6x B m)(3x C2 6x C m) 1
9(x B x C ) 2 18x B x C (x B x C ) 3m (x B x C ) 2 2x B x C 36x B x C 6m(x B x C ) m2 1 0
Trong đó xB,xC là nghiệm của phương trình (1) và theo định lí Viet ta có:
x B x C 3 x B x C m
Ta được:
9m2 18m( 3) 3m(9 2m) 36m 6m( 3) m2 1 0
8
4m2 9m 1 0
9 65
m
8
Trang 119 65
m
8
Kết hợp (2) vậy thì yêu cầu bài toán thỏa mãn
9 65
m
8
Ví dụ 5: Đề thi đại học khối A năm 2011.
Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị hàm số
2x 1
tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A và B Tìm m để tổng k 1 + k 2 đạt giá trị lớn
nhất Hướng dẫn giải
+ Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=x+m và đồ thị hàm số là nghiệm của
phương trình: x m x 1 , (x 1)2x 2 +2mx-m-1=0,(*)
Ta có : ' = m 2 +2m+2 > 0 m đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt với mọi m
+ Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình (*) ta có:
k1 k2
x
Theo định lý Viet, suy ra: k 1 +k 2 =-4m 2 – 8m – 6 = -4(m+1) 2 2 ≤
-2 Vậy Max(k 1 +k 2 ) = -2 khi m= -1
Vấn đề 2: Những bài toán cần phải viết pttt của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm.
Là những bài toán yêu cầu xác định vị trí của điểm M thuộc đồ thị hàm số
để:
+ Tiếp tuyến tại điểm M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích
không đổi
+ Tiếp tuyến tại điểm M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích cho
trước
+ Tiếp tuyến tại điểm M tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi đạt
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất…
Phương pháp:
Để giải quyết được những bài toán trên, ta phải tìm được tọa độ của điểm
M Muốn vậy ta phải viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sô tại điểm M Khi đó điểm M là giao điểm của tiếp tuyến tại M và hai đường tiệm cận ( hoặc hai trục tọa độ ), từ đó ta có tọa độ của điểm M phụ thuộc vào một giá trị tham
số Dựa vào yêu cầu bài toán ta xác định được điểm M.
Ví dụ 6: Cho hàm số: y x x 11 , có đồ thị là (C).
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
8
Trang 12b M bất kì thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A và B Chứng minh rằng tam giác IAB có diện tích không đổi (I là giao điểm của hai đường tiệm cận), và M là trung điểm của đoạn AB.
c Tiếp tuyến của (C) tại N cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại P và Q Tìm tọa
độ điểm N sao cho tam giác OPQ có diện tích bằng 1
d Tìm tất cả các điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường
tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất
Hướng dẫn giải
a Chỉ minh họa đồ thị
M
Phân tích : Ở ý b và ý c đều liên quan đến tiếp tuyến tại điểm nên ta làm ý chung của cả hai ý là viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M 0(x0 ; y0 ) :
y y0 f '(x0 )(x x0 )
x0 1 (x0 1)2
0
(x0 1)2 (x0 1)2
Chú ý: Điểm M và điểm N trong bài toán là điểm M0
(x
0
; y
0
)
b * Chứng minh tam giác IAB có diện tích không đổi.
Ta có: S IAB 1
+ I là giao điểm của hai đường tiệm cận, nên ta có I(1; 1).