SKKN rèn luyên kỹ năng cho học sinh lớp 12 giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân bằng phương pháp liên kết

Để giải quyết cơ bản được các dạng toán này ta sử dụng phương pháp tích phân liên kết là một trong những phương pháp hữu hiệu nhất.. Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tô

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Tích phân là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 12 Để hoàn thành tốt được kiến thức phần này thực sự không đơn giản Đặc biệt nói đến tính phân các hàm số lượng giác là một dạng tích phân khó Nếu đi sâu vào các hàm số lượng giác nữa thì lại càng khó Trong các dạng tích phân về hàm

số lượng giác ta thường gặp một số dạng: Mẫu số là dạng thuần nhất của sin, của cosin, đẳng cấp bậc nhất, bậc hai của sin và cosin Để giải quyết cơ bản được các dạng toán này ta sử dụng phương pháp tích phân liên kết là một trong những phương pháp hữu hiệu nhất Hơn nữa từ năm học 2016 – 2017 Bộ giáo dục và đào tạo có sự thay đổi lớn trong kỳ thi THPT Quốc gia trong đó môn Toán được thi dưới hình thức trắc nghiệm Đây là vấn đề khó khăn cho học sinh Vì ngoài việc giải quyết tốt bài toán còn đòi hỏi phản ứng nhanh, tính toán chính xác để đưa ra kết quả nhanh kịp với thời gian quy định Do vậy với bản chất là một dạng toán khó, đòi hỏi sự lập luận, suy luận cao, tư duy lôgic cộng với việc tính toán nhanh thì đây chính là thách thức đối với học sinh lớp 12

Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn

đề tài: “Rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 12 giải nhanh các bài toán nguyên

hàm và tích phân bằng phương pháp liên kết tích phân’’ làm đề tài sáng kiến

kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2017 – 2018 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là hình thành cách tính nhanh, chính xác một

số dạng toán nguyên hàm và tích phân khó trong chương trình Giải tích 12 nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính tích phân

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là phương pháp tích phân liên kết - Chương III – Giải tích 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần nguyên hàm và tính tích phân ở trường THPT Triệu Sơn 3 để

từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng phương pháp tích phân liên kết trong việc nâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế

và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên

Trong bài “Nguyên hàm và tích phân” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa ra hai phương pháp tính nguyên hàm và tích phân là đổi biến số và từng phần Đây là hai phương pháp cơ bản nhất, giải quyết được khá nhiều các bài tập nguyên hàm và tích phân Tuy nhiên trong một số dạng bài tập tích phân khó, đặc biệt là tích phân hàm lượng giác thì hai phương pháp này không thể giải quyết được hoặc có thể giải quyết được nhưng vô cùng phức tạp Vì vậy, tôi nhận thấy mình cần bổ sung thêm phương pháp tích phân liên kết, giúp học sinh dễ dàng giải quyết dạng toán này

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều

xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh là con

em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để làm tốt, nhanh phần nguyên hàm và tích phân thì cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có

2

khả năng phán đoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng trình bày chặt chẽ và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích dạng toán Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm

yếu của không ít học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại

làm các dạng tích phân khó

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Ôn tập một số kiến thức cần dùng cho học sinh.

+) Bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp, hàm số hợp

+) Tính chất của nguyên hàm và tích phân +)

Phương pháp đổi biến số

+) Công thức lượng giác

+) Đạo hàm các hàm số lượng giác

2.3.2 Tìm hiểu tích phân liên kết.

b

Khi tính một số bài tích phân I f (x)dx , việc tính trực tiếpI tương đối khó

a

b

và phức tạp, do vậy ta tìm đến tích phân I* g(x)dx , dựa vàoI* hoặc kết hợpI

a

với I * để tìm ra tích phân I I * được gọi là tích phân liên kết với I

Từ các mối quan hệ ràng buộc giữa I và I * ta lập được hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn: a' I b' I* c '

aIbI *c

Giải hệ phương trình ta tính được I

Một số trường hợp thường gặp:

Trường hợp 1: Tính trực tiếp tích phân I * (với I * là tích phân đơn giản), từ đó suy ra I

Trường hợp 2: Biến đổi I I * I

Trường hợp 3: Tìm biểu thức liên hệ giữa I ., I * để đạo hàm của mẫu bằng tử, khi đó ta lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và tìm I

Việc tìm tích phân liên kết I * , đòi hỏi phải có năng lực phán đoán, khả năng

tư duy linh hoạt đặc biệt là phụ thuộc vào kinh nghiệm của người học Thông thường biểu thức các tích phân liên kết có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau

Ta hiểu tích phân liên kết như là “Bạn chơi với ai tôi sẽ đoán được con người bạn như thế nào”

2.3.3 Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng nguyên hàm, tích phân liên kết thường gặp giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn giảm bớt được tối đa thời gian.

Dạng 1: Tích phân chứa a x

Cho tích phân I 0e x 1 a b ln 2 a, b Q.

Đề minh họa lần 3 – BGD – 2017

Tính giá trị của biểu thức: S a3 b

3

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết

1

I I* dx x 0

e 1

Ta có: 0

e 1 I 1 ln

d e x 1

1 dx ln e x1 1

2

e x

2 0

1 e x

Bài 2: Cho tích phân I 0 e x e x dx a b ln 2d.

Tính giá trị của biểu thức: P a b c d 2

2 2

1 e x

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I* 0 dx

e x e x

I I* dx x0 1 1 1 2

1

Ta có: d e x e

x e2 1I 2 2 ln

2e

I I* dx ln e e ln

e x

2e

0

Vậy a 1 , b 1 , c e2 , d e P 1 2e2 Đáp án D

Bài 3: Cho tích phân I

Tính giá trị của biểu thức: S a3 c2 b 3b.

4

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I* 0 dx

1

I I* dx x 0

1 0

d 5 5x1 1 ln 53x

1 1

1 I 1

3log5 63

I* 3x dx 0 log 5 63

3ln5 0 5 1 3ln5 3

Vậy a 1, b 1 , c 5, d 63 S 88. Đáp án A

3

*Nhận xét: Tích phân liên kết là phần khuyết biểu thức chứa biến của tử trong mẫu.

Một số dạng thường gặp:

1.I dx * e ax dx

I

2.I e ax dx I * e ax dx

e ax e ax e ax e ax

3.I dx * a ax dx

I

4.I a x dx I* a ax dx

a ax a x a ax a x

Dạng 2: Tích phân hàm hữu tỷ:

Bài 1: Cho tích phân I 2 dx ln ,

Tính giá trị của biểu thức: P a2b

c.

Hướng dẫn: Ta có x6 1 (x 2 1)(x 4x 2 1) , xét tích phân liên kếtI* 2 dx

x 6 1

3 x 4x 2 1 31 dx 1 x 1 3 1 3

x 6

I * 3 3 1)(x 3 1) 6 lnx 3 6 ln 98

1 x 4 1

Bài 2: Cho tích phân I 0 x6 1 dx a b , a,b Z

Tính giá trị của biểu thức: P a2 ab 3b2

1 x 2

Hướng dẫn: Ta có x6 1 (x 2 1)(x 4 x 2 1) , xét tích phân liên kết I* 0 x6 1 dx

Vậy a 0,b 3 P 27. Đáp án A

*Nhận xét: Tích phân liên kết là biểu thức liên hợp chứa biến của tử trong mẫu.

Dạng 3: Tích phân hàm lượng giác.

Bài 1:

A.

Cho tích phân I 2 sin 3 x dx a b (a,b Q).

sin x cos x

0

Tính giá trị của biểu thức: P a 2 b2

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I* 2 cos3 x dx

0 sin x cos x

Ta có

0

3

2 2

2

0 cos t sin t

1

Ta có I I* 2 I 1

4

I I *

Bài 2: Cho tích phân I cos 2 x.cos 2xdx ab sin 2x c sin 4x d

Tính giá trị của biểu thức: P a2 b 4c.

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I* sin 2 x.cos 2xdx

6

Ta có

1

I I* cos 2xdx 2sin 2x C1 I 1x 1sin 2x 1sin8x C

2

I I* cos 2xdx 2 dx 2x 8sin 4x C2

a sin x

Bài 3: Cho tích phân I

0

dx

sin x cos x 4

Giá trị của a là:

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết

Ta có

a a

I I* dx x0 a 1

0

I a ln sina cosa

I I

sin x cos

x

dx ln sin x cos x ln sin a cosa

Mà I 4 a 2 Đáp án C

sin x cos x

0

3cos 2x.cos4 xdx. a

Bài 4: Cho tích phân I 3 , a, b, c N ,

0

giản

Tính giá trị của biểu thức: P a3 b c2

3

Hướng dẫn: Tích phân liên kết I * cos 2x.sin 4 xdx.

0

b

c là phân số tối

Ta có

I 5 3

64 12

3

Bài 5: Cho tính phân I sin 3xdx 1 c ln 2 cos 3x 5sin 3x d.

bx

7

Tính giá trị của biểu thức: P a 2 b2 c 2 (ab bc).

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I* cos 3xdx

2 cos 3x 5sin 3x

Ta có

2I * 5I dx x c1

ln

2 cos 3x 5sin 3x 3 2 cos s3x 5sin 3x 3

1 5x 2ln 2 cos 3x 5sin 3x d

293

Bài 6: Cho tính phân I 2 dx , a, b, c, d Z

Tính giá trị của biểu thức: P abc (ab bc ca).

cos x

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I* 2 dx

0 sin x cos x 1

Ta có 2 cos x sin x

0 sin x cos x 1 0 0 sin x cos x 1

x

2

2

0 cos tan 1

I2 ln 2 4

Vậy a 1, b 2, c 2, d 4 P 2. Đáp án B

Bài 7: Cho tích phân I 4cos 2 3x.cos2 6xdx , a,b N

0

Tính giá trị của biểu thức: P a 2 b2 ab.

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết 4

I*sin 2 3x.cos2 6xdx

0

Ta có

I I *

I I *

4

0

4

0

cos2 6xdx 1 1 cos12x dx 1 (x sin12x 4

4

cos 6x.cos 6xdx 1 sin 6x d (sin 6x) sin 6x

a

trong đó là phân số tối

Tính giá trị của biểu thức: P ab2 a 2b bc2

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I* 6 cos x dx

3

0 (sin x cos x)

Ta có

6

sin 4 x

Bài 9: Cho tích phân 2

Isin 4x cos 4 x dx a b , a,b Q

0

Tính giá trị của biểu thức: P a2 b3 4b

9

A. 1 B. 63 C 63 D. 17

cos4 x

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I* 2 dx

0

sin x cos x

2 2

2

sin ( t) cos ( t)

2

Ta có

2

I I*dx 2I

4

0

I I *

Vậy a 0, b 1 P 63 Đáp án B

64 4

sin n x

Tổng quát: 2

sinn

x

0

cosn

Hướng dẫn: Xét tích phân liên kết I* 2 x dx

0

sin x cos x

0

sin n ( t)

cos t dt I *

sin ( t) cos ( t)

2

Ta có I I*

2I

4

I I *

*Nhận xét: Biểu thức của I * là biểu thức của I trong đó: sin x được thay bởi

cos x và ngược lại.

Một số dạng thường gặp:

a sin x b cos x c a sin x b cos x c

2.I sin n xdx I * cosn xdx

sin n x cos n x sin n x cos n x

a sin x b cos x a sin x b cos x

a sin x a cos x b a sin x a cos x b

(a sin x b cos x) n (a sin x b cos x) n

Tích phân hàm lượng giác là một phần kiến thức khó và phức tạp đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác, bảng các nguyên hàm Nhưng khi ta sử dụng tích phân liên kết thì việc biến đổi đã được giảm đi rất nhiều, bài toán trở nên đơn giản và dễ hiểu hơn.

2.3.4 So sánh cách giải khác ta thấy được tính ưu việt của phương pháp tính phân liên kết.

cos 2 x

Ví dụ 1: Tính tích phân 3

sin x 3 cos

x

0

sin 2 x

0 sin x 3 cos x

Ta có

3

4I ln 3 1 I 1

4 (1 ln 3).

Cách giải khác:

Giả sử

1

ac0 a 4

3 1 3 1 1 dx

a 3b0 b I cos x

4 2 2 2 sin x dx 4sin x 3 cos x

c 4

11

1 3cos(x )dx 1 3 dx 1sin( x ) 1ln tan( x )

3

4 0

Ví dụ 2: Tính tích phân I dx HSG Thanh Hóa năm 2010-2011

0

cos x

Ta có 6

0(sin x 3 cos x) 3 dx 2(sin x3 cos x) 2 3

0

3

3I*

I

3I* 3I

3

Cách giải khác (cách giải trong đáp án):

Ta có: sinx 1(sin x 3 cos x ) 3 (cos x 3sin x)

(Điều này không phải dễ dàng có được, hoặc phải dùng hệ số bất định như

ví dụ 1, hoặc phải là học sinh giỏi mới tính nhanh được biểu thức đó).

Suy ra I

1 2

6

*Nhận xét : Đây là các bài toán khó đối với nhiều học sinh, nếu giải bằng phương pháp khác thì học sinh gặp phải khó khăn là phải tách các biểu thức lượng giác để

sử dụng được bảng các nguyên hàm.

Nhìn vào hai cách giải trên thì rõ ràng cách giải khác dài dẫn đến mất khá nhiều thời gian để giải quyết xong bài toán Còn cách dùng tích phân liên kết nhanh và mang lại hiệu quả rất cao.

Qua 2 ví dụ trên đã cho ta thấy tác dụng rất tích cực của phương pháp tích phân liên kết khi giải toán tích phân.

Trong các buổi sinh hoạt chuyên môn tại tổ chuyên môn, tôi đã đưa ra các bài tập để các đồng nghiệp thử giải và so sách các cách giải; kết quả là những bài toán có thể áp dụng được phương pháp này thì cho kết quả nhanh hơn rất nhiều so với các cách giải khác.

Các chuyên gia máy tính cũng cho rằng một bài tích phân mà có đến ba, bốn tham số trở lên thì ta nên làm tự luận thì nhanh hơn.

2.3.5 Hệ thống bài tập sử dụng tích phân liên kết giúp học sinh rèn luyện.

Tính các tích phân sau:

Bài 1: I

Bài 2: I cos xdx HD: Tích phân liên kết I* sin xdx

ĐS: I 1 x ln sin x cos x c

2

Bài 3: I sin xdx HD: Tích phân liên kết I* cos xdx

ĐS:I 1 7x 3ln 3cos x 7 sin x c

58

ĐS: I 2 ln 2

16

Bài 5: I 6 cos x dx. HD: Tích phân liên kết I 6*sin x dx.

13

ln(7 4

Bài 6: Icos 2x.sin 6 2 xdx HD: Tích phân liên kết I cos 2x.sin3 4 xdx.

1 3 3

ĐS:I

Bài 7: I 3sin x 2 cos x dx HD:

cos x sin x

Tích phân liên kết I* sin xdx 1 x 5ln c

Bài 8: I 2 4 sin x 3cos x .d

x

0 sin x cos x 1

0 sin x cos x 1 0 0 sin x cos x 1 0sin x cos x 1

7

Tích phân liên kết I * 4 cos xdx .ĐS:I (2 ln 2)

4

0 sin x cos x 1

I

1

dx.

x6 (1 x 2 ) ĐS: I 468 164 3 45 540

x 4

HD: Tích phân liên kết 3

I

1

dx.

x6 (1 x 2 )

Bài 10: I cos 2xdx HD:Tích phân liên kết I sin 2xdx

13

Để học sinh hiểu sâu và thêm hứng thú, say mê với giải toán nguyên hàm và tích phân, đồng thời phát huy khả năng sáng tạo của các em tôi đã định hướng giúp học sinh dựa trên cơ sở các dạng nguyên hàm thường gặp (ở mục 2.3.3) xây dựng các bài nguyên hàm và tích phân mới bằng cách thay số, cận cụ thể (Phụ lục 1)

Trong một số tiết luyện tập tôi đã yêu cầu một số em học sinh khá giỏi ra bài tập cho cả lớp cùng làm, các em rất hứng thú và nhiều em đã sáng tạo khi ra bài

tập, có rất nhiều bài nguyên hàm và tích phân hay được các em đưa ra như em: Nguyễn Thị Linh, Nguyễn Thùy Dương, Vũ Thị Lan Anh Cách làm như vậy khiến học sinh thật sự trở thành trung tâm của quá trình dạy học, các em chủ động tiếp thu kiến thức và tích cực hơn trong việc tự học trên lớp cũng như ở nhà

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

Tôi đã cho 2 lớp làm bài kiểm tra ở hai thời điểm trước tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 1) và sau khi tác động (kiểm tra viết 45 phút lần 2, hai đề lần 1 và lần 2 lượng kiến thức tương đương nhau) để thấy được hiệu quả của sáng kiến

Đề kiểm tra (Phụ lục 2): Các bài tập trong đề kiểm tra được soạn từ sách tham khảo, đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường THPT Kết quả bài khảo sát kiến thức về nguyên hàm và tích phân được thống kế như sau:

Bảng 1: Lớp thực nghiệm 12C6.

Số bài Điểm

Bảng 2: Lớp đối chứng 12C5.

Số bài Điểm

Bảng 3: Trước tác động.

15