SKKN rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua giải bài tập về véc tơ trong hình học 10a

Trong việc học toán học, cần tìm ra được phương pháp, nắm bắt được quy luật và bản chất của một vấn đề, đặc biệt là giải bài tập về phương trình và hệ phương trình.. Là giáo viên dạy toá

MỤC LỤC

I.MỞ ĐẦU 2

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4

2.1.Cơ sở lý luận 4

2.2 Thực trạng vấn đề 4

2.3.Qúa trình thực hiện 4

2.3.1 Kiến thức cơ bản 4

2.3.2.Dùng bất đẳng thức để giải phương trình 5

2.3.3.Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình 10

2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19

I.MỞ ĐẦU 1.1 Lý do do chọn đề tài.

Thực tiễn dạy học nói chung và dạy toán nói riêng, đòi hỏi người thầy phải thực sự là người dẫn dắt , định hướng và khơi dậy trong học sinh niềm đam mê, hứng thú học tập và khám phá để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và tự giải quyết vấn đề Trong việc học toán học, cần tìm ra được

phương pháp, nắm bắt được quy luật và bản chất của một vấn đề, đặc biệt là giải bài tập về phương trình và hệ phương trình Học sinh chưa có phương pháp tổng quát hoặc chưa chọn lựa được phương pháp tối ưu để giải quyết các bài tập ở các thể loại khác nhau theo tư duy hệ thống,khái quát, lôgic và khoa học

Là giáo viên dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợp lại thành một chuyên đề , để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán một cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán một cách chính xác, linh hoạt khơi dậy tính tích cực, chủ động , tự giác học tập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải một số bài toán nhanh gọn và tiết kiệm được thời gian

Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi, học sinh ôn thi vào các trường Đại học, cao đẳng, tốt nghiệp THPT Đặc biệt

là việc phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong hoạt độnghọc tập Với các lý do trên, tôi đã tiến hành khảo sát, triển khai thực hiện đề tài :

" Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình"

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích là để nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ giảng dạy môntoán nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh ôn thi Đại học, cao

đẳng,tốt nghiệp THPT về lĩnh vực phương trình và hệ phương trình

Nghiên cứu để tìm ra các tính chất đặc trưng của một số phương trình và hệ phương trình để giải nó bằng phương pháp dùng bất đẳng thức, nhằm phát triển

tư duy toán học Từ cụ thể đến tổng quát và từ tổng quát đến cụ thể

Học sinh nắm được cách giải phương trình và hệ phương trình

bằng phương pháp bất đẳng thức

1.3 Đối tương nghiên cứu.

Các dạng toán giải phương trình , hệ phương trình và các bất đẳng

thức trong chương trình trung học phổ thông

1.4.Phương pháp nghiên cứu

Điều tra khảo sát thực tế để nắm bắt được chất lượng giảng dạy môn toán

ở trường trung học phổ thông nhất là trong lĩnh vực giải phương trình,

hệ phương trình và bồi dưỡng học sinh giỏi

Điều tra sự phát triển tư duy toán học qua quá trình học toán của một

số học sinh khá, giỏi về môn toán

Đọc và nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu

tham khảo về môn toán

Thực hành thử nghiệm qua học sinh khá, giỏi

2

Kết quả thực nghiệm tại trường trung tâm GDTX Nông Cống năm học

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lý luận.

Một trong những trọng tâm của đổi mới chương trình và sách giáo khoa giáo dục phổ thông là tập trung vào đổi mới phương pháp dạy học, thực hiện việc dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo góp phần hình thành phương pháp và nhu cầu tự học, bồi dưỡng hứng thú họctập, tạo niềm tin và niềm vui trong học tập cho học sinh Tiếp tục tận dụng các ưu điểm của phương pháp truyền thống và dần dần làm quen với phương pháp dạy học mới

Khi giải một bài toán , học sinh thường cố gắng tìm ra một phương pháp tối ưu, ngắn gọn, chặt chẽ, chính xác nhất trong nhiều cách giải bài toán đó Với cách học như vậy sẽ giúp các em tích lũy được nhiều kinh nghiệm giải toán và giải toán sáng tạo Để bổ sung cho học sinh phương pháp giải

phương trình và hệ phương trình tôi giới thiệu đề tài :

" Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình"

2.2.Thực trạng vấn đề.

* Thuận lợi:

Đa số học sinh đều thích học môn toán, các em học toán để chuẩn bịcho các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, Đại học, cao đẳng và thi họcsinh giỏi Ngoài ra, được sự động viên quan tâm giúp đỡ của ban giám đốctrung tâm cũng như đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện

đề tài này

* Khó khăn:

Học sinh khối giáo dục thường xuyên nói chung và học sinh trung tâm GDTX Nông Cống nói riêng,đa số học sinh có chất lượng đầu vào rất thấp,

tư duy hệ thống lôgic và khái quát của các em học sinh rất hạn chế Mặt

khác, học sinh chủ yếu là con em nông thôn, gia đình ở xa trường,điều kiện kinh tế khó khăn, ngoài thời gian học ở trường thì các em còn phải làm giúp gia đình vì thế cũng có phần khó khăn cho việc lĩnh hội kiến thức các bộ mônđặc biệt là bộ môn toán, trong đó có phần phương trình và hệ phương trình

2.3 Qúa trình thực hiện.

2.3.1.Các kiến thức cơ bản.

1 a b a b dấu " " xảy ra khi ab 0

2 a 2 b 2 2ab dấu " " xảy ra khia b

Có rất nhiều tài liệu đã chứng minh bất đẳng thức này, ở đây tôi xin

không trình bầy chứng minh

2.3.2.Dùng bất đẳng thức để giải phương trình.

Kỹ thuật dùng bất đẳng thức để giải phương trình thường phong phú và

đa dạng Khi giải dạng toán bằng phương pháp này, cần quan sát và có kỹ

năng nhận biết các cặp số, có kiến thức về bất đẳng thức vững vàng, một tư

duy sắc bén để từ đó có thể vận dụng một cách linh hoạt trong khi giải toán.

Ta cùng đến với một số bài toán lý thú sau:

Bài 1: Giải phương trình: 16 x 4 5 6 3 4x 3 x

Nếu học sinh nhìn bài toán dưới góc độ của một phương trình vô tỉ cơ bản f( x)g(x ) và giải bài toán này bằng cách nâng lên lũy thừa thì bài toán quá phức tạp và khó giải.Do đó, tôi đã dẫn dắt học sinh bằng cách quan sát,

sử dụng điều kiện hợp lý bất đẳng thức Cauchy kết hợp với biến đổi tương đương chúng ta tìm ra lời giải ngắn gọn và chính xác

Lời giải:

Điều kiện có nghĩa: Vì 16 x4 5 0 nên 3 4 x 3 x 0 x 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương 4 x; 4 x2 1; 2 ta có:

Đây là bài toán cơ bản đối với học sinh Học sinh có thể giải bằng

phương pháp đặt ẩn phụ Nhưng ở đây, tôi muốn giới thiệu thêm cho học sinh phương pháp bất đẳng thức Bunhiacôpxki và bất đẳng thức Côsi để giải dạng toán này.

Cách thiết kế những bài toán như vậy sẽ kiểm tra được nhiều luồng kiến

Vậy phương trình trên có nghiệm duy nhất là x=6

Cách 2: Áp dụng đẳng thức Côsi cho 2 số không âm, ta có :

Để dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski đánh giá vế trái là một kỹ thuật hay

và khó Bài toán này nếu giải theo cách khác sẽ phức tạp và gặp khó khăn.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bài 4: Giải phương trình: 13 x 2 x 4 9 x 2 x4 16

2

9 x 2 x439 x2 1 2 (2)

4Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta có:

Vậy phương trình có nghiệm là: x 2 55 .

Bài 5: Giải phương trình: x 4 4 2 x 4 4 2 x4 4

Quan sát phương trình ta thấy bậc của phương trình quá cao, nếu học sinh giải bằng phương pháp nâng lũy thừa hoặc đặt ẩn phụ thì bài toán sẽ gây không ít khó khăn và khó về đích một cách an toàn, chính xác.Do đó tôi

đã hướng dẫn học sinh áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, chính xác và tiết kiệm được thời gian.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6: Giải phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm là x 1 5

3 x 2 6 x 12 5 x 2 10 x 9 3 4 x 2 x2 (*)

Nhận xét: Nếu học sinh nhìn bài toán ở góc độ phương trình có dạng

f ( x ) g ( x ) h ( x ) thì quá trình gải bài toán sẽ gặp phương trình bậc cao, gây khó khăn và bài toán trở nên phức tạp Do đó, tôi đã hướng dẫn học sinh bằng cách quan sát biểu thức trong căn và vế phải, ta thấy đó là các tam thức bậc hai, nên áp dụng các biểu thức dương để giải dạng toán này.

Lời giải

Ta có: 3 x 2 6 x 12 3( x 1) 2 9 9, x.

5 x 2 10 x 9 5( x 1) 2 4 4, x.

Suy ra: 3 x 2 6 x 12 5 x 2 10 x 9 5 (1)

Mặt khác, 3 4 x 2 x2 5 2( x 1) 5, x. (2)

Từ (1) và (2) đẳng thức xảy ra khi x=-1 (thỏa mãn(*))

Vậy phương trình có nghiệm là x 1

Bài 8: Giải phương trình: 2 x 2 10 x 13 26 x 2 24 x 8 4 x 1

Nhận xét: Nhìn ở góc độ nào đó thì học sinh quan sát thấy bài 8 có dạng giống bài 7 Nhưng thực tế bài 8

có lời giải tinh tế hơn nhiều do vế phải là nhị thức bậc nhất.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp bất đẳng thức cũng rất đa dạng

và phong phú Nó giúp chúng ta có thể giải bài toán một cách ngắn gọn, tinh

tế và giảm tải được kỹ thuật tính toán.

Bài 1: Giải hệ phương trình:

giải độc đáo và sáng tạo hơn.

x y 8

x 2 9y2 9 10

Nếu học sinh nhìn bài toán ở góc độ hệ phương trình đối xứng loại 2 và giải bài toán theo phương pháp đó, tuy nhiên lời giải sẽ dài và không tiết kiệm được thời gian ở đây, tôi sẽ hướng dẫn cho học sinh giải theo hai cách để học sinh tích lũy thêm được các phương pháp giải hệ phương trình Qua đó giúp học sinh thấy được tính tối ưu của phương pháp bất đẳng thức.

u v 1

x y 4

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: y4

Cách 2: Trước hết ta có bất đẳng thức sau đây.

Dấu"'=" xảy ra khi u,v cùng hướng

(3 y 1) 2 2 1

[u v 2 u v 2

x y1 3

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm là: ( x; y) (1;1), ( 1

3 xy x y 1

x 2 y2Dấu "=" xảy ra khi: ( y 1) 2 ( x 1)2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là : ( x; y) (1;1), ( 1

Sau đây tôi xin trình bày lời giải bài toán bằng 2 cách để học sinh rút

ra phương pháp tối ưu khi giải toán

Lời giải.

2 y 12 Điều kiện: 2 3 x 2 3

Cách 1: Đặt 12 y t ; t 0 y 12 t2

(3 y ) 12 y 12 y 3 2 2 y 2 0 (3 y ) 12 y 3 y 2(3 y) 0

Vì x 0 nên x2 3 x 1 2( x 3) 0

1 10 x2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất y 3

Bài 5: Giải hệ phương trình

Đối với bài toán này khi quan sát phương trình (2) của hệ ta thấy x và

y có vai trò như nhau hay có tính đối xứng Do đó ,tôi đã hướng dẫn học sinh dùng bất đẳng thức để gải quyết dạng toán này

Lời giải

5ĐK:

Thay vào phương trình (1) ta được:

Quan sát phương trình (1) của hệ ta thấy các biểu thức trong căn là các phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với x và y Do đó tôi đã hướng dẫn học

sinh dùng bất đẳng thức phụ sau để giải quyết dạng toán này.

(Xin không trình bầy chứng minh bất đẳng thức phụ này)

2 x y 2( x y)

Dấu "=" xảy ra khi x y 0

Thay vào (2) ta được

(8 x 6) x 1 (2 x 2)( x 4 x 2 3)

Đến đây dùng phương pháp hàm số ta được:

x 1 x 2 2 (vô nghiệm)

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Bài 7 : Giải hệ phương trình:

Nhận xét:Bài toán này có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoăc phương pháp hệ đối xứng loại 2.Nhưng ở đây tôi đẵ hướng dẫn học sinh bằng sự đánh giá giữa hai ẩn, ta tìm được x y là then chốt của bài toán, ý tưởng này được sử dụng rộng trong các bài toán chứa ẩn có vai trò như nhau.

Bài 8: Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm y 0

Nhận xét.Qủa thật bài toán trên có lời giải bất ngờ và đơn giản, chỉ cần sử dụng điều kiện của bài toán như một nhận xét là tìm được lời giải.Bài toán này không khó, có thể giải theo cách khác nhưng dài và không đẹp Vì vậy, trước khi giải hệ phương trình vô tỉ nên quan tâm đến điều kiện của ẩn số.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Đã hình thành cho học sinh một số kỹ năng " Dùng bất đẳng thức để giảiphương trình và hệ phương trình" Giúp học sinh nhìn nhận một dạng toán dưới nhiều phương pháp giải khác nhau và lựa chọn phương pháp tối ưu nhất trong quá trình vận dụng linh hoạt các kĩ thuật giải

Ôn tập, cũng cố và đào sâu các kiến thức giúp học sinh hình thành thói quen suy nghĩ, định hướng tìm tòi lời giải trước một bài toán Từ đó giúp học sinh có thói quen giải toán theo một trình tự khoa học

Giúp học sinh phân loại được các dạng bài tập và phương pháp, kỹ nănggiải cho từng loại bài tập đó, tạo cho các em hình thành thói quen khám phá,

17

khai thác tìm tòi lời giải cho một bài toán Từ đó phát huy được tính tích cực, độc lập suy nghĩ trong quá trình giải toán một cách lôgic và hiệu quả.Xây dựng được một hệ thống phương pháp và kỹ năng giúp cho học sinh

và đồng nghiệp có một tư liệu tham khảo cho hoạt dộng dạy học toán học vớiviệc bồi dưỡng học sinh khá giỏi và học sinh dự các kỳ thi Đại học, cao đẳng,tốt nghiệp THPT Quốc Gia

Kết quả cho thấy đa số học sinh biết ứng dụng và giải được các bài

toán về phương trình và hệ phương trình

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận.

Phương trình, hệ phương trình không chính tắc là một dạng toán khó,

đa dạng, thường được dùng trong các kỳ thi học sinh giỏi,Đại học, cao đẳng

và tốt nghiệp THPT

Sáng kiến kinh nghiệm góp phần thiết thực vào việc ôn thi đại học,cao đẳng, tốt nghiệp THPT của học sinh Nó giúp học sinh thấy được cáchgiải quyết vấn đề nhanh chóng và hiệu quả khi nắm được phương pháp.

Sử dụng bất đẳng thức và tính chất của nó vào giải phương trình, hệ phương trình là một ứng dụng lớn Sự phân chia như trên chỉ là ý tưởng của tôi, còn nhiều phần chưa nêu hết.Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài có thể triển khai áp dụng rộng rải vào việc giảng dạy cho học sinh khối 12 chuẩn bị thi Đại học, cao đẳng, tốt

Cần khuyến khích động viên mỗi giáo viên thực hiện và áp dụng

những sáng kiến kinh nghiệm hay để đẩy mạnh phong trào chuyên môn

cũng như phương pháp giảng dạy hay trong nhà trường

* Với sở giáo dục và đào tạo:

Đề nghị được sự quan tâm đầu tư, mở nhiều chuyên đề bồi dưỡng cóliên quan đến môn toán Đặc biệt bồi dưỡng giáo viên ôn thi học sinh giỏi đểnâng cao trình độ, phương pháp, năng lực sư phạm cho giáo viên

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị. Thanh Hóa, ngày tháng năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinhnghiệm của mình viết, không sao chépnội dung của người khác

Người viết

Lê Thị Minh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Báo toán học tuổi trẻ

2 Bộ GD&ĐT các đề thi Đại học, thi tốt nghiệp THPT môn toán

3 Bộ sách giáo khoa môn toán nhà xuất bản giáo dục

4 Bộ sách bài tập môn toán nhà xuất bản giáo dục

5 www Vn.math.com.

6 www.violet.vn, các đề thi, kiểm tra thử của các trường THPT

7 Phan Đức Chính, các bài giảng luyện thi môn toán -nhà xuất bản GD-1999

8 Phan Huy Khải , giới thiệu các dạng toán luyện thi Đại học-nhà xuất

bản HN-2000

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG TRUNG TÂM GDTX NÔNG CỐNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM