SKKN rèn LUYỆN kĩ NĂNG cơ bản về PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN CHO học SINH TRUNG BÌNH, yếu

Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 qua các năm học, tôi thấy kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không gian của học sinhcòn yếu.. Hơn thế nữa từ năm 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC

SINH TRUNG BÌNH, YẾU.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Huê Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn):: Toán

THANH HÓA NĂM 2019

Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.3.2 Mô tả các giải pháp sau khi có sáng kiến kinh nghiệm 6

2.4

.

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Như chúng ta đã biết hiện nay công nghệ thông tin đang phát triển mạnh

mẽ và có những bước tiên nhảy vọt Khoảng cách giữa các phát minh khoa học

- công nghệ và áp dụng vào thực tiễn ngày càng thu hẹp lại Kho tàng tri thứcnhân loại ngày càng phong phú, đa dạng và tăng nhanh Xu thế toàn cầu hóa vàhội nhập kinh tế ngày càng mở rộng.Để đáp ứng được những xu thế trên đòi hỏingành Giáo dục cần đổi mới phương pháp dạy học nhằm đào tạo nên những conngười không những giỏi về tri thức mà còn cần có kĩ năng sống tốt, kĩ năng giảiquyết công việc nhanh nhẹn và hiệu quả

Do vậy môn Toán nói chung và môn toán THPT nói riêng đứng trước một yêu cầu cấp bách là đổi mới về nội dung, mục tiêu và phương pháp dạy học.Trong Toán học thì bài tập đóng vai trò quan trọng Thông qua việc giải cácbài toán cụ thể, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cảnhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp, những hoạtđộng toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt độngngôn ngữ Vì vậy trong dạy học Toán, việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho họcsinh là một vấn đề quan trọng, là một trong những mục tiêu dạy học Toán cầnphải được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ và liêntục.Thông qua việc rèn luyện kĩ năng, học sinh biết vận dụng những kiến thứcđược học vào luyện tập, qua đó giúp học sinh hiểu sâu, nắm vững kiến thức,đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ, những kĩ năng cần thiết cho cuộcsống

Trong chương trình toán THPT, phương pháp tọa độ trong không gian nóichung, phương trình đường thẳng nói riêng là một trong những nội dung quantrọng Để làm tốt được nội dung này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiếnthức về hình học không gian, quan hệ giữa điểm, đường thẳng, mặt phẳng vàmăt cầu Đây là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong kì thi THPT quốc gia,

do đó yêu cầu học sinh làm tốt các bài toán liên quan là hết sức cần thiết

Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 qua các năm học, tôi thấy

kĩ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong không gian của học sinhcòn yếu Học sinh còn gặp khó khăn và dễ mắc sai lầm khi giải toán Đa số họcsinh đều cho rằng hình học là một môn khó, chiếm tỉ lệ điểm thấp trong mônToán nên một số em không chú ý học dẫn đến các kiến thức cơ bản liên quanđều không nắm vững Hơn thế nữa từ năm 2017 trở lại đây, môn Toán lại thitheo hình thức trắc nghiệm nên một số bộ phận học sinh không chú ý học phầnnày mà các em có tư tưởng khoan bừa hoặc dùng máy tính để bấm xác suất chọnphương án trả lời cho câu hỏi liên quan.Vì vậy việc hệ thống hóa và phân dạngbài tập cơ bản cho số đông học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình, yếu có thểtiếp thu tốt và viết được phương trình đường thẳng trong không gian là việc làmcần thiết

Xuất phát từ những lí do trên, tôi xin mạnh dạn đưa ra một kinh nghiệm

nhỏ“ Rèn luyện kĩ năng cơ bản về phương trình đường thẳng trong không

1

gian cho học sinh trung bình, yếu” nhằm rèn luyện cho các học sinh có kĩ năng

xác định được phương trình đường thẳng và các bài toán liên quan một cáchnhanh nhất

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Thông qua đề tài này để xây dựng hệ thống bài toán và đưa ra một số biệnpháp nhằm rèn luyện kĩ năng, giúp học sinh phát huy được khả năng tìm lời giảinhanh gọn nhất của những bài toán liên quan đến phương trình đường thẳngtrong không gian, từ đó hình thành hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủđộng, sáng tạo và linh hoạt khi giải quyết công việc

Giúp học sinh thấy được toán học có nhiều ứng dụng trong thực tế, qua đókích thích đam mê, hứng thú học tập môn toán nói chung và phân môn hình học,nhất là hình học không gian nói riêng ở học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

+) Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian

+) Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

+ Phương pháp nghiên cứu điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

+ Phương pháp thống kê, xử lí số liệu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện

giáo dục và đào tạo cũng đã khẳng định: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực…”

Trong học tập môn Toán, tư duy giải bài tập là hoạt động chủ đạo và thườngxuyên, thông qua đó rèn luyện kĩ năng, phát triển trí tuệ và nâng cao tính tíchcực, chủ động của học sinh

Thực tế giảng dạy các tiết tại Trường THPT Triệu Sơn 4 qua những năm đảmnhiệm dạy lớp 12 tôi thấy kĩ năng viết phương trình đường thẳng trong khônggian của học sinh còn yếu Các em gặp khó khăn và dễ nhầm lẫn khi giải bàitoán dạng này với bài toán viết phương trình mặt phẳng, nhầm lẫn với phươngtrình đường thẳng trong mặt phẳng Hơn nữa trong sách giáo khoa Hình học lớp

12 chỉ đưa ra cách viết phương trình đường thẳng trong không gian một cáchchung chung chưa phân dạng cụ thể, khi gặp một bài toán liên quan học sinhchưa định hướng được nên thực hiện như thế nào Vì vậy việc hệ thống hóa vàphân các dạng bài tập cơ bản để cho học sinh có học lực trung bình, yếu có thểtiếp thu và vận dụng được là việc làm cần thiết

Các dạng viết phương trình đường thẳng trong không gian ở các tài liệutham khảo thì có rất nhiều Tuy nhiên đối với đa số học sinh, khi kiến thức cơ

2

bản còn chưa nắm vững thì khi đọc những nội dung kiến thức này lại càng làmcho các em không thích môn hình học, dẫn đến việc chọn bừa một đáp án theosuy đoán của các em là “Số đẹp”.

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương III hình học 12 nội dung sách giáo khoa có đề cập đến haidạng phương trình của đường thẳng: Phương trình tham số và phương trìnhchính tắc

Để viết được một trong hai dạng phương trình nói trên hoặc cần xác định mộtvài yếu tố theo yêu cầu bài toán thì học sinh cần phải xác định được:

+) Một điểm mà đường thẳng đi qua

+) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Năm học 2018 – 2019 tôi được phân công giảng dạy lớp 12 B 3và 12 B 8 là hai

lớp có chất lượng tương đương nhau Khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy,tôi đã tiến hành cho các em làm bài kiểm tra với nội dung kiến thức và kĩ năng

số học sinh ngộ nhận và mắc phải những sai lầm như:

+ Hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì học sinh cũng thừa nhận luôn vuông góc tức là cắt nhau

+ Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thìsong song với nhau

+ Hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc thì vuông góc với nhau.+ Goc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véc tơ chỉ phương tương ứng của hai đường thẳng đó

Về phía bản thân khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, mặc dù tôi đã cốgắng tìm hiểu nắm vững chuẩn kiến thức, kĩ năng về phương trình đường thẳngtrong không gian và truyền đạt cho học sinh theo đúng chuẩn kiến thức, kĩ năngnhưng:

+ Để đảm bảo về thời gian theo phân phối chương trình(3 tiết) thì có nhiều kĩnăng giáo viên chưa thể rèn luyện và khắc sâu được cho học sinh, đặc biệt là đốivới các kĩ năng có liên quan đến kiến thức đã học từ trước

+ Sau khi dạy xong lí thuyết giáo viên hướng dẫn và giao bài tập cho học sinhtrong sách giáo khoa( các bài 1(a, c, d);3a, 4, 6,9)…nhưng chưa tổng quát thành

3

các dạng toán liên quan một cách hệ thống, bài tập chưa sắp xếp khoa học từ dễ đến khó cũng như chưa có điểm nhấn về kiến thức và phương pháp cần chú ý.+ Một số dạng toán không được đề cập cụ thể trong sách giáo khoa nên chỉđược giáo viên hướng dẫn sơ sơ, chưa đưa ra được phương pháp cụ thể cũngnhư chưa đưa ra được hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng giải các phương trìnhdạng này.

Hạn chế: Học sinh tiếp thu kiến thức thụ động, chưa có phương pháp học tậptích cực, hạn chế phương pháp tự học, kĩ năng giải bài tập còn yếu, thường chỉlàm được một số dạng bài tập ngay sau khi có sự hướng dẫn của giáo viên màchưa có cái nhìn tổng quan về một số dạng toán viết phương trình đường thẳngtrong không gian Khi gặp một dạng toán mới thường hay lúng túng, chưa địnhhướng được cách giải Một số học sinh đề cao tầm quan trọng của máy tính cầmtay và cho rằng chỉ cần có máy tính là làm hết được các câu trắc nghiệm đề radẫn đến kết quả các bài kiểm tra cò thấp

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn

2.3.1.1 Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:

* u⃗ ≠ ⃗0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì u⃗ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d

* u⃗là chỉ phương của d thì k u⃗cũng là chỉ phương của d ( k≠ 0)

2.3.1.2 Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng:

*n⃗ ≠ ⃗0 và có giá vuông góc với mặt phẳng (α ) thì n⃗ là VTPT của (α )

* n⃗ là VTPT của (α ) thì k n⃗cũng là VTPT của (α) , k ≠ 0

2.3.1.3 Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

* Phương trình tổng quát của (α)có dạng :

Ax+ By+Cz + D=0 với A 2 + B 2 +C 2 ≠ 0 .

* Nếu (α) có phương trình: Ax+ By+Cz + D=0

thì VTPT của (α )là n ⃗=( A ;B ;C )

* Nếu (α) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )và nhận n⃗=( A ;B ;C )làm VTPT thì phương trình của (α) là :

A ( x−x0 )+ B ( y− y0 )+C ( z−z0 )=0

⇔ Ax+ By +Cz+ D =0, với D=−A x0 −B y0 −C z0.

* Nếu (α) chứa hay song song với giá của hai vectơ không cùng phương

với a⃗= (a1 ;a2 ;a3) , b⃗

= (b1 ;b2 ;b3 )thì VTPT của (α) là

n⃗= [a ⃗ , ⃗b]=(a2 b3−a3 b2 ;a3 b1 −a1 b3 ;a1 b2−a2 b1 )

*Nếu (α) cắt các trục Ox ,Oy , Ozlần lượt tại A (a ;0;0), B(0;b ;0),C (0; 0; c) thì

( α )có phương trình là :a x + b y + c z =1 (điều kiện a b c ≠ 0)

( phương trình trên gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn )

2.3.1.4 Phương trình của đường thẳng :

Nếu điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )∈dvà VTCP của d là u⃗=(a;b ; c) thì :

4

2.3.1.6 Cách sử dụng máy tính Casio fx570 hoặc máy tính Vinacall:

a) Tính tích vô hướng của hai véc tơ.

Bước 1: Nhấn mode 8: nhấn 1 , nhấn 1 sau đó Nhập véc tơ A

Bước 2: Nhấn Shift 5 nhấn 1, nhấn 2, nhấn 1 nhập véc tơ B

Bước 3: Nhấn AC, nhấn shift, nhấn 5, nhấn 3 đề chọn vec tơ A

Nhấn shift 5, nhấn 7(dot) Tiếp tục nhấn shift 5, nhấn 4 để chọn véc tơ B

Nhấn “=” cho ta kết quả

b) Tính tích có hướng của hai véc tơ.

Bước 1: Nhấn mode 8: nhấn 1 , nhấn 1 sau đó Nhập véc tơ A

Bước 2: Nhấn Shift, 5 bấm 1, bấm 2, bấm 1 nhập véc tơ B

Bước 3: Nhấn AC, nhấn shift, nhấn 5, nhấn 3 đề chọn vec tơ A

Tiếp tục nhấn shift 5, nhấn 4 để chọn véc tơ B

Nhấn “=” cho ta kết quả

2.3.1.7 Cách sử dụng máy tính Casio fx580 VNX :

a) Tính tích vô hướng của hai véc tơ.

Bước 1: Nhấn Menu 5 chọn 1, ấn 3 rồi nhập véc tơ A

Nhấn OPTN nhấn 1, nhấn 2, nhấn 3 rồi nhập véc tơ B.Bước 2: Nhấn OPTN, bấm 3

Nhấn OPTN, bấm 3 để chọn véc tơ A

Nhấn OPTN, bấm phím xuống, chọn 2

Nhấn OPTN bấm 4 chọn véc tơ B

Nhấn “ = ” cho ta kết quả

b) Tính tích có hướng của hai véc tơ.

Bước 1: Menu 5 chọn 1, nhấn 3 rồi nhập véc tơ A

Nhấn OPTN nhấn 2, nhấn 1, chọn 3 rồi nhập véc tơ B.Bước 2: Nhấn OPTN, bấm 3

Nhấn OPTN, bấm 3 để chọn véc tơ A

5

Nhấn OPTN bấm 4 chọn véc tơ B.

Bấm “ = ” cho ta kết quả

2.3.2 Mô tả các giải pháp sau khi có sáng kiến kinh nghiệm.

Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo khoa Hình học 12 Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong không gian lớp 11 Nhằm khắc phục những thiếu sót và sai lầm trên, tôi thực hiện theo các giải pháp sau:

Bước 2: Nội dung được xây dựng và sắp xếp cơ bản theo thứ tự: Kiến thức

cơ bản, ví dụ minh họa, phương pháp giải, bài tập tương tự rèn luyện cho từng dạng cụ thể.

Dựa trên các giải pháp trên cùng với việc tìm hiểu và khai thác các kiến thứcliên quan qua đồng nghiệp và các tài liệu trên mạng internet, tôi xin trình bàynội dung đề tài của minh thông qua các dạng toán sau:

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng biết một điểm mà nó đi qua và biết

phương của đường thẳng.

véc tơ chỉ phương là u⃗=(a;b ; c) thì : x=x0 +at

* Phương trình tham số của đường thẳng d là : :

y= y0 +bt ,t ∈ R

{z= z0 + ct

* Phương trình chính tắc của d là : x−x0 = y− y0 =z−z0 với a b c ≠ 0

Ví dụ 1: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M (3 ;−1; 2) và có

vectơ chỉ phương u=( 4 ⃗ ; 5 ;−7) là:

Lời giải

Theo đề bài ra các em chọn ngay được đáp án C

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương u⃗=(4;−6 ;2) Phương trình tham số

của∆ là:

x=−2+4 t B.{ x=−2+2 t C.{ x=4+ 2t x =2+ 2t

A.{ z=1+2 t z=1+t z=2+t D. {z=−1+t

(Đề thi KSCL Sở GD&ĐT Nam Định năm học 2017 – 2018) Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng ∆ có VTCP u⃗=(4 ;−6 ; 2) nên nó cũng nhận véc tơ

Nhận xét: Thông qua các ví dụ trên giáo viên cần khắc sâu cho học sinh:

+ Mỗi đường thẳng không phải chỉ có một phương trình tham số, chỉ cần chỉ

rõ điểm mà nó đi qua và một véc tơ chỉ phương sẽ cho ta một phương trình tham số của đường thẳng miễn là các véc tơ chỉ phương đó cùng phương, để khắc sâu kiến thức “Mỗi đường thẳng có vô số các véc tơ chỉ phương và các véc tơ đó cùng phương với nhau”.

+ Kì thi THPT quốc gia, các bài toán cho dưới hình thức trắc nghiệm nên không phải câu hỏi nào cũng yêu cầu viết phương trình đường thẳng mà có thể xác định yếu tố liên quan đến PT đường thẳng Chẳng hạn:

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d có phương

Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz cho véctơ u⃗=(1 ; 3 ; 1), đường thẳng nào dưới

đây nhận u⃗ là véctơ chỉ phương?

M (2;0;−1)

7

{x=1+2 t{x=1+2t { x=2+t { x=2+t

A y=3+3 t B y=2−3t C. y=3+3 t D y=3+5t

z=1−4 tz =2−4 tz=−4 +tz=−4−3 t

(SGD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)

Dạng 2:Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm một véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Bước 2: Viết PT đường thẳng theo phương trình (1) hoặc phương trình (2)

Tuy nhiên ở mỗi bài toán cụ thể thì việc tìm véc tơ chỉ phương lại khácnhau tùy theo dữ liệu bài cho Cụ thể ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M (−1;2;0) và mặt phẳng

( α ): 2 x−3 y + z−2=0 Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng (α) ?

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α ) nên ∆song song hoặc trùng với

giá của véctơ pháp tuyến của mặt phẳng(α) Vậy ∆ nhận n⃗(α ) làm véctơ chỉ

Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng ∆

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M (1 ; 2 ;− 3 ) Viết phương trình

đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (Oxy ).

8

Nhận xét: + Thông qua các ví dụ trên cần nhấn mạnh cho học sinh nắm vững

kiến thức: “Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó nhận véc

tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó làm véc tơ chỉ phương”.

+ Mặt phẳng (Oxy ); (Oyz) và (Oxz) có các véc tơ pháp tuyến lần lượt là k⃗ ; i⃗

; ⃗j (là các véc tơ đơn vị của các trục tọa độ z' Oz ; x' Ox ; y' Oy Do đó khi viết phương trình đường thẳng vuông góc với các mặt phẳng tọa độ thì chỉ viết được phương trình tham số mà không viết được dạng chính tắc, để học sinh không mắc phải sai lầm khi gặp bài toán dạng này.

Cách 2: Vì đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d

các điểm M (x ; y ; z) sao cho:

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Phương trình tham số của đường

thẳng đi qua điểm M (1 ; 3;4) và song song với trục hoành là

+ Hai đường thẳng song song thì có cùng véc tơ chỉ phương.

+ Trong trường hợp đặc biệt:

9