SKKN vận dụng linh hoạt đạo hàm để giải phương trình, bất phuuwong trình, hệ phương trình chứa tham số

Hơn nữ̃a thời lượng dành cho cá́c bài tập á́p dụ Vng phương phá́p hàm số lại rất ít, do đó giá́o viên cũng khó khăn trong việVc giúp học sinh nắm vữ̃ng kiến thứ́c cùng cá́c kin

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG LINH HOẠT ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

Người thực hiện: Mai Thị Huyền Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA THÁNG 5 NĂM 2019

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đich nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

1.5 Những điểm mới trong kết quả nghiên cứ́u 1

2 NỘI DUNG CỦA SANG KIÊN KINH NGHIÊM 1

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiên kinh nghiệm 1

2.2.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiên kinh nghiệm 2

2.3 Cá́c biệVn phá́p đã tiến hành để̉ giải quyết vấn đề 3

2.4 Thực nghiệVm sư phạm 11

3 KẾT LUẬN, KIÊN NGHỊ 12

3.1 Kêt luân 12

3.2 Kiên nghị 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Nghiên cứ́u sá́ch giá́o khoa môn toá́n lớ́p 10, 11, 12 và cá́c đề tuyể̉n sinh

ĐH - CĐ trong nhữ̃ng năm gần đây tôi nhận thấy dạng bài toá́n về vận dụ Vng đạo hàm (Phương phá́p hàm số) thường được sử dụ Vng trong cá́c kì thi Hơn nữ̃a thời lượng dành cho cá́c bài tập á́p dụ Vng phương phá́p hàm số lại rất ít, do đó giá́o viên cũng khó khăn trong việVc giúp học sinh nắm vữ̃ng kiến thứ́c cùng cá́c kinh nghiệVm cần thiết để̉ giải cá́c dạng bài tập này

Hầu hết cá́c bài tập có chứ́a tham số trong chương trình THPT đều có thể̉ á́p dụ Vng đạo hàm số để̉ giải, tuy nhiên không phải học sinh nào cũng có khả năng cô lập tham số, tìm được hàm đặc trưng… Đặc biệVt vớ́i học sinh lớ́p 11 thì điều này lại càng khó khăn hơn nhiều

Xuất phá́t từ thực tế trên, qua kinh nghiệVm dạy học của mình, tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệVm về vận dụ Vng đạo hàm để̉ giải cá́c bài toá́n về phương trình, hệV phương trình, bất phương trình Nhằm giúp cá́c em tiếp thu kiến thứ́c được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học

sinh ngày được nâng lên Tôi viết bài “Vận dụng linh hoạt đạo hàm để giải

phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số”.

1.2 Muc đich nghiên cưu

Do đây là phần nội dung kiến thứ́c khó, trừu tượng, có nhiều kiến thứ́c tổng hợp, nhiều học sinh còn chưa quen vớ́i tính tư duy, trừu tượng của nó nên tôi nghiên cứ́u nội dung này nhằm tìm ra nhữ̃ng phương phá́p truyền đạt phù hợp cho học sinh, bên cạnh cũng nhằm thá́o gỡ vướ́ng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải vớ́i mong muốn nâng cao chất lượng dạy học

1.3 Đối tượng nghiên cưu

Đối tượng nghiên cứ́u trong đề tài là học sinh khối 12 qua cá́c năm giảng dạy từ trướ́c đến nay

1.4 Phương phap nghiên cưu

Để̉ thực hiệVn mụ Vc đích và nhiệVm vụ V của đề tài, trong quá́ trình nghiên cứ́u tôi đã sử dụ Vng cá́c phương phá́p sau:

Phương phá́p quan sá́t (công việVc dạy -học của giá́o viên và học sinh) Phương phá́p điều tra (nghiên cứ́u chương trình, hồ sơ chuyên môn, ) Phương phá́p đàm thoại phỏng vấn(lấy ý kiến của giá́o viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp)

1.5 Những điểm mới trong kết quả nghiên cứu

Đa số cá́c em học khá́ giỏi có hứ́ng thú vớ́i việVc á́p dụ Vng cá́c phương phá́p này để̉ giải, học sinh chuyể̉n biến rất rõ rệVt, cá́c em không còn e ngại vớ́i cá́c bài toá́n có chứ́a tham số hay hệV phương trình, một số em học yếu ham học hơn, vươn lên học tập tốt hơn

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM

2.1 Cơ sở lý luận của sang kiên kinh nghiêm

Đổi mớ́i phương phá́p dạy học là sự thay đổi từ cá́c phương phá́p dạy học tiêu cực đến cá́c phương phá́p tích cực, sá́ng tạo Nhưng không phải thay đổi ngay lập tứ́c bằng nhữ̃ng phương phá́p hoàn toàn mớ́i lạ mà phải là một quá́ trình á́p dụ Vng phương phá́p dạy học hiệVn đại trên cơ sở phá́t huy cá́c yếu tố tích

1

cực của phương phá́p dạy học truyền thống nhằm thay đổi cá́ch thứ́c, phương phá́p học tập của học sinh chuyể̉n từ thụ V động sang chủ động Do đó trong quá́ trình dạy học đòi hỏi mỗi thầy cô giá́o phải tích cực học tập, không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mớ́i phương phá́p dạy học theo hướ́ng phá́t huy tính tích cực, tự giá́c, chủ động sá́ng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học, sá́ng tạo, khả năng vận dụ Vng kiến thứ́c vào thực tế, đem lại sự say mê, hứ́ng thú học tập cho cá́c em

Đối vớ́i học sinh yếu kém cần tạo nên cho cá́c em có hứ́ng thú học tập môn toá́n, còn đối vớ́i học sinh khá́ giỏi cần rèn luyệVn cho cá́c em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sá́ng tạo Chính vì vậy việVc dạy, học toá́n không đơn thuần chỉ cung cấp cho cá́c em vốn kiến thứ́c thông qua việVc làm bài tập càng nhiều càng tốt, càng khó càng hay, mà còn phải rèn luyệVn cho cá́c em khả năng tư duy, sá́ng tạo, giải bài toá́n bằng nhiều cá́ch khá́c nhau

Do đây là phần nội dung kiến thứ́c khó, vì nó trừu tượng, có nhiều kiến thứ́c tổng hợp, nhiều học sinh còn chưa quen vớ́i tính tư duy, trừu tượng của nó nên tôi nghiên cứ́u nội dung này nhằm tìm ra nhữ̃ng phương phá́p truyền đạt phù hợp cho học sinh, bên cạnh cũng nhằm thá́o gỡ nhữ̃ng vướ́ng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải vớ́i mong muốn nâng dần chất lượng dạy hoc

Học sinh đã có kiến thứ́c về phương trình, bất phương trình và hệV phương trình ở lớ́p dướ́i

Học sinh đã biết cá́ch khảo sá́t hàm số và có kiến thứ́c về sự tương giao giữ̃a cá́c đồ thị V

Giá́o viên có trực tiếp soạn, giảng môn toá́n ở lớ́p 12

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

a Thuận lợi: Đưa được bài toá́n tìm giá́ trị V tham số để̉ phương trình, bất

phương, hệV phương trình có nghiệVm về dạng f( x)g( m) hoặc f( x)g( m) sau đó

ta sử dụ Vng cá́c mệVnh đề trên để̉ giải quyết bài toá́n đơn giản

Vấn đề về hàm số là vấn đề tương đối khó vớ́i đặc thù học sinh Trường THPT Lê Hồng Phong

Thời lượng học sinh được giá́o viên hướ́ng dẫn rất ít mà cá́c bài tập ở dạng này thì đa dạng, phong phú về nội dung

Học sinh thường mắc sai lầm khi giải cá́c bài toá́n về tìm tham số m để̉ phương trình, bất phương trình có nghiệVm

b Khó khăn:

Trong quá́ trình giảng dạy, tôi thấy đa số học sinh nắm kiến thứ́c chưa chắc, khả năng tưởng tượng còn hạn chế Ý thứ́c học tập của cá́c em chưa thực

sự tốt, nhiều em hỏng kiến thứ́c ở lớ́p dướ́i nên rất chá́n khi học phần này Cá́c

em chưa thấy được ứ́ng dụ Vng to lớ́n của đạo hàm

Không phải mọi bài toá́n đều đưa được về dạng f ( x ) g ( m ) hoặc f ( x ) g ( m ); f ( x ) g ( m ) , nhất là khi g(m) là một đa thứ́c theo m mà bậc của m không cùng bậc Vì thế vớ́i mong muốn đóng góp vào việVc nâng cao chất lượng dạy và học, giúp cá́c em thá́o gỡ được phần nào sự lúng túng, qua kinh nghiệVm

dạy học của mình tôi mạnh dạn đưa ra phương pháp giải quyết các bài toán có

ứng dụng sự biến thiên của hàm số nhằm giúp học sinh nắm được kiến thứ́c cơ

bản, hình thành phương phá́p chung để̉ giải chúng

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để̉ giải quyết vấn đề

A.Cơ sở lý thuyết:

1 Kiến thứ́c chuẩn bị V

Cho hàm số y = f(x) liên tụ Vc trên miền D

1.1 NghiệVm của phương trình f(x) g(x) là hoành độ giao điể̉m của đồ thị V

1.2 NghiệVm của bất phương trình f(x) g(x) là

nằm ở phía trên so vớ́i phần đồ thị V y g x

a

phần hoành độ tương ứ́ng vớ́i phần đồ thị V y u x nằm

ở phía dướ́i so vớ́i phần đồ thị V y v x

1.4 NghiệVm của phương trình f(x) m là hoành độ giao điể̉m của đường

thẳng y m vớ́i đồ thị V y f x

2 Cá́c kết quả thường dùng : Cho hàm số y = f(x) liên tụ Vc trên miền D

2.1 Cho hàm số y = f(x) đơn điệVu trên tập D

2.2 BPT f(x) m đúng x D Min f x m

x D

x D

2.4 BPT f(x) m có nghiệVm x D Max f x m

x D

2.5 BPT f(x) m có nghiệVm x D Min f x m

x D

2.6 PT f(x) = m có nghiệVm x D Min f x m M ax f x

3 Phương phá́p giải

Phương phá́p chung để̉ giải cá́c bài toá́n tìm giá́ trị V tham số m để̉ phương trình, hệV phương trình, bất phương trình có nghiệVm là:

Biến đổi PT ( BPT) về dạng f(x) g(m) hoặc f(x) ≥ g(m) hoặc f(x) ≤ g(m).

Lập bảng biến thiên của hàm f(x) trên tập xá́c đị Vnh D của nó.

Tìm Min f x , Max f x ( Nếu có).

x D x D

Vận dụ Vng một trong cá́c kết quả trên mụ Vc 2 để̉ kết luận

B Bài tập á́p dụ Vng:

1.Cá́c bài tập về phương trình và hệV phương trình

1.1.(Đề TSĐH khối A, 2007)

Tìm m để̉ phương trình 3 x 1 m x 1 2 4x 2 1 (1) có nghiệVm thực Giả̉i:

ĐK: x 1 ,

3

+ Biến đổi phương trình (1) 3 x 1 24 x 1 m .

x 1 x 1

x 1

x 1

Khi đó g t 3t2 2t m 1

Ta có g t 6t 2 0 t

Do đó (1) có nghiệVm 1 m

3

Nhận xét: Sai lầm phổ biến của học sinh đó là không tìm điều kiện đúng

cho biến u Các em chỉ có điều kiện u ≥ 0 và không tính giới hạn x lim u( x ) 1

1.2.(Đề TSĐH khối B, 2007): Chứ́ng minh rằng: Vớ́i mọi m 0 , phương trình x2 2 x 8 m x 2 (2) luôn có đúng hai nghiệVm phân biệVt

Giả̉i:

ĐK: x 2

x 2 2 x 6 2 m x 2 x 2 x 3 6 x 2

32 m 0

x 2 v g x x 3 6x 2 32 m .

+ ycbt g x m có đúng một nghiệVm thuộc khoảng 2; Thật vậy

ta có: g x 3x x4 0,x 2

x

g x m có đúng một nghiệVm2;

Vậy m 0 , phương trình x 2 2x 8 m x 2 có hai nghiệVm phân biệVt

Nhận xét: Cô lập biến rồi áp dụng chiều biến thiên để kết luận.

1.3 (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để̉ phương trình sau có đúng hai

nghiệVm thực phân biệVt: 42x 2x 24 6 x 2 6 x m

4 2x 2x 24 6 x 2

x

u x , v x 0, x 0, 2 f (x ) 0, x 0, 2

v 2 0

u x , v x 0, x 2, 6 f (2) 0

x026+0–f(x)

Từ BBT ta có PT có 2 nghiệVm phân biệVt 2 6 2 4 6 m 3 2 6

Nhận xét: Kỹ thuật xét dấu f’(x) đòi hỏi học sinh phải vận dụng đạo

hàm với từng biểu thức trong f’(x).

1.4 (Đề TSĐH khối D, 2007):

Tìm m để̉ hệV phương trình có nghiệVm

Giả̉i:

ĐK: x ≠ 0, y ≠ 0;

x 1x y 1

y 5

x 3 1

y 3 1

15 m 10

và u x 1 x 1 2 x 1 2 ; v y 1 2 y 1 2

+ Khi đó hệV trở thành 3u v 3 3 u v 15m 10 uv 8 m

u , v là nghiệUm của phương trình bậc hai f t t 2 5t 8 m

HệV có nghiệVm f t m có 2 nghiệVmt1 ,t

2 thỏa mãn t 1 2; t2 2 Lập Bảng biến thiên của hàm số f t vớ́i t 2

/4

Nhìn bảng biến thiên ta có hệV có nghiệVm 74m2 m 22 Nhận

xét: Học sinh rất dễ sai miền xác định của hàm f(t).

1.5 (Đề TSĐH khối A, 2012):

Giải hệV phương trình:

Giải:

Từ phương trình (2) (x1

2) 2 ( y1

2) 2 1 nên

23 x11

2; và 21y123

5

+ (1) ( x1) 3 12(x1) (y1) 3 12( y1) nên xét f (t) t 312t trên [ 23;3

2]

+ Chỉ ra f(t) nghị Vch biến Có f (x 1) f ( y 1) x 1 y 1

+ NghiệVm ( x; y) (1

2 ; 23); ( 23 ;21)

Nhận xét: Học sinh thường không xác định được điều kiện của x- 1 và y +1 nên khó chứng minh được f(t) đồng biến.

1.6 (Đề TSĐH khối A, 2010):

2

1)x ( y 3 ) 5 2 y= 0 (1)

( 4x

Giải hệV phương trình: y 2 2 3 4x 7 (2)

4x 2

Giả̉i:

2 4

Phương trình (1) tương đương ( 4x 2 1).2x ( 5 2 y 1) 5 2 y

Phương trình (1) có dạng f ( 2x ) f ( 5 2 y ) , vớ́i f ( t ) ( t 2 1)t

Ta có f '( t ) 3t 2 1 0 , suy ra f(t) đồng biến trên R

x 0

Do đó : (1)  2x 5 2 y  y 5 4x

2

2

Thế vào phương trình (2) ta được 4x 2 5 2x 2 2 2 3 4x 7 0 (3)

2

Nhận thấy x = 0 và x = ¾ không là nghiệVm của (3)

 g’(x) < 0 vớ́i mọi x (0; ).Suy ra g(x) nghị Vch biến.

4

Mặt khá́c g( 2 1 ) 0 , do đó (3) có nghiệVm duy nhất x 2 1 ; suy ra y = 2

Vậy hệV có nghiệVm (x; y) = ( 2 1 ;2 )

Nhận xét: Học sinh thường gặp khó khăn khi giải phương trình (4), nên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay để dò nghiệm rồi từ đó tìm cách chứng minh nghiệm duy nhất như trên.

1.7 (Đề TSĐH khối A, 2013):

(x, y Î R

Giải hệV phương trình: í 2 2

îï

ï x +2x y- 1 + y - 6y+1= 0 2

Giả̉i:

Điều kiệVn: x³ 1

Từ (2) ta được 4y= (x + y- 1 2, suy ra y³ 0.

)

Đặt u = 4 x- 1, suy ra u³ 0

Phương trình (1) trở thành: u4 + 2 + u = y4 + 2+ y (3)

Xét f t = t4 + 2+t vớ́i t³ 0, f '( t)= 2t3 +1> 0 " t³ 0

t4 +2

( )

Do đó (3)  y = u, nghĩa là x= y4+1

y y +2y + y- 4 = 0 4

x = y

Hàm g y = y7 +2y4 + y- 4 có g' y = 7y6 +8y3 +1> 0 vớ́i mọi y³ 0

Mà g 1 = 0( ) , nên (4) có hai nghiệVm không âm là y = 0, y =1

Nhận xét: Sẽ rất khó khăn nếu học sinh không chú ý đến điều kiện t > 0

1.8 Giải hệV phương trình 2x 2y ( y x)(xy 2)

y2 2 Phân tích Nếu thay 2 x2 x2

y2 vào phương trình thứ́ nhất thì ta sẽ được hđt

:

2x 2y ( y x)(xy x2 y2 ) 2x 2y y3 x3 2 x x3 2 y y3 (1)

Xét hàm số f (t) = 2 t + t 3 ,t Î ¡ có f '(t) = 2 t ln 2 + 3t2 > 0, " t Î ¡ suy ra

f (t ) đồng biến trên ¡ (1)f (x) f ( y) x y thế vào pt thứ́ hai ta được

x y 1 Vậy tập nghiệVm của hệV là S = (1;1); ( 1; 1)

Nhận xét: Học sinh thường quên công thức đạo hàm của hàm y = a x

1.9 Giải hệV phương trình ln(1 x ) ln(1 y ) x y (1)

x

Giả̉i:

(1) ln(1 x) x ln(1 y) y f (x) f ( y)

vớ́i f (t) ln(1 t ) t ,t ( 1; )

f'(t) 1 1 t 1 1 t t 0 t 0 ( 1; ) f (t) đồng biến trên ( 1;0)

và nghị Vch biến trên (0; )

TH 1 x , y ( 1;0) hoặc x , y (0; ) thì f ( x ) f ( y ) x y

Thế vào pt (2) ta được x y 0 (không thỏa mãn)

TH 2 x ( 1;0), y (0; ) hoặc ngược lại thì xy 0

x2 12xy 20 y2 0

x y 0

xy 0

Vậy hệV có nghiệVm duy nhất

7

Nhận xét: Học sinh thường bị thiếu các trường hợp, không xét hết trên

tập xác định.

2 Các bài tập về bất phương trình:

2.1 Tìm m để̉ bất phương trình: x 3 3mx 2

x13 nghiệVm đúng x 1

Giả̉i:

BPT 3mx x3 1 2, x 1 3m x 2 1 2 f x , x 1

x

Ycbt f x 3m , x 1 min f x f 1 2 3m 2 m

2.2.Tìm m để̉ bất phương trình: m( x 2 2x 2 1 ) x( 2 x ) 0 (2) có

nghiệVm x 0;1 3 .

Đặt t x 2

2x 2 Ta cót' ; t’ = 0 x = 1.

x 2 2x 2

Từ đó suy ra 1≤ t ≤ 2

2

t 2 2

Phương trình (2) trở thành m( t 1 ) t 2  m t 1 (3)

Xét hàm số f ( t ) t 2 2 , 1 t 2 , f '( t ) t 2 2t 2 0 , vớ́i mọi t 1; 2

2

Suy ra f(t) đồng biến trên 1; 2 Do đó Maxf t f (2) 2

3

t 1; 2

Bpt (2) có nghiệVm

x 0;1 3 khi và chỉ khi bpt (3) có nghiệVm t 1; 2 .

Tứ́c là m Max f t f ( 2 ) 2

3

t 1; 2

Nhận xét: Bài toán đòi hỏi học sinh phải biết quan sát tốt, đặt ẩn phụ rồi mới cô lập được tham số.

2.3 Tìm m để̉ bất phương trình m 4 x m 1 2 x 2 m 1 0 đúng x ¡

Giả̉i:

Đặt t 2 x 0 thìm.4 x m 1 2 x 2 m 1 0 đúng x ¡

m.t 2 4 m 1 t m 1 0, t 0 m t 2 4t 1 4t 1, t 0

8

g t 4t 1 m , t 0 .

t 24t 1

Ta có g t 4t 2 2t 0 nên nghị Vch biến trên 0;

g t

t 24t 1 2

t 0

2.4 Tìm m để̉ bất phương trình: x3 3x2 1 m xx 1 3

có nghiệVm

+ Nhân cả hai vế BPT vớ́i x x 1 3 0 ta nhận được bất phương trình:

f xx 3 3 x 2 1 xx 1 3 m Đặt g x x3 3x2 1 ; h x x x 1 3

+ Ta có :g x 3x 2 6x 0, x 1;

h x 3 xx 1 2 1 1 0

Do g x 0 và tăng x 1; h x 0 và tăng nên f x g x h x tăng x 1

Khi đó bất phương trình f x m có nghiệVm min f x f 1 3 m

x 1

Nhận xét: Kỹ thuật xét dấu f’(x) đòi hỏi học sinh phải vận dụng đạo hàm với từng biểu thức trong f’(x).

2.5 Tìm m để̉ 4 x 6 x x 2 2x m nghiệVm đúng x4,6

x 2 2x 4 x 6 x m

f x2 x 2 2 x 2 1 x 2 1 0 x 1

Max f x f 1 6 m

Lập bảng biến thiên suy ra Max 4,6

2.6 Tìm m để̉ 3 x 6 x 18 3 x x 2 m 2 m 1 đúng x3,6

9 t 2 9 2 3 x 6 x 9 3 x 6 x 18

f t f 3 3 2max

ycbt max f t 3 m 2 m 1 m 2 m 2 0 m 1 V m 2

2 3;3

2.7 Cho a , b, c 0 Chứ́ng minh rằng: a2 b2 c 2 abc 4

c 3

BĐT a 2 b c 2

2bc abc 4 a 2 3 a 2 a 2 bc 4