SKKN về CHIỀU BIẾN THIÊN và áp DỤNG GIẢI một số bài TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM số NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 11 TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II

Người thực hiện: Nguyễn Bá Đại Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019

8 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

9 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh 3

nghiệm

10 2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng giải quyết vấn 4

đề

11 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động 15

giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

bài toán về phương trình đó là “Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai” tuy nhiênsau khi thay đổi sách giáo khoa 2006 thì phần đó bị cắt bỏ và cùng với đó thì công

cụ này không được sử dụng trong các trường phổ thông nữa Qua một số năm đượcphân công dạy học sinh khối 11, tôi nhận thấy sự bế tắc của học sinh khi gặp bàitoán về phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình chứa tham số Chính vì

lẽ đó tôi mạnh dạn chọn chuyên đề “Về chiều biến thiên và áp dụng giải một số

bài toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 2” làm sáng kiến kinh nghiệm cho mình.

Mục đính chính của bản Sáng kiến kinh nghiệm này là trình bày một phương phápkhác để giải quyết vấn đề được nêu ở trên, cụ thể là sử dụng chiều biến thiên củahàm số bậc hai trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao và cùng với đó là sử dụng

sự tương quan đồ thị Cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào các vấn đề sau:Trình bày các khái niệm cơ bản về chiều biến thiên của hàm số bậc hai, sự tươngquan hình học

Các bài toán có nghiệm trên tập D bao gồm các bài toán về phương trình lượng

giác có nghiệm trên tập D

Các bài toán có n nghiệm thuộc D bao gồm các bài toán về phương trình lượng

giác có n nghiệm thuộc D

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu là áp dụng chiều biến thiên của hàm số bậc hai để biện luậnmột số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình lượng giác cótham số

Phạm vi nghiên cứu là các kiến thức cơ bản về chiều biến thiên của hàm số bậchai, cùng với sự tương quan về đồ thị để giải quyết vấn đề

1.4 Phương pháp nghiên cứu.Đọc tài liệu, phân tích tổng hợp, quan sát thực tế vàthực nghiệm

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Bài toán chứa tham số về phương trình, bất phương trình, hay hệ phương trìnhthường gây khó khăn cho học sinh khi công cụ “Định lý đảo về dấu của tam thứcbậc hai” được giảm tải và với học sinh lớp 10 lại chưa tiếp cận được với đạo hàm.Qua nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề, tôi thấy nhiều tác giả cũng

đã tiếp cận về vấn đề này nhưng việc giải quyết chưa thật triệt để

Thông qua quá trình giảng dạy những bài toán về phương trình, bất phươngtrình chứa tham số, tôi thấy việc học sinh nắm vững được các tính chất của hàm sốbậc hai cũng như chiều biến thiên của nó thì các em sẽ giải quyết vấn đề dễ dànghơn

Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mônToán nói chung và phân môn Đại Số và Giải Tích nói riêng ở trường THPT Nông

Cống 2, huyện Nông Cống tôi đã nghiên cứu đề tài “Về chiều biến thiên và áp

dụng giải một số bài toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 2”

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Là giáo viên giảng dạy môn Toán ở vùng khó khăn trình độ nhận biết của họcsinh ở mức vừa phải tôi nhận thấy áp dụng đề tài này vào các lớp mà tôi phụ tráchrất hiệu quả, đặc biệt năm học này tôi đã tiến hành trên các lớp 11A1 và 11A2trường THPT Nông Cống 2, kết quả thu được tương đối tốt

Các em thấy rất khó khăn khi giải các bài toán dạng này, sau khi được tiếp cận,hướng dẫn, rèn luyện thì các em đã giải thành thạo các dạng toán này Học sinhkhông còn lúng túng khi gặp dạng toán này nữa

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Các khái niệm cơ bản.

Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về sự biến thiên của hàm

số bậc hai và sự tương quan của đồ thị hàm số để giải quyết một số bài toánphương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số

2.3.1.1 Định nghĩa [3] Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có

dạng y ax2 bx c

trong đó a, b,c là các hằng số với a 0.

2.3.1.2 Chiều biến thiên của hàm số bậc hai [3]

Ta có hai bảng biến thiên của hàm số bậc hai y ax2 bx c a 0

sau:

2.3.1.3 Sự tương quan của đồ thị.

Số nghiệm của phương trình

(xem hình minh họa ở bên)

Trong trang này: Mục 2.3.1.1 và mục 2.3.1.2 được tham khảo TLTK số 3; Trong mục 2.3.1.3 hình mình họa là “của” tác giả.

2.3.2 Các bài toán có nghiệm trên tập D

2.3.2.1 Một số kết quả [2]

Trong sáng kiến kinh nghiệm này, giả sử các hàm

min f x hay m ax f x thì đều tồn tại

, ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta có, min f t2 maxf t 4

Giải Điều kiện: cos x 0

Trong trang này: Mục 2.3.2.1 được tham khảo TLTK số 2; Ví dụ 1, Ví dụ 2 là “của” tác giả.

2 tan 2 x m 2 tan x 4 tan 2 x 2 tan x 4 0

Ta có 2 tan x 4 0 tan x 2

t2 2t 4 m 2a

2b

Bài toán quy về tìm m để phương trình 2a

có nghiệm thỏa mãn 2b

Xét f t t2

2t

4 trên 2;

, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm thì: m 4.

Ví dụ 3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

sin 2x 4 cosx - sinx m 3

Khi đó phương trình trởthành t 2 4t 1 m 3a

Bài toán quy về tìm m để phương trình 3a

có nghiệm t 2.

Xét f tt 2 4t 1 trên t 2 , ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm thì: 4 2 1 m 4 2 1

Ví dụ

4 [4] Cho phương trình tham số m

2cos 2 x sin 2 x c osx+cos 2 x sinx m s inx cos x 4 a

Giải phương trình khi m 2.

Trong trang này: Ví dụ 3 là “của” tác giả Ví dụ 4 tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

0; 2 .

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

Giải Ta có 4 2 cos 2 x sin 2 x sinx.cosx sinx cosx m sinx cosx

sinx cosx 2 cos x sinx sinx.cosx - m 0

nghiệm thuộc đoạn 1;1

Tìm m để phương trình sau có nghiệm

4 sin 4 x cos 4 x 4 sin 6 x cos 6 x sin 2 4 x m 5 Giải. Ta có

5 4 1 2sin 2 x cos 2 x 4 1 3sin 2 x c os 2 x sin 2 4x m

Trong trang này: Ví dụ 5 tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

2.3.3 Các bài toán có n nghiệm trên tập D.

2.3.3.1 Một số chú ý.

Trong phần này, chúng ta cần chú ý về tương quan nghiệm sau khi đặt ẩn phụ: Có

nghĩa là cứ một nghiệm t trên miền D

1 thì cho ta bao nhiêu nghiệm x trên miền D,

để làm tốt việc này ta có thể sử dụng đường tròn lượng giác Ngoài ra trong

phần này tác giả còn sử dụng công thức cos3x = 4cos3 x 3cosx

mà không chứngminh

Xét trên có 4 ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình 1a

có hai nghiệm phân biệt t 0;1

sin 2 x sinx 1 5 m 0 2

Giải Ta có 2 sin2 x sinx 1 5m .

Trong trang này: Ví dụ 1 tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả Ví dụ 2 là “của” tác giả.

cos3x - cos2x + mcosx - 1=0

4cos 3 x 3cos x 2cos 2 x 1 m cos x 1 0

cosx 4cos2 x 2cos x m 3 0 3a

cosx = 0

4cos 2 x 2cos x m 3 0 3b

Trong trang này: Ví dụ 3 được tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

Phương trình 3b

đặt t cosx t 1 , phương trình trở thành 4t2 2t 3 m 3c

Từ đường tròn lượng giác để phương

trình 3b có 5 nghiệm thuộc3

2 2 2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

1 t1 0 t2 1. 1

f t 4t 22t trên 1;1 t D

Xét có 4 , ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình 3c

có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

m 2 m 4.

Trường hợp 1: 2 Ta có bảng biến thiên sau:

Trong trang này: Ví dụ 4 được tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

Từ bảng biến thiên ta có, pt 4a vô nghiệm trên miền ; 2 2; thì:

Trường hợp 2: 2 Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có, pt 4a vô nghiệm trên miền ; 2 2; thì:

Từ bảng biến thiên ta có, phương trình 4a

vô nghiệm trên miền

cosx+1 cos2x - mcosx m sin2 x 5

a.Giải phương trình khi m 2.

20; .

b Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn 3

Giải a) 5cosx+1 cos2x - mcosx m 1 cosx 1 cosx

cosx+1 cos2x - m 0

cosx+1 2cos 2 x m 1 0 5a

13

Bài toán quy về tìm m để phương trình 2t2 1 m 5b

có 2 nghiệm phân biệt

t 1 ;1

2

Trong trang này: Ví dụ 5 được tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

1Xét f t 2t

1 trên có t

D 0 , ta có bảng biến thiên sau:

Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải.

a. Giải phương trình khi m

4 [5]Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm thuộc đoạn 3

cos x 1 cos2x - mcosx m sin2 x

Trong trang này: Bài tập áp dụng 1, 2, 3, 4 tham khảo từ TLTK số 5.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng cóchất lượng tương đương nhau là học sinh lớp 11A1 và lớp 11A2 trường THPTNông Cống 2 – Nông Cống Trong đó lớp 11A1 chưa được tiếp cận phương pháp

đã sử dụng trong đề tài, kiểm tra bằng hình thức tự luận, thời gian làm bài 45 phútvới kết quả thu được như sau:

Đối với đồng nghiệp trong trường tôi cũng đã được triển khai ở các buổi sinhhoạt chuyên môn và được các đồng chí đánh giá cao về hiệu quả trong quá trìnhgiảng dạy.

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận.

Sáng kiến kinh nghiệm đề cập về sự biến thiên của hàm số bậc hai cùng với

sự tương quan đồ thị để giải quyết một số bài toán lượng giác chứa tham số lớp 11.Những kết quả chính của sáng kiến kinh nghiệm là:

Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về sự biến thiên của hàm số bậc hai, sự tương quan hình học

Nhắc lại điều kiện để phương trình có nghiệm hay có n nghiệm trên miền D

Đưa ra một số bài tập dưới dạng ví dụ để làm sáng tỏ những điều trên

Kết quả thu được: Sau nhiều năm tác giả mạnh dạn đưa sáng kiến vào dạy họcsinh lớp 11 Trường THPT Nông Cống 2, đa số học sinh được tiếp cận đều giảiđược bài toán về phương trình chứa tham số bằng phương pháp chiều biến thiên

3.1 Kiến nghị.

Nhà trường cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi phương pháp giảng dạycho toàn thể cán bộ giáo viên

Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên được phổ biến rộng rãi

Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng họctập

Qua việc nghiên cứu một vấn đề nhỏ này tôi hy vọng cùng các đồng nghiệp cóthể góp phần nhỏ cải tiến nâng cao kết quả giảng dạy bộ môn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2019.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình

viết, không sao chép nội dung của ngườikhác.

(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Bá Đại

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Lê Khắc Bảo (2003), 172 bài toán có chứa tham số, Nhà xuất bản giáo dục.

[2] Phan Huy Khải (1999), Phương pháp đồ thị để biện luận hệ có tham số, Nhà

xuất bản giáo dục

[3] Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng

– Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục.

[4] Đề thi tuyển sinh Đại học các trường

[5] Tham khảo từ một số tài liệu trên mạng internet

- Nguồn: https://diendantoanhoc.net

- Nguồn: http://www.maths.vn

- Nguồn: http://facebook.com.vn

DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: NGUYỄN BÁ ĐẠI

Chức vụ và đơn vị công tác: THPT Nông Cống 2

giá xếp loại

(A, B, hoặc xếp loại

1 Về chiều biến thiên và áp dụng

giải một số bài toán chứa tham số

nhằm nâng cao năng lực giải toán Cấp Ngành C 2017 - 2018cho học sinh lớp 10 trường

THCS và THPT Nghi Sơn huyện

Tĩnh Gia

* Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ khi tác giả được tuyển dụng

vào Ngành cho đến thời điểm hiện tại