SKKN ứng dụng hình học giải nhanh một số bài toán về mô đun số phức ở mức độ vận dụng cao

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MÔ ĐUN SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Người thực hiện: LÊ MẠNH H

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ MÔ ĐUN SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO

Người thực hiện: LÊ MẠNH HÙNG

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ, NĂM 2018

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 NỘI DUNG 1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2.1 Đối với giáo viên 3

2.2.2 Đối với học sinh 3

2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề 4

2.3.1 Sử dung kiên thưc vê e lip tìm gia trị lơn nhât , nhỏ nhât cua mô đun sô phưc ………4

2.3.2 Sử dung kiên thưc vê véc tơ tìm gia trị lơn nhât , nhỏ nhât cua mô đun sô phưc ……….8

2.3.3 Sử dung kiên thưc vê đường tròn, đường thẳng tìm gia trị lơn nhât , nhỏ nhât cua mô đun sô phưc……….10

2.4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm 16

3.1 Kết luận 19

3.2 Kiến nghịị 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình SGK và đề thi tốt nghiệp cũng như thi tuyển sinh đại học trướcđây thì các dạng toán về số phức được đưa ra dạng cơ bản, đa phần chỉ

ở mức độ nhận biết, hoặc thông hiểu Các câu hỏi mang tính vận dụng gần như

không xuất hiện Vì thế, khi Bộ giáo dục và Đào tạo lần lượt đưa ra đề minh họa môn Toán cho kì thi THPT Quốc gia 2017-2018 , thì nhiều giáo viên và đa số học sinh gặp khó khăn trong việc tìm lời giải của các bài số phức ở mức độ vận dụng Ngoài ra, các tài liệu tham khảo cho những dạng toán trên hầu như chưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở những bài toán đơn lẻ Do đó việc tổng hợp và đưa ra phương pháp giải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình ôn thiTHPT quốc gia Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi chọn đề tài

MÔ ĐUN SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO”

nhằm giúp các em hiểu và vận dụng kiến thức hình học giải quyết tốt các bài toánvận dụng cao để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thông qua việc vận dụng các kiến thức về đường tròn , elíp giải quyết các bàitoán về mô đun số phức giúp học sinh hiểu, định hướng được cách làm bài tập, giảiquyết một số bài toán số phức mức độ vận dụng cao một cách chính xác và nhanhchóng Từ đó kích thích khả năng tư duy, sự ham hiểu biết của học sinh đối với mônhọc

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Kiến thức chương số phức trong chương trình toán THPT

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải các bài toán tìm về modun số phức

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

Định nghĩa elíp: Cho hai điêm cô đinh F1 ,F2 vơi đô ̣dai F1F2 2c Tâp ̣ hơp cac

Hình dạng

Mối quan hê:̣a,b, c 0, a 2 b2 c2

Định nghĩa mô đun số phưc và ý nghĩa hình học

* OM ON la véc tơ biêu diễn z1 z2 va OM ON OP z1 z2

* OM ON la véc tơ biêu diễn z1 z2 va OM ON MN z1 z2

M biêu diễn z va I biêu diễn z0 thi

kinh R

M biêu diễn z , F1 biêu diễn z1 va

đương trung trưc F1 F2

z1 kz2(k>0) hayOM,ONcùng hướngz z0 R M

thuôc ̣ đương tron tâm O ban

F2 biêu diễn z2 thiz z1 z z

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Đối với giáo viên

- Trước đây số phức trong chương trình thi tôt nghiêp ̣ va tuyên sinh đai hocchỉ dừng lại ở mức độ cơ bản( nhận biết, thông hiểu) Vì vậy việc giảng dạy vànghiên cứu của giáo viên chỉ dừng lại ở một mức độ cụ thể là giúp các em làm tốtphần kiến thức cơ bản

- Hiện tại với đề án thi mới của bộ giáo dục Thông qua các đề thi trung hocphô thông quôc gia năm 2017 , đê minh họa của Bộ đưa ra và các đề thi thử của các

sở, các trường, các câu hỏi trong phần số phức đãã̃ xuất hiện nhiều hơn Đặc biệtnhững câu khó, hoặc rất khó và lạ ( mức độ vận dụng cao) mà trước đây chưa xuấthiện thì nay xuất hiện tương đối nhiều Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiêncứu về vấn đề này vì vậy nguồn tham khảo của giáo viên còn hạn chế

- Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu những dạng toán mới, vìvậy chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinh giảinhững bài toán số phức khó

2.2.2 Đối với học sinh

- Với lớp bài toán vận dụng , vâṇ dung cao các em thường thụ động trong việctiếp cận và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa

có ýý́ thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải cácbài toán

- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít

- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bài toán

mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa

Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ýý́ tưởng giải quyết các bài toán môđun số phức bằng viêc ̣ chuyên sang bai toan hinh hoc quen thuôc ̣ , giúp các em pháttriển tư duy và kích thích sự ham học tập của các em

2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề

2.3.1 Sử dung kiên thưc vê e lip tìm gia trị lơn nhât , nhỏ nhât cua mô đun

Sư tương ưng ơ đây gôm:

z z1 z z2 2a MF1 MF2 2a

hóa thành bài toán hình học

Bài toan hìì̀nh họ̣c: Cho M chuyên đông ̣ trên Elip (E) va môṭđiêm A cô đinh

Tim GTLN, GTNN cua AM

Ta xéý́t bài toán này trong các trường hợp đặc biệt

1

a2 b2

- Dung chưc năng TABLE cua may tinh Casio và các phương án trắc nghiệm tim

tâm cua Elip

+ AM lơn nhât băng a hay max P = a

+ AM nho nhât băng b hay min P= b

A năm trên cac truc cua Elip

Bài toan 3.1: A năm trên truc Elip lơn va ngoai.

- Thi max P= z0 z1 z2 a AI a ; min P= z0 z1 z2 a AI a

Bài toan 3.3: A năm trên truc nho (bât kê trong hay ngoai) Elip.

- Dâu hiêụ nhâṇ biêt: z0 z1 z0 z2

2

Ví du 3

z1 , z2c; ci Tim Min, Max cuaP z z0 : Tinh z1 z2 2c vab2 a2 c2

Nhân (1) với ab và nhân (2) với cd rồi trừ đi, được:

cd p2 ab.q2 cd (a2 m2 b2 n2 ) ab(c2 m2 d 2 n2 )

cd p2 ab.q2 acm2 (ad bc) bdn2 ( bc ad ) cd p2 ab.q2 (ad bc)(acm2 bdn2 )

Đặc biệt khi a = b =1 và c = - d =1, ta có công thức hình bình hành

2( z 2 z2 2 ) z z 2 2 z z 2 2

(Tông binh phương hai đương chéo băng tông binh phương cac canh )

min z Tính môđun của số phứcw M mi

Goi

Khi đo goi

la cac véc tơ đai diêṇ z1 ,z2

z1

goi u2 la véc tơ đai diêṇ z2

VâỵPmin 1AB BC AC 3 hay tam giac ABC đêu nôịtiêp đương tron ban kinhR=1

2.3.3 Sử dung kiên thưc vê đường tròn , đường thẳng tìm gia trị lơn nhât ,

nhỏ nhât cua mô đun sô phưc

Bài toan hìì̀nh họ̣c:

tròn tâm I và A là điểm cố định Tìm GTLN, GTNN của AM ”

Nhìn vào hình vẽ ta sẽ thấy ngay

A M

đường tròn hay phương trình đường thẳẳ̉ng trong trường hợp là cách tốt nhất là gọi

z = x +yi rồi thay vào giả thiết để biết (x; y) thỏa mãã̃n phương trình nào

Tz 1 i

Giải:

z 0 1 2i 2 3i = AI

Vậy minT 4 13 và maxT 4 13

Bài toan hìì̀nh họ̣c: Cho điểm M chuyển động trên đường tròn tâm I bán kính R Cho A,

B là 2 điểm cố định thỏa mãã̃n I nằm trên đoạn thẳẳ̉ng AB Tìm giá trị lớn nhất của P = aMA+bMB (khi I là trung điểm của AB hay I năm trên đương trung trưc cua AB)

AB

2212 MA MB2 vơi J la trung điêm AB Do đo

IJ ( 4; 2); AB (2; 4) IJ.AB 0 IJ la trung trưc cua AB.Bai toan trơ

Phương trinh (IJ): x -2y +2 = 0 (2)

y 2x 2

M(4;6) hoăc ̣ M(2;2) (kiêm tra loai bo) Vâỵ P = a+ b=10

Víố dụ 2: Cho sô phưc z thoa mãn z 1 2 .Tim gia tri lơn nhât cua

T z iz 2 i

Giải

i; z2 2 i I là trung điểm của ABM(0;1),M(2; 1)

Chú ý : Trong trương hơp I không phai là trung điểm của AB hay I không năm trên

đương trung trưc cua AB ta sẽ dùng các tính chất về mô đun của số phức để giảiquyết bài toán

Ví du minh hoạ:

Víố dụ 4: Cho sô phưc z thoa mãn z 1

2 Tim gia tri lơn nhât cua

Giải: Ta có tâm I đường tròn trong giả thiết bán kính r 2 Điểm A và B

ứng với 2 số phức z1i; z2 2 i Dễã̃ thấy rằng z0z

Với u là véý́c tơ biểu diễã̃n z 1 2i vàv là véý́c tơ biểu diễã̃n 1 2i

Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) ta được:

Bài toan hìì̀nh họ̣c: Gọi M, N là điểm biểu diễã̃n z1 , z2 Giả thiết z1 z1 * R tương đương

thuộc (d) sao cho T=MN ngắn nhất Từ hình vẽ ta thấy ngay GTNN của MN bằng

d (I , (d )) R Vậy minT d (I , (d )) R

z0 1

d

Víố dụ 1: Cho hai số phức

1 z

2 .

Giải:

Gọi M, N là điểm biểu diễã̃n z1 ,z2 Giả thiết

đường tròn tâm I(-4;3) bán kính R=2 Giả

thiết thuộc đường thẳẳ̉ng (d): 3x-5y+4=0

Víố dụ 2 Đê thi THPT Quôc Gia 2017-2018

Goi S la tâp ̣ hơp tât ca cac gia tri cua tham sô m đê tôn tai duy nhât sô phưc z

thoa mãn z.z 1 va z 3 i m Tim sô phân tư cua S

Bài toan hìì̀nh họ̣c: Điều kiện z z1z z2 thực chất là phương trình đường thẳẳ̉ng Nếu ta

thiết tương đương với MA=MB hay M nằm trên đường trung trực của AB Gọi I là

Vậy IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I trên d Giá trị nhỏ nhất

bằng minT= d(I,d)

gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường thẳẳ̉ng hay đường tròn làgọi z = x +yi rồi thay vào phương trình

Gọi z = x +yi , ( x, y R ) Ta có3 ( z 1 3i) ((x 3) ( y 1)i).((x 1) ( y 3)i)

3x 3y 9 x y 1 0 x y 4 0 (d) Vậy nếu gọi M là điểm biểu diễã̃n z thì Mchạy trên đường thẳẳ̉ng (d)

Gọi A(1;-1) là điểm biểu diễã̃n -1+i thì T = AM Giá trị T nhỏ nhất bằng khoảng cách

tập hợp điểm biểu diễã̃n số phức w = 2z+1- i

Câu11: Cho sô phưc z thoa mãn z 3 4i 5 và biểu thức M z 2 2 z i 2 đạt giá

trị lớn nhất Tìm môđun của số phức z+i

phẳẳ̉ng tọa độ (A, B, C và A’, B’, C’ đều không thẳẳ̉ng hàng) và z1 2 z2 2 z1.z2 Với O

là gốc tọa độ, khẳẳ̉ng định nào sau đây đúng?

Câu 26: Cho sô phưc z thoa mãn z 1 (1 i) z . Đặt m z .Tìm giá trị lớn nhất của

T z iz 2 i

A maxT 8 2 B maxT 4 C maxT 4 2 D maxT 8

7 15

Câu 37: Cho sô phưc z thoa mãn

Gọi M, m lần lượt là giá trị

z i 1 2017 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất

Câu 40: Cho sô phưc z thoa mãn z 2i z 4 3i

2.4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm

Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào quá trình nghiên cứu và giảng dạy đãã̃ mang lại những kết quả tích cực

- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những kiến thức liên quan phần số phức,vâṇ dung hinh hoc vao giai quyêt cac bài toán số phức mức độ vận dụng cao , giúptôi có những kiến thức mới và kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy cho các em Từ

đó định hướng cho các em cách phát hiện và tư duy trong việc giải các bài toán ởmức độ vận dụng cao

- Với các đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ này như một tài liệu để tham khảo

và hướng dẫn cho học sinh khi làm toán

- Đối với học sinh sau khi được áp dụng cách tiếp cận mới trong việc giải toán giúphọc sinh phát triển tư duy hơn Học sinh có khả năng định hướng được cách làm vớinhững dạng bài tập khó khác Học sinh tự tin hơn trong quá trình làm bài, tạo hứngthú cho các em trong quá trình học tập Việc làm các bài tập số phức nói chung và sốphức ở mức độ vận dụng cao ở các em trở nên nhanh chóng và chính xác Cụ thể tôicho các em một số bài kiểm tra phần số phức trong từng quá trình trước và sau khi ápdụng phương pháp giải mới bài tập số phức, kết quả như sau:

Kết quả trươc khi hoc phương phap mơi

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Qua việc vận dụng đề tài đãã̃ nghiên cứu vào trong quá trình giảng dạy và họctập của học sinh đãã̃ thu đươc những kết quả tích cực như bảng số liệu đãã̃ phân tích

Đề tài đãã̃ giúp cho giáo viên rất nhiều trong việc truyền đạt tư tưởng, phương pháp

và kiến thức cho học sinh Bản thân học sinh khi được giảng dạy thông qua đề tài đãã̃giúp các em phát triển được tư duy, biết định hướng để giải một bài toán Khơi dậy ởcác em niềm thích thú, sự ham học hỏi và đặc biệt giúp các em đạt hiệu quả cao nhấtkhi làm bài tập cũng như thi THPT quốc gia

3.2 Kiến nghị

Đối với sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa: Thông qua việc chấm sáng kiếnkinh nghiệm hàng năm, lựa chọn những đề tài có chất lượng và cần phổ biến rộng rãã̃icho các trường trong tỉnh để những trường có điều kiện tương đồng triển khai áp

dụng hiệu quả Nên đưa những SKKN có chất lượng vào mục “tài nguyên” của sở đểcác giáo viên toàn tỉnh có thể tham khảo một cách rộng rãã̃i.

Đối với trường THPT Ham Rông : Mỗã̃i sáng kiến kinh nghiệm được lựa chọncần được phổ biến rộng rãã̃i trong phạm vi tổ, nhóm Cần có những bản lưu trong thưviện để giáo viên và học sinh tham khảo

Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết những mặt đạt được, những hạnchế và hướng phát triển của đề tài một cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện sáng kiếnhơn nữa

Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ýý́ tưởng, kinh nghiệm và hỗã̃ trợ trong việc ápdụng rộng rãã̃i sáng kiến trong mỗã̃i lớp học của mình Phản hồi những mặt tích cực.những mặt hạn chế của sáng kiến

Đề tài nghiên cứu trong thời gian hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học Sởgiáo dục và đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ýý́ bổ sung để sáng kiến hoàn thiệnhơn nữa

nghiệm của tôi, không sao chéý́p nộidung của người khác

Người viết sáng kiến

Gv: LÊ MANH HÙNG

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 SGK giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục 2009

2 Sách bài tập 12 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục 2009

3 Đề minh họa lần 1, lần 2, lần 3 của bộ giáo dục và đào tạo năm học 2016-2017