SKKN ứng dụng của đạo hàm vào giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình ở chương trình toán học phổ thông

Quan trọng hơn là trong các bài toánbiện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phươngtrình, bài toán tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hoặc một số điều k

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

1.5 Những điểm mới của SKKN………2

2 NỘI DUNG 2

2.1 Cơ sở lí luận của vấn đề 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp 19

3 Kết luận, kiến nghị 19

3.1 Kết luận 19

3.2 Kiến nghị 20

1

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong các đề thi thpt quốc gia xuất hiện các bài toán giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình nhờ vào ứng dụng củađạo hàm Và nhờ có sự vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải toán mà lờigiải trở nên trong sáng hơn, ngắn gọn hơn Thực tế nhiều bài toán phương trình,bất phương trình, giải bằng phương pháp biến đổi tương đương và biến đổichúng đưa về các phương trình, bất phương trình cơ bản như phương trình, bấtphương trình bậc nhất, bậc hai Tuy nhiên, không phải bài nào cũng biến đổi dễdàng như vậy mà phải vận dụng một số kỹ thuật giải Một trong số những kỹthuật đó là sử dụng đạo hàm của hàm số Quan trọng hơn là trong các bài toánbiện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phươngtrình, bài toán tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hoặc một số điều kiệnnào đó, ta vận dụng đạo hàm để xác định miền giá trị của hàm số, miền giá trịcủa ẩn số phụ có trong bài toán mà ta đặt Để từ đó ta có kết quả chính xác cho

điều kiện của tham số Từ các vấn đề nêu trên tôi chọn viết đề tài: “ Ứng dụng

của đạo hàm vào giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và

hệ bất phương trình ở chương trình toán học phổ thông”.

1.2 Mục đích nghiên cứu: Tìm ra phương pháp giải nhanh và chính xác cho cácbài toán giải, giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

và hệ bất phương trình

1.3 Đối tượng nghiên cứu: Vận dụng phương pháp dạy học tình huống cho họcsinh THPT qua nhóm bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

và hệ bất phương trình

1.4 Phương pháp nghiên cứu: Thực hiện mục tiêu nghiên cứu của đề tài tôi đã

sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu sau:

*Nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết

Tìm hiểu lịch sử vấn đề nghiên cứu, khai thác qua tài liệu và thành tựucủa các nhà nghiên cứu các khía cạnh liên quan trực tiếp đến phạm vi đề tài làm

cơ sở để tiến hành quá trình nghiên cứu tiếp theo của mình

* Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phương pháp điều tra giáo dục: khảo sát mục tiêu, nội dung dạy học, chuẩnkiến thức, kĩ năng về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bấtphương trình ở trường THPT, khảo sát thực trạng dạy và học các bài toánphương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình

- Phương pháp phân tích, tổng hợp: phân tích, tổng hợp kết quả khảo sát thực trạng và kết quả dạy học thực nghiệm

- Phương pháp thống kê, phân loại: thống kê, phân loại kết quả khảo sátthực trạng và kết quả dạy học thực nghiệm

- Phương pháp so sánh: so sánh khả năng vận dụng của HS ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng qua bài kiểm tra cụ thể.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: tổ chức thiết kế giáo án thực

nghiệm và dạy học thực nghiệm

1.5 Những điểm mới của SKKN: SKKN này giúp giáo viên cũng như học sinh

có được phương pháp mới trong sáng hơn, tường minh hơn trong việc giải cácbài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình.Hơn nữa học sinh đứng trước bài toán chứa tham số không còn cảm giác sợ vàlúng túng như trước đây nữa

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

biến) trên khoảng (a;b)

1.5 Sử dụng tính chất của hàm số để giải pt Áp dụng tương tự cho bất pt.

Các hướng áp dụng:

Hướng 1: Bước 1: Chuyển pt về dạng f(x) = k

Bước 2: Xét hàm số y = f(x) Tính đạo hàm và sử dụng giả thiết lậpluận khẳng định hàm số đồng biến hoặc nghịch biến

Bước 3 : Nhận xét : Với x = x 0 f x f x0 k

Do đó x = x 0 là nghiệm

3

Với x > x 0 f x f x0 k pt vô nghiệm

Với x x0 f x f x0 (>) = k pt vô nghiệmVậy x x0 là nghiệm duy nhất của pt

Hướng 2 : Bước 1 : Chuyển pt về dạng :

f x g x

Bước 2 : Xét hàm số y f x , y g x

Dùng lập luận khẳng định hàm số y= f x là đồng biến và hàm số y g x là hàmhằng hoặc nghịch biến

Bước 3: Vậy pt có nghiệm duy nhất x x0

Hướng 3 : Bước 1 :Chuyển pt về dạng :

Bước 2 :Xét hàm số y= f x

Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến hoặc nghịch biến

Bước 3 : f u f v u v u, v D.

Chú ý : Tương tự vận dụng các hướng 1 và hướng 3 ở trên cho bất pt.

Định lý Rôn : Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương

trình f(x) = 0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D

Giả sử cần giải phương trình f(x) = 0 ta thực hiện các bước sau :

Hướng 4 :Bước 1 : Tìm TXĐ D của pt

Bước 2 : Xét hàm số y = f(x) trên D Sử dụng đạo hàm khẳng địnhrằng hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên miền D

Bước 3 : Vậy pt nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm Ta cầnchỉ ra hai giá trị x1 , x2D sao cho f x1 f x2 0

Bước 4 : Kết luận

Hướng 5 : Lập bảng biến thiên tìm miền giá trị của hàm số và vận dụng vào các

bài toán liên quan

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :

Khó khăn khi giải một số bài toán pt, bpt, hệ pt và hệ bất pt bằng các phépbiến đổi tương đương không đưa về các pt cơ bản, bất pt cơ bản, hệ pt cơ bản.Phương trình cơ bản gồm pt bậc nhất và pt bậc hai, bất pt bậc nhất, bất pt bậchai Hệ pt cơ bản như hệ pt bậc nhất hai ẩn, hệ pt gồm một pt bậc nhất và một ptbậc hai, hệ pt đối xứng loại một, loại hai, hệ đẳng cấp

f u f v

Vận dụng đạo hàm, xét tính đơn điệu của hàm số ta có thể chứng minh pt

vô nghiệm, pt có một nghiệm, hai nghiệm và tìm được nghiệm của pt bằng cáchnhẩm nghiệm Và vận dụng đạo hàm cho ta lời giải chặt chẽ, chính xác trong cácbài toán tìm điều kiện của tham số

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấnđề

3.1 Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình.

4

Giáo viên đưa ra hệ thống các bài tập vận dụng để học sinh thấy được ưu điểmcủa phương pháp dùng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số vào giải phươngtrình.

Hàm số lồi trên D Vậy pt nếu có nghiệm sẽ không quá hai nghiệm.

Lại có : f 0f 1 0 Do đó pt có hai nghiệm x = 0 và x = 1

Nhận xét: Trong hai ví dụ trên ta sử dụng định lý Rôn Ở ví dụ thứ nhất ta có

thể thực hiện bài toán bằng phương pháp biến đổi tương đương đưa về phương trình bậc 4, nhưng đối với ví dụ thứ hai ta sẽ nhận được một pt bậc 8, khi đó cho

dù nhẩm được 2 nghiệm x = 0 và x = 1 thì chúng ta vẫn phải thực hiện tiếp việc giải một pt bậc 6 và điều này hoàn toàn không khả thi để từ đó thấy được tính ưuviệt của phương pháp đạo hàm đối với bài này

Bài tập tham khảo thêm : Giải các pt sau :

8

Từ bbt suy ra để pt có nghiệm khi m f t 1 .

4

b, Nhận thấy x = 0 là nghiệm của pt(1) m 0

Xét m 0 thì x = 0 không phải là nghiệm

Từ bbt với 13 m 11 và m 0 thì pt có nghiệm.

9

Nhận xét : Áp dụng phương pháp khảo sát chiều biến thiên của hàm số.

Giả sử hàm số f x đơn điệu trên (a ;b) thì trên (a ;b) phương trình f x0 có nhiều nhất 1 nghiệm

Khi gặp pt vô tỷ có chứa tham số m, ta biến đổi pt ấy về dạng f x m (*) +

Phương trình (*) có nghiệm m thuộc miền giá trị của hàm số f x + Số

nghiệm của (*) bằng số giao điểm của đồ thị y f x và đường thẳng

Viết lại bất pt dưới dạng : x22x 3 x 1 x2 6x 11 3 x

Xét hàm số f t t 2 t Ta thấy ngay hàm số đồng biến trên 1;3

Khi đó bất pt được biến đổi như sau : f x 1 f 3 x x 1 3 x x 2 Vậy nghiệm của bất pt là 2 x 3.

Bước 1 : Xét hàm số y = f(x,m) :

- Tìm TXĐ

- Tính y’, gpt y’ = 0

- Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 2 : Kết luận cho các trường hợp sau :

- bpt có nghiệm min y g m (hoặc max y g m )

Nhận xét: - Một số bài phải dựa vào định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2.

Trong khi đó định lý đảo đã bỏ khỏi chương trình học phổ thông

- Ưu điểm của tính đạo hàm ta tìm được chính xác miền giá trị của biến số phụ cũng như của hàm số, trên cơ sở đó tìm được điều kiện của tham số

Bài 7 Tìm m để bpt sau có nghiệm 4x m.2 x m 3 0

Giải: Chia cả hai vế của bđt cho 4 2 x2 x 0 2

Nhận xét: Khi dạy học phần này cần nhấn mạnh cho học sinh phân biệt bài

toán tìm điều kiện của tham số để bpt có nghiệm và bpt có nghiệm x thoả mãn một điều kiện nào đó

Bài 9 Tìm a để nghiệm của bất phương trình:

4

Giả sử bpt đã cho đúng x 1 ;1

4Đặt f x x x2 2ax

;1 4

Nhận xét: Có thể dùng phương pháp tam thức bậc hai để làm bài này.

Bài 4 Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ pt x 2 y 2 a 2 2a3

Xác định a để xy nhỏ nhất

16

f' (x) 0x 0, x 2

3

Vì a < 0 nên đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = f(x) đúng 1 lần Do đó vớimọi a < 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất

3.4 Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ bất phương trình

Bài 1 Tìm a để hệ bất pt sau đây có nghiệm : x x

18

được các hàm số cần xét tính đơn điệu Quan trọng hơn là học sinh không thấy

sợ những bài toán có chứa tham số, những bài toán biện luận Ngoài ra học sinhcòn vận dụng phương pháp này vào các bài toán liên quan như tìm điều kiện đểhàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng nào đó Và ở học sinh đã hìnhthành kĩ năng, chương trình làm một bài toán theo một sơ đồ bước giải

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận : Trên đây là phương pháp vận dụng đạo hàm vào giải pt, bất

pt, hệ pt và hệ bất pt Qua phương pháp này nhằm pháp triển tư duy qua việcgiải một số bài tập toán Vận dụng phương pháp này vào trong giảng dạy giúpcho học sinh thấy được tổng quan về kiến thức toán học, nhận thức sâu sắc vềtoán học, tạo nên niềm đam mê và hứng thú học tập Mỗi giáo viên chúng ta hãyxây dựng hệ thống bài tập phù hợp với năng lực hiện có của học sinh, đa dạngphong phú các thể loại nhằm luyện cho học sinh đầy đủ kiến thức, phân bậc hoạtđộng phù hợp và tạo nguồn cảm hứng sáng tạo trong mỗi học sinh

Lưu ý, trên đây là một số bài toán phù hợp với học sinh có nguyện vọnghọc chuyên sâu để thi đại học cao đẳng, luyện thi học sinh giỏi, luyện thi thử đạihọc ở các trường phổ thông trung học

Trong thực tế của từng địa phương, của từng trường phổ thông, mỗi giáoviên hãy trang bị cho bản thân một vốn kiến thức sâu rộng và vững chắc, đồngthời có những phương pháp giảng dạy mới phù hợp, thích ứng với đối tượng họcsinh thông qua truyền thụ các kiến thức cơ bản và hệ thống bài tập phù hợp vớinăng lực học sinh nhằm phát triển tư duy cho học sinh và tăng hiệu quả tronggiáo dục

3.2 Kiến nghị : Qua một số năm giảng dạy, bản thân cá nhân tôi nhậnthấy lượng kiến thức trong chương trình toán THPT quá nhiều, nội dung chươngtrình chưa phù hợp với thực tế xã hội đang còn mang nặng hình thức lý thuyết

Vì vậy tôi xin có vài ý kiến đề xuất như sau:

- Cắt bỏ một số nội dung chương trình như: phép biến hình, thống kê.Những phần này ta đưa vào chương trình đào tạo ở đại học, cao đẳng, trung cấpcủa các nghành nghề liên quan

- Tăng cường các bài toán mang tính ứng dụng thực tiễn để học sinhthấy toán học gần gủi và có ý nghĩa Và từ đó học sinh có nhu cầu học toán vàkhám phá toán học

Bài viết kết thúc ở đây Mong được sự góp ý kiến của mọi người để sáng kiến kinh nghiệm của tôi hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Tôi xin cam đoan SKKN này là của tôiviết, không sao chép nội dung của ngườikhác Tôi xin chịu trách nhiệm về bàiviết này

Người viết SKKN

Nguyễn Thị Bắc

20