SKKN tạo hứng thú cho học sinh khá, giỏi trong trường THPT thường xuân 3 về định hướng và tìm lời giải bài toán hình học tọa đ

+ Khi gặp các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy sử dụng đếncác tính chất hình học thuần túy các em không biết bắt đầu từ đâu, dựa vào đâu để suy luận tìm lời giải.. Nguyên nhâ

1 Mở đầu 1.1 Lí do chọn đề tài

+ Môn toán là một trong những môn học quan trọng nhất ở chương trìnhgiáo dục phổ thông Nó là chìa khóa để mở ra các môn học khác Đồng thời nó

có khả năng phát triển tư duy lôgic, phát triển trí tuệ cần thiết giúp con ngườivận dụng vào cuộc sống hằng ngày Phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳngOxy lại thể hiện khá rõ nét những đặc tính đó

+ Ở lớp 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương pháp tọa độtrong mặt phẳng Thế nhưng các bài toán mà sách giáo khoa đưa ra chỉ nhằmmục đích giúp học sinh bước đầu biết được phương pháp tọa độ và áp dụngphương pháp này vào các bài toán đơn giản như: lập phương trình đường thẳng,đường elip, đường tròn, và các bài toán về khoảng cách và góc Do đó, họcsinh vẫn còn rất lúng túng khi gặp những bài toán khó trong các đề thi THPTquốc gia và đề thi học sinh giỏi

+ Khi gặp các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy sử dụng đếncác tính chất hình học thuần túy các em không biết bắt đầu từ đâu, dựa vào đâu

để suy luận tìm lời giải Nguyên nhân của vấn đề trên một phần vì học sinh ngạihình học phẳng vì cứ nghĩ hình học phẳng là khó nên “ lười’’ tư duy, một phần

vì giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh,chưa phân tích kĩ tìm lời giải cho các bài toán, các bài tập minh họa cũng đơnđiệu, rời rạc, thiếu sức lôi cuốn, điều này không gây được hứng thú học tập và

sự sáng tạo cho các em và dẫn đến kết quả học tập của học sinh còn nhiều hạnchế

+ Giải các bài toán hình phẳng trong các kỳ thi THPT quốc gia và thi họcsinh giỏi thường phù hợp hơn với những học sinh khá, giỏi, những học sinh cókiến thức vững vàng về hình học phẳng ở THCS

+ Ngoài ra, học sinh trường THPT Thường Xuân 3 là học sinh miền núi,

đa số là con em dân tộc thiểu số Với điều kiện kinh tế khó khăn và trình độ dântrí còn thấp nên số lượng học sinh có lực học khá giỏi ở môn toán còn ít

Vì vậy tìm ra một cách tiếp cận để giải quyết các vấn đề trên giúp họcsinh học một cách tự nhiên, dễ hiểu là sự trăn trở của tác giả, để học sinh khôngcòn sợ môn học này nữa và đặc biệt là có hứng thú khi gặp các bài toán dạngnày

Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinhkhá, giỏi ở lớp 10 trường THPT Thường Xuân 3 giải các bài toán hình học tọa

độ Oxy.”

1.2 Mục đích nghiên cứu

1

Nghiên cứu nội dung chương trình hình học lớp 10 THPT, các bài toándành cho học sinh khá, giỏi từ đó xây dựng các thao tác cần thiết để giúp họcsinh sử dụng tốt phương pháp tọa độ vào giải các bài toán tổng hợp.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là:

- Xây dựng nguyên tắc xác định hệ trục tọa độ Đề các tương ứng với mỗi loại hình

- Hình thành cô đọng lượng kiến thức thiết yếu, nền tảng làm cơ sở cho giải pháp sử dụng công cụ tọa độ

- Phân dạng được các bài tập và hướng dẫn từng cách giải

- Khám phá, phân tích nhiều lời giải trên một bài toán, làm rõ quan hệ hữu

cơ, sự hỗ trợ bổ sung cho nhau giữa các cách giải, từ đó hoàn thiện kiến thức vànắm bắt bài toán một cách thấu đáo và có chiều sâu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, các đề thi THPTquốc gia, đề thi HSG các cấp, sách tham khảo liên quan đến vấn đề sử dụngphương pháp tọa độ Oxy, nghiên cứu chương trình giáo khoa của bộ môn

+ Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy và học phân mônHình học lớp 10 ở THPT rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp học sinhrèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp tọa độ hóa

+ Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy và kiểm tra khả năngứng dụng của học sinh nhằm minh chứng bước đầu cho khả năng giải quyếtmạnh mẽ của phương pháp tọa độ hóa và việc áp dụng phương pháp tọa độ hóavào giải toán

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Mục đích của dạy học toán là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan và nhân sinh quan đúng đắn cho các em

Các bài toán hình học phẳng là phần kiến thức rất đa dạng đòi hỏi kiến thứclogic tổng hợp Để học tốt được phần này học sinh phải nắm chắc các kiến thức,

kĩ năng về hình học phẳng ở cấp THCS Học sinh phải thường xuyên sưu tầmcác bài tập mới lạ, thường xuyên làm bài tập để học hỏi, trau dồi phương pháp,

kĩ năng khi biến đổi Thế nhưng làm được điều này thật không đơn giản bởi một

số nguyên nhân sau:

- Các bài tập trong SGK Hình học 10 ở phần này ở mức độ nhận biết,thông hiểu hoặc ở vận dụng thấp, trong khi đó ở các đề thi nằm ở mức độ vậndụng cao

2

- Có quá nhiều dạng toán và đi kèm với đó là nhiều phương pháp, dẫn tớiviệc các em cảm thấy lúng túng khi gặp dạng toán lạ Kĩ năng nhận biết, biếnđổi quy lạ về quen còn hạn chế.

- Số tiết theo PPCT ở chương III – Hình học 10 còn ít

Do đó tôi luôn luôn có ý định tìm ra một phương pháp mới để truyền dạycho học sinh, một phương pháp đơn giản dễ làm, một phương pháp mà học sinhcảm thấy phấn chấn khi học, một phương pháp giải quyết được nhiều dạng toánkhó mà các em gặp phải trong quá trình ôn luyện

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

- Bài toán hình học tọa độ Oxy là phần khó Lượng kiến thức khai thác là rất

nhiều và đa dạng, nếu không khéo truyền đạt sẽ làm cho các em thấy lan man,mất phương hướng chứ chưa nói đến sau khi học xong các em nắm được nhữngphương pháp nào, kĩ năng gì Do vậy ở phần này người giáo viên cần phải có hệthống bài tập minh hoạ cho các phương pháp trọng tâm, các dạng toán quantrọng Đặc biệt làm cho các em phải cảm thấy tự tin

Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp 10, tôi thấy rằng khi dạy học sinhtheo sách giáo khoa rồi mở rộng ra những bài tập lấy ở đề thi THPT Quốc gianhững năm trước, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thì tỉ lệ học sinh giải được làthấp, thậm chí là “bỏ qua” trong khi bản thân chưa có sự đào sâu suy nghĩ, cộng thêm nguyên nhân khách quan là phần kiến thức khó, đòi hỏi tư duy cao Cụ thể năm học 2017-2018 khi chưa áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy Tôi cho học sinh lớp 10A1, 10A2 (2 lớp tập trung nhiều học sinh khá, giỏi nhất khối10) giải

thử một số câu lấy từ nguồn tài liệu trên Kết quả như sau:

Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2018-2019 tôi đã tiến hành đổi mới

dạy nội dung này tại lớp 10A1 và 10A2 (lớp 10A1 có chất lượng tương đương với lớp 10A1, lớp 10A2 có chất lượng tương đương với lớp 10A2 trong năm học trước)

2 3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2 3 1 Xây dựng hệ tọa độ

Xây dựng hệ tọa độ hợp lý là điều rất cần thiết cho việc ứng dụng củaphương pháp tọa độ trong việc giải toán Đây là bước đầu tiên của bài giải.Người giáo viên cần hướng dẫn khéo léo giúp học sinh nhận ra các tính chất đặcbiệt của bài toán, ở đây chủ yếu là sử dụng tính vuông góc, để xây dựng một hệtọa độ mà trên đó các tham số được giảm một cách tối ưu nhất

Ở đây, ta xem xét một số trường hợp áp dụng tốt phương pháp này

Đối với các bài toán có sẵn góc vuông như: hình vuông, hình chữ nhật,tam giác vuông Đối với các hình như vậy ta có thể chọn hệ trục tọa độ có gốc

3

nằm tại một đỉnh vuông, có hai trục Ox và Oy chứa 2 cạnh tương ứng của góc

vuông đó Và chọn đơn vị trên các trục bằng độ dài của một trong hai cạnh gócvuông Bằng cách chọn như vậy, các tham số được giảm tối đa có thể Và dạnghình này cũng là dạng áp dụng thuận lợi nhất phương pháp tọa độ trong mặtphẳng này

Đối với các bài toán có chứa tam giác đều, tam giác cân, tam giác thường

Ta có thể xây dựng một hệ trục bằng cách dựa vào đường cao Cụ thể, ta dựngđường cao từ một đỉnh bất kỳ (đối với tam giác cân ta nên dựng đường cao từđỉnh cân) Chân đường cao khi đó chính là gốc tọa độ, cạnh đáy và đường caovừa dựng nằmtrên hai trục tọa độ

0)x A(1-a; 0) O B(1; 0)

Đối với các bài toán có chứa các đường tròn thì ta có thể chọn gốc tọa độnằm tại tâm của đường tròn và đơn vị của hệ tọa độ bằng bán kính đường tròn,một hoặc hai trục chứa bán kính, đường kính của đường tròn

Tuy nhiên, khi áp dụng thì không cứng nhắc trong việc chọn hệ trục tọa

độ Nên để học sinh linh hoạt và tìm ra cách chọn tối ưu cho bài toán

Một số bài toán có thể có nhiều đối tượng hình học trên đó, thì tùy vào giảthuyết ta chọn hệ trục tọa độ cho phù hợp

2.3.2 Một số tính chất của hình học phẳng vận dụng vào bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Học sinh muốn giải thành thạo, giải nhanh các bài toán hình học tọa độ

trong mặt phẳng Oxy ở kỳ thi THPT, thi học sinh giỏi các cấp thì cần nắm vững

được kiến thức về các tính chất, các bài toán cơ bản của hình học phẳng

4

Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và

Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta có bài toán sau

Bài toán 2 Cho hình vuông ABCD. Gọi M,N

lần lượt thuộc AB và BC sao

cho AM kAB, BN kBC. Khi đó AN DM.

Bài toán 3 Cho hình chữ nhật ABCD có AB a, AD a 2. Gọi M là trung

điểm AD. Khi đó AC BM.

Bài toán 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình A B

vuông ABCD gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm

nằm trên cạnh AC sao cho AN 1 AC Chứng minh rằng N

4

Giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó F

D 0;0 , A 0;a ,C a;0 nên a a ; 3 a do đó

Nhận xét : Bài toán này được áp dụng khá nhiều trong A N B

các đề thi Việc chứng minh nó bằng hình học thuần túy

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm

F là trung điểm DI Khi đó FNMC là hình bình hành và x

F là trực tâm tam giác NDC nên CF DN mà

CF / /MN Nên MN DN

5

Bài toán 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi

H là hình chiếu của B xuống AC Biết điểm M , K lần lượt là trung điểm của

AH và CD Chứng minh rằngBM MK

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó

-Ta có thể chứng minh theo cách sau

Gọi E là trung điểm HB Khi đó tứ giác MECK là

tam giác BMC nên BM CE mà CE / /MK Nên

MK MB

tính chất đặc biệt của nó

Bài toán 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD

A D 900 và CD 2AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D lên

đường chéo AC M là trung điểm HC Chứng minh rằng BM DM

6

Gọi E là trung điểm HD Khi đó tứ giác MEAB là hình bình E M

hành Suy ra BE AD nên E là trực tâm tam giác ADM suy

ra DM AE mà AE / /MB Nên MD MB

Bài toán 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2BC y

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BD E, F lần I

lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CD, BH Chứng A B

minh rằng EF AF (trường hợp đặc điệt của bài toán 5)

Ta có thể chứng minh bài toán này theo cách thuần túy sau:

Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CD, BH, AB.

Ta chứng minh AF EF Ta thấy các tứ giác ADEI và ADFI nội tiếp nên tứ

giác ADEF cũng nội tiếp, do đó AF EF

Bài toán 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A.

Gọi D là một điểm trên cạnh AB sao cho AB 3AD và H là hình chiếu vuông góc

của B trên CD Điểm M là trung điểm của HC Chứng minh rằng

MA MB.

Các

I 0;0 ,A 0;a ,C c;0 , B c;0 Phương trình các đường thẳng

DC : ax 2cy ac; BH : 2cx ay 2c2 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

ax 2cy ac 2c 4c 3 4ac 2

a2 4c2 a2 4c22cx ay 2c2

Do đó điểm M a2 c ; 2ac2

a2 4c2

a2 4c2

7

a 2 c 4c 3 2 a 2 c 2 ac 2 2ac 2 a3

a 2 4c2 2

Cách 2: Gọi N,I là giao điểm của đường thẳng qua B

BC với các đường CD,CA Do tam giácvuông góc với

IDC vuông tại B và AB AC nên A là trung điểm IC

Suy ra D là trọng tâm tam giác IBC Do đó AN là đường

trung bình tam giác IBC Gọi E là trung điểm BH , khi đó

E là trực tâm tam giác NBM và tứ giác NAME là hình bình

hành nên từ NE MB MA MB

y A

D H

2.3.3 Một số dạng toán áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Dạng 1: Ba điểm phân biệt và mối liên hệ vuông góc.

Trong hình học tọa độ phẳng bài toán thường cho nhiều điểm, nhưng giả

thiết của bài toán thường xoay quanh ở một số điểm đặc biệt Bằng cách vẽ

hình chính xác ta có thể phỏng đoán được 3 điểm nào đó sẽ có mối quan hệ

vuông góc và đây cũng chính là điểm mấu chốt của bài toán Khi học sinh phát hiện được điều này sẽ giúp cho các em định hướng cách giải bài toán một

cách dễ dàng.

Bài 1.1.[3]. (Trích đề thi học sinh giỏi môn Toán- Thanh hóa năm 2015-2016)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có

0 và A,C thuộc trục hoành Gọi E là trung điểm của

B(2;4), BAD ADC 90

đoạn AD , đường thẳng EC đi qua điểm F ( 4;1) Tìm toạ độ các đỉnh A, C , D

biết EC vuông góc với BD và điểm E có tọa độ nguyên

Nhận xét: Các giả thiết của bài toán xoay xung quanh các điểm A, D, E,C Nếu

vẽ hình chính xác thì học sinh có thể dễ dự đoán được EB AC Và có thể coi đây là chìa khóa, nút thắt của bài toán Xử lí được nút thắt này thì bài toán đã giải được một nửa.

8

Giải: Để chứng minh EB AC gắn thêm hệ trục tọa độ khác như hình vẽ ta có:

EB AC 0 EB AC Trở lại bài toán ta có:

có phương trình x 2 Đường thẳng BE qua B 2; 4 vuông góc với Ox nên

Gọi A(a;0), E(2;b) D(4 a;2b); BA(a 2; 4); EA(a 2; b);

b3 7b2 20b 4 0 có nghiệm duy nhất trên khoảng

1;0 nên không có nghiệm nguyên) Khi đó A(4;0), D(0; 2) , đường thẳng

CDcó phương trình 2x y2 0 cắt Ox tại C(-1;0) Vậy A(4;0), D(0; 2) và C( 1;0)

là các điểm cần tìm

Ta có thể chứng minh EB AC bằng cách sau:

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE, cắt BE và BD lần lượt tại I và H;

gọi J là giao điểm của BD với CE Khi đó ta có:

EH.EB EA.EB EI.EB EA2 và EH.EC ED.EC EJ EC ED2 EA2

EH.EB EH.EC EH (EB EC) 0 EH BC suy ra H là trực tâm

của EBC suy ra A, H ,C thẳng hàng Do đó BE AC.

Bài 1.2 [2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và

D , biết D 2;2 và CD 2 AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AC

Nhận xét: Các giả thiết của bài toán xoay xung quanh các điểm B, M ,D Nếu

tinh ý ta có thể nhận thấy MB DM (Để chứng minh MB DM xem lại bài toán

Bài 1.3.[3] ( Trích đề thi HSG thanh hóa năm 2014-2015) Trong mặt phẳng

với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H 1; 2 là hình chiếu vuông

9

góc của A lên BD Điểm M ;3 là trung điểm của cạnh BC , phương trình

2đường trung tuyến AK kẻ từ A của ADH là : 4 x y 4 0 Tìm tọa độ các đỉnh của

hình chữ nhật ABCD

Nhận xét:

- Giả thiết bài toán xoay quanh các điểm M , K , A Bằng trực quan ta đề xuất

giả thuyết AK KM và nếu giả thuyết đề ra là đúng chúng ta sẽ “mở nút thắt đầutiên” là tìm tọa độ điểm K và D Từ đó bằng các phương pháp giải toán quen

thuộc ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật (Để chứng minh

AK KM xem lại bài toán 5 )

Giải: Ta có: AK KM Suy ra phương trìn h đường thẳng KM : x 4 y 15 0

2 1; 2

D K C

Dạng 2: Ba điểm phân biệt và mối liên hệ góc

10

Bài 2.1 [1] (Trích đề thi TSĐH khối A năm 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa

độ Oxy , cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC , N là điểm trên

cạnh CD sao cho CN 2ND Giả sử M11 ; 1 và đường thẳng AN có phương

2 2trình 2 x y 3 0 Tìm tọa độ điểm A

Nhận xét: Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, M,N đồng thời ta nhận thấy

nếu ta biết được giá trị của góc MAN khi đó ta có thể xác định tọa độ điểm A

Giải: Gọi cạnh hình vuông là a Ta có

Bài 2.2.[2] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A

Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho AB 3AM Đường tròn tâm I 1; 1 đường kính

CM cắt BM tại D Xác định tọa độ các đỉnh của ABC biết đường thẳng BC đi qua

4 ; 0 , phương trình đường thẳng CD : x 3 y 6 0 và điểm C có hoành độ

N

3

dương

Nhận xét: Từ dữ kiện đã cho trong bài toán ta nhận

thấy phương trình đường thẳng CD đã cho, tọa độ B

N

tìm được tọa độ điểm C

Giả thiết bài toán AB 3AM làm ta nghĩ đến:

Bằng trực quan ta thấy ABM ACD , nếu giả thiết này

đúng tìm được tọa độ đỉnh C Khi đó tọa độ các đỉnh

còn lại ta tìm được.

D

11