SKKN vận dụng bất đẳng thức cô si vào giải các bài toán hình học lớp 9 tăng tính sáng tạo cho học sinh

Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại những bài toánkhó cho học sinh trung học cơ sở, kể cả học sinh giỏi lúng túng khi gặp dạng toánnày.. Mục đích nghiên cứu Qua

I MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Hiện nay, Đảng, Nhà nước đang rất quan tâm, chú trọng đặt nhiệm vụ giáodục là nhiệm vụ cấp thiết hàng đầu, tập trung kinh phí, tạo điều kiện tốt nhất chocông tác giáo dục Ngành giáo dục đã và đang trong công cuộc “đổi mới giáo dục”.Hoàn thiện chương trình SGK, đổi mới phương pháp dạy học, tuyên truyền hưởngứng các cuộc vận động nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục nước nhà hiện nay

Đào tạo học sinh phát triển toàn diện đó là mục tiêu cao nhất của giáo dụcViệt Nam nói chung và giáo dục Quảng Xương nói riêng Nâng cao chất lượng dạy

và học ở trường THCS, chú trọng đến từng đối tượng học sinh Bên cạnh vấn đềcấp thiết là giúp đỡ học sinh yếu kém, nâng cao chất lượng học sinh đại trà, chútrọng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

Toán học là một bộ phận khoa học có tầm hết sức quan trọng trong pháttriển khoa học kỹ thuật và đời sống Việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán để đàotạo ra những người giỏi toán là việc rất cần thiết

Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại những bài toánkhó cho học sinh trung học cơ sở, kể cả học sinh giỏi lúng túng khi gặp dạng toánnày Thực sự đây là một phần rất quan trọng trong hình học, và những kiến thức vềbất đẳng thức trong hình học cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của toánhọc

2 Mục đích nghiên cứu

Qua thực tế những năm trực tiếp giảng dạy và tham gia bồi dưỡng học sinhgiỏi toán 9, tôi nhận thấy việc vận dụng và khai thác bất đẳng thức Côsi trong quátrình giải các bài toán bất đẳng thức và cực trị hình học là một hướng tiếp cận hiệuquả, không chỉ bởi lẽ đối tượng của hình học (diện tích, độ dài đoạn thẳng, số đogóc, ) và đối tượng để áp dụng BĐT Côsi là tương đồng (đại lượng không âm),

mà còn bởi tính đa dạng, đẹp của BĐT Côsi trong vận dụng Sự khéo léo, linh hoạttrong việc vận dụng và khai thác BĐT Côsi là một yêu cầu đối với học sinh giỏiToán Mức độ khó, dễ của bài toán cũng có thể được điều chỉnh tùy theo chủ ý củangười ra đề Với những suy nghĩ đó, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài

“Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán hình học THCS tăng

sự phát triển tư duy, sáng tạo, hứng thú cho học sinh học toán lớp 9”, mà cụ

thể là các bài toán bất đẳng thức và cực trị hình học Nội dung đề tài tạm chia làm

ba phần Phần một gồm một số bài toán điển hình và những nhận xét của tác giả.Phần hai là một vài suy nghĩ và những trao đổi xung quanh việc vận dụng một bàitoán gốc của đại số để cho ra những bài toán với những mức độ khác nhau của hìnhhọc, thông qua những ví dụ cụ thể minh họa Và phần ba là giới thiệu một số bàitập

Mong đây là một tài liệu tham khảo bổ ích với các em học sinh giỏi toán lớp

9, và các thầy cô tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS cùng các độc giảyêu thích toán học

3 Đối tượng nghiên cứu

1

- Phần kiến thức: Lý thuyết bài tập về bất đẳng thức hình học, cực trị hìnhhọc.

- Học sinh: Học sinh khá giỏi khối 9 tại trường THCS Nguyễn Du – QuảngXương

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp quan sát: Thực trạng về công tác chỉ đạo, công tác bồi dưỡnghọc sinh khá, giỏi, quá trình học tập, chất lượng học tập của học sinh khá, giỏi

Phương pháp nghiên cứu tài liệu như nghiên cứu sách, giáo trình có liênquan đến kiến thức, bài tập về bất đẳng thức hình học, cực trị hình học Nghiên cứuchất lượng học sinh Nghiên cứu công tác chỉ đạo của nhà trường đối với công tácbồi dưỡng học sinh khá, giỏi

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lý luận:

Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh cácphẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡngtrong cuộc sống của học sinh Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các emtính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điềukiện cần thiết vô cùng quan trọng trong việc học toán

Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo toán học, trước mỗibài tập tôi đã cho học sinh tìm hiểu cách giải, đồng thời người thầy giáo cũng phảigợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên cơ sở đó học sinh tự tìm racách giải hợp lí nhất Phát hiện ra những cách giải tương tự và khái quát đường lốichung Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hóa bài toánthành bài toán tổng quát và xây dựng bài toán tương tự

2 Thực trạng vấn đề:

2.1 Thực trạng vấn đề

Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán ở trường THCS, rồi tham khảo cáctài liệu, học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp và sự tích lũy trau dồi của bản thân,đặc biệt qua quá trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi bộ môn toán, bồi dưỡng họcsinh giỏi cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh Tôi nhận thấy các bài toán về bất đẳngthức hình học nói chung và đặc biệt là các bài toán cực trị hình học nói riêng lànhững dạng bài mà học sinh vẫn còn lúng túng, còn tỏ ra không hứng thú khi gặpdạng toán này

2.2 Kết quả khảo sát đánh giá học sinh

Trước khi viết đề tài “Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán hình học THCS tăng sự phát triển tư duy, sáng tạo, hứng thú cho học sinh học toán lớp 9”, và cũng chưa giảng dạy cho học sinh phương pháp giải loại

toán này tôi đã khảo sát chất lượng 20 học sinh khá, giỏi lớp 9C1 trường THCSNguyễn Du bằng cách làm một số bài kiểm tra về bài toán bất đẳng thức hình học

và cực trị hình học của khối lớp 9 thì thấy kết quả như sau:

2

Tổng số HS 20

Từ thực tế đó tôi đã tìm hiểu, đưa ra bài viết “Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài toán hình học THCS tăng sự phát triển tư duy, sáng tạo, hứng thú cho học sinh học toán lớp 9”, nhằm đưa đến cho các em các

phương pháp giải bài tập về bất đẳng thức hình học, cực trị hình học Với sángkiến kinh nghiệm này tôi đã thu được kết quả đáng kể trong việc nâng cao chấtlượng học sinh cũng như đạt kết quả cao các kỳ thi học sinh giỏi các cấp

3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:

Kế hoạch và thời gian nghiên cứu

Chủ đề này tôi áp dụng trong trường THCS Nguyễn Du trong thời gian từđầu năm học 2017 - 2018 và tiếp trong những năm học sau với tinh thần rút ranhững bài học kinh nghiệm và có sửa chữa, bổ sung cho phù hợp với các đối tượng

và giai đoạn cụ thể:

* Năm 2016 – 2017 : Tìm hiểu, xây dựng khung chương trình, nghiên cứu tài liệu và xây dựng đề cương

* Năm học 2017 – 2018 : Thực nghiệm và so sánh kết quả

4 Nội dung nghiên cứu

Phần thứ nhất: Một số bài toán liên quan đến bất đẳng thức hình học sử dụng bất đẳng thức Côsi

Phần thứ hai: Các bài toán gốc đại số vận dụng vào giải một số bài cực trị hình học sử dụng bất đẳng thức Côsi

4.1 Định hướng chung

Bài tập về bất đẳng thức hình học, cực trị hình học rất đa dạng nhưng để làmcác bài tập đó trước tiên học sinh phải nắm vững được kiến thức cơ bản

1. Bất đẳng thức Côsi: cho hai số a; b là các số không âm

Ta luôn có: a2 b ab Dấu “=” xảy ra khi a b

2. Bất đẳng thức Côsi: cho ba số a; b; c là các số không âm

Ta luôn có: a b c 3 abc Dấu “=” xảy ra khia b c

3

3 Bất đẳng thức Côsi: Cho n số: a1 , a2 , ,an là các số không âm

Ta luôn có: a1 a2 a n n a1a 2 a n Dấu “=” xảy ra khi a 1 a 2 an

n

Cách phát biểu khác cho BĐT Côsi là: Với các số không âm, trung bìnhcộng không nhỏ hơn trung bình nhân Trung bình cộng và trung bình nhân bằngnhau khi và chỉ khi các số đó bằng nhau

Ý nghĩa của BĐT Côsi: + n số không âm có tổng không đổi, tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi các số đó bằng nhau

n số dương có tích không đổi, tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi các số

đó bằng nhau

Phát triển bài toán hình học từ một bài toán gốc đại số

4 Bài toán gốc: Chứng minh rằng nếu a1 ,a2 , ,a n là các số dương, thì

3

Dấu “=” xảy ra khi a1 a 2 a n

Trong nhiều bài toán, người ta thường sử dụng ba trường hợp riêng sau đây:

4.2 Một số bài toán điển hình

Bài 1 : [7] Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn Hai đường

chéo AC và BD cắt nhau tại I Chứng minh rằng:

DI C I

4

C B

Nhận xét: Trong bài toán trên, mặc dù dấu của bất đẳng thức cần chứng minh

là , trong khi cả hai vế của bất đẳng thức đều ở dạng tổng của các hạng tử Chìa khóa để giải quyết bài toán ở đây chính là việc chuyển đổi mỗi hạng tử của vế

Bài 2: [3] Cho tam giác nhọn ABC Vẽ ba chiều cao AA 1 , BB1 , CC1 ; ba

trung tuyến AA 2 , BB2 , CC2 Giả sử AA 2BB1 P , BB2 CC1Q , CC2 AA 1R

Chứng minh rằng: PA2 QB2 RC2

Lời giải

B1 C1

P C2

giác ABC đều

Bài 3: Cho M nằm trên đoạn thẳng AB Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By

vuông góc với AB Qua M có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau

và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho tamgiác MCD có diện tích nhỏ nhất

Lời giải

6

y x

Do a, b là hằng số nên S MCD nhỏ nhất 2sin cos lớn nhất

Theo bất đẳng thức Côsi: 2sin cos sin 2 cos 2 1

Nên S MCD ab Dấu bằng xảy ra khisin cos 45 0

Như vậy Min S MCD ab Điểm C, D được xác định thứ tự trên các tia Ax, By sao

cos , sin 2 cos 2 có liên hệ bởi BĐT Côsi: x 2 y 2 2xy .

Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm M di động trên cạnh BC Qua M kẻ các đường

thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở D, E Xác định

vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất

HK SADME MD.HK , S ABC 1 AC BK Suy ra: 2 .

D

K E H

Như vậy MaxS ADME 1

2 S ABC , khi đó M là trung điểm của BC.

Kết luận: max S ADME S

ABC , khi đó M là trung điểm BC

Cách 2, ta cũng xét biểu thức trung gian đó là tỉ số giữa tổng diện tích của các

DBM ,EMCvà diện tíchABC, vì vậy lại áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng

x 2 y2 1

x y 22 Qua đây cho thấy, cùng một bài toán, nhưng với cách khai thác khác

nhau thì việc vận dụng bất đẳng thức Côsi sẽ ở những dạng khác nhau Vấn đề làđòi hỏi ở người làm toán khả năng vận dụng linh hoạt, hợp lý để đạt được mụcđích cụ thể

Dưới đây là hai bài toán, vẫn là bài toán cực trị hình học nhưng ta lại vậndụng bất đẳng thức Côsi ở khía cạnh khác Với hai số dương x, y có tổng x y khôngđổi, thì tích xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x y Ngược lại nếu tích xy khoongđổi thì tổng x y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x y

Bài 5: [4] Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Gọi D là trung

điểm AB Điểm E di chuyển trên cạnh AC Gọi H, K theo thứ tự là chân các đườngvuông góc kẻ từ D, E đến BC Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH Khi

Khi đó hình thang DEKH có đường cao HK a

2 và nếu kẻ AM BC thì do tam giác ABC vuông cân tại A nên MB MC a

Bài 6: [8] Cho đường tròn O; r nội tiếp tam giác ABC Kẻ đường thẳng qua O cắt

hai cạnh CA, CB của tam giác theo thứ tự ở M và N Đường thẳng ở vị trí nào thì tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất?

Hay S 2 S r S 2 2 S r2 S 2r2 Vậy S nhỏ nhất bằng 2r2 khi CM CN Tam giác CMNcân đỉnh C có CO là phân giác nên CO MN

Kết luận: Đường thẳng MN CO tại O thì CMN có diện tích nhỏ nhất

Nhận xét: Có thể diễn đạt kết quả bài toán trên dưới dạng sau: Cho điểm O thuộc

tia phân giác của góc C, một đường thẳng bất kì đi qua O cắt hai cạnh của góc Ctại M và N Tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi CO là đường caocủa tam giác

Cách khác: Cho điểm O thuộc tia phân giác của góc C, một đường thẳng bất kì điqua O cắt hai cạnh của góc C tại M và N CMN có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi

CO là trung tuyến của tam giác

Ta còn có kết quả mạnh hơn bằng cách bỏ điều kiện O thuộc tia phân giác góc C:Cho điểm O nằm trong góc C, một đường thẳng bất kì đi qua O cắt hai cạnh củagóc C tại M và N Tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi CO là trungtuyến của tam giác Dưới đây là hai cách giải bài toán này:

Cách 1: Xét CMN nhận CO là trung tuyến và CDE có DE đi qua O nhưng OD OE .Lấy I trên đoạn OE sao cho OI OD

Ta có: ODM OIN (c.g.c) S ODM SOIN S CMN SCDE

M D

O I

Vì vậy MinS CMN 2S OHCK, khi O là trung điểm của MN

Để dựng điểm M, ta chỉ cần lấy M sao cho H là trung điểm của CM

11

Nhận xét: Qua những bài toán điển hình tôi đã lựa chọn ở trên, một số bài toán sẽ

còn có những cách giải khác Tuy nhiên, với việc khai thác linh hoạt và hợp lý củabất đẳng thức Côsi, cùng những kết quả khác của hình học, lời giải qua các ví dụ

đó đã ngắn gọn và đẹp hơn Đối với người học (đối tượng là học sinh giỏi Toán 9),thì có thể coi đây là những gợi ý, định hướng suy nghĩ và tìm tòi lời giải cho một

số bài toán cực trị hình học Còn đối với người dạy (giáo viên), đây cũng có thể coinhư những ý kiến tham khảo, trao đổi về việc khai thác bất đẳng thức Côsi trongviệc đưa ra các bài toán cực trị hình học hay những bài toán giải quyết những vấn

đề có ý nghĩa thực tiễn trong cuộc sống

Bài 7: [7] Cho ABC , O là điểm tùy ý trong tam giác AO, BO, CO kéo dài cắt cáccạnh đối diện thứ tự tại M, N, P Chứng minh: OM AO ON BO CO OP 6

N P

NB PO PC1 Nên MO MA NO NB PO PC13 M là trọng tâm ABC

Bài 8: [1] Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Ba trung tuyến AA’,

BB’, CC’ lần lượt cắt (O) tại A1 , B1 , C1 Chứng minh rằng:

Rõ ràng (2*) đúng với bài toán gốc nêu ở trên Do đó (*) đúng.

Dấu bằng trong (*) xảy ra khi và chỉ khi a b c , tức là ABC

đều.

Nhận xét: Vận dụng bài toán gốc, nhưng được phát triển sâu hơn, cùng với học

sinh phải biết được công thức trung tuyến (coi như một bài toán phụ):

m a 2 b 2 c 2 a 2 .

Cũng có thể học sinh dừng lại ở chỗ a 2 b 2 c2 3 Đây chính là nội

b2c 2 a2c 2 a2

b 2 2

dung của bất đẳng thức Nesbit (với n 3 ): x y z 3 Bất đẳng thức

y z x z x y 2

Nesbit được chứng minh qua kết quả của bài toán gốc nêu ở trên

Dưới đây là một bài toán nữa, được coi như là “minh họa hình học” cho bất đẳngthức Nesbit

tương ứng là các khoảng cách từ A’ đến AB, B’ đến BC, C’ đến CA Gọi

tương ứng là ba chiều cao của tam giác kẻ từ A, B, C Chứng minh rằng:

B1 C1

Vận dụng vào giải và sáng tạo ra các bài toán bất đẳng thức hình học hoặc tìm cực trị hình học.

16

Dạng toán này lúc đầu các em còn lúng túng khi sử dụng tính chất bất đẳngthức, sau khi được làm các bài tập ví dụ và làm thêm các bài tập áp dụng thì đại đa

số các em đã biết cách giải dạng toán này, không còn sai sót

5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

5.1 Kiểm nghiệm

Sau khi phân loại bài tập về bất đẳng thức hình học, cực trị hình học tôi thấy

có sự thay đổi rõ rệt qua các lần theo dõi cũng như kiểm tra học sinh Việc nhậndạng các bài toán của học sinh nhanh hơn Học sinh đưa ra hướng giải nhanh vàchính xác hơn, kiến thức học sinh đã theo hệ thống chặt chẽ và logic hơn

Thực tế cũng cho thấy, khi phân loại bài toán giúp bài giảng giáo viên trởnên hấp dẫn, cuốn hút học sinh hơn, giúp học sinh giải quyết vấn đề đặt ra mộtcách nhanh chóng và chính xác

Sau đây là kết quả khảo sát học sinh sau khi tôi đã dạy cho học sinh dạngtoán này:

5.2 Giới thiệu một số bài toán

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) với

ba đường cao AA1 ; BB1 ; CC1 lần lượt cắt đường tròn tâm (O) tại D; E; F Xác địnhdạng của tam giác ABC sao cho

1) AA1 BB 1 CC 1 đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó.

DA1 EB1 FC1

2) AA AD1 BB BE1 CC CF1 đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 2: M là một điểm di động trên đoạn thẳng AB cố định Vẽ các hình

vuông AMCD, BMEF Xác định vị trí của M để tổng các diện tích hai hình vuôngđạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh tương ứng a, b, c; đường cao

AH h

Hãy nội tiếp trong tam giác đó hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất,với M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC

Bài 4: Cho góc nhọn xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó M, N

thứ tự là hai điểm trên các tia Ox, Oy sao cho 2.OM ON Tìm vị trí của M, N trêncác tia đó sao cho 2.AM AN đạt giá trị nhỏ nhất

17