«pn tap nhi thuc Niu-Ton,to hop

ôn tập nhị thức niu-tơn1.. d các hạng tử cách đều hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau 3.. a Chứng minh một đẳng thức, b Phơng trình và bất phơng trình.

ôn tập nhị thức niu-tơn

1 Khi khai triển nhị thức (a + b) n, ta nhận đợc công thức

(a + b)n = cn an + cn an-1b + cn2an-2b2 +…+ cn+ n-1 abn-1 + cn bn (1)

( công thức nhị thức Niu –Tơn)

2 Trong vế phải của công thức (1) ta có:

a) số các hạng tử là n + 1;

b) số hạng (hạng tử) thứ k + 1 là cn an-kbk ; k = 0,1,2…+( quy ớc a0 = 1)

c) số mũ của a giảm dần từ n đến 0, sô mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhng tổng

số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n

d) các hạng tử cách đều hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau

3 Tam giác Pascal

n hệ số trong khai triển của (a + b)n

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

…+

L u ý : * Ta còn có thể nói “số hạng thứ k + 1” là số hạng tổng quát và ký hiệu là

T k+1 = Cnk a n-k bk

* (a – b)n = Cn an – Cn a n-1b + Cn an-2b2 + …++ (-1)kCn an-kbk + …++(-1)nCnn bn

Bài 1) khai triển các biểu thức sau:

a) (x – y)5 b) (2x - 1/x)6 c) (1 + 3x)7

Bài 2) Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển (x + 2/x)10, mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần

Bài 3 Biết hệ số của x2 trong khai triển của (3x +1)n là 90 Hãy tìm n

Bài 4 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2x – 1/x2)6

Bài 5 Từ khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận đợc

Bài 6 Cho đa thức P(x) = (1 – x)10 + (1 – x)11 + …++ (1 – x)16

Khai triển P(x) để có dạng P(x) = a0 + a1x + a2x2 + …+a16x 16

Tính a4, a7, a15

Bài 7 Trong khai triển đa thức P = (a2- b1/3)6, tìm hệ số của a12b4

Các bài toán liên quan đến công thức

Pn =n! = n.(n – 1).(n – 2)…+2.1

An = n!/(n – k)! và Ck = n!/k!.(n-k)!

L u ý : n;k  N, n ≥ k ≥ 1

0! = 1

Ck = Cn n-k

a) Chứng minh một đẳng thức,

b) Phơng trình và bất phơng trình

Bài 1 Chứng minh:

a) Ck + Cn k-1 = Ck

n+1 b) Suy ra Ck + 2Cn k-1 + Cn k-2 = Ck n+2 (n, k  N và n ≥ k ≥ 2 )

Bµi 2 Chøng minh r»ng Ck = n.C k-1 /k víi 0 ≤ k ≤ n vµ k, n  N

n-1

Bµi 3 Chøng minh r»ng víi mäi k, n  N; 2 ≤ k ≤ n, ta lu«n cã

k(k – 1).Ck = n.(n – 1)Ck-2

n-2

Bµi 4 Gi¶i ph¬ng tr×nh 1/Cx – 1/Cx = 1/Cx

Bµi 5 Gi¶i ph¬ng tr×nh Ca+b = 35

7 Bµi 6 T×m c¸c sè x nguyªn d¬ng tho¶ m·n ph¬ng tr×nh:

C1 + 6C2 + 6C3 = 9x2 – 14x

Bµi 7 T×m k  N biÕt r»ng Ck 14 + C k+2 = 2C k+1

Bµi 8 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh C n-3 /A4 n+1 < 1/14P3.

n-1

Bµi 9 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh ( víi 2 Èn n, k  N) P n+5/(n-k)! ≤ 60A k+2 Bµi 10 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh A4 / (n+2)! < 15/(n – 1)! n+3

n+4