Ứng dụng của tích phân bội trong trong vật lý

Đầu tiên chúng ta thảo luận về tích phân kép và tích phân ba sau đó chúng ta xem xét thay đổi các biến trong tích phân bội và thảo luận một số thuộc tính chung của Jacobians.. Tuy nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

LÊ THỊ MINH ANH

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

LÊ THỊ MINH ANH

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Hà Thanh Hùng

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tại trường

và tạo điều kiện cho em được làm khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy

giáo PGS.TS Hà Thanh Hùng - người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn em

nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này

Trong quá trình em nghiên cứu làm khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót và nhiều chỗ còn hạn chế Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 8 tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Lê Thị Minh Anh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận với đề tài “Ứng dụng của tích phân bội trong vật lý” là kết

quả của cá nhân em trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đ ch nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Giả thuyết khoa học 1

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

6 hương pháp nghiên cứu 1

7 Đóng góp của đề tài 2

8 Các trúc khóa luận 2

CHƯƠNG I: SƠ LƯỢC LÍ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN BỘI 3

1 Tích phân bội 3

1.1 Tích phân kép 3

1.2 Tích phân ba 6

2 Định l appus‟ 6

3 Cách thay đổi biến trong tích phân bội 8

3.1 Thay đổi biến trong tích phân kép 8

3.2 Cách thay đổi biến trong tích phân ba 10

3.3 Đặc tính chung của Jacobian 12

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ 14

2.1 Ứng dụng tính diện tích và thể tích của vật thể 14

2.2 Ứng dụng tính khối lượng, xác định khối tâm và trọng tâm của các vật thể 22

2.3 Ứng dụng tính mô men quán tính của các vật rắn 32

2.4 Ứng dụng tính giá trị trung bình của các đại lượng vật lý 37

2.5 Ứng dụng của tích phân x2 I e dx      để xác định các đại lượng vật lý 43

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lí học là một ngành của triết học tự nhiên và khoa học tự nhiên Vật lý học có liên quan chặt chẽ với các môn khoa học khác Từ rất lâu phương pháp toán học được sử dụng trong vật lý phát triển và đặc biệt là vật lý lý thuyết Các lý thuyết vật lý đã sử dụng ngôn ngữ toán học để nhận được những công thức chính xác miêu tả các đại lượng vật lý thu được những nghiên cứu chính xác hay những giá trị ước lượng và tiên đoán những hệ quả Những kết quả thí nghiệm hay thực nghiệm của vật lý đều biểu hiện bằng các giá trị số Càng đi sâu vào nghiên cứu ta càng thấy toán học và vật lý càng có sự giao thoa với nhau

Được sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Hà Thanh Hùng nên

tôi quyết định chọn đề tài “Ứng dụng của tích phân bội trong trong vật lý” để

nghiên cứu trong khóa luận tốt nghiệp của mình Mong rằng đề tài này sẽ là tài liệu tham khảo giúp cho các bạn sinh viên trong môn học vật lý

2 Mụ đ h nghi n ứu

- Nghiên cứu về các ứng dụng của tích phân bội trong một số đại lượng vật lý

- Giải một số bài toán về tích phân bội

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của tích phân bội trong Vật lý

- Phạm vi nghiên cứu: Tổ chức cho HS sử dụng kiến thức của tích phân bội vào giải các bài tập Vật lý

4 Giả thuyết khoa học

Nếu tăng cường kiến thức của tích phân bội vào bộ môn Vật lý thì có thể phát triển năng lực giải quyết vấn đề, nâng cao chất lượng và nắm vững kiến thức các môn liên hợp

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đưa ra cơ sở lý thuyết của tích phân bội

- Giới thiệu một số bài tập về các dạng tích phân bội và cách giải các bài tập đó

6 Phư ng ph p nghi n ứu

- Đọc tra cứu tài liệu

- hương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán

ra, từ đó có được phương pháp giải phù hợp

8 Các trúc khóa luận

Chương 1: Sơ lược lý thuyết về tích phân bội

Chương 2: Ứng dụng của tích phân bội trong vật lý

CHƯƠNG I: SƠ LƯỢC LÍ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN BỘI

1 Tích phân bội

Tích phân bội là một loại t ch phân xác định được mở rộng cho các hàm có nhiều hơn một biến ví dụ f(x,y) hoặc f(x,y,z) Đầu tiên chúng ta thảo luận về tích phân kép và tích phân ba sau đó chúng ta xem xét thay đổi các biến trong tích phân bội và thảo luận một số thuộc tính chung của Jacobians

1.1 Tích phân kép

Tích phân kép – một tích phân có hai biến số- hàm f (x,y), được lấy tích phân theo x và y giữa các giới hạn nhất định Các giới hạn này thường được đại diện bởi một đường cong kín C giới hạn một vùng R trong mặt phẳng xy

Chia vùng R thành N vùng rất nhỏ ΔRp có diện tích ΔAp, p = 1,2,3,…N và (xp,



Cho N→∞ thì diện t ch ΔAp →0

Nếu tổng S tiến tới một giới hạn duy nhất đơn trị thì nó được gọi là tích phân kép của f(x,y) trong vùng R và được viết là

( , )

R

trong đó dA là nguyên tố diện tích trong mặt phẳng xy Nguyên tố diện tích

dA là diện tích của hình chữ nhật rất nhỏ trong vùng R và ΔA=ΔxΔy và Δx, Δy đều tiến tới 0, ta viết t ch phân như sau:

Hình 1.1 Đường cong kín C giới hạn một vùng R trong mặt phẳng xy

Công thức (1.2) cho chúng ta cách tính một tích phân kép Trong hình 1.1, các giới hạn trên phép tính tích phân có thể được viết bằng phương trình c(x,y)=0 cho bởi đường biên đường cong C Tuy nhiên các giới hạn có thể viết trong hai cách khác nhau

Cách thứ nhất t nh t ch phân là đầu tiên tổng hợp các nguyên tố diện tích hình chữ nhật nhỏ lại rồi sắp xếp thành các dải ngang với chiều rộng dy sau đó hợp những dải ngang này rồi trải ra toàn bộ vùng R, trong trường hợp này ta viết tích phân như sau:

Cách thứ hai để t nh t ch phân là đầu tiên tổng hợp các nguyên tố diện tích hình chữ nhật nhỏ lại rồi sắp xếp thành các dải dọc sau đó hợp những dải dọc này rồi trải chúng ra toàn bộ vùng R thì t ch phân được viết như sau:

Trong đó y=y1 (x) và y=y2(x) là các phương trình của các đường cong STU và SVU tương ứng Từ (1.3) và (1.4) ta có thể thay đổi thứ tự của các phép tính tích phân cho nhau

Nói chung, hàm f(x,y) là liên tục ở khắp nơi trong R và đường biên đường cong C có hình dạng đơn giản thì sẽ cho ta cùng một kết quả, nó không phụ thuộc vào thứ tự của phép tính tích phân Còn trong trường hợp vùng R có hình dạng phức tạp, thì ta chia nó thành các vùng nhỏ có hình dạng đơn giản hơn R1, R2,… Tích phân kép trên toàn R là tổng của tất cả các tích phân kép trên các vùng rất nhỏ đã chia

Để tránh việc sử dụng các dấu ngoặc trong biểu thức (1.3) và (1.4) ta có thể từ (1.4) viết được t ch phân kép như sau:

2 1

( ) ( ) ( , )

Sử dụng thứ tự của phép tính tích phân trong (1.3) ta có thể viết tích phân kép như sau:

2 1

( ) ( ) ( , )

1.2 Tích phân ba

Xét hàm số f(x,y,z) trong một miền kín R ba chiều Nhƣ chúng ta đã làm đối với tích phân kép, ta chia vùng R thành N các tiểu vùng ΔRp có thể t ch ΔVp, p=1,2,…N và lấy (xp,yp,zp) là điểm bất kì trong tiểu vùng ΔRp Ta có tổng

1

( , , )

N

p p p p p



Cho N→∞ thì ΔVp→0 Nếu tổng S tiến tới một giới hạn duy nhất đơn trị, I khi

đó đƣợc gọi là tích phân ba của f(x,y,z) trong vùng R và đƣợc viết là :

( , , )

R

Trong đó dV là viết tắt của nguyên tố thể tích Bằng cách chọn các tiểu vùng

là các hình hộp nhỏ có thể tích ΔV=ΔxΔyΔz và tiến tới giới hạn, tích phân có thể viết nhƣ sau :

Hình 1.2 Trong mặt phẳng xy, diện tích A quay quanh trục x tạo thành thể

tích của vật tròn xoay

Nếu một hình phẳng đƣợc quay quanh một trục nằm trong mặt phẳng của hình nhƣng không cắt hình đó thì tạo ra thể tích của vật tròn xoay Định lí pappus thứ nhất khẳng định rằng thể tích của một vật tròn xoay đƣợc tạo ra bởi mặt phẳng diện tích A bằng diện tích A nhân với chu vi vòng tròn vạch bởi trọng tâm của hình phẳng A Điều này có thể đƣợc chứng minh bằng cách xem xét định nghĩa của trọng tâm trong mặt phẳng diện tích nhƣ là khối tâm nếu mật độ là đều, do đó

Định lí pappus thứ hai khẳng định rằng nếu một đường cong phẳng được quay quanh một trục đồng phẳng nhưng không cắt đường cong thì diện tích mặt tròn xoay được tạo ra và bằng độ dài của của đường cong L nhân với chu vi của đường tròn vạch bởi trọng tâm của đường cong đó (xem hình 1.3) Điều này có thể được chứng minh một cách tương tự như định lí thứ nhất bằng cách xét định nghĩa của trọng tâm trong mặt phẳng đường cong,

3 Cách thay đổi biến trong tích phân bội

3.1 Thay đổi biến trong tích phân kép

Xét sự thay đổi của các biến trong một tích phân kép, giả sử ta thay đổi một tích phân sau:

ta phải thay đổi các giới hạn của phép tính tích phân sao cho phù hợp Ngoài ra hàm f(x,y) trở thành hàm mới g(u,v) có các tọa độ mới

Hình 1.4 Một vùng của phép tính tích phân R chồng với một mạng lưới hình thành bởi họ đường cong u= hằng số và v= hằng số Trong đó hình

bình hành KLMN là diện tích nguyên tố dA uv

Xét nguyên tố diện tích trong tích phân

Trong mặt phẳng xy nguyên tố diện tích hình chữ nhật dAxy=dxdy được tạo ra bằng cách xây dựng một mạng lưới các đường thẳng song song tương ứng với trục

x và trục y Nhiệm vụ của ta là xác định các diện tích nguyên tố tương ứng trong tọa

độ uv Nói chung các nguyên tố dAuv tương ứng sẽ không giống hình dạng của dAxynhưng điều này không quan trọng vì tất cả các nguyên tố là cực nhỏ và giá trị của

t ch phân được coi là không đổi qua chúng Vì các cạnh của nguyên tố diện tích là

vô cùng nhỏ, dAuv nói chung sẽ có dạng của hình bình hành Chúng ta có thể tìm mối liên hệ giữa dAxy và dAuv bằng cách xét các lưới hình bình hành từ các đường cong u= hằng số và v= hằng số ( thể hiện trong hình 1.4) Dọc theo nguyên tố dòng

KL có v là hằng số, có các thành phần x

du u



y du u



 tương ứng trong các chiều

của trục x và trục y Tương tự như vậy, dọc theo nguyên tố dòng KN có u là hằng

số, có các thành phần tương ứng x

dv v



y dv v



 Ta có diện tích hình bình hành

KLMN là

Tóm lại trong mối quan hệ giữa số đo của nguyên tố diện t ch được tạo ra bởi

dx, dy và số đo của nguyên tố diện t ch tương ứng được tạo ra bởi du, dv là :

( , )

dud( , )

3.2 Cách thay đổi biến trong tích phân ba

Giả sử chúng ta muốn thay đổi các biến x, y, z sang u, v, w Các tọa độ x, y, z của nguyên tố thể tích là một hình hộp có các cạnh là dx, dy, dz và thể tích dVxyz= dxdydz Nếu chia toàn thể tích thành những phần vô cùng nhỏ bằng cách xây dựng một mạng lưới hình thành từ các các tọa độ bề mặt u, v, w ( u, v, w đều là hằng số)

Khi đó các nguyên tố thể tích dVxyz trong hệ tọa độ mới sẽ có hình dạng của một hình có các mặt là các tọa độ bề mặt và có cạnh là những đường cong được tạo

thành bởi các giao điểm của các bề mặt (nhìn hình 1.5)

Hình 1.5 Một vùng 3 chiều của phép lấy tích phân R, biểu diễn nguyên tố thể tích trong hệ tọa độ u, v, w được tạo thành bởi các tọa độ mặt u= hằng số,



z du u



 tương ứng trong các chiều của các trục x, y, z Các

thành phần của các yếu tố dòng S và ST được tìm thấy bằng cách thay thế u, v và

( , , ) ( , , w)

3.3 Đặc tính chung của Jacobian

Ta có kết quả chung cho sự thay đổi các tọa độ trong tích phân n chiều từ một tập xi đến một tập yi ( trong đó i và j chạy từ 1 đến n) là:



 , i j

y z



 và .

i j

x z



Ta có thể sử dụng kết quả chung của định thức từ kết quả của hai ma trận là

|AB|=|A||B|, và nhớ lại Jacobian

1 1

( , , )

| | ( , , )

n xy

1

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI TRONG VẬT LÝ 2.1 Ứng dụng tính diện tích và thể tích của vật thể

Tích phân bội thường được sử dụng trong việc tìm diện tích và thể tích Ví dụ tích phân

A   dA   dxdy

tương đương với diện tích của vùng R Tương tự nếu chúng ta xét mặt z=f(x,y) trong hệ tọa độ Đecac 3 chiều thì thể t ch dưới mặt này mà đứng theo chiều dọc trên vùng R được tính bởi tích phân

Hình 2.1 Các tứ diện được giới hạn bởi các tọa độ mặt và mặt phẳng x/a +y/b + z/c =1 được chia thành các tấm thẳng đứng, các tấm được chia

thành các cột và các cột được chia thành các hộp nhỏ

Như hình 2.1, nguyên tố thể tích của vùng bóng mờ bằng dV=zdxdy và ta phải lấy tích phân trong tam giác vùng R ở trong mặt phẳng xy giới hạn bởi các đường thẳng x=0, y=0 và y=b-bx/a Thể tích toàn phần của tứ diện là

0

0

2

y b bx a a

V   dV   dxdydz

ở công thức trên chỉ khó khăn khi thiết lập các giới hạn đúng của từng tích phân Đối với ví dụ trên thể t ch được viết theo cách này tương ứng với cách chia tứ diện thành các hộp nguyên tố có thể t ch dxdydz (như hình 2.1); phép tính tích phân trên

z ta chồng các hộp lên để tạo thành cột bóng mờ như trong hình Các giới hạn của phép lấy tích phân trên z là z=0, đến z=c (1-y/b-x/a), và thể tích toàn phần của tứ

/ (1 / / )

a b bx a c y b x a

Cũng cho kết quả tương tự như trên

 Dạng 2: Yêu cầu tính tích phân theo diện tích hay thể tích của hàm f(x,y) hay f(x,y,z) trên một vùng R xác định

Ví dụ : Tìm tích phân theo thể tích của x2y trên khối tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng x=0, y=0, z=0 và x+y+z=1

2 3 4 5 3 4 5 6 1

Bài 2 Một hình xuyến nhất định có mặt cắt ngang thẳng đứng hình tròn có

bán k nh a được đặt tại tâm của một đường tròn nằm ngang có bán kính c (c>a) Tính thể tích V và diện tích mặt A của hình xuyến và chứng tỏ rằng V, A có thể

Hình xuyến có bán kính bên ngoài là r0 bán kính bên trong là ri

Theo đầu bài có mặt cắt ngang thẳng đứng hình tròn có bán k nh a đặt tại tâm của đường tròn có bán kính c

Nên

0 0

022

i

r r c

Ta cắt hình xuyến sao cho có mặt cắt ngang thẳng đứng là hình tròn bán kính

a, xong dựng hình xuyến thành hình trụ có đáy là hình tròn và chiều cao là 2πc Thể tích hình xuyến là V=πa22πc

b a

cossin

0

0 0

Bài 5 Phác thảo một phần của miền 0≤x, 0≤y≤π/2 được giới hạn bởi các

đường x=0, y=0, sinhxcosy=1 và coshxsiny=1 Bằng cách thay đổi các biến số phù hợp, tính tích phân

coshxcosy sinh x sin

osh cos sinh sin sinh x sin coshxcosy

0 1

2.2 Ứng dụng tính khối lượng, x định khối tâm và trọng tâm của các vật thể

Đối với một vật thể nhất định có mật độ không đều thì khối lƣợng của nó đƣợc đƣa ra bằng

Khi tính tích phân cần thiết ta có thể chia vật thể thành các nguyên tố khối lƣợng thuận tiện nhất với điều kiện mỗi nguyên tố khối lƣợng có mật độ xấp xỉ không đổi

+ Đối với một vật thể có bề dày mỏng ( nhƣ là một tấm kim loại dát mỏng)

có nguyên tố khối lƣợng là dM=σdA với σ là khối lƣợng trên một đơn vị diện tích của vật thể và dA là nguyên tố diện tích

+ Đối với một vật có dạng một sợi dây mảnh có nguyên tố khối lƣợng là dM=λds với λ là khối lƣợng thanh trên một đơn vị chiều dài và ds là nguyên tố chiều dài của dây