Tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử

Khi nghiên cứu phổ năng lượng của một số hệ vi mô điển hình trong vật lý lượng tử ta sẽ thấy rằng tuỳ theo dạng cụ thể của thế năng của trường lực tác dụng lên hạt vi mô mà phổ năng lượn

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Huy Thảo người đã giúp đỡ định hướng nghiên cứu, cung cấp cho tôi những tài liệu quý báu, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, tạo điều kiện tốt nhất trong quá trình hoàn thành khoá luận tốt nghiệp

Tiếp theo, tôi xin cảm ơn tất cả các thầy, các cô thuộc Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 nói chung và các thầy, các cô trong khoa Vật Lý nói riêng

đã giảng dạy , dìu dắt và cung cấp cho tôi những nền tảng khoa học từ kiến thức cơ bản đến kiến thức chuyên sâu, cũng như kĩ năng thực hành, thực nghiệm trong suốt bốn năm học qua

Cuối cùng, tôi xin gửi những lời chúc tốt đẹp nhất đến bố mẹ, gia đình

và bạn bè đã luôn bên cạnh, kịp thời giúp đỡ và động viên tôi vượt qua những khó khăn, hoàn thành khoá luận một cách tốt đẹp

Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khoá luận của tôi chắc hẳn sẽ còn nhiều hạn chế, vì vậy tôi rất mong nhận được những đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn bè để khoá luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2018

Sinh Viên

Ngô Thị Phương Liên

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Huy Thảo Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận tôi có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khoá luận hoàn toàn là trung thực và chưa từng được công bố bởi bất kì nơi nào khác, mọi nguồn tài liệu tham khảo đều được trích dẫn một cách rõ ràng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của khóa luận 2

NỘI DUNG 3

Chương 1 Phổ năng lượng của một số phân tử 3

1.1 Sự chuyển giữa các mức năng lượng của phân tử dao động của phân tử CO-phân tử HCl 3

1.2 Rotator 16

1.2.1 Rotator bền vững (Rotator Rigd) của phân tử hai nguyên tử 16

1.2.2 Dạng đại số của momen xung lượng 21

1.3 Phổ năng lượng của Rotator của phân tử hai nguyên tử 30

Chương 2 Một số bài toán về phổ năng lượng 40

KẾT LUẬN CHUNG 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ, BẢNG

Hình 1.1 Các bước chuyển mức năng lượng của dao động điều hòa 7

Hình 1.2 Sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hòa 8

Hình 1.3 Sơ đồ phổ năng lượng của phân tử CO 9

Hình 1.4 Sơ đồ của phổ điện từ 10

Hình 1.5 Giản đồ phổ hồng ngoại của HCl[3] 11

Hình 1.6 Các mức năng lượng và sự chuyển tiếp hồng ngoại của dao động phi điều hòa 12

Hình 1.7 Dải phổ năng lượng của phân tử CO 13

Hình 1.8 Dải hấp thụ cơ bản của phân tử HC1 dưới độ phân giải cao[7] 13

Hình 1.9 Sơ đồ các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản cho đến các trạng thái kích thích của trạng thái dao động của phân tử CO[8] 14

Hình 1.10 Mô hình phân tử hai nguyên tử 16

Hình 1.11 Ví dụ về sơ đồ Weight của phép biểu diễn không khả quy của SU(2) 26

Hình 1.12 Sơ đồ Weight của biểu diễn một chiều của SU(2) 27

Hình 1.13 Sơ đồ Weight của các biểu diễn không khả quy của SU(2) 28

Hình 1.14 Tập hợp sơ đồ Weight của SO(3) thuộc biểu diễn không khả quy SO(3, l) hoặc E(3) 31

Hình 1.15 Mức năng lượng và bước chuyển tiếp hồng ngoại của Rotator bền vững: (a) Sơ đồ mức năng lượng, (b) phổ kết quả (giản đồ)[3] 33

Bảng 1 Tần suất hấp thụ của HC1 ở xa vùng hồng ngoại 36

Hình 1.16 Mức năng lượng của Rotator không bền vững[3] 37

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật

lý chi phối các ngành khoa học tự nhiên khác Để giải thích một số hiện tượng

và hiệu ứng mới được phát hiện vào những năm cuối thế kỷ 19 mà vật lý học

cổ điển không thể giải thích được, các nhà vật lý lỗi lạc của thế kỷ 20 như Max Planck, Albert Einstein và Niels Bohr đã lần lượt đề xuất những giả thuyết lượng tử khác nhau mà tất cả đều thừa nhận tính chất gián đoạn của năng lượng của một số loại hệ vi mô Những giả thuyết đó đã trở thành cơ sở của thuyết lượng tử bán cổ điển - giai đoạn quá độ chuyển từ vật lý học cổ điển sang vật lý học lượng tử

Khi nghiên cứu phổ năng lượng của một số hệ vi mô điển hình trong vật lý lượng tử ta sẽ thấy rằng tuỳ theo dạng cụ thể của thế năng của trường lực tác dụng lên hạt vi mô mà phổ năng lượng có thể chỉ gồm các giá trị gián đoạn gọi là các mức năng lượng hoặc chỉ gồm các giá trị liên tục gọi là phổ liên tục, hoặc là gồm một dãy các mức năng lượng gián đoạn và một vùng các giá trị liên tục, hoặc là gồm một số vùng liên tục gọi là các vùng năng lượng phân cách nhau bởi các vùng cấm bao gồm những giá trị mà năng lượng của hạt vi mô không thể có Vậy nên phổ năng lượng là một vấn đề tôi rất muốn tìm hiểu và mở rộng kiến thức cho bản thân.Với lý do đó tôi chọn đề tài “TÌM HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ ” làm đề tài khóa

luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về phổ năng lượng của một số phân tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu về phổ năng lượng của phân tử

Tổng hợp một số lý thuyết cơ bản và bài tập về phổ năng lượng của phân tử

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Cơ học lượng tử

Phạm vi nghiên cứu: Phổ năng lượng của phân tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp đọc và tra cứu tài liệu

Phương pháp phân tích nội dung chương trình

Phương pháp thực hành giải bài tập

6 Cấu trúc của khóa luận

Đề tài “ Tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử ” có kết cấu gồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận

Phần nội dung được chia làm 2 chương:

Chương 1: Phổ năng lượng của một số phân tử

Chương 2: Một số bài toán về phổ năng lượng

NỘI DUNG Chương 1 Phổ năng lượng của một số phân tử 1.1 Sự chuyển giữa các mức năng lượng của phân tử dao động của phân

tử CO-phân tử HCl

Trong cơ học lượng tử, một cơ hệ lượng tử ở một trạng thái cố định bất

kỳ sẽ vẫn ở trạng thái đó nếu nó không bị tác động bởi ngoại lực Trên thực tế thì mọi hệ cơ học lượng tử đều chịu tác động bởi ngoại lực yếu, chúng có thể làm cho trạng thái của hệ thay đổi (ví dụ như trường điện từ ngoài hay trường điện từ trong sinh ra từ chuyển động của các trạng thái bên trong hệ ) Nếu hệ

là một tập hợp các trạng thái gián đoạn (ví dụ: các năng lượng riêng của hệ dao động), thì với nhiễu loạn bên ngoài nhỏ sẽ không làm thay đổi các trạng thái này hay nói một cách chính xác là nó làm thay đổi mức năng lượng một lượng không đáng kể nhưng hệ vẫn có thể nhảy từ trạng thái này sang trạng thái khác Lý thuyết về sự chuyển các mức năng lượng có thể được phát triển như là hệ quả của các tiên đề của cơ học lượng tử Ở đây chúng ta sẽ chỉ đưa

ra một số luận cứ bán cổ điển và nêu ra kết quả mà chúng ta sẽ sử dụng để thu được tần số chuyển tiếp các mức năng lượng và các quy tắc lọc lựa.[1]

Vậy nên dưới ảnh hưởng của toàn bộ các nhiễu loạn bên ngoài, hệ

lượng tử có thể chuyển từ một năng lượng riêng với năng lượng E n đến năng

lượng riêng khác có năng lượng E m và phát ra hoặc hấp thụ một năng lượng

năng lượng cao hơn là E m Mặt khác, nếu một hệ lượng tử đang trong trạng

thái kích thích E n là trạng thái có năng lượng cao hơn trạng thái cơ bản thì hệ

có thể phát ra một photon có tần số v nmvà giảm xuống trạng thái năng lượng

thấp hơn là E m Bên cạnh đó thì sự chuyển mức năng lượng giữa hai trạng thái không thể xảy ra dưới ảnh hưởng của bức xạ điện từ nếu phần tử ma trận của toán tử điện dịch ˆD của hệ biến mất giữa hai trạng thái Ngoài ra, còn liên

quan đến xác suất chuyển các mức năng lượng, vì vậy cường độ của bức xạ điện từ phát ra (hoặc hấp thụ), tỷ lệ thuận với bình phương modun của phần

tử ma trận này

Xét phân tử lưỡng nguyên tử, nếu phân tử gồm các nguyên tử khác nhau (ví dụ: CO) thì sẽ xuất hiện moment lưỡng cực điện, vì tâm của các điện tích dương và âm là không trùng khớp Do đó moment lưỡng cực là vector hướng từ tâm của các điện tích âm đến tâm của các điện tích dương và được tính bởi công thức

d,

trong đó q là điện tích và d là khoảng cách giữa tâm của các điện tích

Moment lưỡng cực không đổi D0của phân tử nằm dọc theo trục hạt nhân

Và nếu khoảng cách giữa các điểm tương tác hoặc hạt nhân thay đổi, moment lưỡng cực sẽ thay đổi Do đó với một phép tính gần đúng ta có thể giả định rằng moment lưỡng cực là một hàm tuyến tính:

Vì vậy, moment lưỡng cực sẽ thay đổi với tần số dao động cơ học Điện tích dao động sẽ phát xạ trong trường điện từ và trên cơ sở điện động lực học cổ điển, ánh sáng phát ra phải có tần số bằng tần số của dao động, hay

,2

Nếu phân tử bao gồm hai nguyên tử giống(ví dụ: O2, N2 ), thì moment lưỡng cực sẽ là không, vì tâm của các điện tích dương và âm là trùng khớp và dao động của phân tử về vị trí cân bằng của nó không làm tâm của các điện tích dao động Do đó mà điện tích dao động sẽ không phát xạ hoặc hấp thụ bức xạ điện từ

Theo lý thuyết lượng tử, sự phát xạ của bức xạ diễn ra là kết quả của sự chuyển dao động từ trạng thái năng lượng cao hơn sang trạng thái năng lượng thấp hơn, và sự hấp thụ sẽ diễn ra theo quá trình ngược lại Khi đó tần số của ánh sáng phát ra được cho bởi công thức

Cường độ phát xạ tỷ lệ thuận với giá trị trung bình theo thời gian (trong

một khoảng thời gian) của bình phương của moment lưỡng cực D mà trong lý

thuyết lượng tử cường độ phát xạ tỷ lệ với bình phương modun của các phần

tử ma trận của toán tử điện dịch

2 3

2

4

,3

Xét trong trường hợp đặc biệt của dao động một chiều khi thay thế các

vector lưỡng cực và vector vị trí bằng một lượng D và Q và (1.7) qua

2

m D n

Đối với nhiều hệ cơ lượng tử, đa số các phần tử ma trận của toán tử D

biến mất, nên có một giới hạn về khả năng chuyển các mức năng lượng Các quy tắc biểu thị giới hạn này được gọi là các quy tắc lọc lựa Để xác định sự chuyển mức năng lượng cụ thể nào có thể xảy ra trong dao động điều hòa, chúng ta tính toán các phần tử ma trận

Từ đó thấy rằng xác suất chuyển các mức năng lượng và cường độ phát

xạ và hấp thụ của ánh sáng sẽ là 0 trừ khi số lượng tử n và m được phân biệt

bởi tính thống nhất Như vậy, quy tắc lọc lựa cho dao động điều hòa sẽ là

1

Sự chuyển mức năng lượng trong dao động điều hòa chỉ có thể xảy ra giữa các mức năng lượng liền kề Tần số ánh sáng phát ra (đối với E n E m ) hoặc hấp thụ (đối với E m E n) được xác định theo (1.1) và (1.10) là

Theo lý thuyết lượng tử tần số của ánh sáng phát xạ bằng tần số  / 2

của dao động và độc lập với mức năng lượng n Áp dụng tương tự cho sự hấp

thụ Như vậy, đối với trường hợp cụ thể của hệ lượng tử trong dao động điều hòa, tần số ánh sáng phát ra và hấp thụ tương tự như dao động cổ điển

Từ sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hòa (Hình 1.2), chúng

ta có thể chỉ ra các bước chuyển mức năng lượng bằng các đường thẳng đứng (xem Hình 1.1) Thấy rằng các mức năng lượng là cách đều nhau, do dó tất cả những chuyển mức năng lượng này đều làm tăng tần số như nhau

Hình 1.1 Các bước chuyển mức năng lượng của dao động điều hòa

Hình 1.2 Sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hòa

Đối với phân tử hai nguyên tử bao gồm hai nguyên tử (ví dụ: O2), toán

tử moment lưỡng cực (1.5) là toán tử không do đó không có sự chuyển giữa các mức năng lượng khác nhau xảy ra

So sánh kết quả lý thuyết với thực nghiệm

Để tìm tần số mong muốn, chúng ta bắt đầu từ phổ năng lượng của các phân tử CO (Hình 1.3) Sự chênh lệch giữa các mức năng lượng khác nhau trong dao động của phân tử CO là

Hình 1.3 Sơ đồ phổ năng lượng của phân tử CO

Trong phổ học phân tử, thông thường tần số không ở đơn vị sec1mà ở đơn vị 1

cm hay nói cách khác là thay tần số v bằng số sóng / v c1/ , biểu thị số sóng trên mỗi cm và gọi tần số này là v Các tần số trong 1

cm hoặc số sóng của bức xạ phát ra bởi sự chuyển giữa các mức dao động của CO là:

Phổ điện từ

Hình 1.4 Sơ đồ của phổ điện từ

Nếu so sánh phổ năng lượng trên với phổ hấp thụ hoặc phát xạ, ta thấy thực sự chính xác Nếu phổ hấp thụ là sự hấp thụ ở một lớp khí mỏng, thì chỉ tìm thấy một đường hấp thụ đơn cực (hay dải) trong vùng gần vùng hồng ngoại với bước sóng khoảng 4.66 m Đối với các phân tử hai nguyên tử

khác bao gồm các nguyên tử không giống nhau, điều tương tự cũng xảy ra Ví dụ: Đối với HCl, dải này nằm ở 2.46 m Ta cũng thấy rằng các dải như vậy không xuất hiện ở các phân tử gồm các nguyên tử giống nhau như: O2,

N2, H2

Nếu sự hấp thụ được quan sát ở các lớp khí dày hơn, cường độ hấp thụ của dải cơ bản sẽ tăng lên một cách tự nhiên và sẽ có một dải thứ hai tương tự xuất hiện nhưng yếu hơn, vào khoảng một nửa bước sóng hoặc gấp đôi tần số (số sóng) Nếu độ dày của lớp khí tiếp tục tăng lên, một phần ba hay thậm chí một phần tư, một phần năm thì sẽ xuất hiện dải với bước sóng tương ứng là 1/3, 1/4 và 1/5 của dải đầu tiên hay nói cách khác là tần số của chúng lớn gấp

ba, bốn và năm lần Hình 1.5 cho thấy đầy đủ toàn bộ phổ hồng ngoại của phân tử HC1 Trong hình, chiều dài của các đường thẳng đứng thể hiện cường độ của các dải Trên thực tế thì cường độ giảm gấp năm lần nhưng không giảm nhanh như trong giản đồ

Hình 1.5 Giản đồ phổ hồng ngoại của HCl[3]

Trong dao động điều hòa, lực khôi phục tăng vô hạn với khoảng cách

từ vị trí cân bằng ngày càng tăng Tuy nhiên, trong một phân tử, khi các nguyên tử ở khoảng cách rất xa nhau, lực hấp dẫn sẽ bằng không Do đó, hệ lượng tử dao động điều hòa chỉ là mô hình đơn giản hóa của phân tử dao động

và nếu muốn mô tả chi tiết hơn các phân tử dao động thì các lực phi điều hòa cũng phải được tính đến Các mức năng lượng của dao động phi điều hòa không cách đều nhau như ở dao động điều hòa mà khoảng cách của chúng

giảm dần khi n tăng

Các mức năng lượng và phổ hấp thụ với dao động tử phi điều hòa được chỉ ra trong Hình 1.6 Quy tắc lọc lựa (1.10),

1,

chỉ áp dụng cho dao động phi điều hòa và cho sự chuyển mức năng lượng mạnh nhất

Hình 1.6 Các mức năng lượng và sự chuyển tiếp hồng ngoại của dao động

phi điều hòa

Phổ hấp thụ được đưa ra dưới dạng sơ đồ bên dưới

Chuyển tiếp ứng với n m   2, 3, , cũng có thể xuất hiện khi cường

độ giảm nhanh Tất cả các kết quả này có thể được tính toán bằng cách sử dụng lý thuyết nhiễu loạn Từ tất cả những điều trên chúng ta có thể chứng minh rằng các mô hình cơ lượng tử đơn giản như dao động điều hòa chỉ mô tả cấu trúc chính của một hệ vi mô trong tự nhiên mà không thể mô tả hết tất cả các chi tiết Đây không phải là sự thiếu hụt của mô hình dao động điều hòa

mà là một tính chất chung của vật lý lý thuyết Các mô hình chỉ là sự lý tưởng hoá và không thể dự đoán chính xác các kết quả thực nghiệm Giải thích về một hàng chữ số thập phân mới trong một số thực nghiệm thường đòi hỏi một

mô hình mới và có thể là một lý thuyết hoàn toàn mới

Ta có thể thấy điều này ngay sau khi chúng ta khảo sát chi tiết hơn các tần số chuyển các mức năng lượng ở vùng gần vùng hồng ngoại như những gì thu được ở một phổ kế có độ phân giải đủ cao Các đường phổ rộng của phân

tử CO quanh khu vực có tần sốv2140cm1 được phân chia thành một số

đường hẹp riêng, như thể hiện trong Hình 1.7 hay nói cách khác là xung quanh khu vực có tần số v2140cm1 không có đường riêng mà chỉ có dải

Từ hình ảnh có thể thấy, dải này bao gồm một tập hợp các đường thẳng cách đều nhau, với một đường đứt quãng ở giữa dải Đi ra khỏi chỗ đứt quãng có hai nhánh được gọi là nhánh P (hướng tới các bước sóng dài hơn) và nhánh R (ứng với các bước sóng nhỏ hơn) Hình 1.8 cho thấy cùng một hiệu ứng cho vạch n1ở Hình 1.5 của phân tử HC1

Hình 1.7 Dải phổ năng lượng của phân tử CO

Hình 1.8 Dải hấp thụ cơ bản của phân tử HC1 dưới độ phân giải cao[7]

Với kỳ vọng cấu trúc chính xác như vậy trong phổ hấp thụ hoặc phát xạ đặc trưng của bức xạ điện từ của phân tử CO khi các mức năng lượng của

phân tử dao động ở Hình 1.1 được tách thành một dãy các cấp nhỏ hơn như thể hiện trong Hình 1.9, thì chỉ cho thấy có hai mức năng lượng liền kề của phổ năng lượng của phân tử dao động như đã cho trong Hình 1.1

Mô tả của sự phân chia như vậy nằm ngoài khả năng của một mô hình

dao động Nó chỉ có thể có một trạng thái được đặc trưng bởi số lượng tử n

không phải là trạng thái thuần túy mà chính xác là một hỗn hợp của các trạng thái có năng lượng khác nhau Tuy nhiên, trong dao động trạng thái được đặc

trưng bởi số lượng tử n là trạng thái thuần túy được mô tả bởi một phép chiếu

n

 trên không gian mở một chiều được kéo dài bởi n cụ thể là không gian

n

  Trạng thái của phân tử hai nguyên tử được đặc trưng bởi số lượng tử n

phải có số chiều nhiều như là số mức năng lượng (khi số mức năng lượng bằng với số chiều thì bất kỳ giá trị năng lượng nào cũng thuộc một không gian hoặc một phép chiếu trên một trục của không gian con) Do đó mô hình dao động chỉ mô tả một phần các thuộc tính của một phân tử hai nguyên tử

Để mô tả chi tiết hơn về phổ, cần phải kết hợp mô hình dao động với một mô hình mô tả chi tiết hơn và phản ánh thêm các đặc điểm của phân tử hai nguyên tử chưa đề cập đến Mô hình mới này là mô hình Rotator

Hình 1.9 Sơ đồ các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản cho đến các trạng

thái kích thích của trạng thái dao động của phân tử CO[8]

Các nhánh P và R được hiển thị ở bên trái và bên phải theo thứ tự trên phổ kế đã vẽ của dải hấp thụ CO cơ bản ở 2144 cm-1 Nhánh Q (đường nét đứt) là khuyết Các mức năng lượng được hiển thị theo thang đo, ngoại trừ khoảng cách giữa các trạng thái dao động trên và dưới (2144 cm-1) có thể gấp khoảng năm lần so với hình vẽ

Xét phân tử CO gồm hai nguyên tử có nguyên tử khối là m 1 và m 2 cách

nhau một khoảng x, thấy rằng phân tử này không chỉ dao động theo trục x mà

còn có thể quay xung quanh tâm của nó trong không gian ba chiều Nếu nó nằm trong trạng thái dao động và có năng lượng nhỏ hơn 0,26 eV thì nó sẽ là một Rotator bền vững hay nói cách khác nó có thể được coi là hai khối giống

như điểm m 1 , m 2 được gắn vào hai đầu của thanh sắt không trọng lượng có

chiều dài x Do đó, trước hết chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình Rotator bền

vững

1.2 Rotator

1.2.1 Rotator bền vững (Rotator Rigd) của phân tử hai nguyên tử

Xét Rotator cổ điển, khi thay ba tọa độ của xung lượng P và ba tọa độ i

vị trí x trong tất cả các đại lượng có trong biểu thức với các toán tử ˆ i P và ˆ i Q i

thỏa mãn hệ thức giao hoán chính tắc

ˆ ˆ[P P i , j ]0

Trong đó  là tốc độ góc và I là moment quán tính của hệ trục quay Tốc độ

góc liên quan đến số lần quay trên mỗi giây với tần số quay v rotlà:

E I



Hình 1.10 Mô hình phân tử hai nguyên tử

Moment quán tính của trục quay của mô hình Rotator được cho bởi công thức

Trong phương trình này ijk  1 khi  ijk 123 và mọi hoán vị chẵn của nó,

ijk  1 khi  ijk là một phép hoán vị lẻ của (123) còn lại là ijk 0

Theo điều kiện tổng quát (1.13) khi thay x , i P bằng ˆ i Q j, ˆP thì toán tử i

và thay vào (1.25) thu được:

imk knl  ink klm  in ml  im nl   ilk kmn

Thế biểu thức trên vào (1.24) thu được

ˆ

[ ,L L i l]i ilk kmn Q P m n.Kết hợp với (1.22) thu được hệ thức giao hoán của toán tử moment xung lượng ˆL : i

[ ,L L i l]i ilk L k (1.26)

Biểu thức của toán tử năng lượng (1.23) không chứa ˆP và ˆ , i Q i điều này đúng với tất cả các đại lượng vật lý của Rotator Trên thực tế, các toán tử ˆP i

và ˆQ là những đại lượng phi vật lý trong cơ học lượng tử Rotator Do đó, đối i

với Rotator toán tử ˆL tuân theo hệ thức giao hoán (1.26) là những đại lượng i

vật lý cơ bản Trên thực tế, các toán tử ˆL i được xác định bởi (1.22) hoặc số lượng tử l i được xác định bởi (1.21) là một trường hợp đặc biệt của các đại lượng có liên quan đến bậc tự do mới của các hệ vật lý trong không gian ba chiều

Một hệ vật lý trong không gian vật lý ba chiều có sáu bậc tự do: ba bậc

tự do được mô tả bởi ba tọa độ x và ba bậc tự do quay, được mô tả bởi phép i

quay R  , ,  phụ thuộc vào ba góc   , , (ví dụ, ba góc Euler hoặc ba góc xoay quanh ba trục tọa độ cố định) Xung lượng P i là biến số chính tắc liên hợp với tọa độ x i còn biến số chính tắc liên hợp với tọa độ góc i là moment xung lượng l i

Tổng quát, một hạt trong không gian vật lý ba chiều có các biến số là

 Đối với một hạt, xung lượng được biểu diễn bởi toán tử ˆP và spin được i

biểu diễn bởi toán tử ˆS Do đó dễ dàng xác định được hệ thức giao hoán của i

diễn bởi một toán tử (đơn vị) U (α, β, γ ) trong không gian của trạng thái vật

lý của hạt này Trên thực tế phép quay là phép biến đổi đối xứng và nhóm quay là một nhóm đối xứng của hệ vật lý (Định lý Wigner) Bắt đầu từ dạng đại số của đại lượng được xác định bởi hệ thức giao hoán (1.27)

Tiếp theo khảo sát tính chất đại số của các toán tử được tạo thành từ toán tử ˆ

j

J khi áp dụng các hệ thức giao hoán

[J J i , k]i ikl J l ( , ,i k l1,2,3), (1.28)

trong đó toán tử ˆJ tương đương với toán tử ˆ j L trong (1.22) hoặc toán tử ˆ i S i

Từ đó có được tính chất của tất cả các toán tử ˆJ là các toán tử Hermit j

tuyến tính trong một không gian tuyến tính Hay có được tập hợp tất cả các toán tử ˆJ là nhiều hơn tập hợp của toán tử ˆ j L cho bởi (1.22) Dạng đại số i

được tạo thành từ toán tử ˆJ được gọi là đại số bao của nhóm SU(2) và được j

kí hiệu là: E(SU(2)).

1.2.2 Dạng đại số của momen xung lượng

Bây giờ chúng ta sẽ tìm ra tất cả các nghiệm có thể của hệ thức giao hoán (1.28) để chứng minh được ˆ ˆ

3

ˆJ trong những không gian này Thay vì sử dụng ˆ

i

J với i1,2,3 thì dựa theo tổ hợp tuyến tính sau:

2 3