Phép biến hình và ứng dụng giải toán dựng hình trong e2

22 2 Ứng dụng phép biến hình vào giải một số bài toán dựng hình trong E2 26 2.1 Phép tịnh tiến với bài toán dựng hình... Bởi vậy mà ngay từ lớp 11 học sinh đã được học về cácphép biến hì

KHOA TOÁN

*************

PHẠM THỊ TUYẾT CHINH

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018

KHOA TOÁN

*************

PHẠM THỊ TUYẾT CHINH

PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

ThS Nguyễn Thị Trà

HÀ NỘI – 2018

Lời cảm ơn iv

1 Kiến thức tổng quan về các phép biến hình 4

1.1 Phép biến hình - Phép afin 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Tính chất 6

1.2 Phép dời hình 6

1.2.1 Định nghĩa 6

1.2.2 Tính chất 7

1.3 Phép tịnh tiến 7

1.3.1 Định nghĩa 7

1.3.2 Tính chất 8

1.3.3 Ví dụ minh họa 8

1.4 Phép quay 10

1.4.1 Định nghĩa 10

1.4.2 Tính chất 10

1.4.3 Ví dụ minh họa 11

1.5 Phép đối xứng trục 12

1.5.1 Định nghĩa 12

1.5.2 Tính chất 13

1.5.3 Ví dụ minh họa 13

1.6 Phép đối xứng tâm 15

1.6.1 Định nghĩa 15

1.6.2 Tính chất 15

1.6.3 Ví dụ minh họa 16

1.7 Phép vị tự 18

1.7.1 Định nghĩa 18

1.7.2 Tính chất 18

1.7.3 Ví dụ minh họa 19

1.8 Phép nghịch đảo 20

1.8.1 Định nghĩa 20

1.8.2 Tính chất 21

1.8.3 Ví dụ minh họa 22

2 Ứng dụng phép biến hình vào giải một số bài toán dựng hình trong E2 26 2.1 Phép tịnh tiến với bài toán dựng hình 26

2.2 Phép quay với bài toán dựng hình 30

2.3 Phép đối xứng trục với bài toán dựng hình 32

2.4 Phép đối xứng tâm với bài toán dựng hình 35

2.5 Phép vị tự với bài toán dựng hình 37

2.6 Phép nghịch đảo với bài toán dựng hình 39

Kết luận 45Tài liệu tham khảo 46

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏlòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm HàNội 2, các thầy cô trong tổ bộ môn Hình học cũng như các thầy côtham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu vàtạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học vàkhóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tớiThS Nguyễn Thị Trà, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tìnhgiúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này

Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bảnkhóa luận không thể tránh khỏi những sai sót Vì vậy, em rất mongnhận được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thị Tuyết Chinh

Lời cam đoan

Em xin cam đoan đề tài này là do em thực hiện, đó là kết quả quátrình nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn của ThS Nguyễn Thị Trà

và đề tài này không trùng với các khóa luận khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thị Tuyết Chinh

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong hình học phẳng, phép biến hình luôn giữ một vai trò vô cùngquan trọng không chỉ bởi nét đẹp riêng mà còn về ứng dụng rộng rãicủa nó Có thể nói với phép biến hình các bài toán hình học phẳngthường có lời giải rất độc đáo, sáng tạo và đôi khi ngắn gọn ngoài sứctưởng tượng Bởi vậy mà ngay từ lớp 11 học sinh đã được học về cácphép biến hình như phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục,phép đối xứng tâm, phép vị tự Ở Đại học sinh viên được nghiên cứusâu hơn các phép biến hình và đặc biệt còn được giới thiệu thêm mộtphép biến hình nữa là phép nghịch đảo Nội dung của phép biến hìnhđưa vào chương trình không chỉ là công cụ để giải toán mà còn giúpcác em làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn

sự vật hiện tượng xung quanh với quan điểm vận động biến đổi, gópphần rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo trong học tập

Hình học phẳng có nhiều dạng toán khó, một trong số đó là bàitoán dựng hình Phần lớn những bài toán dựng hình học phẳng chỉdành cho học sinh khá, giỏi và dùng trong các kì thi Olympic hoặc thihọc sinh giỏi Toán Đối với dạng toán này, quá trình đi từ bước "Phântích" đến "Dựng hình" thường không đơn giản và dễ gây nhầm lẫn.Lời giải của các bài toán dựng hình học phẳng thường dài và phứctạp, tuy nhiên khi biết cách áp dụng phép biến hình một cách linhhoạt vào trong những lời giải đó thì chúng trở nên ngắn gọn và dễ hiểu

hơn rất nhiều Bên cạnh đó, việc sử dụng công cụ phép biến hình vàobài toán dựng hình cũng cho thấy một cách giải độc đáo mà nhiều đốitượng học sinh có thể tư duy và tiếp cận được.

Với những nét đẹp trên của phép biến hình cùng sự hướng dẫn củaThS Nguyễn Thị Trà, em đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Phép biếnhình và ứng dụng giải toán dựng hình trong E2" Trong khóa luậnnày, em đã nghiên cứu, tìm hiểu và trình bày những kiến thức cơ bản

về các phép biến hình Bên cạnh đó, em cũng đưa ra một số ví dụ, bàitập liên quan đến các bài toán dựng hình mà có thể ứng dụng phépbiến hình để giải Thông qua bài toán dựng hình, ta có thể thấy được

sự vạn năng của phép biến hình Từ đó, em mong muốn người đọc,các bạn sinh viên, học sinh yêu thích môn Toán và có thêm sự hứngthú với các bài toán hình học

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về các phép biến hình và ứng dụng phép biến hình vàogiải một số bài toán dựng hình trong mặt phẳng

3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phép biến hình và ứng dụng giải toán dựnghình trong E2

Phạm vi nghiên cứu: Trong E2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các định nghĩa, định lý, tính chất và ví dụ về các phépbiến hình trong không gian E2

Tìm hiểu cách giải một số bài toán dựng hình trong E2 ứng dụngphép biến hình

Đưa ra một số bài tập dựng hình chọn lọc có thể giải bằng cách sửdụng phép biến hình.

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá

Nghiên cứu sách giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liênquan đến vấn đề này

6 Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương

Chương 1: Kiến thức tổng quan về các phép biến hình

Chương 2: Ứng dụng phép biến hình vào giải một số bài toán dựnghình trong E2

Kiến thức tổng quan về các phép biến hình

Trong chương này em đưa ra định nghĩa, các tính chất cơ bản và ví dụcủa các phép biến hình trong mặt phẳng Phần chứng minh chi tiếtchúng ta có thể tham khảo ở tài liệu [1], [3], [4]

1.1 Phép biến hình - Phép afin

1.1.1 Định nghĩa

Trước khi nghiên cứu về phép biến hình chúng ta cần hiểu khái niệm

"hình" theo nghĩa toán học Các môn toán học thường được xây dựngdựa trên lí thuyết tập hợp nên khái niệm "hình" cũng được hiểu vớiđịnh nghĩa sau:

bất kì điểm M thuộc P , ta tìm được một điểm M0 = f (M ) hoàn toànxác định thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) Nếu M, N lần lượt là hai điểm bất kì phân biệt của P thì f (M ),

f (N ) là hai điểm phân biệt thuộc P

(ii) Với mỗi điểm M0 thuộc P luôn có một điểm M thuộc P sao cho

f (M ) = M0

Khi đó điểm f (M ) được gọi là ảnh của điểm M , điểm M được gọi làtạo ảnh của f (M ) qua phép biến hình f

Nếu H là một hình nào đó của P thì ta xác định tập hợp

f (H) = {f (M )/M ∈ H} gọi là ảnh của hình H và hình H gọi là tạoảnh của f (H) qua phép biến hình f

Định nghĩa 1.3 Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phépbiến hình liên tiếp nhau Nếu ta dùng một phép biến hình f : P → P

để biến một điểm M bất kì của P thành một điểm M0 rồi lại dùng tiếpmột phép biến hình thứ hai g : P → P để biến M0 thành M ” Ta có:

Định nghĩa 1.4 Một phép biến hình trong không gian Ơclit En(n = 2, 3) biến đường thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hìnhafin hay phép afin.

3 Phép afin bảo toàn tính song song của hai đường thẳng

4 Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng

5 Phép afin bảo toàn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng

6 Phép afin bảo toàn trung điểm của đoạn thẳng và bảo toàn tỷ sốcủa các đoạn thẳng song song với nhau

1.2 Phép dời hình

1.2.1 Định nghĩa

Một phép biến hình f : P → P được gọi là một phép dời hình nếutrong mặt phẳng P với hai điểm M, N bất kì và hai ảnh của chúnglần lượt là M0 = f (M ), N0 = f (N ) ta luôn có M0N0 = M N

1.2.2 Tính chất

1 Phép dời hình là phép afin

2 Phép dời hình biến một hình H thành một hình H0 bằng H vàcùng hướng với H

3 Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thànhtia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho, gócthành góc bằng và cùng hướng góc đã cho, đường tròn thànhđường tròn cùng bán kính

1.3.2 Tính chất

1 Phép tịnh tiến là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tínhchất của một phép dời hình

2 Qua phép tịnh tiến theo vectơ ~v 6= ~0 điểm M biến thành điểm

M0 thì phép tịnh tiến biến điểm M0 thành điểm M với vectơ tịnhtiến là −~v Khi đó ta có: T~−1 = T−~v Suy ra T~−1 · T−~v = e (e làphép đồng nhất)

3 Tích của hai phép tịnh tiến T~ và T~0 là một phép tịnh tiến vớivectơ tịnh tiến bằng ~v + ~v0

4 Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định nếu ta biết được vectơtịnh tiến ~v của nó

1.3.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.3.1 Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao

BK và BH của nó Biết rằng KH = a, BD = b Tính khoảng cách

từ điểm B đến trực tâm của tam giác BKH

Lời giải

Gọi trực tâm của 4BKH là H1 Vì HH1 ⊥ KH và HH1 ⊥ BH nên

HH1 song song AD và KH1 song song DC Tức là tứ giác HH1KD

là hình bình hành

Do đó qua phép tịnh tiến theo vectơ −−→

HH1 điểm K biến thành điểm

D, điểm B biến thành một điểm P nào đó

Do BH1 ⊥ KH nên P H ⊥ KH Ta cũng có P H = BH1

Trong tam giác vuông P KH biết KP = BD = b và KH = a Ta suy

ra BH1 = P H = √

b2 − a2

Ví dụ 1.3.2 Hai làng A và B nằm ở hai bên sông Cần phải xây cầu

M N ở chỗ nào để đường AM N B từ làng A đến làng B ngắn nhất?(hai bờ sông được coi là hai đường thẳng song song, cầu vuông góc vớibờ)

Lời giải

Giả sử A0 là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ −−→

M N Khi đó

A0N = AM , do đó độ dài đường AM N B bằng A0N + N B + M N Vì

M N không đổi nên ta cần tìm điểm N sao cho A0N + N B nhỏ nhất.

Rõ ràng A0N + N B nhỏ nhất khi N nằm trên đoạn thẳng A0B”, tức

N là giao điểm của bờ sông gần làng B và đoạn thẳng A0B

1.4 Phép quay

1.4.1 Định nghĩa

Trong E2 cho điểm O và một góc định hướng ϕ Phép biến hình của

E2 biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M thành điểm M0sao cho:

a, OM = OM0;

b, (−−→

OM0,−−→

OM ) = ϕ

Gọi là phép quay tâm O với góc quay ϕ

Kí hiệu QϕO hoặc Q(O, ϕ)

3 Nếu phép quay tâm O với góc quay ϕ biến điểm M thành điểm

M0 thì phép quay tâm O với góc quay −ϕ biến điểm M0 thànhđiểm M nghĩa là (QϕO)−1 = Q−ϕO

4 Qua phép quay tâm O góc quay α nếu điểm M biến thành điểm

M0, điểm N biến thành điểm N0 thì (−−→

M N ,−−−→

M0N0) = ϕ nghĩa làgóc giữa hai vectơ tương ứng bằng góc quay ϕ

5 Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay O và gócquay ϕ

Định lý 1.1 Tích của hai phép quay có tâm khác nhau, nói chung làmột phép quay với góc quay bằng tổng của hai góc quay của hai phépquay đã cho, hay đặc biệt là một phép tịnh tiến nếu hai phép quay đãcho có các góc đối nhau

1.4.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.4.1 Cho hai tam giác đều 4OAB và 4OA0B0 Gọi C và Dlần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA0 và BB0 Chứng minh4OCD là tam giác đều?

Ví dụ 1.4.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4, 1) Hãy tìmtọa độ điểm A0 là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay −90o.Lời giải.

42 + 12 = √

a2 + b2 và 3a + 4b = 0Suy ra A0(1, −4) hoặc A0(−1, 4)

Thử lại điều kiện (−→

Kí hiệu: Đd và ta có Đd(M ) = M0

3 Mọi điểm của trục đối xứng d đều là điểm kép.

4 Mỗi đường thẳng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thànhchính nó (các điểm ngoại trừ giao điểm của a với d đều khôngphải điểm kép)

5 Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu biết trục đốixứng của nó

1.5.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.5.1 Trên đường phân giác ngoài của góc C của tam giác4ABC lấy một điểm M 6= C Chứng minh rằng M A + M B > CA +CB

Lời giải

Kí hiệu ảnh của các điểm A và B qua phép đối xứng qua đường thẳng

CM là A0 và B0.

Khi đó M A + M B = M A0 + M B > A0B

mà A0B = A0C + CB = AC + CB

Hay M A + M B > CA + CB

Ví dụ 1.5.2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác 4ABC đường cao

ha không lớn hơn pp(p − a) trong đó p là nửa chu vi, các cạnh đốidiện đỉnh A, B, C lần lượt là a, b, c

Từ đó suy ra h2a 6 1

4[(b + c)

2 − a2] = p(p − a)

1.6 Phép đối xứng tâm

1.6.1 Định nghĩa

Trong E2 cho một điểm O cố định, phép biến hình biến mỗi điểm Mthành một điểm M0 để O là trung điểm của đoạn M M0 gọi là phépđối xứng tâm O Điểm O được gọi là tâm đối xứng

Kí hiệu: ĐO và ta có ĐO(M ) = M0

1.6.2 Tính chất

1 Phép đối xứng tâm là một phép dời hình nên nó có đầy đủ cáctính chất của một phép dời hình

2 Qua phép đối xứng tâm O nếu M0 là ảnh của M thì M lại là ảnhcủa M0 qua phép đối xứng tâm đó Hay ta suy ra tích của mộtphép đối xứng tâm với chính nó là phép đồng nhất.

3 Qua phép đối xứng tâm O thì tâm O là điểm kép duy nhất

4 Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó,biến một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng songsong với đường thẳng đó, biến một vectơ thành một vectơ đối củanó

5 Phép đối xứng tâm hoàn toàn xác định nếu cho biết tâm đối xứng

Vì D là trung điểm đoạn thẳng AC nên tứ giác ABCB1 là hình bìnhhành.

Do \ABB1 = \B1BC = \AB1B nên 4B1AB cân và AB = AB1 = BCsuy ra 4ABC cân tại B

Ví dụ 1.6.2 Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì

nó phải là một hình bình hành

Lời giải

Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng là I

Qua phép đối xứng tâm I, tứ giác ABCD biến thành chính nó nênđỉnh A chỉ có thể biến thành A, B, C hay D

Nếu đỉnh A biến thành chính nó thì A trùng với I

Khi đó tứ giác có hai đỉnh đối xứng qua đỉnh A Điều đó vô lí

Nếu A biến thành điểm B hoặc D thì tâm đối xứng thuộc các cạnh

AB hoặc AD của tứ giác nên suy ra điều vô lí

Vậy A chỉ có thể biến thành đỉnh C

Lí luận tương tự đỉnh B chỉ có thể biến thành đỉnh D

Khi đó tâm đối xứng I là giao điểm của hai đường chéo AC và BDnên tứ giác ABCD là hình bình hành

Kí hiệu: VOk hoặc V (O, k).

Điểm O được gọi là tâm vị tự, số k gọi là tỉ số vị tự

(i) Nếu k > 0 thì phép vị tự VOk gọi là phép vị tự thuận

(ii) Nếu k < 0 thì phép vị tự VOk gọi là phép vị tự nghịch

Định lý 1.2 Tích của phép vị tự đồng tâm O, có tỉ số vị tự lần lượt

Do đó A0(6, 19)

Vậy ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k = 3 là A0(6, 19)

Ví dụ 1.7.2 Cho ba đường tròn bằng nhau (O1), (O2), (O3) cùng điqua điểm A và đôi một cắt nhau tại P, Q, R Chứng minh rằng cácđường tròn: đường tròn ngoại tiếp 4O1O2O3 và đường tròn ngoại tiếp4P QR bằng nhau và bằng (O1), (O2), (O3)

Lời giải

Gọi G là trọng tâm 4O1O2O3 Khi đó:

V−

1 2

G : O1 7→ K VA2 : K 7→ R

O2 7→ J J 7→ Q

O3 7→ I I 7→ P

Do đó VA2.V−

1 2

G = VM−1 : 4O1O2O3 7→ 4RQPSuy ra 4O1O2O3 = 4RQP nên đường tròn ngoại tiếp 4O1O2O3 bằngđường tròn ngoại tiếp 4RP Q

Mặt khác A là tâm của đường tròn ngoại tiếp 4O1O2O3 nên đườngtròn ngoại tiếp 4O1O2O3 có bán kính bằng bán kính (O1)

1.8 Phép nghịch đảo

1.8.1 Định nghĩa

Trong E2 cho một điểm O cố định và một số k 6= 0, k ∈ R Phépbiến hình biến mỗi điểm M bất kì khác điểm O thành điểm M0 trênđường thẳng OM sao cho OM OM0 = k gọi là phép nghịch đảo cực

O, phương tích k Điểm O được gọi là cực nghịch đảo và k được gọi

3 Nếu phương tích nghịch đảo k > 0 thì qua phép nghịch đảo NOk,hai điểm ảnh và tạo ảnh nằm cùng phía đối với cực nghịch đảo

O Khi đó, tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo NOk làđường tròn (O,√

k)

Đường tròn (O,√

k) được gọi là đường tròn nghịch đảo của phépnghịch đảo NOk

Nếu phương tích nghịch đảo k < 0 thì phép nghịch đảo NOk không

có điểm kép nên không có đường tròn nghịch đảo

4 Điều kiện cần và đủ để M và M0 là ảnh của nhau trong phépnghịch đảo NOk là có hai vòng tròn đi qua M, M0 và trực giao vớivòng tròn nghịch đảo của NOk

5 Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường cong nhưng làmngược hướng của hình

Định lý 1.4 Cho hai điểm M, N và ảnh M0, N0 của chúng qua phépnghịch đảo NOk Độ dài của M N và M0N0 liên hệ bởi công thức sau: