Một số phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT thọ xuân 5 trả lời nhanh bài hỏi trắc nghiệm về bài toán cực trị của số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12A3 TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5 TRẢ LỜI NHANH CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VỀ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12A3 TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5 TRẢ LỜI NHANH CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hương Chức vụ: Giáo viên.

Đơn vị công tác:THPT Thọ Xuân 5 SKKN thuộc lĩnh mực : Toán học.

THANH HÓA NĂM 2020

MỤC LỤC

1 Mở đầu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 3

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 15

3 Kết luận, kiến nghị

1 – MỞ ĐẦU:

1.1 Lý do chọn đề tài:

Số phức là vấn đề hoàn toàn mới được đưa vào dạy ở chương trình phổ thông, nhưng với thời lượng dành cho số phức thì không được nhiều; với các nội dung về khái niệm về số phức, phép cộng trừ nhân chia hai số phức, phương trình bậc hai với hệ số thực Phần lớn học sinh thường chỉ áp dụng những dạng toán cơ bản như tìm phần thực, phần ảo, môđun số phức, ….hay giải phương trình đơn giản trên tập số phức Tuy nhiên, khi vận dụng các bài toán về số phức, đặc biệt là các bài toán liên quan đến cực trị về số phức thì học sinh còn lúng túng, hay còn e ngại trong việc phân tích đề để tìm lời giải vì ngoài những kiến thức cơ bản về số phức thì học sinh còn phải sử dụng đến những kiến thức liên quan như bất đẳng thức, tập hợp điểm biểu diễn trong mặt phẳng.Để làm bài trắc nghiệm có hiệu quả thì bài giải không những phải chính xác mà còn phải nhanh, một trong những yếu tố quan trọng là đánh giá nhanh vấn đề và nhanh chóng loại bỏ những phương án nhiễu Để qua đó, chỉ cần kiểm tra đối chiếu các đáp án còn lại với bài giải

Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia câu hỏi trắc nghiệm về cực trị của

số phức là một trong những dạng thường xuyên có mặt trong đề thi minh họa, đề thi chính thức của Bộ Giáo dục và đề thi thử của các trường trên cả nước trong những năm vừa qua Đây thường là các bài tậpở mức độ vận dụng vì vậy đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, có phương pháp thì mới giải nhanh và chính xác được.Trong quá trình trực tiêp giảng dạy chương Số phức lớp 12, thông qua nghiên cứu tài liệu tham khảo; Tôi rút ra một số kinh nghiệm giúp học sinh giải quyết vấn đề trên nhanh và chính xác dựa trên các dấu hiệu nhận biết đặc trưng

và dấu hiệu trực quan của các loại bài toán về cực trị của số phức Và đã viết

thành một sáng kiến kinh nghiệm có tên: “Một số phương pháp hướng dẫn học

sinh lớp 12 Trường THPT Thọ Xuân 5 trả lời nhanh Bài hỏi trắc nghiệm về bài toán cực trị của Số Phức”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này góp phần trang bị đầy đủ dấu hiệu nhận biết đặc trưng, dấu

hiệu trực quan của các dạng bài cực trị của Số Phức; kĩ năng phán đoán, phân tích nhanh nhạy, chính xác vấn đề và phát triển tư duy học sinh: tư duy phân tích, tổng hợp logic, sáng tạo và tạo thói quen cho học sinh khi giải quyết một vấn đề luôn luôn tìm tòi khám phá những điểm đặc trưng, dấu hiệu nhận biết mấu chốt để giải quyết vấn đề nhanh, chính xác nhất

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài được áp dụng trong chương Số Phức của chương trình giải tích lớp

12, học sinh ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trên cơ sở lý thuyết cơ bản trong sách giáo khoa, trước các câu hỏi trắc

nghiệm về cực trị của Số Phức, Tôi thường hướng dẫn học sinh nêu vấn đề từ những kiến thức nào đã học, trình bày bài Số Phức rồi mới nhận dạng có dài, mất thời gian hay không ? có giải quyết được vấn đề hay không ? có gặp khó khăn gì không? Từ đó khuyến khích các em, phát hiện và tìm ra những đặc điểm đặc trưng có thể làm dấu hiệu nhận biết để giải quyết vấn đề chính xác và triệt để

Để học sinh tiếp cận vấn đề, Tôi chia thành ba phương pháp làm bài toán cực trị của Số phức thông qua hệ thống kiến thức liên quan, nhận xét dấu hiệu nhận biết đặc trưng, đến các ví dụ cụ thể để học sinh hình dung một cách trực quan và biết cách sử dụng phù hợp từng phương pháp vào các bài toán thích hợp, biết cách phối hợp các phương pháp với nhau để đưa ra được phương án trả lời nhanh và chính xác nhất

2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận:

Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:

- Các phép biến đổi về số phức, số phức liên hợp

- Các phép tính về cộng trừ và nhân chia số phức

- Các phép biến đổi liên quan đến mô đun của số phức

- Các kiến thức về đường thẳng, đường tròn, đường elip trong mặt phẳng

- Kĩ năng nhìn đồ thị của đồ thị hàm số

- Kĩ năng nhìn vào tương giao của các đồ thị hàm số

- Kĩ năng giải hệ phương trình

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Số phức là một trong những nội dung quan trọng chương trình toán lớp12

và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia Bài toán về cực trị của số phức

là phần thể hiện rõ việc nắm kiến thức một cách hệ thống bao quát và cũng là phần thể hiện được kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp kiến thức của học sinh khi thực hiện giải quyếvấn đề

Vì vậy, bài toán trắc nghiệm về cực trị của số phức thoạt nhìn thì có vẻ đơn giản nhưng nếu học sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thời gian giải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh,

và tiêu tốn thời gian dành cho những Bài trắc nghiệm khác

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong SGK Song song với việc cung cấp tri thức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán, tính toán với các điểm cực trị, tương giao giữa các đồ thị hàm số đã có trên hình vẽ, phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này

mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

Để làm bài toán về cực trị của số phức, học sinh có thể dựa trên cách làm như sử dụng bất đẳng thức,khảo sát tuần tự các bước giải tự luận như đã học, tuy nhiên cách làm trên lại gặp khó khăn do thời gian để xử lí bốn phương án trả lời sẽ mất quá nhiều thời gian và mệt mỏi,với mục tiêu đó tôi đưa ra một số bài toán và ví dụ minh hoạ, trên cơ sở lý thuyết đã có hướng dẫn học sinh cách phân tích sử dụng phương pháp phù hợp và lựa chọn cách giải đúng và ngắn gọn nhất

Bài toán 1 : Qũy tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

Cho số phức z thỏa mãn z a bi    z c di  Tìm Min z

PP giải:

Cách 1: Điều kiện z a bi    z c di  thực chất là phương trình đường thẳng

Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z, A là điểm biểu diễn z và 1 B là điểm biểu diễn z thì giả thiết tương đương với 2 MA MB hay M nằm trên đường trung trực của AB Gọi I là điểm biểu diễn của z thì 0 T IM

Vậy IM nhỏ nhất khi Mlà hình chiếu vuông góc của I trên d Giá trị nhỏ

nhất bằng minT d I d( , )

Cách 2: Điều kiện z a bi    z c di  thực chất là phương trình đường thẳng

Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z đường trung trực của ABvới Aa b và; 

B c d Vậy giá trị nhỏ nhất bằng ;     

2 2 2 2

2

Chú ý: Không phải phương trình đường thẳng nào cũng có dạng

z a bi z c di

      , cho nên khi gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường thẳng hay đường tròn là gọi z x yi rồi thay vào phương trình

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 4 i  z 2i GTNN của z là:

3

Hướng dẫn:

Cách 1: Gọi z x yi 

Từ z 2 4 i  z 2i

 

4 0

   

Vậy số phức z có mo đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ O

đến đường thẳng d :

4

2

Chọn đáp án D

Cách2: Điều kiện z 2 4 i  z 2i thực chất là phương trình đường thẳng

Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z đường trung trực của ABvới A2;4 và

B 0;2 

2

2



Chọn đáp án D

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z i   1 z 2i GTNN của z là:

A

1

3

Hướng dẫn:

Gọi z x yi  thì M x y là điểm biểu diễn z ( ; )

Từ z i   1 z 2i

1 0

x y

Vậy M di chuyển trên (d)

Có z OM  do đó  z nhỏ nhất bằng

1 ( ; )

2

d O d 

Chọn đáp án A

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z2 1i   Tìm số phức z được biểuz i diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A1;3

A 3 i B 1 3i

C 2 3i D 2 3i

Hướng dẫn:

Gọi z x yi  thì M x y là điểm biểu( ; )

diễn z Từ z i   1 z 2i

Ta có : E1; 2  và E0; 1 



2 1

z i  z i

của EF: x-y-2=0 Để MA ngắn nhất khi  MA EF  M ;3 1  z  3 i

Ví dụ 4: Gọi z là số phức thỏa z 1 2i   z 3 i và z 1 2i nhỏ nhất Khi đó tổng phần thực và phần ảo của z là:

A

5

2



B

23

5

23 6



Hướng dẫn:

 

z  i   z i  x y  d

1 2

z  i AM với A ;1 2 .

Phương trình đường thẳng  qua A,

và vuông góc với d: x4y  7 0

Khi đó z 1 2i nhỏ nhất khi và chỉ khi

AM nhỏ nhất

d

M

A

khi và chỉ khi  AM d Khi đó M  d Tìm

3 1 2

M ; 

Chọn đáp án A

Bài toán 2 : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn

Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  k ,k 0, tìm giá trị nhỏ

nhất, giá trị lớn nhất của z

PP giải:

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn (C) có tâm

( );

I a b bán kính R k  Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm O và I Khi đó .

đường thẳng  cắt (C) tại hai điểm như hình vẽ bên

Cách tìm tọa độ điểm A B, (tức là, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất)

Khi đó :

2 2

2 2

max min







+ Phương trình đường tròn  C quỹ tích của điểm M biểu diễn số phức z

là:

  C : x a 2  y b 2 R2 + Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm O I, là d Ax By C:   0 Khi đó, A B, là giao điểm của  C và d

Giải hệ phương trình:

0

Ax By C







So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới O , khoảng cách nào nhỏ hơn thì điểm đó ứng với điểm A và điểm còn lại là điểm B

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z1 +z2 =R R,( > 0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của z

Ta có công thức

2

maxz z R

z z

và

2

minz z R

z z

-Ví dụ 1: Trong các số phức z thỏa mãn z 2 4 i  5 số phức có mô đun nhỏ nhất là:

A z  3 6i B z  3 6i C z 1 2i D 1 2i

Hướng dẫn: (Sử dụng hình vẽ )

Phương trình đường thẳng OI là y2x

Tọa độ hai điểm M N, là nghiệm của hệ phương trình:

2

1

1;2 2

2

3;6 6

x

N y

y x

M y



 















 



 

 + Số phức z có môđun lớn nhất là z  3 6i ứng với điểm M3;6

+ Số phức z có môđun nhỏ nhất là z  1 2i ứng với điểm N1;2

Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  Giá trị lớn nhất của z là:2

A 9 4 5 B 11 4 5 C 6 4 5 D 5 4 5

Hướng dẫn:

Cách 1:

Đặt z x yi   Ta có : z 1 2i  2 x1 2 y22 4

Đặt x 1 2sint, y 2 2cos ;t t0;2

 

2

ax

Cách 2 : Tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm I1; 2  và bán kính 4

R  Vậy Z Max OM OI R  12 22   2 2 5  9 4 5

Chọn đáp án A

Nhận xét: Như vậy nếu HS làm tính toán thông thường thì sẽ rất lâu biết

được công thức này thì chỉ làm khoảng 30s

Ví dụ 3 : Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z 2 2 i 1 ,gọi

, ,

z a bi a b    là số phức có z4i đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức

 2 

P a b 

A.

1 2 2

P  

B

1 2 2

P  

C

1 2 2

P  

D

1 2 2

P  

Hướng dẫn:

Ta có:

1

z

z  i  z  i   I 

  

và

2

z

z i   z i  A 

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I2; 2  và bán kính r 1 1 Phương trình đường thẳng IA là: x y  4 0

Tọa độ hai điểm M, N là nghiệm của hệ phương trình:

4

1 2

2

y x

x

 



4

1

2

y x

x

 

 

          

Khi đó

1

2

2 ; 2

2 ; 2

AM

AM AM M AM







là điểm biểu diễn số phức cần tìm

1 2

2

a

b



 





Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Nếu các số phức z thỏa mãn

2 3

1 1

3 2

i z i

 

 

 thì z có giá trị nhỏ nhất bằng:

Hướng dẫn:

Ta có:

 

3 2

i

 

Tập hợp các điểm M z  là đường tròn có tâm I0; 1  và bán kính R  1.

Vậy max z OI R  02   12   1 2 Chọn đáp án B.

Dạng 2: Trong các số phức z thỏa mãn z z 1 r1 ,r 1 0 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P z z2

PP giải:

Gọi I A M, , lần lượt là các điểm biểu diễn của

1 2

z ,z ,z

Khi đó:

1 1 2

1 2 2

2 1 2

max min





Muốn tìm các số phức sao cho Pmax ,Pmin thì ta đi tìm hai giao điểm M M1 , 2

của đường tròn I r với đường thẳng , 1 AI

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z z1  2 r r1, 10 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P z z3

Khi đó:

3 1

3

1

maxP z z r vàminP z z r

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 3 2 i 2 Giá trị nhỏ nhất của z 1 i lần lượt là

Hướng dẫn:

Ta có:

1

1

z

    và

2

z

z  i    z i

  

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Trong các số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

z  i  và biểu thức

2

M  z  z i đạt giá trị lớn nhất Tìm số phức z

A z  5 5i B z  5 5i C z 5 4i D z  5 5i

Hướng dẫn: Gọi z x yi  Ta có z 2 4 i  5  (x 3)2 (y 4)2 5 Mặt khác:

Do số phức z thỏa mãn hai điều kiện

nên d và  C có điểm chung

 

ax

23

2 5

33

5

5 5 5

M

M

M

x

y















Chọn đáp án B

Ví dụ 3 : (Đề minh họa THPT quốc gia 2018-2019)

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

2

z  z z  và z   1 i z 3 3 i đạt giá trị lớn nhất Tìm số phức z

A 4 B 3 C 1 D 2

Hướng dẫn: Gọi z x yi 

Điểm M biểu diễn số phức z trong mặt

phẳng Oxy

Theo bài ra ta có:

 

 

2 2 2

2 2

2 4 0 2





 



Tập hợp các điểm M thỏa mãn  1 và  2 là gồm hai cung của C1 và C2 với đường thẳng  d , có ba điểm chung nên có ba số phức

Chọn đáp án B

Ví dụ 4: (SỞ GD-ĐT KIÊN GIANG -2018) Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn

z   i  và z2   1 2i  1

Tìm giá trị lớn nhất của Pz1  z2

A. P  3 34 B P  3 10 C P 6 D P 3.

Hướng dẫn:

Gọi M x y 1 ; 1 là điểm biểu diễn số phức z1, N x y 2 ; 2là điểm biểu diễn

số phức z2

Số phức z1thỏa mãn z1   2 3i  2  x1  22y1  32  4 suy ra M x y 1 ; 1 nằm trên đường tròn tâm I  2;3 và bán kính R 1 2

Số phức z2 thỏa mãn z2   1 2i  1  x2  12y1  22  1 suy ra N x y 2 ; 2

nằm trên đường tròn tâm J1; 2  và bán kính R 2 1

Ta có z1  z2 MNđạt giá trị lớn nhất bằng R1 IJ R 2 2   34 1   3 34

Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần 2 năm 2018) Cho

các số phức z1   2 i, z2   2 i và số phức z thay đổi thỏa mãn :

z z  z z  Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức M2  m2 bằng

A 15 B 7 C 11 D 8

Hướng dẫn:

Giả sử z x yi x y   ,  

Ta có:

z z  z z 

        

 2

    Suy ra tập hợp điểm biểu diễn

của số phức z

là đường tròn tâm số phức I0;1 bán kính R 2

Do đó m 1, M 3.Vậy M2 m2  8

Chọn đáp án D.

Ví dụ 6: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa năm 2018)

Cho số phức z thỏa mãn

1 1

z

z i





 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 4 7

P  z i z  i

A 8 B 20 C 2 5 D 4 5

Hướng dẫn:

Gọi z x yi với x y  , , gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số

phức z Ta có:

1 1

z

z i





  2 z 1  z 3i  2 x 1yi  x y 3i

 2 2 2  2

2 x 1 y x y 3

       x 22y 32  20

Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn  C tâm

2;3

I và bán kính R 2 5

Gọi A0; 1 , B4;7 lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 i,

z   i Dễ thấy A B, thuộc đường tròn  C Vì AB4 5 2R nên AB là đường kính của đường tròn  C  MA2 MB2 AB2  80

Từ đó:

2 4 7

P  z i z  i   z i 2z 4 7  i

Dấu " "  xảy ra khi 2 2

8 80

MB

MA MB





Vậy maxP 20

Bài toán 3 : Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là Elip

Dạngtoán 1: Số phức z thỏa mãn z c+ + -z c =2a ,(hoặc

2

z ci+ + -z ci = a)

Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường Elip (E) :

x y

a +b = với a2 =b2 +c2 , a c b, , đều dương, a>c và có:hai tiêu điểm: