Một số kinh nghiệm dạy bài toán khoảng cách ở trường THPT lê hồng phong

Trong đề thi của các năm bài toán hình học không gian hầu như khôngthể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại là một trong những bài toántương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng li

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Ở

TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG

Người thực hiện: Mai Thị Huyền Chức vụ: Giáo viên: Toán - Tin SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA NĂM 2020

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

1 Cơ sở lý luận 2

2 Cơ sở thực tiễn 2

4 Nội dung nghiên cứu 3

4.1 Cơ sở lý thuyết 3

4.2 Các bài tập vận dụng 5

4.3 Bài tập rèn luyện 15

5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17

1 Kết luận 17

2 Kiến nghị 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quantrọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quá trìnhgiảng dạy, giáo viên luôn phải yêu cầu học sinh nắm được chuẩn kiến thức cơbản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó tạo thái độ và động cơ họctập đúng đắn

Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong đa phần các em có học lực trungbình, nên hầu hết các em sợ học môn toán đặc biệt là phần hình học khônggian Là giáo viên dạy toán, đã có nhiều năm gắn bó với nghề, tôi rất thôngcảm và trăn trở trước thực tế đó Bởi vậy, trong quá trình giảng dạy tôi luônhọc hỏi đồng nghiệp, nghiên cứu tài liệu tham khảo và tìm tòi những phươngpháp thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, tựtin bước vào kỳ thi THPT quốc gia

Trong đề thi của các năm bài toán hình học không gian hầu như khôngthể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại là một trong những bài toántương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt kiến thức từ các lớp dưới đặcbiệt cần trí tưởng tượng và khả năng suy luận tốt Thực tế cho thấy đa số họcsinh không thể giải quyết được các bài toán này dẫn đến tâm lý sợ học hìnhkhông gian do không thể dựng được hình biểu diễn của các hình không gian.Ngoài ra sự liên kết giữa các kiến thức cũ và mới là rất kém dẫn đến không có

cơ sở làm được bài tập trong cả trường hợp học sinh dựng được hình vẽ Quathực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ điểm yếu này của học sinhtrường THPT Lê Hồng Phong Xuất phát từ thực tế trên tôi mạnh dạn trình bày

đề tài “Một số kinh nghiệm dạy bài toán khoảng cách ở trường THPT Lê Hồng Phong”.

- Giúp các em hiểu rõ hơn và nắm vững kiến thức một cách có hệ thống

- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú họctập cho học sinh Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm dạy bài toánkhoảng cách” sẽ góp phần vào việc hệ thống lại những kiến thức của chương,giúp học sinh tự học, tự ôn tập nhằm nắm vững trọng tâm của bài tập hơn

- Phân loại từng dạng bài tập, nêu được trọng tâm của chương học và cóbài giải mẫu cụ thể nhằm giúp học sinh tự học khi ở nhà

- Áp dụng việc dạy học trên sẽ nâng cao chất lượng học tập và làm tăngthêm hiệu quả dạy học môn Toán

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

a Về kiến thức

- Sách giáo khoa hình học 12 hiện hành

- Sách giáo khoa hình học chuyên ban, các tài liệu tham khảo của NXBGD

- Các đề thi đại học những năm trước đây

b Về học sinh

Học sinh lớp 12C4, 12C5 trường THPT Lê Hồng Phong

5 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiêncứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài

- Phương pháp quan sát (công việc dạy - học của giáo viên và học sinh)

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,

…)

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và họcsinh thông qua trao đổi trực tiếp)

bị thi THPT quốc gia Tuy nhiên nó cũng có thể áp dụng tốt cho học sinh lớp

11 khi giảng dạy về hình học không gian

3 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

* Thuận lợi:

- Các lớp học đều có máy tính, máy chiếu học sinh dễ thực hiện và quansát

- Một số phần mềm được phổ biến rộng rãi nên đã hỗ trợ cho giáo viên

và học sinh khi trình bày một bài toán trên máy chiếu

* Khó khăn:

- Các kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11 còn rất hạn chế

- Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượngtrong hình không gian và hình học phẳng còn quá yếu.

- Kỹ năng vẽ hình trong không gian còn yếu

- Học sinh có kiến thức không đồng đều nhau.

4 Nội dung nghiên cứu

4.1.2 Các bài toán cơ bản

Có rất nhiều loại khoảng cách trong hình học không gian Ở đây tôi chỉ xét hai loại khoảng cách quan trọng thường gặp trong các kỳ thi (bài toán 2 và bài toán 4) cùng với hai bài toán có liên quan (bài toán 1 và bài toán 3).

Bài toán 1: Dựng hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (P):

Phương pháp chung: Dựng AH (P) tại H Khi đó H là hình chiếu của

A lên (P)

Nhận xét: 1/ Nếu đã có sẵn đường thẳng d (P) thì chỉ cần dựng AH 

d, khi đó ta sẽ có AH (P).

2/ Trong trường hợp tổng quát ta làm như sau:

+ Dựng mp(Q) chứa A và vuông góc (P) theo giao tuyến d

+ Trong (Q), dựng AH vuông góc d tại H Khi đó ta được AH (P)

Để dựng được (Q), ta thường chọn đường thẳng a là giao tuyến của (P)

và đáy, từ A dựng hai đường thẳng vuông góc với a Khi đó (Q) là mặt phẳngtạo bởi hai đường thẳng này

3/ Nếu A là chân đường cao của hình chóp (hoặc lăng trụ) thì ta đã cósẵn một đường cao vuông góc với a, ta chỉ cần dựng thêm một đường qua A vàvuông góc a.Vì vậy trong nhiều trường hợp ta dựng hình chiếu của một điểmnào đó được dựa trên hình chiếu của chân đường cao

Ví dụ 1: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc

đáy Dựng hình chiếu của B lên mp(SAC)

Phân tích và định hướng giải: Dễ thấy nếu dựng BH vuông góc AC tại

H thì có ngay BH(SAC) tại H và H là hình chiếu của B lên (SAC)

Phân tích và định hướng giải:

a Từ O cần dựng hai đường vuông góc với CD(là giao tuyến của đáy và(SCD))

L

K O

D A

S

H

Đã có SO CD nên chỉ cần dựng OK CD tại K Khi đó (SOK) 

(SCD) theo giao tuyến SK Dựng OHSK tại K thì suy ra OH  (SCD) và H

là hình chiếu của O lên (SCD)

b Đã có OH(SCD) nên dựng L sao cho H là trung điểm của DL Khi

đó BL //OH, do đó BL(SCD) tại L và L là hình chiếu của B lên (SCD)

Nhận xét: Trong trường hợp này nếu dựng trực tiếp hình chiếu của B lên(SCD) mà không dựa vào OH thì khá khó khăn

Bài toán 2: Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P):

Phương pháp 1: Dựng hình chiếu K của A lên (P) khi đó d(A;

(P))=AK

Nhận xét: Nếu chân đường cao H của hình chóp(hoặc lăng trụ) không

thuộc mp(P) thì ta có thể “đổi điểm” quy về tính khoảng cách từ H đến mp(P)bằng cách sử dụng các kết quả sau:

V

d A BCD

S

3( ;( ))

Chú ý 1: Để sử dụng phương pháp này ta cần lưu ý đến cách chọn khối

chóp thích hợp Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) thì cần chọn hìnhchóp nhận A làm đỉnh và có đáy nằm trong mặt phẳng (P)

Chú ý 2: Đối với khối tứ diện thì bất kỳ mặt nào cũng đều có thể xem là

mặt đáy, do đó ta có: V ABCD V BACD V CABD V DABC.

Phương pháp 3: Dùng phương pháp tọa độ.

Xây dựng hệ trục Oxyz, tìm tọa độ A và viết phương trình mp(P) và tínhkhoảng cách từ A đến mp(P) dựa vào kết quả:

Nhận xét: Phương pháp 1 và phương pháp 2 thường cho lời giải ngắn

gọn nhưng khó phát hiện Phương pháp 3 đơn giản về thuật toán nhưng cho lờigiải khá dài dòng và phải thực hiện nhiều phép tính phức tạp nên dễ dẫn đếnsai sót Trong SKKN này tôi chỉ tập trung vào khai thác lời giải bằng phươngpháp 1 và phương pháp 2

Bài toán 3: Cho đường thẳng a song song mp(P), tính khoảng cách

Đây là bài toán thường gặp trong các kỳ thi tuyển sinh ĐH-CĐ, THPT

QG và có nhiều hướng tiếp cận Ở đây ta chỉ xét đến phương pháp phổ biếnnhất dùng chung cho tất cả các chương trình học

Phương pháp: Dựng mp(Q) chứa đường thẳng b và song song với

đường thẳng a (có thể ngược lại) Khi đó d(a;b)=d(a;(Q)), quy về bài toán 3

Chú ý:Nếu một trong hai đường nằm trong đáy thì nên dựng mặt chứađường thẳng còn lại và song song với đường nằm trong đáy thì sẽ rất thuận lợitrong dựng hình và tính toán

4.2 Các bài tập vận dụng

Bài 1: Tứ diện ABCD có AC = AD = 4cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm Tính

Trong (DAM), dựng AHDM thì AH là khoảng cách từ A đến (BCD).

+ Để tính AH, cần chú ý tam giác ABC vuông tại A(vì BC2 = AB2 +

AC2) và AH là đường cao của tam giác vuông DAM

Lời giải:

Ta có BC2 = 25 = AC2 + AB2 nên tam giác ABC vuông tại A

Trong tam giác ABC kẻ đường cao AM Khi đó:

Mà BC(BCD) nên (ADM) (BCD) theo giao tuyến DM

Trong (ADM), dựng AHDM thì AH(BCD), do đó d(A;(BCD))=AH

Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao và tam giác ADMvuông tại A có AH là đường cao nên:

M H

Vậy: d A( ;(BCD)) AH 6 34.

17

Bài 2: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a , SA mp ABCD ( ), SC tạo với mp ABCD( ) một góc 450 và SC 2a 2 Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến mpSCD theo a

Phân tích:

+ Mp(SCD) không chứa chân đường cao

A nên ta thực hiện việc đổi điểm G về chân

đường cao A thông qua điểm B

+ Ta cần dựng hình chiếu của A lên

D S

G H

AB//(SCD) nên d B SCD( ;( ))d A SCD( ;( ))(2)

Từ (1) và (2) suy ra

2 ( ;( )) (A;( ))

3

Dựng AH SD tại H

Ta có CDAD và CDSA nên CD (SAD), suy ra CD  AH

Suy ra AH(SCD) Do đó d(A;(SCD))= AH

a AH

2 ( ,( )) ( , ( ))

a

Bài 3: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAC bằng 60 0 Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳngABCD là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HB = 2HD Đường thẳng SO tạo với mặt phẳng

ABCD góc 600 với O là giao điểm của AC và BD Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCDtheo a

D

M

O B

O A

H

M K

Phân tích:

(SCD) không chứa chân đường cao H nên thực hiện đổi điểm B về điểm H.Bây giờ ta quan tâm đến việc dựng hình chiếu của H lên (SCD)

Đầu tiên cần dựng mặt phẳng qua A và vuông góc CD (CD là giao tuyếncủa (CSD) và đáy) Đã có SH CD, cần dựng thêm HM CD thì sẽ có(SHM)  (SCD) theo giao tuyến SM Trong (SHM), dựng HKSM thì K làhình chiếu của H lên (SCD).

SH(ABCD) =>HO là hình chiếu của SO trên (ABCD) nên

Mà HKSM nên HK (SCD) tại K, do đó d(A;(SCD)) = HK

Tam giác HMD vuông tại M có góc HDM bằng 300 và HD

Tam giác SHM vuông tại H có HK là đường cao nên

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là

trung điểm của AB Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), biết SD2a 5, SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc

60 Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SA.

SA và song song với MD

Lúc này bài toán quy về dựng hình chiếu của chân đường cao M lênmp(SAI)

+ Đã có SM AI, cần dựng thêm MHAI thì ta được mp(SHM) 

(SAI) theo giao tuyến SH

Trong (SMH), dựng MKSH thì ta có MK là khoảng cách cần tính

Lời giải: Dựng hình bình hành AMDI, suy ra AI// DM và do đó (SAI)

chứa SA và song song với DM Khi đó d(SA;DM) = d(DM;(SAI)) = d(M;(SAI))

AI SM(do SM (ABCD ) ( ) (SAI) ( )

Theo giao tuyến SM Vì MK (SHM) và MK SHnên MK(SAI)hay d(M;(SAI) = MK

Theo giả thiết ta có SM ABCD, suy ra MC là hình chiếu của SC trên(ABCD) nên góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là SCM  · 60

Trong tam giác vuông SMC và SMD ta có:

Tam giác SMH vuông tại M có MK là đường cao nên:

a MK

 

Vậy d(SA;DM)=

2 15 79

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và

AB a , AC 2a , BAC 1200 Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB

B A

+ Để dựng hình chiếu của A lên (SBD), ta cần dựng mp chứa A vàvuông góc (SBD) (thực ra chỉ cần vuông góc với đường nằm trong đáy là BD).

Đã có SA BD nên chỉ cần dựng AK  BD thì (SAK) (SBD) theo giaotuyến SK

Dựng AISK tại I thì AI(SAK), suy ra d(A;(SBD))=AI

theo giao tuyến SK

Trong tam giác SAK kẻ đường cao AI thì AI SBD  d A SBD ,  AI

+ Trong tam giác ABC kẻ đường cao AH, ta có:

Mặt khác

1 2

Vậy  

3 19 ,

19

a

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình

chiếu vuông góc của S lên (ABC) là điểm H thuộc canh AB sao cho AH=2BH Góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng 60 0 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

60

60

60 60

C

B S

A

C

H I

+ Đổi điểm B về chân đường cao H, dễ thấy d(B;(SAt)) = 3/2.d(H;(SAt)).

+ Để dựng hình chiếu của H lên ((SAt), ta cần dựng mặt phẳng chứa H

và vuông góc với At; đã có SHAt, cần dựng HIAt thì (SHI) At và do đó(SHI)(SAt) theo giao tuyến SI; dựng HKSI thì HK(SAt) suy ra d(H;(SAt)) = HK

+ Để tính HK cần có SH và HI Tính HI cần chú ý góc HAI bằng 600 vàHA=2/3.AB

+ Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHC ta có

Nhận xét: Trong bài này thay vì phải dựng hình bình hành để có mặt

phẳng chứa một đường và song song với đường còn lại, ta chỉ cần dựng At//

BC là đủ

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA

(ABCD) và SA= a 3 .Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB

đến mặt phẳng (SAC).

Phân tích:

Trong trường hợp này chân đường cao

A thuộc (SAC) nên không thể đổi về A như

những bài trước Ta đổi về B và dễ thấy d(G;

(SAC)=1/3.d(B;(SAC) và phải tìm hình chiếu

của B lên (SAC)

Dễ nhận ra hình chiếu của B lên (SAC)

là tâm O của đáy

Vậy 

a

d G SAC( ;( )) 2

6 .

Bài 8: Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a, AA’=a.

Gọi M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM=3MD Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).

Phân tích:

+ M không phải là chân đường cao

nên ta tìm cách đổi về chân đường cao để

dễ dựng hình hơn Ở đây ta chọn B qua

điểm trung gian là D

Do đó d(B;(AB’C))=BF

H

M O

A'

E F

Vì tam giác BB’E vuông tại B có BF là đường cao và tam giác ABCvuông tại B có BE là đường cao nên

Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân,

AB = AC = a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC’.

Phân tích:

+ Dễ thấy (BB’CC’) chứa BC’ và song

song với AA’, suy ra

Vì AA’//BB’ nên AA’// (BB’C’C)

Suy ra d(AA’;BC’) = d(AA’; (BB’C’C) = d(A;(BCC’B’))

Gọi H là trung điểm của BC, vì ABC vuông cân tại A nên AH BC và

Mà AHBB’(do BB’ đáy) nên AH (BB’C’C), suy rad(A;BB’C’C)=AH.

a

d AA';BC') AH( 2.

2

Bài 10: Hình chóp SABC có SA(ABC),

tam giác ABC đều cạnh a, SA = a Tính khoảng

cách từ A đến mp(SBC).

Phân tích:

Tương tự các bài tập trên ta dễ dàng dựng

được hình chiếu H của A lên (SBC)

+Để tính bằng phương pháp 2 ta có thể xét khối chóp ASBC (A là đỉnh,(SBC) là đáy) Khi đó

 ASBC SBC

V

S

3 ( ;(S ))

Ta có AMBC và SABC (do SA vuông góc đáy(ABC)) nên (SAM)

BC, suy ra (SAM) (SBC) theo giao tuyến SM

Dựng AH SM tại H, suy ra AH(SBC) và do đó d(A;(SBC))=AH.Tam giác SAM vuông tại A có AH là đường cao nên

Bài 11: (Trích đề minh họa THPT quốc gia 2017)

Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a 2 , tam giác SAD

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc

đáy Biết SABCD 

S

3(B;(S ))

2 3

(B;(S ))

3 3

Nhận xét: Ta có thể tính khoảng cách từ B đến (SCD) thông qua khoảng

cách từ H đến (SCD) Thật vậy, vì AB //(SCD) và H là trung điểm của AB nên: