Vận dụng hệ thức vi ét trong giải toán và các bài toán liên quan trong các đề thi vào 10 tỉnh thanh hóa

Lí do chọn đề tài Từ năm học 2018-2019 kì thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thanh Hóa có chút thay đổi, đó là ghép kì thi tuyển sinh của trường THPT chuyên Lam Sơn, lấy kết quả các môn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG HỆ THỨC VI-ET TRONG GIẢI TOÁN VÀ MỘT

SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO 10

TỈNH THANH HÓA

Người thực hiện: Nguyễn Văn Nghị

Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Hồi Xuân SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019

Mục Nội dung Trang

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 4

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Từ năm học 2018-2019 kì thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Thanh Hóa có chút thay đổi, đó là ghép kì thi tuyển sinh của trường THPT chuyên Lam Sơn, lấy kết quả các môn chung Toán, Văn và Tiếng Anh làm tiêu chí tuyển sinh, nên cấu trúc đề thi vào 10 của môn toán chung cũng có những thay đổi, và có tính phân hóa cao hơn, trong đó bài toán liên quan đến hệ thức Vi-et nằm trong sự thay đổi đó.Là một giáo viên dạy Toán lớp 9, đã nhiều năm được nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, tôi đều thực hiện ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy về hệ thức Vi-ét tôi thấy nếu chỉ dạy theo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này Quan trọng hơn việc nhớ kiến thức của các em sẽ không có hệ thống Như vậy kết quả bài làm của các em không cao Chính vì thế, tôi đã tiến hành nghiên cứu SGK, SBT, các tài liệu BDTX toán lớp 9 và các tài liệu tham khảo để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét Sau đó đã tiến hành phân dạng và với từng dạng đều chỉ rõ ứng dụng của nó

Từ cách nghĩ và cách làm đó tôi đã nảy sinh ra việc viết sáng kiến “Vân dụng hệ thức Vi-ét trong giải toán và các bài toán liên quan trong các đề thi vào

10 tỉnh Thanh Hóa ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp HS tránh được, hạn chế được những sai lầm thường xảy ra khi học và giải các bài toán liên quan đến hệ thức Vi-et Mỗi một dạng toán đưa ra các ví

dụ có liên quan đến các đề thi trong các kì thi vào 10 đưa ra giáo viên hướng dẫn học sinh hiểu nguyên nhân và có biện pháp khắc phục giải quyết những sai lầm

để học sinh rút kinh nghiệm và hiểu thêm bài học

Trên cơ sở nghiên cứu “Vân dụng hệ thức Vi-et trong giải toán và các bài toán liên quan trong các đề thi vào 10 tỉnh Thanh Hóa ” giúp học sinh học hiệu quả hơn môn toán nhằm nâng cao chất lượng giải toán của học sinh và đạt kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 của các em

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Để áp dụng sáng kiến này giáo viên cần tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan, nắm chắc phương pháp giải của từng dạng toán trong sáng kiến Học sinh có đầy đủ SGK, SBT và nắm vững định lí Vi-ét

Tôi đã áp dụng sáng kiến này từ tháng 5 năm 2020 vào việc dạy và ôn tập cho học sinh lớp 9A trường THCS Hồi Xuân thi vào thi THPT năm học 2020-2021

Không gian: Lớp 9A, 9B trường THCS Hồi Xuân- Quan Hóa

Thời gian thực hiện: Từ tháng 5 năm học 2019-2020

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu để làm cơ sở lí luận Phương pháp phân tích: Thông qua dự giờ, đàm thoại với đồng nghiệp chủ nhiệm cùng khối để tìm hiểu phương pháp lựa chọn, bồi dưỡng đội ngũ cán bộ lớp với kinh nghiệm của bản thân để đưa ra phương pháp thích hợp

Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi

Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê

so sánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài

Từ đó kiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài

Nghiên cứu hoàn cảnh, môi trường, điều kiện học tập của học sinh

Phương pháp đối chiếu, thống kê, so sánh

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Như đã nói ở trên, loại toán có vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải là

một bài toán khó và có nhiều dạng toán Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh cần:

- Xác định đúng các hệ số a; b (hoặc b’); c

- Tính đúng  (hoặc ')

- Biến đổi biểu thức có liên quan đến hai nghiệm về dạng tổng và tích của hai nghiệm

- Vận dụng hệ thức Vi-ét

2.1.2 Xác định mối tương giao của parabol y a x 2 với đường thẳng y=ax+b Mối liên hệ của các giá trị của tọa độ

2.2 Cơ sở thực tiễn

2.2.1 Đối với giáo viên

Khi dạy về hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời lượng không nhiều chỉ có

1 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập Thông thường giáo viên chỉ thực hiện nhiệm

vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét Bên cạnh đó các bài tập thể hiện trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tập dạng này trong các đề thi vào THPT Do đó kết quả học tập của học sinh đối với các bài tập về hệ thức Vi-ét thường không cao nếu giáo viên không có sự tập hợp sắp xếp đầy đủ khoa học

2.2.2 Đối với học sinh

Trong những năm học trước sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập các bài toán về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tôi nhận thấy rằng đa số các học sinh thường làm không tốt câu có vận dụng hệ thức Vi – ét trong các kì thi tuyển sinh vào trường THPT

Nguyên nhân:

- Học sinh không nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng

- Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Ôn tập lí thuyết

Định lí Vi-ét: (thuận)

1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a



 







Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình

bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia

a

a

Định lí Vi-ét: (đảo)

u.v P







 thì hai số đó là hai nghiệm của

2.3.2 Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp: Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện

xem phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (Tức là kiểm tra

a 0,  0  ' 0 có thỏa mãn không)

Ví dụ 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:

a) 2x2 - 17x + 10 = 0 b) 25x2 + 10x + 1 = 0

Giải

a) 2x2 - 17x + 10 = 0 (a = 2 0, b = -17, c = 10)

Ta có:    172  4.2.10 109 0   Phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 b 17, x x1 2 c 10 5

b) 25x2 + 10x + 1 = 0 (a = 25 0, b = 2b’ = 10, c = 1)

Ta có:  ' 52 25.1 0  Phương trình có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 b 10 2, x x1 2 c 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và

tích các nghiệm theo m: x2 + 2m 1 x + m2 = 0

Giải

x2 + 2m 1  x + m2 = 0 (a = 1 0, b = 2b’ =m 1  , c = m)

Ta có:   '  m 1 2 1.m2 m2 2m 1 m  2  1 2m

Để phương trình có nghiệm ' 0 1 2m 0 m 1

2

       

Vậy với m 1

2

 , phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

2 2

2 m 1

Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Phương pháp: Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương

trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a 0 ), ta áp dụng nhận xét sau:

Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):

a

a Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0

Ta thực hiện theo các bước:

1 2

1 2

x x c

 









Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó

ta tính ngay được m + n Khi đó:

- Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận)

- Nếu m + n - b, thì ta chuyển sang bước 2

Bước 3: Kết luận:

Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n

Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:

- Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại

và đưa ra lời kết luận nghiệm

- Nếu không tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm

Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 2019x2 - 2020x + 1= 0 b) x2 - 49x - 50 = 0 c) x2 + 6x + 8 = 0

Giải

a) 2019x2 - 2020x + 1 = 0

Nhận thấy phương trình có a + b + c = 2019 + (-2020) + 1 = 0 Do đó phương trình có một nghiệm là x1 = 1, x2 = c 1

a 2019 b) x2 - 49x - 50 = 0

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0 Do đó phương trình có một nghiệm là x1 = - 1, x2 = -c  50

50



c) x2 + 6x + 8 = 0

Ta thấy  ' 32  1.8 1 0  Do đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2

thỏa mãn

   

   

   

1 2

1 2



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4

Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình

bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm

Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) cho biết một nghiệm x1 = m Tìm nghiệm còn lại x2 ?

Ta làm như sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1x2 = b

a

 Thay x1 = m vào hệ

thức, ta có x2 b x1 b m

    hoặc ta dùng hệ thức x x1 2 c

a

 Thay x1 = m vào hệ thức, ta có 2 1

   

Ví dụ

a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0 có một nghiệm là -3 Hãy tìm nghiệm kia

b) Biết phương trình: 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0 có nghiệm x1 = 1

3 tìm nghiệm x2, giá trị của m tương ứng

Giải

a) x1 = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0

Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – 6 – 21 = 0

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

1 2

x x = b

a

 = 2

3



b) 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x x1 2 c 5

  Mà x1 = 1

3 nên suy ra:

2 1

Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có:

1 2

x x = b

a

 = 2 m 3  1 2 m 3 

        Vậy x2 = 5, m = 11

Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

Phương pháp:

u.v P







 thì hai số đó là hai nghiệm của

Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P  0) thì ta

2

u x

v x









1

u x

v x









Ví dụ : Tìm hai số u và v biết:

u + v = 32, u.v = 231;

Giải

Ta có u + v = 32, u.v = 231

Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 32x + 231 = 0

 322 4.231 100 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:x1 32 10 21; x2 32 10 11

Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21.

Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà

không giải phương trình

Phương pháp: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và x2 Ta thực hiện theo các bước:

phân biệt x1, x2 (hoặc  ' 0)

biểu thức

Chú ý: Một số phép biến đổi:

 

2

1 2 1 2 1 2

3

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

2 2 2

1 2 2

1 2 1 2



Ví dụ Cho phương trình mx2 – (2m+1)x + m - 2 = 0 (1), với m là

tham số Tìm các giá trị của m để phương trình (1):

1.Có nghiệm

2.Có tổng bình phương các nghiệm bằng 22

3.Có bình phương của hiệu hai nghiệm bằng 13

(Câu 2 Đề thi vào 10 Thanh Hóa năm 2002-2003)

Giải:

Phương trình mx2 – (2m+1)x + m - 2 = 0 (1), với m là tham số

1 Với m = 0 phương trình trở thành: -x – 2 = 0  x = -2

Với m  0, để phương trình (1) có nghiệm thì:

12

               

Vậy: Để phương trình (1) có nghiệm thì 1

2

m 

2 Với m = 0 không thoả mãn điều kiện của bài toán

Khi m 0 và 1

12

m ta có:

1 2

1 2

2 1 2

m

x x

m m

x x

m





 







1 , x 2

x

là hai nghiệm của phương trình.) Theo bài ra ta có:

2

2 2

2

x x x x x x

m

     



4m 4m 1 2m 4m 22m 20m 8m 1 0

         

 1

2

m  (t/m) Hoặc 1

10

m (Không thoả mãn điều kiện)

Vậy với 1

2

m  thì phương trình (1) có tổng bình phương các nghiệm bằng

1 2 13 1 2 1 2 2 13 1 2 4 1 2 13

x  x   x  x x x   x x  x x 

2



2 2 2 2

4m 4m 1 4m 8m 13m 13m 12m 1 0

 m = 1 (t/m) Hoặc 1

13

m (t/m) Vậy với m = 1 hoặc 1

13

m thì phương trình (1) có bình phương của hiệu hai nghiệm bằng 13

Dạng toán 6: Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:

hoặc a 0, ' 0   )

Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai

nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Ví dụ 1 Cho phương trình: x2 – (m+1)x + 2m - 3 = 0 (Với m là tham số)

1 Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 của phương trình sao cho hệ

thức đó không phụ thuộc m.

(Câu 3 đề thi vào 10 tỉnh Thanh Hóa năm 2004-2005) Giải

Cho phương trình: x2 – (m+1)x + 2m - 3 = 0 (Với m là tham số)

1 Ta có:     m 12 4 2 m 3 m2  2m  1 8m 12 m2  6m  9 4   m 32  4 0 Với m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2 Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ta có: 1 2

1 2

1

2 3

x x m

x x m

  





 



Từ x1 + x2 = m + 1  m x 1 x2  1 (1)

Từ x1.x2 = 2m – 3  1 2 

1

3 2

m x x

Từ (1) và (2) ta có: 1 2  1 2  1 2 1 2

1

2

x x   x x   x  x  x x  Vậy 2x1  2x2  x x1 2  5 là hệ thức liên hệ

Ví dụ 2 Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 (x là ẩn)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi đó tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Giải

Phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

m 0

m 0

9

28









        



Áp dụng hệ thức Vi-ét:

1 2

1 2







Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m)

Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào

hệ thức (2) để khử m Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức Vi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2

Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình

thỏa mãn một điều kiện cho trước

Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình

có nghiệm x1, x2 (tức là cho  0 hoặc  ' 0)

1 2

(I)

x x P g( )





 



m

Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m.

Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời.

Ví dụ 1 Tìm a để phương trình: x2 – (a - 2)x – 2a = 0 có hai nghiệm x1,

x2 thoả mãn điều kiện: 2x1 + 3x2 = 0

(Câu 2 đề thi vào 10 Thanh Hóa năm 2005-2006) Giải

Phương trình: x2 – (a - 2)x – 2a = 0

x a x

    

   

 Phương trình có hai nghiệm x = a, x = -2

Nếu: x1 = a, x2 = -2 thì:

2x1 + 3x2 = 0  2a + 3.(-2) = 0  a = 3

Nếu: x1 = -2, x2 = a thì:

2x1 + 3x2 = 0  2(-2) + 3.a = 0  4

3

a 

Vậy a = 3 hoặc 4

3

= 0

Ví dụ 2 Cho phương trình x2 – (2p – 1)x + p(p – 1) = 0 (1) (Với p là tham số)

1 Giải phương trình (1) với p = 2

2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi p

3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) (với x1 < x2)

Chứng minh: x12 – 2x2 +3  0

(Đề thi vào 10 Thanh Hóa năm 2011-2012) Giải

Cho phương trình x2 – (2p – 1)x + p(p – 1) = 0 (1) (Với p là tham số)

1 Với p = 2 phương trình (1) trở thành x2 – (2.2 – 1)x + 2(2 – 1) = 0

 x2 – 3x + 2 = 0 hoctoancapba.com

Ta có: a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0

Nên phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 1, x2 c 2

a

 

2 Ta có:    2p 12  4p p  1 4p2  4p 1 4p2 4p 1 0 với p

 Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi p.

3 x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) (với x1 < x2) nên :

1

1

Ta có: x12 – 2x2 +3 = (p - 1)2 – 2p +3 = p2 – 4p + 4 = (p - 2)2  0

với p x12 – 2x2 +3 = 0 khi (p - 2)2 = 0  p2

Vậy x12 – 2x2 +3  0

Ví dụ 3 Cho phương trình x2 – (m-2)x – 3 = 0 (m là tham số) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m Tìm m để các nghiệm

đó thỏa mãn hệ thức:

2 1 1

2 2018 x x 2018 x

(Câu 3 Đề thi vào 10 tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Giải

Phương trình: x2 –(m-2)x-3=0

m 2 2 4.1.( 3) m 22 12 0

            với m nên phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

1 2

1 2









Ta có: