RÈN LUYỆN kỹ NĂNG GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN để GIẢI các bài TOÁN LIÊN QUAN đến hàm hợp, góp PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ôn tập THI tốt NGHIỆP THPT tại TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM HỢP, GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM HỢP, GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP THPT TẠI TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm Tổ: Toán - Tin

Trường: THPT Như Thanh SKKN thuộc môn Toán.

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng 3

2.3 Giải quyết vấn đề 3

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 6

2.3.2 Phương pháp ghép bảng biến thiên trong giải bài toán hàm hợp 8

2.3.3 Một số dạng bài toán liên quan đến hàm hợp 9

2.4 Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng 31

2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 35

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 35

3.1 Kết luận 35

3.2 Kiến nghị 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổimới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu.Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sángtạo của người học Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phươngpháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy họchiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyềnthống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụđộng sang chủ động

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, đạo hàm là mộtcông cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán Giữa hàm số f x( )và hàm hợp( ); ( ( ))

f u u u x có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Hàm f x( ) ngoài việc biểu diễndưới dạng công thức nó còn được thể hiện qua đồ thị, bảng biến thiên việc dựavào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f x( )để tìm ra được các tính chất của hàmhợp giúp ta giải quyết được rất nhiều bài toán khó

Như đã biết, năm 2017 là năm đầu tiên Bộ GD&ĐT đưa hình thức trắcnghiệm vào bài thi môn toán trong kỳ thi THPT Quốc gia.Vì vậy giáo viên vàhọc sinh còn nhiều bỡ ngỡ với cách dạy, cách học, cách làm bài thi trắc nghiệm.Trong khi đó tài liệu chuyên sâu về phương pháp dạy, học, kỹ thuật làm bài thitrắc nghiệm còn rất hạn chế…, tuy nhiên sau bốn năm thực hiện thì hầu như việcdạy và việc học đã có phần khởi sắc Nhiều quan điểm trước đó rằng thi trắcnghiệm thì không còn cái hay của toán học, rồi không có tính tư duy logic,không phát huy được khả năng trình bày cũng như hiểu bản chất của bài toáncủa học sinh

Do đó, trong công tác giảng dạy, tôi phải liên tục cập nhật, điều chỉnhphương pháp dạy cho phù hợp với xu hướng ra đề mới và sau bốn năm lĩnh hội

và trực tiếp tiếp cận với các phương pháp sao cho phù hợp với cách ra đề mới đótôi cảm thấy thi trắc nghiệm môn toán không như những phản ứng của giáo viêndạy toán lúc ban đầu Theo quan điểm cá nhân tôi thấy với cách thi trắc nghiệmmột dạng kiến thức được khai thác rất sâu, thiết kế được rất nhiều dạng bài tập.Đối với dạng toán về hàm số trước kia thi tự luận thì xoay đi xoay lại chỉ là câukhảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, rồi một ý của câu hỏi phụ về mộtmảng kiến thức trong rất nhiều kiến thức về hàm mà học sinh được học Vớiviệc thi trắc nghiệm thì kiến thức về hàm số được khai thác triệt để, mở rộng ranhiều hướng, và đặc biệt trong đề thi các năm vừa qua đều xuất hiện các câuhàm hợp ở mức vận dụng, vận dụng cao

Tuy nhiên hiện nay SGK chưa cải cách kịp và người thầy cũng như họcsinh đang ít nhiều lúng túng với các dạng toán về hàm số được mở rộng cho phùhợp với cách ra đề trắc nghiệm như hiện nay, đặc biệt là các dạng toán lên quanđến hàm hợp Đây là một yêu cầu khá mới mẻ đối với học sinh, để giải quyết

được các dạng bài toán này thì học sinh cần phải nắm vững kiến thức về hàm số,đạo hàm và các ứng dụng của nó Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn đề tài

“Rèn luyện kỹ năng ghép bảng biến thiên để giải các bài toán liên quan đến hàm hợp, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi tốt nghiệp THPT tại trường THPT Như Thanh” để nghiên cứu.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán vậndụng, vận dụng cao về hàm số f u x ( ) khi biết hàm số f x( )hoặc đồ thị hoặcbảng biến thiên của hàm số f x( ).

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là vận dụng một số lýthuyết trong chương trình SGK lớp 12 để giải quyết các bài toán đơn điệu, cựctrị của hàm fu( )x  ; số nghiệm của phương trình f u( )x  g m( ) khi biết hàm số( )

f x hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f x( )

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợpnhiều phương pháp như:

-Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phântích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán học

- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về

đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới mạnh

mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực "

Mọi người đều cần phải học toán và dùng toán trong cuộc sống hàngngày Vì thế mà Toán học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩnh vực trongđời sống xã hội Hiểu biết về Toán học giúp cho người ta có thể tính toán, suynghĩ, ước lượng, và nhất là có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ,suy luận lôgic, trong giải quyết các vấn đề nảy sinh, trong học tập cũng nhưtrong cuộc sống hàng ngày

Ở trường phổ thông, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán Giải toánliên quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kỹ năng cơ bản,khám phá về các con số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi các ýtưởng liên quan, Giải toán đòi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống Học toán vàgiải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp.Kiến thức môn Toán còn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các môn họckhác như Vật lí, Hóa học, Sinh học,

Do đó, ở trường phổ thông nói chung, việc dạy học môn Toán để đáp ứng

được yêu cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay phải tập trung vào việc hìnhthành và phát triển các năng lực chung cũng như các năng lực chuyên biệt của

môn Toán như: Năng lực tư duy (gồm: tư duy lôgic; tư duy phê phán; tư duy sáng tạo; khả năng suy diễn, lập luận toán học), Năng lực tính toán (gồm: năng lực sử dụng các phép tính; năng lực sử dụng ngôn ngữ toán; năng lực mô hình hóa; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán).

2.2 Thực trạng.

Trong quá trình dạy học ở trường THPT Như Thanh nhiều năm nay tôinhận thấy việc học bộ môn toán của học sinh là rất khó khăn, đặc biệt là các bàitoán về hàm số f u( ); (u u x ( )) khi biết hàm số hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiêncủa hàm số f x( ) Các em không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức liênquan nào… Chính những khó khăn đó đã ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượnghọc tập môn Toán, dẫn đến các em không có hứng thú trong việc học môn Toán

Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập

về hàm số hợp khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f x( ), các emthường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào các cáchgiải mà giáo viên cung cấp chứ chưa chủ động trong việc giải các bài toán dạngnày Kết quả khảo sát ở một số lớp chọn khối A của trường chỉ có 10% học sinhhứng thú với các dạng bài toán này

2.3 Giải quyết vấn đề.

Năm học 2019-2020 là năm học thứ tư môn Toán được thi dưới hình thức trắc nghiệm, và cũng do tình hình dịch bệch Covid-19 nên BGD cũng đã 2 lần giới thiệu đề minh họa thì ở đề minh họa lần 2 có bài toán sau:

Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn 0;5

(Trích câu 46 đề minh họa lần 2 năm 2020).

Đây là bài toán tương đối khó với các em học sinh phổ thông, kể cả những học sinh có học lực giỏi Cái khó khăn của bái toán trên chính là việc tìm

lời giải bài toán này.

0;1 1;

Vậy, phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm

Để giải quyết bài toán trên đòi hỏi học sinh phải có khả năng huy độngkiến thức trung gian và năng lực tổng hợp, điều này không dễ dàng đối với họcsinh khá kể cả học sinh giỏi

Trong đề minh họa lần 1 năm học 2019-2020 của Bộ GD&ĐT thì cũng có

bài toán sau: Cho hàm số bậc bốn yf x  có đồ thị như hình bên Số điểm cực

Từ bảng biến thiên, ta suy ra:

Số nghiệm thuộc đoạn   ;2  của phương trình 2fsinx   3 0 là

Trong năm học 2018-2019, trong đề thi chính thức mã đề 101 cũng có bàitoán sau:

3

3

f x  x  là:

(Trích câu 48 mã đề 101 đề thi THPTQG năm 2018-2019).

Như vây, các bài toán liên quan đến hàm hợp luôn xuất hiện nhiều trong đề thi chính thức ở các năm học qua cũng như đề minh hoạ của Bộ GD& ĐT năm học 2019-2020 Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ tập trung vào giải quyết các bài

Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định trên K.

Hàm số yf x được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu x x1, 2K x, 1x2

Định nghĩa 2: Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên khoảng a b;  (có

thể a là  ; b là ) và điểm x0 a b; 

a Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x  f x 0 với mọi xx0  h x; 0 h và x x 0 thì

ta nói hàm số f x  đạt cực đại tại x0

b Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x  f x 0 với mọi xx0  h x; 0 h và x x 0 thì

ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu tại x0

Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D.

a Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số yf x  trên tập D nếu f x M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f x 0 M Kí hiệu max  

Định lý 1: Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên K

+ Nếu f x¢( ) > " Î 0, x K thì hàm số y=f x( ) đồng biến trên K

+ Nếu f x¢( ) < " Î0, x K thì hàm số y=f x( ) nghịch biến trên K

Định lý mở rộng: Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên K Nếu

Định lý 3: Giả sử hàm số yf x  liên tục trên khoảng K x0  h x; 0 h và có

đạo hàm trên K hoặc trên K\ x0 , với h 0

a Nếu f x '  0 trên khoảng x0  h x; 0 và f x '  0 trên khoảng x x0 ; 0 h thì x0

là một điểm cực đại của hàm số f x 

b Nếu f x '  0 trên khoảng x0  h x; 0 và f x '  0 trên khoảng x x0 ; 0 h thì x0

là một điểm cực tiểu của hàm số f x 

2.3.1.3 Một số mệnh đề

Cho hàm số yf x( )liên tục trên tập D Ta có:

Mệnh đề 1: Số nghiệm của phương trình f x( )g x( ) bằng số giao điểm của hai

- Cho hàm số yf x  có đồ thị  C Đồ thị hàm số  C1 :yf x a   được suy

ra từ đồ thị  C bằng cách tịnh tiến đồ thị  C theo phương trục hoành một đoạnbằng a Nếu a 0 tịnh tiến đồ thị  C qua phải a đơn vị và nếu a 0 tịnh tiến

đồ thị  C qua trái a đơn vị

- Cho hàm số yf x  có đồ thị  C Đồ thị hàm số  C2 :yf x  b được suy

ra từ đồ thị  C bằng cách tịnh tiến đồ thị  C theo phương của trục tung mộtđoạn bằng b Nếu b 0 tịnh tiến đồ thị  C xuống dưới b đơn vị và nếu b 0

tịnh tiến đồ thị  C lên trên b đơn vị

+ Lấy đối xứng phần đồ thị  C nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị  C

nằm dưới trục Ox

2.3.2 Phương pháp ghép bảng biến thiên trong giải bài toán hàm hợp.

Ta thường gặp các bái toán sau liên quan đến hàm hợp: Cho hàm số

 

cho trước Tìm khoảng đồng biến (nghịch biến), số cực trị của hàm số

Bước 2: Xét sự biến thiên của u u x ( ) và hàm yf x( )

u g; f u( ) B ng n y th ảng này thường có 3 dòng, giả sử có dạng: ày thường có 3 dòng, giả sử có dạng: ường có 3 dòng, giả sử có dạng: ng có 3 dòng, gi s có d ng: ảng này thường có 3 dòng, giả sử có dạng: ử có dạng: ạng:

Trong bảng biến thiên trên:

sắp xếp các điểm này theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải giả sử là :

a a  a  a

1 ; ; ; 2 k

Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu, số điểm cực trị của hàm f u xéêë( )ùúû khi biết hàm

số hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f x( ).

Với dạng này thì ta thường gặp dạng bài toán cơ bản sau đây:

Bài toán: Cho hàm số yf x  xác định, liên tục trên  và có đồ thị (bảng biếnthiên) như hình vẽ cho trước Tìm khoảng đồng biến (nghịch biến), số cực trịcủa hàm số g x( ) = ê úf u xéë( )ùû

Để giải bài toán trên ta thường thực hiện theo các cách sau:

Bước 2: Tìm các khoảng f x   0,f x   0 Giả sử f x   0,  x  a b; khi đó

  0,    ; 

f u x   u x  a b

  Giải bất phương trình a u x   b

Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

Cách 2 (sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên đã nêu trong mục 2.3.2).

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.

Các ví dụ trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi trình bày bằng 2 cách giải

đó là phương pháp tự luận và phương pháp ghép bảng biến thiên.

Ví dụ 1: Cho hàm số bậc bốn yf x  có đồ thị như hình bên Số điểm cực trịcủa hàm số yf x 3  3x2 là:

(Trích câu 46 đề minh họa lần 1 năm 2020).

Giải Cách 1

Từ bảng biến thiên, ta suy ra:

+) Phương trình: x3  3x2 a a,  0: có 1 nghiệm đơn

Suy ra số điểm cực trị của hàm số g x  f x 3  3x2 là 7 Vậy, chọn C

Cách 2 (Phương pháp ghép bảng biến thiên).

Xét hàm số u x 3  3x2ta có:u' 3  x2  6x; ' 0 0

2

x u

A 5 B 4 C 6 D 3.

Giải Cách 1 Ta có:

2

2

0 3 0

x x x

Nhìn vào bảng biến thiên, g x  0 có 5 nghiệm phân biệt và g x  đổi dấu khi qua các nghiệm này nên hàm số g x  f  x2  3x có 5 điểm cực trị

Cách 2 (Phương pháp ghép bảng biến thiên)

Xét hàm số ux2  3x ta có:u'  2x 3; ' 0 3

2

u   x

Ta có bảng biến thiên ghép như sau:

23  

2 3 u x  x    2 0

94 0 2  

( ) yf u 2

 

 2

2

 2

2

 

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số yg x  f x2  3xcó 5 điểm cực trị

Ví dụ 3: Cho hàm số bậc ba yf x  có đồ thị như hình vẽ

Tìm số cực trị của hàm số    2 

2x

g x  f x 

Giải Cách 1.

Số cực trị của hàm số yg x  bằng số nghiệm phương trình

 2 2x 0

f x   (*) cộng với số cực trị (khác các nghiệm ở (*)) của hàm

số yf x 2  x

x   nên phương trình  f x  2 2x  0 có x 1 là nghiệm bội ba

và hai nghiệm đơn x  1 2

Vậy phương trình  f x  2 2x  0 có ba nghiệm bội lẻ nên hàm số

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số g x  f x  2 2x có 7 điểm cực trị.

Ví dụ 4: Biết rằng hàm số y f x  xác định, liên tục trên có đồ thị được cho

như hình vẽ bên Tìm số điểm cực tiểu của hàm số g x( ) f f x( ( ))

Giải Cách 1.

Dựa vào BBT suy ra hàm số gf f x( ( )) có hai điểm cực tiểu.

Cách 2.(Phương pháp ghép bảng biến thiên)

Từ BBT suy ra hàm số g f f x( ( )) có hai điểm cực tiểu

Qua các ví dụ của bài toán dạng 1 có thể thấy phương pháp ghép bảngbiến thiên tỏ ra ngắn gọn và học sinh tiếp cận dễ dàng hơn so với cách giải 1

Dạng 2: Tìm số giao điểm, số nghiệm của phương trình f u xéêë( ) ù=úû k ; (k Î ¡ )

khi biết hàm số hoặc đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số f x( ).

Với dạng này thì ta thường gặp dạng bài toán cơ bản sau đây: Cho hàm số hoặc

Giải.

Cách 1.

+ Đặt u u x  , xác định điều kiện của u

+ Dựa và đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số yf x , xác định các giao điểm của đồ thị yf u  với đường thẳng y k

+ Với mỗi giao điểm có hoành độ u i i  1 ;n n  * , thay vào u x  u để xác định các giá trị của x tương ứng

+ Từ các giá trị x ta xác định được số giao điểm của đồ thị hàm số yf u x   với đường thẳng y k cùng phương với trục ox.

Cách 2 (sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên).

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1:

Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn 0;5

(Trích câu 46 đề minh họa lần 2 năm 2020).

Đây là câu hỏi ở mức VDC trong đề minh họa lần 2 mà Bộ GD&ĐT đã giới thiệu năm 2020 Sau đây là một số cách giải bài toán này.

0;1 1;