Áp dụng hiệu quả định lý menelaus vào một số bài toán TNKQ về tỉ số đoạn thẳng lớp 11 và tỉ số thể tích lớp 12

Một nguyên nhân nữa là một sốcâu vận dụng cao GV chưa đưa ra phương pháp dạy thật sự hấp dẫn để học sinhHS thấy hứng thú .Qua nhiều năm dạy lớp 11 và 12 gặp mọt số ít bài tỉ sốđoạn thẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ÁP DỤNG HIỆU QUẢ ĐỊNH LÝ MENELAUS VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN TNKQ VỀ TỈ SỐ ĐOẠN THẲNG LỚP 11 VÀ TỈ SỐ THỂ TÍCH LỚP 12

Người thực hiện : Nguyễn Thị Tuyên.

Chức vụ : Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực môn : Toán

THANH HÓA NĂM 2020

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

3 Đối tượng nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu :

II.NỘI DUNG

1.Cơ sở lý luận

2.Cơ sở thực tiễn

3 Các bước đã tiến hành để giải quyết vấn đề

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

1 MỞ ĐẦU 1.1.Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, chuyển sang thi TNKQ môn Toán.Học sinh ởtrường THPT nhìn chung bắt đầu quen với làm bài trắc nghiệm nhưng vẫn còn

bị hạn chế Không ít em còn thói quen làm tự luận thuần túy hoặc áp dụngphần tính toán chưa nhanh nhẹn và linh hoạt Nguyên nhân dẫn đến hiện trạngtrên có thể do các em chưa thật linh hoạt khi phối hợp các phương pháp làmTNKQ và sáng tạo trong quá trình giải toán Một nguyên nhân nữa là một sốcâu vận dụng cao GV chưa đưa ra phương pháp dạy thật sự hấp dẫn để học sinh(HS) thấy hứng thú Qua nhiều năm dạy lớp 11 và 12 gặp mọt số ít bài tỉ sốđoạn thẳng hoăc tỉ số thể tích tôi cũng có dạy sơ qua về phương pháp dùng định

lý Menelaus nhưng vì thi tự luận nên học sinh rất ngại dùng vì nó dài và sợ phảichứng minh bổ đề Cho đến hai năm ôn thi THPTQG thì việc nhìn thấy dạngnày trong các đề thi thử cũng như thi chính thức xuất hiện khá nhiều nên tôithấy cần phải giúp HS chiếm lĩnh phần này Đó chính là yêu cầu của giáo dụchiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng pháthuy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh khám phá ra kiến thức

Vì vậy, tôi chọn đề tài:’’ ÁP DỤNG HIỆU QUẢ ĐỊNH LÝ MENELAUS VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN TNKQ VỀ TỈ SỐ ĐOẠN THẲNG LỚP 11 VÀ

TỈ SỐ THỂ TÍCH LỚP 12 ’’ Trong SKKN này tôi muốn đưa ra một cách đểcải thiện thực trạng trên bằng cách dạy cho HS khá giỏi cách sử dụng định lýMenelaus để giải một số bài toán tỉ số hai đoạn thẳng hình học không gian lớp

11 và bài toán về tỉ lệ thể tích của lớp 12 Bởi vì không phải HS nào cũng đượcbiết về định lý Menelaus Định lý này được đưa vào phần bài tập nâng cao hìnhhọc lớp 8 và có vai trò rất hữu hiệu của toán THCS Còn ở sách tham khảo haytài liệu sử dụng định lý này cho THPT rất ít Bản thân khi dạy tôi đã đưa vào ápdụng thấy rất hiệu quả Điều này sẽ thể hiện ở các ví dụ cụ thể ở phần nội dung

1 2 Mục đích nghiên cứu của đề tài.

SKKN này tôi muốn nghiên cứu về một cách dùng định lý Menelaus tiếp cận bài toán tỉ số chương trình THPT những bài toán ở các mức độ thông hiểu vận dụng,vận dụng cao

1.

3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu một số bài toán tỉ số hai đoạn thẳng hình học khônggian lớp 11 và bài toán về tỉ lệ thể tích của lớp 12

1.4 Phương pháp nghiên cứu :

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

* Nghiên cứu tài liệu :

- Các đề thi thử và chính thức THPTQG

- Các đề TNKQ mảng này

* Nghiên cứu khảo sát thực tế :

Phát phiếu điều tra tìm hiểu thực tế

2.NỘI DUNG

2.1.Cơ sở lý luận

Muốn HS làm đề toán nào đó hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổimới phương pháp dạy học như thế nào để phù hợp với tình hình thực tiễn là chỉ

90 phút cho 50 câu.Vừa phải nhanh ,vừa phải chắc chắn mà phải được nhiều

đối tượng học sinh làm được

khoa hay tài liệu đều chọn cách lập luận và kẻ đường phụ rất khó khăn Mà với

HS khá, giỏi khi được giáo viên hướng dẫn kẻ đường phụ cũng thấy không hiểu

vì sao phải kẻ thế rồi câu khác kẻ thế nào Bản thân giáo viên kẻ đường phụkhông giải thích được cách kẻ cô thầy đưa ra và cũng không có tính phổ rộng

2.3 Các bước đã tiến hành để giải quyết vấn đề

2.3.1 : BÀI TOÁN TỈ SỐ ĐOẠN THẲNG : (Dạy cho hoc sinh 11 và 12 ôn

Lời giải sách giáo viên nâng cao lớp 11: Gọi I là giao điểm của RQ và BD

Gọi E là trung điểm BR.Khi đó EB = ER =RC và RQ//ED.Tam giác BRI có

ED//RQ suy ra: 1

BD BE

DI  ER 

Suy ra DB = DI Do AD và IP là hai đường trungtuyến của tam giác ABI Suy ra S là giao điểm của AD và IP thì S là trọng tâmcủa tam giác ABI nên AS = 2 SD

Khi gặp bài toán 21trang 55 SGK nâng cao lớp 11 tính tỉ số tôi thấy các sách

giáo viên đã giải bằng cách kẻ lấy thêm điểm và đường phụ để giải Không phải học sinh nào cũng hiểu cách lấy điểm và đường phụ cũng như sẽ thực hiện ra sao với bài tương tự Ngay bài toán SGK này các điểm P,Q lấy điểm khá đặc biệt là trung điểm nên có thể dùng tính chất đường trung tuyến Hoặc nếu thay đổi đề bài là một tỉ lệ không đặc biệt thì lúc đó ta không dùng tính chất trung tuyến được nữa và không biết kẻ đường phụ thế nào Chính

vì vậy tôi muốn dùng định lý Menelaus khắc phục thực trạng này Không những khắc phục những khó khăn trên mà học sinh khá trở lên đã làm khá tốt và hào hứng

Trước hết ta sẽ nhắc đến:

Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, thế kỷ I sau công nguyên)

Cho tam giác ABC Các điểm M,N,P lần lượt nằm trên các đường thẳng BC,

CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểmthuộc các cạnh của tam giác ABC Khi đó M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi

và thật nhanh nhẹn khi lấy tỉ số theo kiểu này)

Trước khi đi vào áp dụng ta cần cho hs sinh rèn luyện thói quen tính tỉ số

có tham số thì gặp số cụ thể HS sẽ rút tương tự thậm chí dễ hơn Có 1 lớp tôi

đã chủ quan không nói phần này khi đụng đến thấy các em lấy rất chậm và hay sai Vì ta thi TNKQ nên mọi công việc xử lý cần có sự nhanh nhẹn chính xác.Với những bài toán cần sử dụng rất nhiều nên ta xét tình huống sau

IB  k



ví dụ với vị trí A,B,I như hình vẽ như sau :

Khi đó muốn lấy

HH

8 3

Ta sẽ áp dụng định lý vào bài tập này như sau :

Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng R,Q,I trên các cạnh tam giác

Sau khi áp dụng VD 1 này cho HS 11 chương II các em thấy rất lạ và có em chưa quen cách lấy tỉ lệ thì hỏi sao nó dài dòng không dễ hiểu như lập luận của lời giải trên Nhưng khi tôi hỏi: ’’Các bạn có dễ nghĩ ra đường phụ để kẻ thêm không ?’’.Và nếu cho các tỉ lệ khác đi AD,IP không phải là trung tuyến của tam giác ABI thì không thể kết luận S là trọng tâm thì ta sẽ làm sao để tìm ra tỉ lệ AD/SD?

Tôi cũng đưa ra nhanh một tình huống Vẫn tính tỉ số AD/SD nhưg thay

đổi :

1

, R 3 3

Tiếp tục tôi cho thêm một VD nữa để HS áp dụng thành thục hơn

VD2 : (TNKQ hình11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.Lấy

hai điểm M và N trên hai cạnh SB,SD sao cho MB=2SM, ND=2SN, đường

thẳng SC cắt (AMN) tại C’.Tính tỉ số k =

'

SC SC

k 

C

1 3

k

D

1 2

k 

Hướng dẫn : Lấy MN cắt SO tại K.Nối AK cắt

SC tai C’ Từ giả thiết MN//DB nên 2

KS SM 

(định lý Talet)

Áp dụng định lý Menelauscho 3 điểm thẳng hàngA,K,C’ trên các cạnh tam giác SCO:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, gọi O là giao điểm của đường

chéo AC và BD Biết AB//CD và AB

3 2



CD.Gọi N là trung điểm cạnh SB, và P

là giao điểmcủa ND với (SAC).Tính tỉ số

Chọn A

VD4 : (TNKQ hình11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.Gọi G

là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm cạnh SC.Gọi N là giao điểm của

SD với (AMG).Tính tỉ số

NS ND

Áp dung định lý Menelaus cho 3 điểm thẳnghàng E,G,N trên các cạnh tam giác SDO

SN

ND 

�

Chọn A

VD4 (TNKQ hình11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.Gọi

M, N lần lượt là trung điểm AB,SC Gọi I,J theo thứ tự là giao điểm của AN,

MN với (SBD).Tính tỉ số

IA JM

IN  JN

A.4 B.3 C.2 D 1

đặc biệt của bài toán

Đây là một ví dụ cho các điểm khá đặc biệt vì lại có IP//SC nên có thể

dùng tính chất đường trung bình và định lý Talét Nhưng nếu ta thay đổi các

vị trí M,N,P với tỉ lệ khác chút thì học sinh sẽ không thể dùng cách trên

được Khi đó ta dùng định lý Menelauyt thấy thật sự hiệu quả

VD6a: (Phát triển từ ví dụ 5) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hìnhbình hành tâm O Gọi M , N

SM  SB SN  S

, P trung điểm và OC Gọi

giao điểm của MNP với SA là K Tỉ số

KS

KA là:

Người thầy dạy tốt là không chỉ cho HS một VD mà còn phát triển các ví đưa

ra theo các tình huống khác nhau đa dạng để nhằm phát triển tư duy cho HS Một trong những cách tốt nhất là qua các ví dụ ta thay đổi chút trong giả thiết nhưng không chỉ dừng lại ở tính tương tự mà có thể gây ra tình huống có vấn

đề Bài toán này có thể phát triển nếu cho MN không song song với BD thì công việc tính tỉ số sẽ khó khăn thêm

Mở rộng độ khó của câu hỏi :

VD6b: (Phát triển từ ví dụ 5) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hìnhbình hành tâm O Gọi M , N

SM  SB SN  S

, P trung điểm và OC Gọi

giao điểm của MNP với SA là K Tỉ số

Với Ví dụ này thì ta không thể sử dụng định lý Ta lét được nữa nì MNkhông song song với BD Khi đó dùng định lý Menelauscho bài toán này như sau: Kéo dài MN cắt BD tại E

Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng N,E,M trên các cạnh tam giác

Tiếp tục tôi đưa ra yêu cầu HS làm một bài toán ngược VD6b

VD6c: (Phát triển từ ví dụ 5) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hìnhbình hành tâm O Gọi M,N trên cạnh SD:

Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng N,E,M trên các cạnh tam giác

Cách 2: Cách này không phải làm việc với tỉ lệ còn theo biến (suy ngược )

Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng E,I,N trên các cạnh tam giác

Sau VD này nhiều em thấy rất thích thú vì các em biết kết quả VD6c là

không có gì là khó Tôi cũng nhắc các em tự ra cho mình đề làm xuôi như VD6b rồi lại đặt ngượcc lại như VD6c để làm cho thành thạo hơn

2.3.2: BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH : (Dạy cho học sinh 12 )

Bản chất cũng qui về tỉ số đoạn thẳng Trong phần này ta sử dụng công

thức tỉ số thể tích

' ' ' ' ' '

.

SA B C SABC

a

C.

5 3 18

a

D

13 3 36

a

Hướng dẫn : Lấy MN giao SO tại K.Nối AKcắt SC tại I

Áp dụng định lý Talet trong tam giác SDBcó MN//BD :

8: ( TN về thể tích của Đặng Việt Đông) Cho hình chóp S.ABCD có đáy

là hình bình hành.Gọi N là trung điểm cúa SB Gọi P thuộc đoạn SC sao cho SP

= 2PC và M thuộc đoạn SAsao cho SM =

vì được trình bày lược tắt quá nhiều chứ không phải lời giải ưu việt hơn)

Sau đây là lời giải tôi hướng dẫn học sinh

Hướng dẫn

Nối MP cắt SO tại I ,MP cắt AC tại H (trên (SBD)).Nối NI cắt SD tại Q, NI cắt

BD tại K (trên( SAC)).Kéo dài MN cắt BC tại K

Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng M,N,H trên các cạnh tam giác

Áp d

ụng định lý Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng C,Q,Rtrên các cạnh tam giác

SBD:

R D

Trên đây là hướng dẫn lời giải tự luận, nhưng Trắc nghiệm HS viết những tỉ

lệ đoạn thẳng ,tỉ lệ thể tích không cần giải thích (cùng đường cao hay cùng diện tích đáy) nên cũng rất nhanh để đưa ra kết quả.

VD9: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Chođiểm M nằm trên cạnh SA, điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác

.

S ABC sao cho

1 2

Mặt phẳng   qua MN và song song với SC

chia khối chóp thành 2 phần Gọi V1 là thể tích của khối đa diện chứa A, V2 là

1 ?

V

5 4

V

V 

C

1 2

5 6

V

V 

D

1 2

6 5

V

V 

Lời giải của trường được thể hiện trên minh chứng

Hướng dẫn Kẻ NP//SC cắt AC tại P Nối MN cắt AB tại E (trên (SBA)).Theo

định lý Ta let ta có

1 2

Trong phần này tôi muốn hướng dẫn HS làm dạng toán ngược tìm tỉ số nào đó khi biết tỉ số khác Dạng này đòi hỏi HS cần nhanh nhẹn biết rút các

tỉ lệ theo tham số là một phần rất dễ sai

VD

10 : ( Ví dụ này tôi ra để nh ắ c nhỏ loại có tham số ):Cho hình chóp

S.ABC có đáy là hình bình hành.Gọi M là trung điểm cúa SA Gọi N thuộc đoạn

SB sao cho

SN k

.Măt phẳng(

 ) qua MN và song song SC chia khối chóp

thành hai phần GọiV1 là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A , GọiV2 l là phần

thể tích còn lại Tìm k biết

1 2

7 11

Hướng dẫn: Kẻ NP//SC cắt AC tại P Nối MN cắt AB tại E (trên (SBA)).Khi đó

P làtrung điểm của AC Nối PE cắt BCtại Q

Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng M,E, Ntrên các cạnh tam giác

EAPM EBQN BS C EBQN BS C EBQN BS C BS C

Menelaus rất thích thú Đối với làm Trắc nghiệm HS viết những tỉ lệ đoạn thẳng , tỉ lệ theo định lý Menelaus thể tích không cần giải thích ( những cái

đó chỉ cần tư duy trong đầu chỉ viết những cần thiết nên cũng rất nhanh để

HS đưa ra kết qủa Vì hình thức thi trắc nghiệm nên càng linh hoạt trong mọi

Thay vì giải tự luận rất lâu dễ nhầm trong quá trình biến đổi ta có thể CACL hoặc SHIFT SLOVE tiết kiệm khá nhiều về thời gian

quyết tỉ số đoạn thẳng rất hiệu quả nhưng chỉ HS thật sự giỏi và nhanh nhẹn mới làm và hiểu tốt bởi phần véc tơ cũng là phần HS khá cũng còn khó khăn khi sử dụng Tôi cũng muốn hướng cả hai cách để HS khá cũng vẫn tự tin làm được bằng việc áp dụng định lý Menelaus và HS giỏi khuyến khích tiếp cận với cách của thầy Đặng Việt Đông đã trình bày trong minh chứng Nhưng các em vẫn chọn cách áp dụng định lý Menelaus là chủ yếu.

Đây là những bài tập tôi đã cho HS luyện tập và kiểm tra

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, gọi I và J lần lượt là trung

điểm AD, BC và G là trong tâm của tam giác SAB Biết thiết diện của hình

chóp cắt bởi (IJG) là hình bình hành Tính tỉ số

AB CD

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình bình hành.Gọi M là trung điểm cúa

SA Gọi N thuộc đoạn SB sao cho

2 3

SN

Măt phẳng( ) qua MN và song song

SC chia khối chóp thành hai phần GọiV1 là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh

A , GọiV2 l là phần thể tích còn lại ,Tính

1 2

V V

Câu 3: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018)Cho

hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trungđiểm SD, N là trọng tâm tam giác SAB Đường thẳng MN cắt mặt

Câu 4: : (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho

hình chóp có đáy ABCD là hình thang AB CD/ /  Gọi I J, lầnlượt là trung điểm của các cạnh AD BC, và G là trọng tâm tam giác SAB.Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng IJG là hình bìnhhành Hỏi khẳng định nào sao đây đúng?

AB CD

C AB 3CD. D.

2 3

AB CD

Câu 5: : (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018)

Cho hình hộp ABCD A B C D ���� Trên các cạnh AA�, BB�, CC� lần lượt lấy

đều Cũng có một số bài toán vận dụng và vận dụng cao học sinh giỏi sẽ có thể Ở đây tôi chọn một giải pháp cho học sinh khá, TB khá trở lên không những có thể làm mà làm hiệu quả hơn cả việc suy nghĩ kẻ đường phụ Và một hiệu quả nữa là sự chính xác

2.4 Hiệu quả của SKKN Thông qua quá trình học tập vận dụng các giải pháp tôi đưa ra và một bài kiểm tra tôi nhận thấy học sinh đã có cái nhìn không căng thẳng về bài toán vận dụng và vận dụng cao Trước đó nhìn vào các dạng này học sinh TB khá, hoặc khá không làm Học sinh giỏi nháp nhưng đa phần

bế tắc hoặc dễ sai về tính toán và chưa biết vận dụng linh hoạt MTBT vào từng công đoạn nhỏ để cải thiện về công sức thời gian và cả độ chính xác Sự hiệu quả còn thấy rõ ở chỗ tôi đã kéo được số lượng lớn các em làm những câu

khó Từ đó các em thấy được sự hiệu quả của phương pháp và rất thích thú môn hình là môn đa phần các em đều rất khó khăn để tiếp cận

Kết quả bài kiểm tra của 4 thực nghiệm

Lớp Sĩ số Điểm 9-10 Điểm7-8 Điểm 5-6 Điểm dưới 5