Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THPT, tôi nhận thấy dạy học giúp học sinh phát triển tư duy vẫn là một trong những yêu cầu quan trọng hàng đầu đối với dạy học bộ môn Toán nói c
Trang 11 MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài.
Toán học là bộ môn khoa học cơ bản, là xương sống của các bộ môn khoa học tự nhiên, là công cụ hỗ trợ đắc lực cho nhiều môn học khác Ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ
Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở trường THPT, tôi nhận thấy dạy học giúp học sinh phát triển tư duy vẫn là một trong những yêu cầu quan trọng hàng đầu đối với dạy học bộ môn Toán nói chung và dạy học giải bài tập Toán nói riêng Dạy học giúp phát triển tư duy cho học sinh ngoài việc đòi hỏi ở giáo viên năng lực chuyên môn, năng lực sư phạm ra còn đòi hỏi nhiều về thời gian và sự tâm huyết ở mỗi người giáo viên
Cũng qua nhiều năm giảng dạy môn Toán ở lớp 11 tôi thấy học sinh khối
11 khi học chương giới hạn, đặc biệt là phần giới hạn của hàm số thì các em rất khó tiếp thu kiến thức và áp dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả Ngoài ra
do không nắm vững kiến thức nên học sinh còn mắc phải một số sai lầm khi giải bài toán giới hạn của hàm số Băn khoăn trước những khó khăn đó của học trò, tôi đã quyết định lựa chọn nội dung giới hạn hàm số để tìm tòi nghiên cứu và đưa ra những giải pháp nhằm giúp các em có được cách phân tích và lựa chọn kiến thức phù hợp, hiệu quả hơn trong việc giải bài toán giới hạn hàm số
Từ những lý do trên, tôi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số
dạng và phương pháp giải giúp học sinh lớp 11 nâng cao kỹ năng giải quyết bài toán giới hạn hàm số” tạo cơ hội cho học sinh củng cố các phương pháp khi giải các bài toán phần này, giúp học sinh tránh mắc những sai lầm không đáng có, đồng thời thực hiện ý tưởng góp phần bồi dưỡng năng lực tư duy, nhìn nhận chính xác vấn đề đưa ra, giúp hiệu quả dạy học phần này cho học sinh lớp
11 được cải thiện và nâng cao
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu đề tài giúp học sinh củng cố kiến thức của phần giới hạn hàm
số, phát triển kỹ năng giải bài toán giới hạn hàm số nhanh và chính xác
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn hàm số Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học
Ngoài ra đề tài cũng là tài liệu hữu ích cho giáo viên tham khảo trong quá trình dạy học phần này
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu cách hướng dẫn học sinh lớp 11 giải các bài toán giới hạn của hàm số nhanh và chính xác.Ngoài ra cũng tìm hiểu những khó khăn và sai lầm của học sinh trong việc học tập giải toán giới hạn hàm số lớp 11, từng bước tìm ra những biện pháp giúp học sinh khắc phục khó khăn, hạn chế sai lầm trong thực hành giải toán góp phần nâng cao chất lượng, nâng cao kết quả trong dạy và học giới hạn của hàm số
Trang 21.4 Phương pháp nghiên cứu.
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
- Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu
Nhằm phân tích các tài liệu có liên quan đến biện pháp giúp đỡ học sinh trong học tập môn toán ở lớp 11 cấp THPT, trong đó chú trọng sách giáo khoa, sách giáo viên, chương trình giảm tải toán lớp 11 để nắm chuẩn kiến thức, kỹ năng trong dạy học môn toán ở khối lớp này
- Phương pháp phỏng vấn
Nhằm phỏng vấn các giáo viên đang dạy lớp 11 để đưa ra những giải pháp tối ưu khi giải toán giới hạn hàm số và phỏng vấn những học sinh lớp 11 để nắm được mức độ học toán cũng như kỹ năng giải toán giới hạn hàm số của các em
- Phương pháp thực nghiệm
Nhằm khẳng định các biện pháp giúp đỡ học sinh khi thực hành giải toán đặc biệt là giải toán giới hạn hàm số
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
- Các vấn đề về tâm sinh lý đã được Bộ GD-ĐT nghiên cứu và cụ thể hóa
bằng khung phân phối chương trình cho chương IV – Đại số & giải tích 11
- Dựa vào mục tiêu dạy học nội dung giới hạn hàm số sách giáo khoa Đại
Số và Giải tích 11
- Dựa vào các định nghĩa và các định lí cơ bản về giới hạn hàm số làm
công cụ cho việc giải bài toán giới hạn hàm số
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy đa số học sinh đều ngại học phần giới hạn hàm số Mặt khác chất lượng đầu vào của học sinh ở trường THPT mà tôi đang công tác thấp nên kết quả học tập của các em ở phần này còn yếu
Nguyên nhân chính của vấn đề là: kiến thức ở các lớp dưới bị hổng; không có phương pháp học tập, tự ti, rụt rè, thiếu hứng thú trong học tập
Ở mỗi học sinh yếu bộ môn toán đều có nguyên nhân riêng, rất đa dạng
Có thể chia ra một số loại thường gặp là:
+ Do quên kiến thức cơ bản, kỹ năng tính toán yếu
+ Do chưa nắm được phương pháp học môn toán, năng lực tư duy bị hạn chế + Do lười học
+ Do thiếu điều kiện học tập hoặc do điều kiện khách quan tác động, học sinh có hoàn cảnh đặc biệt
Cụ thể hơn ở phần giới hạn hàm số do học sinh không nắm vững phương pháp tìm giới hạn hàm số nên nhầm lẫn giữa các dạng toán và thực hiện các phép toán tùy tiện Do hiểu không đầy đủ chính xác khái niệm giới hạn dẫn đến làm bài viết sai kí hiệu, không có kí hiệu lim, không có kí hiệu: x a; x
dưới kí hiệu lim
Xác định rõ một trong những nguyên nhân trên đối với mỗi học sinh là điều quan trọng Công việc tiếp theo là giáo viên có biện pháp để xoá bỏ dần các nguyên nhân đó, nhen nhóm lại lòng tự tin và niềm hứng thú của học sinh đối với việc học môn Toán
2
Trang 3Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp
đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán
2.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
A-KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Các định nghĩa giới hạn của hàm số:
Định nghĩa 1: Cho khoảng K chứa điểm x và hàm số 0 y f (x) xác định trên K hoặc trên K \ x Ta nói hàm số 0 y f (x) có giới hạn là số L khi
x dần tới x nếu với dãy số 0 (x ) bất kì, n xnK \ x 0 và xn x0, ta có
n
f (x ) L Kí hiệu:
x x0lim f x L
hay f (x) L khi x x0
Định nghĩa 2:
- Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng (x ;b) Số 0 L được gọi
là giới hạn bên phải của hàm số y f (x) khi x x0 nếu với dãy số (x ) n bất kì, x0 xn b và xn x0, ta có f (x )n L Kí hiệu: x x0lim f (x) L
- Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng (a;x ) Số 0 L được gọi
là giới hạn bên trái của hàm số y f (x) khi x x0 nếu với dãy số (x ) n bất kì, a x n x0 và xn x0, ta có f (x )n L Kí hiệu: x x0lim f (x) L
Định nghĩa 3:
a) Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng (a ; ) Ta nói hàm số
y f (x) có giới hạn là L khi x nếu với dãy số (x ) bất kì, n xn a
và x , ta có n f (x )n L
Kí hiệu: xlim f (x) L hay f (x) L khi x .
b) Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng ( ;a) Ta nói hàm số
y f (x) có giới hạn là L khi x nếu với dãy số (x ) bất kì, n xn a
và x , ta có n f (x )n L
Kí hiệu: xlim f (x) L hay f (x) L khi x
Định nghĩa 4: Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng (a; ) Ta nói hàm số y f (x) có giới hạn là khi x nếu với dãy số (x ) bất kì,n n
x a và x , ta có n f (x ) .n
Kí hiệu: xlim f (x) hay f (x) khi x .
Trang 42 Một số định lý về giới hạn của hàm số:
Định lý 1:
a) Giả sử
x x0lim f x L
x x0lim g x M
Khi đó:
x x0lim f x g x L M
x x0lim f x g x L.M
x x0
b) Nếu f x 0 và
x x0lim f x L
thì L 0 và
x x0lim f x L
( Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x ≠ x0 )
B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Nhằm giúp đỡ học sinh học tốt phần giới hạn hàm số trong chương trình Nắm vững và phân dạng được từng loại bài tập giới hạn hàm, đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn hàm số trong các kỳ thi học kì, thi đại học và cao đẳng Trong quá trình nghiên cứu, tìm tòi về bài tập giới hạn của hàm số tôi nhận thấy có ba loại giới hạn cơ bản đó là:
LOẠI I: Giới hạn tại vô cực của hàm số:
xlim f x ; lim f xx
LOẠI II: Giới hạn của hàm số tại một điểm:
x x0lim f x
LOẠI III: Giới hạn một bên của hàm số:
lim f x ; lim f x
Lý do tôi chia giới hạn của hàm số thành 3 loại cơ bản như vậy vì:
Thứ nhất: Nếu chia ra nhiều loại, nhiều trường hợp học sinh sẽ khó tiếp thu,
khó nhớ để vận dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả
Thứ hai: Tôi không xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp
bằng cách nhìn vào giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực,
hay giới hạn trái, giới hạn phải)
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định Sau đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số Giới hạn hàm
số tại vô cực được trình bày trước tiên vì nó tiếp nối kiến thức giới hạn dãy
số và có nhiều dạng bài dạng bài tập giống giới hạn dãy số
LOẠI I: Giới hạn tại vô cực của hàm số:
4
Giới hạn tại vô cực
Dạng 1:
→
Dạng 3 : ()
Dạng 2 : →
k x
1
x
Trang 5Dạng 1:
xlim f x L
Phương pháp:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
1) lim (3x 13x 6x 7) 2) lim (x x x 1)
BÀI GIẢI:
Lưu ý:
- Ở bài 1 nhiều học sinh không chú ý đến việc x thì x sẽ 5 mắc sai lầm khi giải bài 1 như sau:
- Ở bài 2 nhiều học sinh không chú ý đến việc x thì x x sẽ mắc sai lầm khi giải bài 2 như sau:
2
x x
x
- Ngoài ra học sinh còn nhầm lẫn bài tập này là bài toán tính giới hạn dạng ( ) mà ta sẽ làm ở dạng 3
Bài tập tương tự
- Đặt xk làm thừa số chung với xk là lũy thừa có số mũ cao nhất của
f (x) Chú ý rằng nếu x thì coi như x 0 , nếu x thì coi như
x 0 khi đưa x ra hoặc vào căn bậc chẵn.
Trang 6Bài tập 1: Tính các giới hạn sau
1) lim (5x 23x 2x 7) 2) lim (2x 7 x 11x ) 3) lim ( x 4x 5 x)
Dạng 2:
x
u x lim
v x
Phương pháp:
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
2 2
2
3 x
x 3
BÀI GIẢI:
2
2
2
2 2
x
x x
x x
2
3
x
2
3
x 1
x x
Lưu ý: - Ở bài 2 nhiều học sinh không chú ý đến việc x thì coi
như x 0 sẽ mắc sai lầm khi giải bài 2 như sau:
2
3 3
x x
6
- Chia cả tử và mẫu cho xk với xk là lũy thừa có số mũ cao nhất của tử
hoặc mẫu Chú ý rằng nếu x thì coi như x 0 , nếu x thì coi như
x 0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn
Trang 72 2
x x
x x
vì
2 x
2 x
2
1
x
x x
0 khi x
x x
Bài tập 4 ta biến đổi đưa về dạng
x
u x lim
v x
và giải:
2
2 2
2 3
3
3
3
x 1 1 2x
1 2x
8
Lưu ý: - Ở bài 4 nhiều học sinh không chú ý đến việc x thì coi như
x 1 0 sẽ mắc sai lầm khi giải bài 4 như sau:
2
2 2
2
x 1 1 2x
1 2x
3
3
2 1
Trang 8
Nhận xét: Khi tính giới hạn ở dạng
x
u x lim
v x
mà u x và v x là
đa thức chúng ta chú ý một số trường hợp sau:
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0
- Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của lũy thừa có số mũ cao nhất ở tử và ở mẫu
- Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là
khi hệ số của lũy thừa có số mũ cao nhất ở tử và ở mẫu cùng dấu, kết quả là
khi hệ số của lũy thừa có số mũ cao nhất ở tử và ở mẫu trái dấu
Bài tập tương tự Bài tập 2: Tính các giới hạn sau
2
x
4x 1 x
Dạng 3:
Phương pháp:
Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
BÀI GIẢI
2
1) Lim ( x 4x x 2 ) Lim
8
- Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa
lim f (x) g(x) ;lim f (x) g(x) ;lim f (x) g(x)
về dạng:
Trang 92 2
2
2
2
2
2) Lim x x 6x 15 Lim
15
x 6
x x
2 2
15 6 x
6 15
x x
x x
x
Lưu ý: - Không thể giải các bài này theo cách đặt xk làm thừa số chung với xk
là lũy thừa có số mũ cao nhất của f (x) vì sẽ dẫn tới dạng vô định (0) gây khó khăn rất nhiều cho học sinh Nếu ta giải bài tập 1 theo cách đó thì kết quả là:
2
x
- Tuy nhiên chúng ta cũng cần xem kỹ đề bài để đưa ra cách giải ngắn gọn
và chính xác nhất chứ không thể áp dụng một cách máy móc Chẳng hạn đối với
ví dụ sau ta không giải bằng phương pháp nhân chia lượng liên hợp:
Bài tập tương tự Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
2
Chú ý: Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả hoặc làm bài trắc nghiệm giới hạn hàm số.
Tính giới hạn khi x ta có thể kiểm tra kết quả hoặc làm bài trắc nghiệm bằng cách sử dụng máy tính cầm tay như sau:
Trang 10Tính:
xlim f x
ta nhập f (x), sau đó bấm CALC 1020
Cần chú ý các trường hợp sau để lấy kết quả chính xác
- Nếu máy tính hiển thị kết quả: C 10 ; C 10 10 12 ( C là hằng số; số mũ có thể lớn hơn 10 ) thì kết quả của giới hạn là C là số dương kết quả là
C là số âm kết quả là
- Nếu máy tính hiển thị kết quả: C 1010; C 1013
( C là hằng số; số mũ
có thể nhỏ hơn -10 ) thì kết quả của giới hạn là 0
Ví dụ ta kiểm tra kết quả của bài 4 ví dụ 2 là: Lim x 1 31 2x
8x 3x 2
nhập hàm số bằng cách thực hiện quy trình bấm máy tính như sau:
( ALPHA ) + 1 ) 1 + 2 ALPHA ) ▼ 8 ALPHA ) SHIFT
x2 + 3 ALPHA ) + 2 khi đó màn hình máy tính cầm tay hiển thị:
sau đó ta bấm: CALC 1020 được kết quả là: 1
2
Tuy nhiên ở dạng thì ta cần chú ý nhân chia lượng liên hợp rút gọn trước khi áp dụng bấm máy tính.
Ví dụ ta kiểm tra kết quả bài 2 ví dụ 3 là: lim x x2 6x 15
phải nhân chia lượng liên hợp đưa về xlim 6x 152
rồi nhập hàm số 2
6x 15
bằng cách thực hiện quy trình bấm máy tính như sau: 6 ALPHA ) 1 5 ▼ ALPHA ) + ALPHA ) x2 +
6 ALPHA ) + 1 5 máy tính hiển thị:
sau đó ta bấm: CALC 10 20 được kết quả là: 3
10
Trang 11LOẠI II: Giới hạn của hàm số tại một điểm:
Dạng 1: 0
xlim f xx0 f (x )
Phương pháp:
Thay x trực tiếp vào biểu thức 0 f (x) Kết luận: 0
x x0lim f x f (x )
Ví dụ 4: Tính các giới hạn sau
2 2
x x 1
3 x
BÀI GIẢI
x 3
1) Lim ( 2x 2 1) 2( 3) 2 1 5
x 2
Bài tập tương tự Bài tập 4: Tính các giới hạn sau
2
1)Lim(x 2 x 8x 3) 2)Lim(5 x 2 x 7) 3) Lim(1 4 x)
Dạng 2:
Tính nhẩm dạng bằng cách thay x vào0
u(x) và v(x) Ta thấy u(x ) v(x ) 00 0 , nên
x x0
u x lim
v x
lúc này có dạng 0 .
0
Phương pháp:
- Phân tích u(x), v(x)xuất hiện nhân tử chung dạng (x x ) 0 kđể giản
ước
- Có thể sử dụng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức thành nhân tử
- Nếu u(x), v(x)là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu với các
biểu thức liên hợp
Giới hạn tại một điểm
Dạng 1:
Dạng 2 :
Dạng 3 :
Trang 12Ví dụ 5: Tính các giới hạn sau
2
BÀI GIẢI
2
x 2 2 ( x 2 2)( x 2 2)( x 7 3)
x 7 3 ( x 7 3)( x 7 3)( x 2 2)
2
Bài tập tương tự Bài tập 5: Tính các giới hạn sau
3
3
x 0
x 2
x
Dạng 3:
lim
(với L 0 ) Tính nhẩm thay x vào 0 u(x)và v(x) Ta thấy u(x ) L,v(x ) 00 0 , nên
x x0
u x lim
v x
lúc này có dạng L
0
Phương pháp:
Bước 1: Tính xlim u(x) Lx0 (với L 0 )
Bước 2: : Tínhxlim v(x) 0x0 và xét dấu biểu thức v(x) với x x 0
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận
x x0
u x lim
v x
xlim u(x) Lx0
xlim v(x) 0x0
x x0
u x lim
v x
12
