Hướng dẫn học sinh giải một số câu hỏi vận dụng về hàm ẩn trong đề ôn thi tốt nghiệp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ CÂU HỎI VẬN DỤNG VỀ HÀM ẨN TRONG ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP Người thực hiện: Hà

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ CÂU HỎI VẬN DỤNG VỀ HÀM ẨN TRONG ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP

Người thực hiện: Hà Thị Thảo

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2020

MỤC LỤC

NỘI DUNG TRANG

I Mở đầu……… 1

1.Lí do chọn đề tài……….1

2 Mục đích nghiên cứu… ……… 1

3 Đối tượng nghiên cứu ……… 1

4 Phương pháp nghiên cứu … ……… 1

II Nội dung……….2

1.Cơ sở lí luận ………2

2 Thực trạng của vấn đề………2

3 Giải pháp giải quyết vấn đề ……… 3- 13 4 Kết quả nghiên cứu… ……… 13

III Kết luận, kiến nghị ……….……… 13

1 Kết luận……… 13

2 Kiến nghị……… 13

- Tài liệu tham khảo: ……… ………… 14

I MỞ ĐẦU:

1 Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình sách giáo khoa phổ thông, đạo hàm và công thức đạo hàm của hàm hợp được đưa vào được giảng dạy ở cuối lớp 11 Tuy nhiên

ở thời điểm đó các bài toán sử dụng đạo hàm của hàm hợp chưa nhiều nên học sinh dễ bị lãng quên Bởi vậy sang đầu chương trình lớp 12, khi học chương "Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số" giáo viên cần nhắc lại phần lý thuyết này và hướng dẫn cho học sinh vận dụng vào một

số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm hợp và một số bài toán khác của hàm số Đây là một dạng toán khó thường xuất hiện trong các

đề minh họa, đề thi THPT quốc gia những năm gần đây đòi hỏi học sinh phải nắm chắc lý thuyết và có tư duy vận dụng kiến thức một cách tổng hợp Vì thế giáo viên cần phải xây dựng bài giảng phù hợp để giúp học sinh có các công cụ giải được một số bài toán dạng này Chính vì vậy trong khuôn khổ

của đề tài này tôi đã trình bày lý thuyết và hệ thống bài tập nhằm "Hướng

dẫn học sinh giải một số câu hỏi vận dụng về hàm ẩn trong đề ôn thi tốt nghiệp".

2 Mục đích nghiên cứu:

Trên cơ sở nghiên cứu và tìm hiểu những khó khăn của học sinh lớp 12 trong quá trình giải một số bài toán hàm ẩn, bước đầu tìm ra những biện pháp giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn đó nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học và kết quả thi tốt nghiệp môn toán lớp 12

3 Đối tượng nghiên cứu:

Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải một số bài toán hàm ẩn trong phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lớp 12

4 Phương pháp nghiên cứu:

4.1 Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu

Nhằm phân tích các tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài trong đó chú trọng đến các câu hỏi về hàm ẩn trong các đề minh họa, đề THPT quốc

gia 2017, 2018, 2019 đề khảo sát chất lượng lớp 12 của các trường trong cả nước

4.2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

Trên cơ sở tìm hiểu học sinh khối 12 để phát hiện những khó khăn của học sinh khi giải các bài toán về hàm ẩn

4.3 Phương pháp thực nghiệm

Nhằm khẳng định hiệu quả các biện pháp giúp đỡ học sinh khi thực hành giải toán

4.4 Phương pháp sử dụng toán học để xử lí số liệu

Áp dụng một số công thức thống kê để xử lí các số liệu thực tế thu thập được

II NỘI DUNG:

1 Cơ sở lý luận:

Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạo của người học Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động

Do sự thay đổi của BGD về hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm mới chỉ được một vài năm nên tài liệu còn hạn chế, đặc biệt là các câu hỏi trong phần vận dụng Để giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về hàm

số, có khả năng vận dụng tổng hợp kiến thức, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi, sưu tầm, chắt lọc trong các tài liệu, khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết Một trong các vấn đề tôi xây dựng là " HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ CÂU HỎI VẬN DỤNG VỀ HÀM ẨN TRONG ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP"

2 Thực trạng của vấn đề:

Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán đang còn là mới mẻ với học sinh THPT, đặc biệt với môn Toán có khối lượng kiến thức khá nhiều, để làm tốt bài thi đòi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức các phần đồng thời phải có tư duy tổng hợp, tuy nhiên đa phần học sinh sự liên hệ tổng hợp của các em còn chưa tốt nên quá trình làm bài chưa được điểm số cao Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về hàm ẩn trong SGK gần như là chưa có, mặt khác trong nhiều đề thi:đề thi THPT quốc gia, đề minh họa của BGD, đề KSCL của các trường THPT, phần hàm ẩn có nhiều câu hỏi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao Với thời lượng cho phép dạy trên lớp môn toán có hạn Các câu hỏi về hàm ẩn trở thành một vấn đề khó khăn đối với học sinh phổ thông trung học Nếu không có một bài giảng có tính hệ thống giúp đỡ cho học sinh thì học sinh không biết bắt đầu từ đâu, áp dụng những kiến thức gì?

3 Giải pháp giải quyết vấn đề:

1.1 Tổng hợp một số kiến thức lý thuyết:

a) Khái niệm hàm số hợp:

Cho hai hàm số yf u( ) vàu u x ( ) Thay thế biến u trong biểu thức f u( ) bởi biểu thức u x( ), ta được biểu thức f u x ( ) với biến x Khi đó, hàm số

( )

y g x với g(x) = f u x ( ) được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u; hàm số u gọi là hàm số trung gian.

b) Cách tính đạo hàm của hàm số hợp:

*) Nếu hàm số u u x ( )có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số yf u( )có đạo hàm tại điểm u0 = u(x0) thì hàm số hợp g(x) = f u x ( ) có đạo hàm tại điểm x0, và: g x'( ) 0 f u u x'( ) '( ) 0 0

**) Nếu giả thiết ở phần *) được thỏa mãn với mọi điểm x thuộc J thì hàm số hợp y g x ( ) có đạo hàm trên J , và: g x'( ) f u x u x' ( ) '( ) 

c) Các kiến thức lý thuyết trong chương 1 của giải tích lớp 12:

Học sinh cần nắm vững:

- Cách xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số cho bởi công thức

- Cách xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số cho bởi bảng biến thiên

- Cách xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số cho bởi đồ thị

d) Cách xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x))

Để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm g(x) = f(u(x)) ta thường hướng đến việc xét dấu g'(x) = u'(x) f'(u(x)) Nếu g'(x) đổi dấu qua x0 thuộc tập xác định của g(x) thì x 0 là điểm cực trị Trường hợp đơn giản khi f(x), u(x) là hàm

đa thức thì nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ là các điểm cực trị của g(x).

Lỗi thường gặp của học sinh phần này là nhầm lẫn giữa nghiệm bội chẵn và bội lẻ.

1.2 Một số dạng bài tập:

Dạng 1: Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm ẩn bằng các hàm số cho bởi công thức

Câu 1 :( Câu 45- Đề KSCL Toán Lần 2 THPT BÌNH XUYÊN VĨNH PHÚC 2019-2020).Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm ( ) ( )( ) (2 )

f ' x = + x 2 x 1 x 5 - + " Î x R Số điểm cực trị của hàm số y f x 3x = ( 2 - )là:

Đối với dạng này học sinh có thể thực hiện bởi một trong hai cách

Cách 1: ( ) ( )( ) (2 )

2

5

x

x

é =-ê ê

= + - + = Û ê=

ê

=-ë

Trong đó x = 1 là nghiệm kép

2

2

3

2

3 5( )

'

' 0

x x

x

y

é

ê =

ê - =- Û ê=

êë

-= Û Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị Chọn B

Cách 2:

' 3 (2 3) '( 3 ) (2 3)( 3 2)( 3 1) ( 3 5)

y =éêëf x - x ùúû= x- f x - x = x- x - x+ x - x+ x - x+

2

3

1

3 2 0

( 3 1) 0

3 5

3 5 0( )

2

x x

x

é ê

êë

=

- =

=

- + =

±

Trong đó 3 5

2

là nghiệm kép.

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị Chọn B

Học sinh cần hiểu rõ cả hai cách để tùy từng bài vận dụng cách hợp lý hơn.

Câu 2: Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đạo hàm f x  thỏa mãn:

  1 2  5

f x   x x Hàm số y3f x 3 x312x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A 1;5 B  2; C  1;0 D   ; 1

Lời giải

Ta có: f x   1 x2 x 5 suy ra

        x4 x2 x 2

Mặt khác:

3 x 2 x 2 x 5

Xét y0 3x 2 x2 x5 0 5 2

2

x x







   



Vậy hàm số y3f x 3 x312x nghịch biến trên các khoảng 5; 2  và

2; Chọn B

Câu 3 : (Câu 42 - Đề KSCL lần 2 trường THPT Trường THPT ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC) Cho hàm số yf x( ) xác định trên  và có đạo hàm ( )f x thỏa mãn f x( ) 3 x x  2  g x 2019 trong đó g x 0, x Hàm

số yf(2 x) 2019 x2020 đồng biến trên khoảng lớn nhất a b Tích; 

a b bằng bao nhiêu

A -2 B -3 C -5 D.-4

Lời giải: Ta có

' (2 ) 2019 (3 2 )(2 2) (2 x) 2019 2019

(1 )(4 ) (2 )



Theo đề bài g x 0, x nên g2 x 0,  x

Để hàm số đã cho đồng biến thì

y    x  x g  x         x

Vậy ta có đáp án D.

Dạng 2: Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm ẩn bằng các hàm số cho bởi bảng biến thiên

Câu 4: ( Câu 35 - Đề thi THPTQG 2019 - MĐ 108) Cho hàm số f x , bảng xét dấu f x  như sau:

Hàm số yf 5 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A 5; B  2;3  C 0;2  D 3;5 

Lời giải

Xét hàm số yf 5 2 x Ta có y  f 5 2x 2f 5 2x

Xét bất phương trình:

Suy ra hàm số yf 5 2 x nghịch biến trên các khoảng  ;2 và khoảng

3;4 Vì  0;2    ;2 nên chọn đáp án C.

Câu 5: (Câu 45 - Đề KSCL 12 lần 2 Trường Lý Nhân Tông Bắc Ninh

2019 -2020) Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Hàm số yf 2x đạt cực đại tại

2

Lời giải: Từ BBT của hàm số yf x  ta có f x' 0,    x ( ; 1) (0;2)

và f x' 0,  x ( 1;0) (2;  Đặt ) g x f(2 )x  g x' 2 '(2 )f x

 

1







1

1

x

x



 











Ta thấy g'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua các điểm 1

2

x  và x = 1

nên hàm số đạt cực đại tại 1

2

x  và x = 1 Chọn C

Câu 6: ( Câu 48 - Đề minh họa BGD năm 2018 - 2019)

Cho hàm số f x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

 

Hàm số y3f x 2 x33x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 1;  B   ; 1 C 1;0 D 0;2 

Lời giải

Ta có y3f x 2 3x2 3, y 0 f x 2 x2 1 0 1 

Đặt t x 2, khi đó  1  f t   t24 3t 0

Để hàm số đồng biến thì y 0

Ta chọn t sao cho

 

2

4 3 0





Chọn C

Dạng 3: Xét sự biến thiên và tìm cực trị của hàm ẩn bằng các hàm số cho bởi đồ thị.

Đối với dạng này học sinh cần chú ý quan sát xem đồ thị đề bài cho là của hàm số y = f(x) hay của hàm số y' = f'(x) để tránh nhầm lẫn

- Nếu đồ thị là của hàm y = f(x) thì trên khoảng nào đó đồ thị là đường đi xuống (tính từ trái sang phải) hàm số nghịch biến, đồ thị là đường đi lên thì hàm số đồng biến Các điểm đồ thị chuyển hướng là các điểm cực trị

- Nếu đồ thị là của hàm y' = f'(x) thì trên khoảng nào đó đồ thị ở trên trục hoành f'(x) > 0, trên khoảng nào đó đồ thị ở dưới trục hoành f'(x) < 0 Các điểm mà qua đó f'(x) đổi dấu là các điểm cực trị

Câu 7: ( Câu 46 - Đề minh họa BGD 2020 lần

1): Cho hàm số bậc bốn yf x( ) có đồ thị như

hình bên

Số điểm cực trị của hàm số g x( ) f x( 3  3 )x2 là

Đây là bài toán cho đồ thị hàm số yf x( )

Lời giải: Do yf x( ) là hàm số bậc bốn nên liên tục và có đạo hàm tại mọi

x R Theo đồ thị ta có

1 2 3

( 2;0)

(4;6)

x x

x x











  

 

Mặt khác :

'( ) (3 6 ) '( 3 )

2

3 2

1

3 2

3 2

2

3 2

3

0 2

'( 3 ) 0

3 3

x x



















Xét hàm số h x( )x3  3x2 trên R Ta có

'( ) 3 6 '( ) 0

2

x

x









 BBT của y h x ( ) như sau :

x - -2 0 +

h'(x) + 0 - 0 +

-  0

Từ BBT ta thấy h(x) = x1 có một nghiệm, h(x) = x2 có 3 nghiệm, h(x) = x3 có một nghiệm, các nghiệm này phân biệt và khác 0, -2 Suy ra phương trình g'(x) = 0 có 7 nghiệm phân biệt Vậy hàm số y = g(x) có 7 điểm cực trị

Câu 8: ( Câu 38 - Đề KSCL 12 lần 2 Trường chuyên Vĩnh Phúc 2019 - 2020) Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thịcủa hàm yf x 

như hình vẽ Xét hàm số g x( ) f x 2  2

Mệnh đề nào dưới đây sai ?

A Hàm số g x( ) nghịch biến trên 0; 2 

B Hàm số g x( ) đồng biến trên 2; .

C Hàm sốg x( )nghịch biến trên  1;0 

D Hàm số g x( )nghịch biến trên    ; 2 

Đây là bài toán cho đồ thị hàm số yf x'( )

Lời giải : Ta có g x'( ) 2 ' x f x 2 2

2

x

x









 

BBT của hàm số g'(x):

x -  -2 0 2 + 

2x - - 0 + +

f' (x2 - 2) + 0 - - 0 +

g'(x) - 0 + 0 - 0 +

Dựa vào BBT ta chọn C

Câu 9: (Câu 50 - Đề minh họa- BGD 2020

lần 1): Cho hàm số f x( ) Hàm số yf x( ) có

đồ thị như hình bên Hàm số

2

( ) (1 2 )

g x f  x x  x nghịch biến trên

khoảng nào dưới đây?

A. 1;3

2

2

 

C 2; 1  D 2;3 

Lời giải: Ta có g x( )f(1 2 ) x x2 x g x'( )2 '(1 2 ) 2f  x  x1

2

x

Đặt 1-2x = t , xét sự tương giao của đồ thị hàm số yf '(t)và

2

t

y 

y =

Dựa vào đồ thị ta có

'(t)

2

x t

t

f

















 

  



 

Câu 10: (Câu 50 - Đề thi THPTQG 2018 - MĐ 101) Cho hàm số yf x ,

 

đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y g x  

Hàm số    4 2 3

2

h x f x g x 

    đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A 5;31

5

4

  C 31;

5

  D 6;25

4

 

Lời giải

Kẻ đường thẳng y 10 cắt đồ thị hàm số yf x  tại A a ;10, a8;10 . Khi đó ta có :



2

h x f x g  x 

4 x .

2

t

y 

Kiểu đánh giá khác: Ta có h x  f x 4 2g 2x 32

Dựa vào đồ thị, 9 ;3

4

x  

  , ta có 25 4 7

4   x , f x' 4  f ' 3 10   ;

3 9

3 2

2 2

x

   , do đó g' 2 x 32 g' 8  5

Suy ra h x  f x 4 2g 2x 32 0, x 94;3

          Do đó hàm số đồng

biến trên 9 ;3

4

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1:(Chuyên KHTN 2020) Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm

như sau:

Hàm số y = f(2 - 3x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.(2;3) B.(1;2) C.(0;1) D.(1;3)

Câu 2:Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số y = 3f(x + 2) - x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.(1;+) B.(-;-1) C.(-1;0) D.(0;2)

Câu 3:Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm f x'( )=(x2 - 1)(x2 - -x 2) " Î x R Hỏi hàm

số g x( ) =f x x( - 2) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau

A.(2;+) B.(-;-1) C.(-1;1) D.(0;2)

Câu 4: Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm f x'( )= -x2 2x " Î x R Hỏi hàm số

g x =f x - x có bao nhiêu điểm cực trị ?

A.3 B.4 C.5 D.6

Câu 5:(Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2020) Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu

đạo hàm như sau:

3

x

g x =f - x + - x - x đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?

A x = -1 B x = 3 C.x = 2 D x = -3

Câu 6:Cho hàm số y f x = ( ) có đạo hàm f x'( )=x x2( - 1)(x2 +mx+ 5) " Î x R Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x( ) = f x( )2 đồng biến trên (1;+ )

A.3 B.4 C.5 D.7

Câu 7:( Đề KSCL 12 Trường Lý Thái Tổ Bắc

Ninh 2019) Cho hàm số y = f x có đồ thị như( )

hình vẽ bên Hàm số y = f x - 2( 2 )

có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 8: (Đề KSCL 12 lần 2 Trường Lý Nhân Tông Bắc Ninh 2019-2020) Cho hàm số f x có đồ thị hàm số   f x như hình bên.' 

Hàm số yf cosxx2 x đồng biến trên khoảng

A 2; 1  B 0;1 

C 1;2  D.1;0

Câu 9:( Đề KSCL 12 lần 2 Trường chuyên Vĩnh Phúc 2020)

Cho hàm số f x( )=ax3+bx2+ + (với cx d a ,,b , c d Î ¡ và a¹ 0)

có đồ thị như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số

( ) ( 2 2 4 )

A 2 B 5 C 4 D 3

Câu 10:( Đề KSCL 12 SGD Thanh Hóa 2019)

Cho hàm số yf x  Đồ thị hàm số

 

yf x như hình bên và f 2 f  2 0.

Hàm số g x  f 3 x2 nghịch biến trên

khoảng nào trong các khoảng sau?

A 2;5  B 2;.