Thông qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh lớp 8c trường THCS quảng châu nhận dạng các bài toán giải phương trình đưa về phương trình tích nhằm nâng cao chất lượng học sinh khá giỏi

Nội dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, nhưng để nắm vững cách giả

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong nghị quyết TW 2- khóa VIII đã nêu: Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con người và thế hệ tha thiết gắn bó với

lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; Có đạo đức trong sáng Có ý thức kiên cường xây dựng và bảo vệ tổ quốc, công nghiệp hóa- hiện đại hóa đất nước, giữ gìn và phát huy các giá trị văn hóa của dân tộc có năng lực tiếp thu văn hóa của nhân loại, phát huy tiềm năng của dân tộc và của con người Việt Nam Có ý thức cộng đồng và phát huy năng lực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức và kỷ luật, có sức khỏe, là những người kế thừa xây dựng CNXH vừa “hồng” vừa “chuyên” như lời Bác Hồ đã dạy

Muốn làm tốt được nhiệm vụ trên, để đóng góp có hiệu quả vào công việc nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, tạo nguồn lực cho công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước Là nhà giáo dục chúng ta không thể không đặt mục tiêu giáo dục lên hàng đầu Do đó việc bồi dưỡng năng lực sáng tạo và tư duy trừu tượng cho học sinh là một nhiệm vụ trọng tâm của nhà trường và của mỗi thầy cô giáo dạy bộ môn toán

Toán học là một ngành, một môn học mang tính trừu tượng cao, nói đến toán học là nói đến sự gọn gàng, chính xác và lôgic Với lượng kiến thức rộng lớn, toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác

Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ

Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống Nội dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, nhưng để nắm vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo

và kinh nghiệm đã tích luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan Thông qua việc giải bài tập các em được rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học Do đó nâng cao năng lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học sinh

Trong chương trình toán THCS, các bài toán giải phương trình có một vị trí quan trọng

Các bài toán đưa về dạng phương trình tích rất phong phú đa dạng, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức, cách giải linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy Vì vậy, những năm gần đây, trong các kì thi học kỳ, các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi lớp 8 các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này; có những bài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chương trình đã học? Làm thế nào để đưa được về dạng phương trình tích? Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc

cụ thể trong cuộc sống sau này

Xuất phát từ thực tế đó tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài :

“Thông qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh lớp 8C trường THCS Quảng Châu nhận dạng các bài toán giải phương trình đưa về phương trình tích nhằm nâng cao chất lượng học sinh khá-giỏi.”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Chuyên đề “ nhận dạng các bài toán giải phương trình đưa về phương trình tích ” được học khá kỹ ở lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình giải toán cấp II Vì vậy, yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích là vấn đề quan trọng Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực

tư duy sáng tạo cho học sinh Trong SGK và sách bồi dưỡng đã trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của những đa thức bằng các phương pháp đặt nhân tử chung, tách hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ, để làm một số dạng bài tập giải phương trình tích

Khi học chuyên đề này học sinh rất thích thú vì có các ví dụ đa dạng, có nhiều bài vận dụng cách giải khác nhau nhưng cuối cùng cũng đưa về được dạng phương trình tích từ đó giúp các em học tập kiến thức mới và giải được một số bài toán khó

Trong nhiều năm tôi được phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy Tôi đã

tích lũy được nhiều kiến thức về dạng toán “ giải phương trình đưa về phương

trình tích “ và những dạng bài tập vận dụng đặc biệt là hướng dẫn học sinh cách

nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học bộ môn toán

và cách giải toán theo mạch kiến thức mang tính logic Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp học sinh nắm rõ các phương pháp giải các phương trình đưa được về dạng “ phương trình tích“ Đồng thời vận dụng các phương pháp đó để giải các bài toán hay và khó hơn như sau

Nội dung chủ yếu của đề tài này là các kinh nghiệm của bản thân đã rút ra trong quá trình giảng dạy trực tiếp môn Toán tại trường THCS Quảng Châu cùng với việc học hỏi đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài này được áp dụng cho 20 học sinh khá-giỏi môn toán lớp 8C trường THCS Quảng Châu năm học 2018 -2019

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây :

- Sử dụng phương pháp sơ đồ tư duy, nêu vấn đề

- Phương pháp đàm thoại, vấn đáp

- Tự tìm hiểu khai thác dữ liệu trên mạng thông qua bài tập hướng dẫn

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp dùng số liệu, thống kê, kiểm định

- Phương pháp khái quát hóa

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

1.5 Những điểm mới của sáng kiến.

So với những sáng kiến kinh nghiệm cùng đề tài của tôi trước đây thì

điểm mới của sáng kiến “Thông qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh lớp 8C trường THCS Quảng Châu nhận dạng các bài toán giải phương trình đưa

về phương trình tích nhằm nâng cao chất lượng học sinh khá-giỏi.” là:

Thông qua các bài tập cụ thể giáo viên rèn luyện các kĩ năng (phân tích, tổng hợp ) chính là rèn luyện các thao tác của tư duy mà năng lực tư duy là một

bộ phận của nhân cách và có tác động qua lại với nhân cách một cách tốt hơn đồng thời chuẩn bị nhiều tình huống để học sinh được thảo luận và chấp vấn tốt hơn

Xây dựng hệ thống bài tập đa dạng hơn, nhiều phương pháp giải độc đáo hơn trước đòi hỏi học sinh khá giỏi được làm việc và tư duy nhiều hơn trước giúp các em học sinh khá giỏi được chủ động, sáng tạo hơn trong khi làm bài tập

và thích thú hơn với những bài toán lạ và khó

Chính vì những điểm mới trên giáo viên luôn phải đưa ra những tình huống giả định , bởi thời đại của chúng ta là công nghệ 4.0 giáo viên không được xem nhẹ học sinh, có những học sinh của chúng ta thực sự thông minh và

có thể chấp vấn được thầy, cô giáo, bài học trở nên có ý nghĩa Đây là điểm mới thực sự của đề tài, chúng ta cần phải phát huy rộng rãi để ngày càng nâng cao chất lượng học sinh khá-giỏi

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

- Môn toán có khả năng to lớn trong việc phát triển trí tuệ của học sinh thông qua việc rèn luyện kĩ năng: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá và cụ thể hóa, năng lực lĩnh hội các khái niệm trừu tượng, năng lực suy luận lô gíc và ngôn ngữ chính xác đồng thời rèn luyện các phẩm chất của trí tuệ như linh hoạt, độc lập, sáng tạo

- Rèn luyện các kĩ năng (phân tích, tổng hợp ) chính là rèn luyện các thao tác của tư duy mà năng lực tư duy là một bộ phận của nhân cách và có tác động qua lại với nhân cách Muốn có tư duy nhanh nhạy chính xác ngoài kiến thức ra còn có những phẩm chất trung thực, khách quan, có động cơ trong sáng, yêu chân lí, yêu khoa học

- Để nâng cao chất lượng dạy học môn toán sở giáo dục, phòng giáo dục

đã triển khai chuyên đề về đổi mới phương pháp dạy ở trường THCS đến từng giáo viên Hướng đổi mới của phương pháp dạy toán hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh khơi dậy và phát triển khả năng tự học nhằm hình thành cho học sinh tư duy độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện giải quyết vấn đề trên cơ sở những kiến thức toán học đã tích luỹ có hệ thống

- Quá trình chiếm lĩnh kiến thức toán học của học sinh là quá trình tái tạo khái niệm, tính chất, định lí, quy tắc gần giống với quá trình hình thành chính những kiến thức ấy trong lịch sử do đó phương pháp dạy học đổi mới rất được coi trọng việc trình bày kiến thức có hệ thống khái quát là nền móng tư duy bằng những hoạt động đa dạng, độc đáo tạo tiền đề cho phương pháp dạy học sáng tạo

- Muốn đạt được kết quả cao trong dạy học, phải có phương pháp dạy học tích cực Người dạy phải chú ý đến nhu cầu và nguyện vọng của người học, đến các đặc điểm tâm sinh lý của người học được học theo phương pháp tích cực chắc chắn học sinh biết cách làm, cách học, cách giải quyết vấn đề, cách ứng xử thích nghi với cuộc sống

- Quá trình học bao hàm cả quá trình tự học, tự học là điều kiện tốt để phát triển tư duy học tập Tư duy học tập sẽ dần đến tư duy phê phán, khả năng phát hiện vấn đề rồi đến tư duy sáng tạo, phương tiện dạy học cực kì quan trọng vì

nó là nội sinh, nội lực, phương tiện này yếu kém thậm chí không hoạt động thì năng lực sáng tạo cũng mất Cho nên trước hết giáo viên cần tạo cho học sinh tinh thần tự giác trong học tập, giúp học sinh tự học có kết quả Việc hướng dẫn

học sinh giải một số bài toán dạng toán “ đưa về phương trình tích “là một nội

dung quan trọng trong chương trình toán 8 Vì vậy học sinh phải được rèn luyện

kĩ năng giải phương trình

Trong hoạt động giáo dục hiện nay đòi hỏi học sinh cần phải tự học; tự nghiên cứu rất cao Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội

Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đối với môn toán (cụ thể là môn đại số lớp 8) đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan Để làm được như vậy thì giáo viên cần gợi sự say mê học tập; tự nghiên cứu, đào sâu kiến thức của các em học sinh

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

2.2.1 Thuận lợi:

Xã hội ngày nay đang phát triển theo chiều hướng hiện đại Các ngành nghề đều từng bước hiện đại hoá và áp dụng công nghệ thông tin Ngành Giáo dục cũng vậy Đối với giáo viên, công nghệ thông tin là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giảng dạy Từ việc học hỏi, trau dồi kiến thức, việc tìm kiếm tư liệu, hình ảnh đến việc thiết kế bài giảng, đưa bài giảng của giáo viên đến với học sinh một cách sinh động, rõ ràng, thuận tiện

Trường THCS Quảng Châu - Nơi tôi công tác - có một truyền thống thi đua học tốt dạy tốt rất tích cực Điều đó càng thôi thúc tôi tìm tòi, sáng tạo, làm sao để hoàn thiện phương pháp giảng dạy của mình để các em học sinh được học tập một cách tốt nhất, hiệu quả nhất Nhà trường cũng luôn tạo điều kiện tối

đa hỗ trợ về phương tiện dạy học, sắp xếp thời khoá biểu hợp lí và đặc biệt có những nhận xét, đánh giá hết sức khách quan, sát thực, tích cực, trên tinh thần xây dựng cho những bài giảng của tôi sau những lần dự giờ, thăm lớp Điều đó làm tôi rất cảm động, khâm phục và cố gắng

Học sinh của tôi đa số đều ngoan ngoãn, lễ phép, phần lớn ham học hỏi, cầu tiến bộ Tôi yêu mến các em như con em của mình và mong cho các em có một nền giáo dục tốt nhất Nhiều phụ huynh học sinh cũng rất quan tâm đến giờ giấc và kết quả học tập của con em mình Đó cũng là điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành nhiệm vụ

2.2.2 Khó khăn:

Bên cạnh những thuận lợi nêu trên vẫn đang còn không ít những khó

khăn, tồn tại ảnh hưởng đến kết quả dạy học như:

- Một số phụ huynh học sinh chưa quan tâm đúng mức đến học hành của con em mình, học sinh’ ít tài liệu tham khảo, Nhiều học sinh vì phải phụ giúp

bố mẹ nên lơ là việc học tập, không có nhiều thời gian để học Một bộ phận học sinh khác vì tính ỷ lại quá lớn nên cũng chưa quan tâm đến học hành

- Đối với học sinh THCS Quảng Châu Kỹ năng phân tích, nhận dạng, tìm

ra dấu hiệu của các bài toán đang còn hạn chế, lúng túng, gặp nhiều khó khăn

- Dạng toán đưa về phương trình tích được đưa vào SGK, SBT dưới dạng bài tập chưa đầy đủ Do đó đa số học sinh chưa nắm chắc cách giải dạng toán này

- Trường không có đủ phòng học để bồi dưỡng học sinh nên thời gian các

em được bồi dưỡng là rất ít

2.2.3 Thực trạng về việc giải bài tập toán của học sinh:

- Thực tế dạy học cho thấy việc giải các bài tập của học sinh nói chung và của học sinh khá - giỏi hiệu quả và chất lượng chưa cao Với một số phương

trình “không mẫu mực” nếu các em giải theo kiểu thông thường thì rất phức tạp

và có thể không giải được nên các em còn lúng túng và khó khăn khi giải

- Phương pháp dạy học của giáo viên chưa thật sự hiệu quả, học sinh chưa được rèn luyện kĩ năng giải bài tập thường xuyên

- Các em chưa có kĩ năng tìm hiểu về các dạng bài toán

- Sử dụng không đúng cách các công cụ hỗ trợ học tập như: máy tính, sách giáo khoa, sách giải bài tập, sách học tốt toán

- Khảo sát ban đầu đối với 20 em học sinh khá–giỏi lớp 8C kết quả thu được

Lớ

p

Sĩ

số

0<3,5điểm 3,5<5điểm 5<6,5điểm 6,5<8,5điểm 8,5<10điểm

2.3 Các giải pháp thực hiện:

2.3.1 Các giải pháp giải quyết vấn đề:

Giải pháp tôi đưa ra là :

+ Học sinh tự học, tự nghiên cứu, kết hợp với giáo viên dạy phải đi sâu vào bản chất, tìm ra quy luật, phương pháp để giải bài toán một cách khoa học nhất

+ Hướng cho học sinh cách phân tích bài tập, chứ không chỉ đi sâu vào giải cụ thể

+ Học sinh phải được làm nhiều bài tập về giải phương trình khác nhau,

đi sâu vào tìm hiểu các dấu hiệu đặc biệt (nếu có)

+ Kết hợp với kiểm tra, đánh giá

2.3.2 Biện pháp tổ chức thực hiện:

2.3.2.1 Lý thuyết.

Phương pháp giải

Khi giải một phương trình có thể quy về phương trình tích thì có thể tiến hành theo các bước sau:

 Tìm điều kiện xác định của phương trình (giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức của phương trình khác 0) Viết tắt : ĐKXĐ

 Dùng phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạng f(x).g(x)…h(x)0 (gọi là phương trình tích) Từ đó suy ra f(x)0 hoặc g(x) 0;….; hoặc h(x)0 là những phương trình quen thuộc Nghiệm của phương trình đã cho là tập hợp các nghiệm của phương trình: f(x)0 hoặc g(x)0;

…;hoặc h(x)0 thuộc điều kiện xác định

 Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn, đưa phương trình về dạng tích (đối với ẩn phụ) Giải phương trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm của phương trình đã cho

 Dùng cách nhóm các số hạng hoặc tách các số hạng,…để đưa phương trình về dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải

2.3.2.2 Các bước hướng dẫn học sinh giải bài tập.

Khi thực hiện đề tài vào giảng dạy, do đặc thù các dạng bài tập đưa về

dạng phương trình tích rất phong phú đa dạng, đòi hỏi sự linh hoạt trong quá trình vận dụng Do đó tôi đưa ra hệ thống ví dụ và các dạng bài theo các mức độ rèn luyện từ dễ đến khó, nhằm bồi dưỡng học sinh phát triển kỹ năng từ biết làm đến đạt độ mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo Để bồi dưỡng mỗi dạng tôi thường thực hiện theo các bước sau:

Bước1: Tìm hiểu đề bài

Bước 2: Nhận xét

Bước 3: Trình bày lời giải

Bước 4: Khai thác bài toán ( tùy từng bài)

Sau đây là một số dạng bài tập, cách nhận dạng, kinh nghiệm giải quyết đã được tôi thực hiện và đúc kết từ thực tế

2.3.2.3 Cụ thể đối với dạng toán:

Ví dụ 1: Giải phương trình : x 12 2x 1 x 2  x 22  0

Nhận xét : Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận ra

được hằng đẳng thức bình phương của một tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức rồi mới phân tích thành nhân tử

Ta xem ( x- 1) =A ; ( x + 2 ) = B  phương trình có dạng ( A + B)2= 0

Giải

Ta có: x 12  2x 1 x 2  x 22  0

 x 1  x 22  0

 x 1  x2 0

 1 2 0

2 1 0

x

    

  

2 1 1

2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  12

 

Ví dụ 2: Giải phương trình : 3

19 30 0

Nhận xét: Đối với phương trình này đầu tiên chưa xuất hiện nhân tử chung và

cũng không ở dạng hằng đẳng thức nào cả Do vậy khi giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp nào đã biết để phân tích vế trái thành tích (gợi ý phương pháp tách hạng tử) ở đây ta cần tách hạng tử:-19x =-9x – 10x

Giải

Ta có : x3  19x 30 0   x3  9x 10x 30 0 

 x3  9x 10x 30 0  x x 2  9 10x 3  0

 x x 2  3 2 10x 3   0 x x  3 x 3 10x 3  0

 x 3x x  3 10    0 x 3 x2  3x 10  0

 x 3 x2  5x 2x 10   0 x 3 ( x2  5 )x 2x 10  0

 x 3x x  5 2x 5   0 x 3 x 5 x 2  0

    

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  3;5; 2  

Ví dụ 3: Giải phương trình : 2

2

  

Nhận xét: Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác

định của phương trình Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn

để mẫu thức khác không

Giải

ĐKXĐ: x 0

Ta có : 2

2

   x3 2 x x4 2 1

 x3  x x4  1  x3  x4    1 x 0

 x3  x4 1  x  0  x31  x  1  x  0

 (1  x x) 3  1  0

     

2

2 2

     (đưa về dạng phương trình tích)

( Vì 

2

 x 12   0 x 1 0   x 1( tmđk)

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S =  1

Ví dụ 4: Giải phương trình :  x - 1 x - 2 (x - 5)(x - 6) = 252  

Nhận xét : Nếu tính tích bốn thừa số ở vế trái thì xẽ được một phương trình bậc

bốn thì xẽ khó giải Tuy nhiên ta lại thấy rằng (-1) + (-6) = (-2) + (-5) ta nhóm

[(x - 1)(x - 6)][(x - 2)(x - 5)] = 252 để được vế trái là tích của hai phương trình bậc hai có x2 - 7x giống nhau

Giải Ta có :  x - 1 x - 2 (x - 5)(x - 6) = 252  

 x 1 x 6    x 2 x 5  252

 x2  7x 6x2  7x 10 252  0 (*)

- Đặt x2  7x 8 y suy ra 2

x  x  y ; 2

Phương trình(*) trở thành:

y 2y 2 252  0

 2 256 0





 y y16 016 0  y y1616

2

2

7 47







( 1)( 8) 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  1;8

Khai thác bài toán: Khi gặp bài toán dạng: (ax + b)(ax + b + m)(cx + d)(cx + d

+ m)  k thì nhân (ax + b + m) (cx + d) và (ax + b) (cx + d + m) rồi đặt ẩn phụ

để giải tiếp

Ví dụ 5: Giải phương trình:3x 1 2 3x x 18x 27 0

Nhận xét : Đây là phương trình có nghĩa với mọi giá trị của ẩn, phương trình có

cả ẩn ở mũ của lũy thừa, nhưng nếu sử dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng

cơ số thì hạng tử thứ nhất và hạng tử thứ hai có nhân tử chung, biến đổi tiếp có thể đưa phương trình được về dạng tích Tuy nhiên ta lại thấy rằng tách lũy thừa

1

3x 3 3x

 rồi kết hợp hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với hạng tử thứ tư thì có thể đưa phương trình đã cho về dạng tích

Giải

Ta có : 3  2 3x  18x 27 0 

 3 (3 2 ) 9(2x  x  x 3) 0   (3 2 )(3  x x 9) 0 

2 3 0 2 3

3x 9 0 3x 9













2 2 3

x

x

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 2; 3

2



Khai thác bài toán: Trong bài toán này phải chú ý rằng 3x 1 3 3x

 để đặt nhân tử chung với hạng tử thứ hai Sau đó xuất hiện nhân tử chung tiếp và đưa phương trình về phương trình tích

Ví dụ 6: Giải phương trình:

15

1 20 9

1 12

7

1 6

5

1 2

3

1

2 2

2





















x

Nhận xét : Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu nên cần tìm ĐKXĐ nếu quy

đồng thì được một phương trình bậc tám, mà phương trình bậc tám thì khó giải Tuy nhiên ta lại thấy rằng các đa thức ở các mẫu phân tích được thành nhân tử

và nhân tử thứ hai của mẫu thứ nhất là nhân tử thứ nhất của mẫu thứ hai, nhân tử thứ hai của mẫu thứ hai là nhân tử thứ nhất của mẫu thứ ba,… và tách được mỗi phân thức này thành hiệu của hai phân thức mà sau đó xuất hiện hai phân thức đối nhau

*Hướng dẫn cách tìm lời giải:

- Tìm ĐKXĐ

- Phân tích các mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử rồi tách các phân thức ở vế trái ra thành hiệu các phân thức sẽ được ở vế trái là:

1

1 5

1 5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1 2

1

1

1

) 5 )(

4 (

1 )

4 )(

3 (

1 )

3 )(

2 (

1 )

2

)(

1

(

1

































































x x

x x

x x

x x

x

x

x x x

x x

x x

x

Giải

ĐKXĐ:

1 2 3 4 5

x x x x x















 





