Khai thác một số quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của hàm hợp để giải bài toán nguyên hàm tích phân cho bởi phương trình đạo hàm mức độ vận dụng cao trong đề thi THPTQG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NGA SƠN ---SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CHO BỞI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGA SƠN

-SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TRONG

ĐỀ THI THPTQG

Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương

Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2020

MỤC LỤC

Trang

I Mở đầu… ……… ………1

1 Lí do chọn đề tài…… ……… ……….1

2 Mục đích và đối tượng nghiên cứu……… … ….1

3 Phương pháp nghiên cứu……… ………… ………2

II Nội dung……… ……….2

1 Cơ sở lí luận……… 2

2 Thực trạng……… 2

3 Giải pháp……….………3

3.1 Khai thác quy tắc đạo hàm của tích……….……… 3

3.2 Khai thác quy tắc đạo hàm của thương………… ………… 6

3.3 Khai thác quy tắc đạo hàm của hàm căn thức….……… 10

3.4 Khai thác quy tắc đạo hàm của hàm mũ………14

3.5 Khai thác quy tắc đạo hàm của hàm logarit tự nhiên 16

3.6 Bài tập tự luyện… ……… 17

III Kết luận……… …………18

1 Kết quả nghiên cứu……….….……… 18

2 Kết luận và kiến nghị……… … 18 Tài liệu tham khảo

I MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện,năng động và sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo,đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội.Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó mộtyếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương phápdạy học môn Toán

Mục tiêu Giáo dục phổ thông đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phảiphát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợpvới đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện

kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềmvui, hứng thú học tập cho học sinh.”

Trong những năm trước đây, bài toán nguyên hàm – tích phân được cho bởiphương trình đạo hàm chỉ nằm phần lớn ở chương trình đại học Năm 2017, khi

bộ GD & ĐT quyết định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn toán thìbài toán nguyên hàm – tích phân được cho bởi phương trình đạo hàm đã đượccoi là bài toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều đóchúng ta đã thấy rất rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ GD&

ĐT Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thi mônToán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với họcsinh không còn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng hơn

cả là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ Để thành công trongviệc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài việc học sâu cần phảihọc rộng, nhớ nhiều các dạng toán

Trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài toán nguyên hàm –

tích phân được cho bởi phương trình đạo hàm nằm ở mức độ kiến thức vận

dụng cao, là bài toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm 8, 9, 10 Cái khó ở bài

toán này được đa phần các thầy cô giáo khi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở bayếu tố: yếu tố thứ nhất là đề bài được viết đa phần bằng các kí hiệu toán, nếuhọc sinh không nắm chắc kiến thức đọc sẽ rất khó hiểu đề; yếu tố thứ hai là sửdụng các tư duy đoán biểu thức đạo hàm, tư duy hàm số, đây là những tư duykhó đối với học sinh phổ thông; yếu tố thứ ba, bài toán đòi hỏi sự biến đổi phứctạp dễ gây sai sót, nhầm lẫn trong tính toán cho học sinh Đây là bài toán mới,được áp dụng vào thi cử chưa nhiều, trên thị trường sách các tài liệu tham khảocòn ít, còn hạn chế cũng như chưa được đầu tư kĩ lưỡng về nội dung và hìnhthức Việc có một tài liệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng toán khoa họcluôn là một nhu cầu cấp thiết cho cả thầy cô và học sinh

2 MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học,thêm kiến thức giải quyết tốt các bài toán nguyên hàm – tích phân đượccho bởi phương trình đạo hàm

- Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài: “Khai thác một số quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của hàm hợp để

giải bài toán nguyên hàm – tích phân cho bởi phương trình đạo hàm mức độ vận dụng cao trong đề thi THPTQG”

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các

đề thi thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi học sinh giỏicủa các tỉnh và khu vực, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảngcủa một số giảng viên toán,…)

- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn

II NỘI DUNG

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạtđộng học của trò Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắmvững những kiến thức Toán phổ thông nói chung, đặc biệt là xâu chuỗi các nộidung, tạo ra mối liên hệ mật thiết giữa các mặt kiến thức là việc làm rất cầnthiết Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học

ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt

vào từng bài toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi

học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt

Khi gặp một bài toán nguyên hàm – tích phân được cho bởi phương trìnhđạo hàm chúng ta có rất nhiều hướng tiếp cận để tư duy ra lời giải Tuy nhiênvới những bài toán hay và khó, lối tư duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổkiến thức của chương hay kiến thức của cấp học sẽ khiến học sinh khó khăntrong việc tìm ra hướng giải quyết Vì tính chất phân loại của đề thi THPT Quốcgia hiện nay, bài toán nguyên hàm – tích phân được cho bởi phương trình đạohàm đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh Để giải quyết được bài toán, họcsinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản của chương đạo hàm, nguyên hàm –tích phân, các phép biến đổi logic toán học đã biết và kiến thức về hàm số Tạo

ra một mối liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức, các kĩ năng, kết hợp lí luận

và thực tiễn giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sựhứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong tiếp thu vàlĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, rútngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắc chắn đưa đến kết quả đúng,khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp dạng toán khó Đây là mục tiêu quan trọngnhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên

2 THỰC TRẠNG

Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng

như các trường THPT khác trên địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT Mai Anh Tuấn) cho thấy học sinh ngày nay không mặn mà lắm với bài toán

nguyên hàm – tích phân được cho bởi phương trình đạo hàm Lí do được cácbạn đưa ra là bài toán này khó, khó ngay từ khâu đọc đề và tư duy hiểu đề, quá

trình biến đổi phức tạp, sử dụng rất nhiều đơn vị kiến thức và hay gây nhầm lẫn,trong khi điểm số dành cho dạng này trong đề thi chỉ có từ 0,2 đến 0,4 điểm.Một phần khó còn do yếu tố tâm lí của học sinh khi nghĩ rằng đây là bài toándành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điềunày đã dẫn đến một sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi haylàm thử đề thi trắc nghiệm toán đều bỏ qua hoàn toàn hoặc chỉ khoanh “chùa”đáp án, trong khi bài toán này không phải bài toán quá khó, bài toán mấu chốt

nhất của đề Từ thực tiễn đó đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài “Khai thác một số

quy tắc tính đạo hàm và đạo hàm của hàm hợp để giải bài toán nguyên hàm – tích phân cho bởi phương trình đạo hàm mức độ vận dụng cao trong đề thi THPTQG”

+ Lấy nguyên hàm hai vế được u(x)v(x) g(x)dx

+ Suy ra hàm số cần tìm và thực hiện yêu cầu bài toán

A T   163 B T 1621 C T 23 D T  0

Hướng dẫn:

) 1 (

2 )

( ' ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ' ) 1

x x f x

x x f x x f x x

1 )

( ) 1 (

) 2 ( ) ( ' 1

2 2

x x x f

f x x

Lấy nguyên hàm hai vế ta được  

dx x

x x

f x

x

) 1

1 1 ( 1

) ( 1

2 2

C x

4

3 4

3 )

2 ) ( )

) ( ) ( '

2     f x 

x x f x x f x xf

x x

Suy ra  x.f(x)'  x

Lấy nguyên hàm hai vế ta được x f x  x dx x3 C

3

2 )

(

3

1 3

2 ) ( 3

1 1

0

cos

1 ) ( )

tan ) ( ' tan

) (

x x

f dx x x f x x

0

cos

1 ).

x x

f

  1 cot 1 tan 1 1 0

0

1 tan

)

Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên 0 ;  thỏa mãn f( 0 )  2e

và ' ( ) sin ( ) cos cos , 0 ; 

f x e

x f e e

x x

f x

Lấy nguyên hàm 2 vế được e f(x) cosxdx sinxC

31 , 10 )

sin 2 ( )

(x dx x e dx f

;

0  thỏa mãn

x

x x

tan

)

6 3

f x x

f x x

x x

f x x

cos ) ( ' sin ) ( cos cos

) ( ' tan )

Suy ra  

x

x x

f

cos )

(

x

x x

f

cos )

( sin Tính  dx

tan

tan

cos 2

C x x

x x f

x x f C

x

sin

cos ln tan )

( 0



1 9

5 3

ln 9 3 5 6 3 3 3 ln

f b

2

 C

9

2 ln

D 2 ln 2

Hướng dẫn:

Từ giả thiết ta có xf' (x)  2f(x) lnx x3  f(x)  xlnx.f' (x)  ( 1  2 lnx).f(x) x3

1 ) ( ln 2 1 ) ( '

ln ln

) ( ln

ln 2 1

f x

x x

x x f x x

x x

ln 2

Có

2 ln

8 ) 2 ( ln

) ( 0 3

e e

Hướng dẫn:

4 1

8 0

1 2

) ( )

( ' ).

(x f x dx x x dx f x f

)

(

' 2023 3

( )

(

2023

x f x x

2023 3

2023 )

( 0

2023 )

( 0 2023 )

( 0

) 0

1 0

1 2023

3.2.1 Công thức

) 3 ( 0 ) ( , ) (

) ( ' )

(

1

)

) 2 ( 0 ) ( , )

(

) ( ' ).

( ) ( ).

( ' )

2 '

x v x

v

x v x

v

x v x u x v x u x

) ( ' ) ( ) ( ).

( '

x v

x v x u x v x u





+ Sử dụng công thức (2) ta có ( )

) (

) ( '

x g x

v

x u

x g x

x u



 ( ) )

(

) (

x

v  ( ) )

x f x x f x xf x f x x

) (

) ( ' ) 1 ( ) ( ) ( 2 ) ( ' ) 1 ( ) (    2   2 

) ( 1

) ( )

(

1 0

x C

1

2 2

1

2 ln 2

1 1

1 )

x x dx x

) ( ' ) ( ) ( ) ( ' )

x f x f x f x f x f

x x

x

e x

f

x f e x f e e

x

f

x f e

) ( ' ) ( ' )

(

) ( ' )

(

2 2

x

) (

x x

x

e

e x f e

x f

e C

(

2 3

f

x f x x

f

) (

) ( ' )

(

3

2

3 2

(

' 3

Lấy nguyên hàm 2 vế được xdxx C

x f

) (

Có

2 )

( 2 3

f

1 ; 2

0 ) 2 (

6 )

x

f

3 5 3

( ln

)) ( 2 ) ( ' (

x

x f x

x

x xf x f x x

f x x x f x

(

x

x f x

x

x f

3

'

2

) ( 1 ln

) (

x

C x x x f C x x

x x f C dx x

x f x dx x

x f

) ( )

( )

( ln

)

2 3

3 2

e e

f

ln ) ( 0 3

8 ) 2 (

x f x f x x

) (

) ( ' ) ( 2 ) ( '  2  2 

2

2 )

( 1

2

1 9

f C

f

Tính được

3

2 ) 1 (  

Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên 1 ; 3 thỏa mãn điều kiện

(

e

Z b a b a

) (

) ( ' ) (

) ( ' 2 ) (

) ( ' ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) (

x f

x f x f

x f x f

x f x f x x

f x f

' 2

) (

1 ) (

1 ) ( 3

x f x f x

 3 2 ( 1 )3

3

1 ) (

1 ) (

1 ) ( 3 1

x f C

) (

1 3

1 1

3 ln )

(

b a b

a x

dx dx

1 ) ( '' )

) ( ' ( ) 1 ) ( '' ( 9 9 )

x f x

x f x

f x

x f

f

x x

f'(1) 91 91 

x x f x

x x f C

9 )

( ' 9

1 9

9 )

( ' ) 0 ( ) 1

x dx x f f

Ví dụ 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ( 0 ; 1 ) thỏa mãn điều kiện

b f

dx x

f

x x

2 sin 2 cos

4

3 

C 3 b4ab a D 3 4a ab b

Hướng dẫn:

Từ giả thiết ta có:

) ( ' ) ( 2 4 )

( ' ) ( 2 4 )

( 2 4 )

2 2

2 2

2

) ( )

(

4 )

(

) ( ' ) ( 2 )

x x

f

x x x

f

x f x x xf x

x x x

x dx

x f

x x

6

2

2

) (sin

cos sin 4 cos sin )

(sin

2 sin 2 cos sin

f x

f

x dt x f

x dx

x f

x x dt t f

t t

I

4 3 2

1 4 1 2

3 4

3 2

1 2 3 ) ( )

( )

(

4 )

(

3

2 1

' 2 2

3

2

2 2

) ( ' )

x v

x v x

v

3.3.2 Phương pháp

+ Chuyển giả thiết về dạng ( )

) ( 2

) ( '

x g x v

x v



+ Sử dụng công thức (4) ta có  v(x)' g(x)

+ Lấy nguyên hàm hai vế được v(x) g(x)dx

+ Suy ra hàm số cần tìm và thực hiện yêu cầu bài toán

A 83 B 7 C 13 D 73

Hướng dẫn:

) ( 2

) ( ' )

( 2 ) (

x f

x f x

f x

A 158 B 32 C 34 D 1528

Hướng dẫn:

x f

x f x

x f

x f x

f x f

) ( 2

) ( ' 4

) ( 4

) ( ' 0 ) ( ' ) (

15

28 )

( 1

) ( 1 1

2

) (

) ( ' )

( ) ( ' )

( )

(

x f

x f x

f e x f x

f e x

3

0 3 3

) ( ) (

1 )

(

) ( '

3 3

3 3

0

3 3

20  C

2

1 5

x f x

2

4 1 ) ( 4 2

3 1

) ( 4

) ( ' 4 4

) 4 ( 4 16

2

4 1 )

Hướng dẫn:

Từ giả thiết ta có     1

) ( 4

) ( ' ) ( )

( 4 ) ( ' ) (

2 2

x xf x f x f x

xf x f

x x xf

x xf x

x xf

x xf x f x x

xf

x xf

x

) ( 2

) ( 1

) ( 2

) ( ' ) ( 1 )

(

4

) ( '

xf( ) '  1

Lấy nguyên hàm 2 vế được  dx xC

x x

xf( ) 1 2

Có

x

x x

f x

x xf C

f( 1 )  1    1  ( )  2  1  ( ) (2 1)2

Tính được

4

9 ) 4 ( 

g

0

) ( 2 1 ) ( biết g(x)  f(x)3, x0 ; 1 Tích phân

x f x F dt

t f x F

x

) ( 2 1

) ( ' 1

) ( 2 1

) ( )

( ) ( ) ( 2

1

3 3

x F x

F

x f x

f x g x F

x F dx

dx x F

x F x

F

x

F

) ( 2 1 ) ( 2 1 2

1 )

( 2 1

) ( ' 1

) (

) ( 2 1

) ( ' )

x F x

h nên hàm số nghịch biến trên 0 ; 1

3 )

( 2 1

3

4 )

) ( 1 cos ) ( ' ).

x x f x x

f x



f

+ Suy ra hàm số cần tìm và thực hiện yêu cầu bài toán

Hướng dẫn:

2 2

).

( ' 2

e x f

2 ).

( '

x e

A 92 B 458 C 112 D 154

Hướng dẫn:

2 1 )

3

2 ).

( ' ).

( 3 0 ) (

2 ).

( '

x f

x e

x f

3

Có f( 0 )  1  C 0  f3 (x) x2  1  f(x)  3 x2  1

7

0 2 7

3

x f x xf

x x

x

5

1 ) (x dx

( ) ( ' ln ) (

3 3

x f x xf

x x

x f x

f x xf

x x

x f

x e

x e

x

x f x e

x

x f x xf x f x xf

x

x f x

x f x

x f x

( ' )

( 3

3 )

(

) (

) ( ) ( ' ) ( ) (

'

Lấy nguyên hàm 2 vế được e x x C

x f



 2

2 ) (

Có

2

1 ln ) ( 2

1 2

1 0

)

1

) (

x e

C

x f

1 ln

2 2 2

x v x x du xdx dv

x u

12 13 ln 13 1

5 2

1 ln

2

1

2 2

b

a dx x f x

( là phân số tối giản Tính a 3b

A 6123 B 12279 C 6125 D 12273

Hướng dẫn:

Từ giả thiết ta có:

1 2 ) (

).

1 4 (

) ( 1

4 ) ( ' ).

(

3f x f x  xef x x x   f x e f x  e f x  x e x x  e x x

 3 ' 3 ( ) 2 ' 2 2 1

) 1 2 ( )

12285 )

( ) 1 4 ( 4 4089 1

a dx

x f x

) ( ' )

(

ln '

x u

x u x

3.5.2 Phương pháp

+ Chuyển giả thiết về dạng ( )

) (

) ( '

x g x u

x u

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) luôn nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên

1 ; 2 thỏa mãn điều kiện f( 1 )  1 và f' (x)  3f(x)  0 Tính f( 2 )

A e3 B e2 C e D 0

Hướng dẫn:

) (

) ( ' 0 ) ( 3 ) (

x f

x f x

f x f

Suy ra ln f(x)'  3

Lấy nguyên hàm 2 vế được ln f(x) 3dx  3xC

) ( 3 3 ) ( ln 3 1

x f x

f x x f x

f x x

) ( 1

) ( ' ))

( 1 ( 2 ) ( ' 0 )) ( 1 ( 2 ) (

x

) (

1

) (

x f x f x e x f x f e x xf x

) (

) ( ' ) ( ) 2 ( ) ( ' ) ( )

( 2 ) (

Suy ra ln f(x)' e x 2x



Lấy nguyên hàm 2 vế được ln f(x) e x 2xdxe x  x2 C

) 2 ( )

( 1 )

( ln 1 1

III KẾT LUẬN

1 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Thực tế cho thấy, với cách phân loại các dạng toán như trên đã tạo được chohọc sinh sự nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm được thời gian hơntrong quá trình giải toán Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn tronghọc tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, gắn kết tư duy lí luận với thực tiễn.Cách làm trên đã đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh Sau khi

đã được ôn tập những dạng toán cơ bản và phương pháp, học sinh đã tự giảiđược những bài tập tương tự, nhất là những bài tập nằm trong các đề thi thử củacác trường THPT Hiệu quả trong học tập của học sinh đã được nâng lên rõ rệt

Để có được bài viết trên, tôi đã phải nghiên cứu rất nhiều tài liệu và kiểmchứng qua một số nhóm học sinh có học lực giỏi và khá trong các lớp12 ởtrường tôi như lớp 12A, 12B, 12D năm học 2019 - 2020

Với 5 bài toán trong hệ thống bài tập tự luyện ở trên, mỗi lớp tôi đã chọn ra hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tôi cho làm sau khi triển khai bài viết, nhóm II: tôi cho làm trước khi triển khai bài

viết, thời gian làm bài là 20 phút Kết quả thu được cụ thể thể hiện ở bảng sau:

sinh

Số học sinh có lời giải đúng 0-2 câu

Số học sinh có lời giải đúng 3-5 câu

0 câu 1-2 câu 3-4 câu 5 câu NHÓM I

Lớp 12A

Lớp 12D

Lớp 12K

152015

000

352

376

987

432

101510

123

000 Qua bảng thống kê ta thấy cách làm trên thể hiện được sự hiệu quả vượt trội

2 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên nắmchắc cơ sở lý thuyết, chủ động trong việc tìm tòi cách giải mới, kế thừa và pháthuy những kiến thức có sẵn một cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải vàđưa ra hệ thống các bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh, hướng dẫn họcsinh vận dụng hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng một cách có hệ thốngthì sẽ tạo được điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng vớiviệc thực hành giải toán hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tínhchủ động và sự sáng tạo trong việc học của học sinh

Đề tài đã được tác giả tâm huyết nghiên cứu, đầu tư kĩ lưỡng cả về chấtlượng, nội dung và hình thức, rất mong hội đồng KH nghành xét duyệt và phổ