Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp trong hai tính chất của số tổ hợp để giải một số bài toán nhị thức newton

Vì vậy, người ta đã kết hợp lý thuyết nhị thức Newton với các công cụ đạo hàm, tích phân để đưa ra rất nhiều bài toán khó về tổng các số tổ hợp, mà chúng xuất hiện nhiều trong đề thi Đại

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2 1 Cơ sở lí luận của sáng kiến 2

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 3

2 3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề 3

2.3 1 Hệ thống kiến thức liên quan 3

2.3.2.Một số ví dụ vận dụng ……… 3

2.3.3 Hệ thống bài tập tự luyện………11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến 12

3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 13

3.1 Kết luận 1 3

3.2 Kiến nghị 1 4

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Trước đây chương Đại số tổ hợp là chương cuối cùng của chương trình Giải

tích lớp 12 Khi đó học sinh đã được học qua các công cụ mạnh như đạo hàm, tích phân Vì vậy, người ta đã kết hợp lý thuyết nhị thức Newton với các công cụ đạo hàm, tích phân để đưa ra rất nhiều bài toán khó về tổng các số tổ hợp, mà chúng xuất hiện nhiều trong đề thi Đại học – Cao Đẳng

Hiện nay chương Đại số tổ hợp được xếp vào cuối học kì 1 của lớp 11 Do

đó, theo truyền thống, muốn giải được các bài toán trên học sinh phải đợi đến cuối năm học lớp 11( lúc được học về đạo hàm) và cuối năm học lớp 12( lúc được học tích phân) Tuy nhiên trong sách giáo khoa lớp 11 có viết đôi bài về các tổng chứa số tổ hợp đơn giản Điều này khiến cho những học sinh ham tìm hiểu quan tâm đến các bài toán dạng này trong các tài liệu tham khảo, cùng với thực tế là mỗi năm có một nhóm học sinh lớp 11 hỏi về các bài toán dạng này Mỗi lần như vậy, việc phải trả lời các em rằng sau này các em mới có đủ kiến thức để giải làm lòng tôi thấy áy náy vì chưa làm thỏa mãn tính hiếu học của các

em Chính vì vậy, với mong muốn có thể đáp ứng được sự ham học hỏi của học

sinh lớp 11 khi học về nhị thức Newton, tôi nghiên cứu và viết đề tài “Kinh

nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng nét đẹp trong hai tính chất của số tổ hợp để

giải một số bài toán nhị thức Newton’’ Hi vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ

ích cho giáo viên và học sinh

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh bài

toán nhị thức Newton , từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm bài, nhằm đạt được kết quả cao nhất

Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng để

học sinh có thể đưa ra hướng giải tự nhiên và phù hợp với kiến thức được học

của học sinh lớp 11 hiện nay đối với những bài toán có liên quan đến việc tính tổng của số tổ hợp ngay cả khi chưa học về đạo hàm, tích phân

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Kiến thức về nhị thức Newton

- Kiến thức về đạo hàm, tích phân của hàm số

- Học sinh lớp 11A, 12A năm học 2019 – 2020 trường THPT Nga Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp

- Sử dụng phương pháp thực nghiệm

- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề tài

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Hai tính chất của số tổ hợp

1 1



0





2.1.2 Đạo hàm của một số hàm số cơ bản

+)  C / 0 +) u v / u/v/

+)  x / 1 +)  / / /

uv u v uv

+)  n / . n 1 , n 1

x n x  n N

   +)  n / .u / n 1 ,n 1

u n u  n N

2.1.3 Nguyên hàm của một số hàm số cơ bản

1

x













1

1

u













2.1.4 Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn a b;  Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của

( )

f x trên đoạn a b;  Khi đó:  ( )         

a a

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách “ Sử dụng nét đẹp trong hai tính chất của số tổ hợp để giải một số bài toán nhị thức Newton” là rất cần thiết vì các lí

do sau:

Thứ nhất: Môn Toán đã có sự thay đổi trong việc viết sách giáo khoa: Ngày

trước chương Đại số tổ hợp là chương cuối cùng của chương trình Giải tích lớp

12 nay chương Đại số tổ hợp được xếp vào cuối học kì 1 của lớp 11, từ đó đòi hỏi học sinh lớp 11 phải giải một bài toán liên quan đến tính tổng của số tổ hợp

mà chưa được phép sử dụng công cụ đạo hàm, tích phân

Thứ hai: Ngoài việc trực tiếp giải quyết các dạng bài tập thì học sinh cần nắm

vững kiến thức về đạo hàm, tích phân … và nhiều kiến thức có liên quan khác Trong bài viết này, tôi đưa ra một số bài toán nhị thức Newton có liên quan đến tính tổng của số tổ hợp , thấy kết quả đạt tốt và phù hợp đối với các đối tượng học sinh trường tôi

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan

Các khai triển cơ bản:

1 n 0 1 2 2 3 3 n n

x C xC x C x C x C

Với x 1, ta có: 0 1 2 3 n 2n

C C C C  C  1 n 0 1 2 2 3 3  1n n n

Với x 1, ta có: 0 1 2 3  1n n 0

C  C C  C    C 

20 22 24 22n 21 23 25 22n 1 22n 1

Hai tính chất :

1 , 1



11   

, 0





2.3.2 Một số ví dụ áp dụng

1 Sử dụng tính chất 1

1

kC nC 



 trong một số bài toán nhị thức Newton Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước các số tổ hợp có dạng:

 Tăng dần từ 1, 2,3, , n hoặc giảm dần từ n n,  1,n 2, , 2,1 Tức là các hệ số của khai triển có dạng k

n

kC

 Là tích của các số tự nhiên liên tiếp: 1.2;2.3;3.4; ;n 1  n Tức là các hệ số

của khai triển có dạng  1 k

n

 Hoặc các hệ số có thể biến đổi để đưa về các dạng trên

Các bước thực hiện:

 Chứng minh tính chất k k 11   1 



Thật vậy:

1 1

1 !

!

n n n







 Áp dụng 1 lần hoặc nhiều lần tính chất   để đưa tổng cần tính về tổng đơn giản

Ví dụ 1 2 Rút gọn tổng sau: 1 2 2 3 3 n

S C  C  C  nC

Phân tích: Nhận thấy, hệ số đứng trước các số tổ hợp tăng dần từ 1, 2,3, , n nên chúng ta có thể xử lí bài toán theo hai cách: bằng phương pháp đạo hàm hoặc sử dụng tính chất   để giải quyết bài toán.Cụ thể từng cách giải như sau:

Lời giải

Cách 1: Sử dụng phương pháp đạo hàm

Ta có: 1 n 0 1 2 2 3 3 n n, ,

Đạo hàm bậc nhất hai vế, suy ra:

1 n 1 1 2 2 3 2 3 n 1 n, ,

n x  C xC x C nx C x n 

Cho x 1, ta được: 1 1 n 1 1 2 2 3 3 n,

Khi đó: 1 2 2 3 3 n 2n 1

Cách 2: Sử dụng tính chất của số tổ hợp

Số hạng tổng quát của tổng có dạng k

n

kC

Áp dụng tính chất   ta có: k k 11, 1 



Khi đó:  0 1 1 1 2 1 n 11 1 1n 1 2n 1

Nhận xét:

 Cách thứ nhất khá phổ biến, mang tính chất truyền thống nhưng học sinh thường lúng túng khi đưa ra nhị thức Newton cần khai triển để áp dụng, nhất là đối với các tổng phức tạp hơn cần sử dụng đạo hàm cấp 2, cấp 3, Mặt khác,

trong chương trình học: bài “ Nhị thức Newton ’’ học trước chương “ Đạo hàm ” nên muốn giải bài toán này theo cách 1 thì học sinh phải học chương

Đạo hàm ở cuối chương trình Đại số & Giải tích 11.

 Cách thứ hai phù hợp với nội dung chương trình đang học, tự nhiên hơn và

áp dụng được nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp hơn.

Ví dụ 2 3 Tìm số nguyên dương n 5  n  thỏa mãn:

Phân tích: Để tìm n, trước hết ta phải rút gọn được tổng vế trái Số hạng tổng

quát ở VT chưa có dạng k

n

kC , tuy nhiên bằng phép biến đổi đơn giản ta có thể đưa về các tổng mà số hạng tổng quát có dạng trên.

Lời giải

Số hạng TQ của tổng VT là: 3 2 k 3 k 2 k, 0 

Như vậy, VT sẽ được tách thành 2 tổng đơn giản hơn:

Theo bài ra ta có:

1

5

5

n n

n n

n

n





 



 

Vậy: n 7 là giá trị cần tìm

Nhận xét: Sau khi tách VT thành 2 tổng đơn giản, chúng ta sẽ tính được tổng

các số hạng ở VT theo n, sau đó ta sẽ tìm được n bằng cách đồng nhất hai vế của phương trình.

Ví dụ 3 3 : Tìm số nguyên dương n sao cho:

2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 4.2 2 1 2 1 2 n 2n 1 2021

Lời giải

Áp dụng tính chất   ta có:   1  

2k 1 2 1 2k , 1 2 1

2n1 1 2   2n 2n1

Ví dụ 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

Theo bài ra, ta có: 2n 1 2021 n1010

Nhận xét: Tương tự như ví dụ 3, chúng ta rút gọn tổng VT rồi giải phương trình

bậc nhất để tìm n.

Ví dụ 4 3 : Tính các tổng sau

a 1 2.1 2 3.2 3 4.3 4  1 n

2 1 2020 2 2020 3 2020 2020 2020

c 3 1.2.3 3 2.3.4 4 3.4.5 5  2  1 n

Phân tích: Các tổng trên, mỗi bài một dạng, giúp chúng ta thành thạo hơn trong

việc áp dụng tính chất của số tổ hợp để tính các tổng phức tạp, cụ thể cách tính của từng bài như sau:

Lời giải

a Số hạng tổng quát trong tổng có dạng  1  k

n

k  k C

Áp dụng tính chất   liên tiếp hai lần ta có:

Khi đó:

1  1  0 2 1 2 2 2 n 22  1 1 1  n 2  1 2 n 2

b Số hạng tổng quát trong tổng có dạng 2

2020 k

k C

Ta có: k C2 2020k k k 1C2020k kC2020k 2020k 1C2019k1 2020C2019k1

2020.2019C2018k2 2020C2019k1 , 2 k 2020

2 2020 2020.2019 2018 2018 2018 2018

 1 2 2019

2019 2019 2019

2020.2019 1 1  2018 2020 2020 1 1   2019  1

2020.2019.22018 2020.22019 2020.2021.22018

c Số hạng tổng quát trong tổng có dạng  2  1  k

n

Áp dụng tính chất   liên tiếp ba lần ta có:

3 3

k n





n n 1 n 2 1 1  n3 n n 1 n 2 2 n3

Nhận xét: Nhìn vào các số hạng của tổng , ta xác định số hạng tổng quát và áp

dụng tính chất   để biến đổi Tùy thuộc vào từng bài toán, chúng ta có thể áp

Ví dụ 2,3,4 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

dụng tính chất   liên tiếp hai, hoặc ba lần để được dãy tổng đơn giản và quen thuộc Từ đó, chúng ta dễ dàng rút gọn và tính các tổng đã cho theo yêu cầu của bài toán.

Ví dụ 5 3 : Chứng minh rằng, n 

   ta có:

 1 2  2 2  2

2 1

Phân tích: Bài toán này nếu dùng đạo hàm ta thấy rất khó và phức tạp nhưng

sử dụng tính chất   thì bài toán được giải quyết một cách nhẹ nhàng.

Lời giải

Số hạng tổng quát trong tổng ở VT có dạng  k 2,1

n

Áp dụng tính chất   ta có:  2 1

1 k k k k k, 1



 0 1 1 2 1   1 1 2 2 0 

1 1 n 1 n n1 n1 1 n

Đẳng thức cần chứng minh trở thành:

1 1 2 2 0  

Việc chứng minh đẳng thức (I) không mấy khó khăn Thật vậy:

Xét khai triển 1 xn1 1 xn 1 x2n1

Trong khai triển 1 xn1 1 xn

  hệ số của x n là

 

1 1 1 1

Trong khai triển 1 x2n1

 hệ số của x n là 2n 1  2

n

C 

Từ  1 và  2 suy ra đẳng thức  I được chứng minh, tức đẳng thức ban đầu

được chứng minh

Nhận xét: Trong bài toán trên, sau khi áp dụng tính chất   ta còn sử dụng tính chất k n k, 0 

   và mảng kiến thức “ Đồng nhất hệ số” trong

khai triển nhị thức Newton để xử lí bài toán Đây là mảng kiến thức hay được dùng để giải các bài toán tính tổng các số tổ hợp phức tạp, dạng toán này cũng

đã xuất hiện trong đề thi HSG cấp tỉnh của tỉnh Thanh Hóa.

2 Sử dụng tính chất 1 1 11







  trong một số bài toán nhị thức Newton

Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước các số tổ hợp có dạng:

, , , ,

2 3 4 n 1 , tức là các hệ số của khai triển có dạng 11

k n

C

k 

Ví dụ 5 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3

  

, , , ,

1.2 2.3 3.4 n n 1 Tức là các hệ số của khai triển có dạng  

1 1

k n

C

k k 

 Hoặc các hệ số có thể biến đổi để đưa về các dạng trên

Các bước thực hiện:

0





Thật vậy:

1 !

k n

n n

C



11  

1

0 1

k n

n







 Áp dụng 1 lần hoặc nhiều lần tính chất   để đưa tổng cần tính về tổng đơn 

giản

Ví dụ 6 4 : Tính tổng

2020 2020 2020 2020

Phân tích: Nhận thấy, hệ số đứng trước các số tổ hợp có dạng 1 1 12 3 4, , , ,20211

nên chúng ta có thể xử lí bài toán theo hai cách: bằng phương pháp tích phân hoặc sử dụng tính chất   để giải quyết bài toán.

Lời giải

Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân

Ta có:  2020 0 1 2 2 3 3 2020 2020

1x C xC x C x C  x C

1x dx C xC x C x C  x C dx

0 0

0 2020 2020 2020 2020 2020

1

S C



Cách 2: Sử dụng tính chất của số tổ hợp

Số hạng tổng quát trong tổng có dạng 2020

1

k

C

k 

Áp dụng tính chất   ta có:  2020 1

2021

1

1 2021

k

k

C

k





2021 2021

2021 2021 2021

Nhận xét:

 Cách thứ nhất khá phổ biến, mang tính chất truyền thống nhưng học sinh thường lúng túng khi đưa ra nhị thức Newton cần khai triển để áp dụng, đồng thời sau khi đưa ra biểu thức để lấy tích thì việc chọn cận cũng gây nhiều khó

khăn cho các em Mặt khác, trong chương trình học: bài “ Nhị thức Newton ’’

được học ở chương trình Đại số & Giải tích 11, còn “Tích phân” thì phải đến kì

2 của chương trình Giải Tích 12 học sinh mới được học, hai mảng kiến thức cách nhau khá xa về mặt thời gian nên dễ gây ra những khó khăn nhất định cho học sinh.

 Cách thứ hai phù hợp với nội dung chương trình đang học, tự nhiên hơn và

áp dụng được nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp hơn.

Ví dụ 7 2 : Chứng minh rằng

2

n n



Phân tích: Hệ số đứng trước các số tổ hợp có dạng 1 1 1, , , , 1

2 4 6 2n nên chúng ta

sẽ xử lí bài toán bằng cách áp dụng tính chất   , nhưng khi áp dụng chúng 

ta sẽ chọn giá trị của k là những số lẻ, cụ thể như sau:

Lời giải

Số hạng tổng quát của VT có dạng 2  

1

, 1;3;5; ;2 1 1

k n

Áp dụng tính chất   ta có:  2 2 11  

, 1;3;5; ;2 1





1

n

đpcm

Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, số hạng tổng quát trong tổng đã cho có dạng

1

1

k

n

C

k  ,vì vậy, có thể áp dụng ngay tính chất   Trong trường hợp nếu số hạng tổng quát của tổng chưa có dạng đó thì cần biến đổi trước khi áp dụng tính chất Cụ thể, ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 6 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4

Ví dụ 8 2 : Tính tổng 1 20 1 22 1 24 1 22

n

n



Lời giải

Số hạng tổng quát trong tổng có dạng 1 22

k n

C

k 

Biến đổi số hạng tổng quát và áp dụng tính chất   ta có:

Vậy:



Nhận xét: Trong tổng trên, số hạng tổng quát trong tổng đã cho chưa có dạng

1

1

k

n

C

k  , vì vậy, để có thể áp dụng tính chất  , ta cần phải biến đổi số hạng tổng quát bằng cách “thêm, bớt” hệ số của số hạng, từ đó ta được dãy tổng các

số tổ hợp quen thuộc để xử lí và tính tổng đã cho.

Ví dụ 9 3 : Tính tổng

n

S

n



Phân tích: Bài toán này nếu dùng tích phân ta thấy rất khó và phức tạp nhưng

sử dụng tính chất   thì bài toán được giải quyết một cách nhẹ nhàng.

Lời giải

Số hạng tổng quát trong tổng có dạng

2 ,0 1

k n

C

k n k

 



Áp dụng tính chất   ta có: 

Ví dụ 7,8 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2

   

2

2

,0

k

n

C

Khi đó:

2

1

1

n

 Xét khai triển: 1 xn1 1 xn1 1 x2n2

Trong khai triển 1 xn1 1 xn1

  hệ số của x n 1 là:

 

Trong khai triển 1 x2n2

 hệ số của x n 1 là: 2n 12  2

n

C 



Từ    1 , 2 suy ra:

1 2 1 1 0 1

C C C C  C  C C 

1 1 n 1 21 n 11 n11 01 2n 12 1

C C C C  C  C C 

Vậy:

2 2 2

1

1 1

n n

n







Nhận xét: Trong bài toán trên, sau khi áp dụng tính chất   ta còn sử dụng 

tính chất k n k, 0 

   và mảng kiến thức “ Đồng nhất hệ số” trong

khai triển nhị thức Newton để xử lí bài toán.

Thông qua các phương pháp và các ví dụ tương ứng chúng ta thấy, không có

phương pháp nào là Vạn năng, mỗi phương pháp có những ưu điểm riêng, có

những bài toán ta cần sử dụng kết hợp nhiều phương pháp với nhau để tìm ra lời giải và kết quả một cách nhanh nhất Dưới đây là hệ thống bài tập tự luyện

để củng cố thêm kĩ năng xử lí các bài toán tính tổng các số tổ hợp cho học sinh.

2.3.3.Hệ thống bài tập tự luyện

Bài tập 1: Rút gọn các tổng sau 0 2 1 3 2 4 3  1 n

Bài tập 2: Chứng minh rằng

Bài tập 3: Tìm hệ số của x14 trong khai triển 8

2

1 n

x x



  , biết rằng:

Ví dụ 9 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3