Trong chương trình Đại Số 10 các em được học cách xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai đây là một trong những nội dung quan trọng của đại số lớp 10.. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với mon
Trang 1I MỞ ĐẦU
1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong năm học 2019- 2020 tôi được phân công lên giảng dạy ở trường T.H.P.T Quan Sơn trong đó có khối 10 Trong quá trình giảng dạy các em tôi thấy rất nhiều em có học lực trung bình, một số em có học lực yếu và khá; Vì thế trong quá trình dạy học tôi thấy các em thiếu rất nhiều thứ như kiến thức cơ bản,
kỹ năng, kỹ xảo giải quyết các bài toán và đang còn thụ động ít sáng tạo trong quá trình học tập và rèn luyện
Trong chương trình Đại Số 10 các em được học cách xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai đây là một trong những nội dung quan trọng của đại số lớp 10 Với cách hướng dẫn như trong SGK thì tôi thấy còn khá dài dòng, chưa đơn giản làm mất nhiều thời gian của các em Tôi thấy đó là một bất cập cần khắc phục và nhu cầu cấp thiết hiện nay là phải có những cách làm đơn giản hơn, dễ hiểu hơn, tiết kiệm thời gian làm bài mà lại có hiệu quả cao đối với các em
2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Với mong muốn giúp các em xét được dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai một cách nhẹ nhàng hơn, dễ làm hơn so với cách của SGK nên tôi
mạnh dạn chọn "Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT Quan Sơn xét dấu
nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai" Qua nội dung này tôi mong các em
đặc biệt là những em có học lực yếu, trung bình, khá xét dấu được nhị thức bậc nhất và nhị thức bậc hai đồng thời cải thiện cách làm, tăng thêm kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải toán của các em
3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
+ Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;
+ Thống kê, xử lý số liệu;
+ Tổng hợp kiến thức đã có
Trang 2II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
+ Đối với sáng kiến "Hướng dẫn học sinh lớp 10 trường THPT Quan
Sơn xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai" Ta cần nắm vững một số
kiến thức cơ bản sau:
+ Cách tìm tập xác định của hàm số, biểu thức (hoặc điều kiện xác định của hàm số, biểu thức);
+ Cách giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn;
+ Cách xét dấu hàm số, biểu thức
Cụ thể:
+ Muốn tìm tập xác định của hàm số ta cần nhớ hàm số được xác định khi nào? như biểu thức ở mẫu của hàm phân thức phải khác 0,
+ Để giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai một ẩn ta xem lại cách giải ở trang 58 SGK Đại số 10
+ Cách xác định dấu của một hàm số, biểu thức là bước rất quan trọng Để làm tốt được ta cần ghi nhớ kiến thức sau:
*1: Cách lập bảng xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
*2: Khi biết f(x) mang cùng một dấu trên khoảng K Muốn biết f(x) âm hay dương ta chỉ việc lấy một điểm x0 bất kỳ trên khoảng K thay x x 0 vào f(x) nếu f(x0) dương thì kết luận f(x) dương trên khoảng K và ngược lại nếu f(x0)
âm thì f(x) âm trên khoảng K
*3:Hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên khoảng K và phương trình f(x) = 0 có các nghiệm x1, x2, , xm khác nhau trên K = (a; b) với x1< x2< < xm
ta có lưu ý sau:
+ Nếu tại nghiệm x i có số nghiệm dạng x i 2n 1, i1,m, n��thì trên mỗi khoảng lân cận (bên phải, bên trái) của điểm x i mang dấu khác nhau
+ Nếu tại nghiệm x i có số nghiệm dạng x i 2n, i1,m, n�� (ta quy ước gọi là nghiệm bội) thì trên mỗi khoảng lân cận của điểm x i mang cùng một dấu
Sau khi xác định được dấu của f(x) muốn lấy nghiệm của bất phương trình đã cho thì chỉ cần dựa vào yêu cầu của bài toán như: f(x) > 0; f(x) � 0; f(x) < 0; f(x) � 0 để suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy khi học sinh xét dấu nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai nếu chỉ dùng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và định
lí về dấu của tam thức bậc hai thì chưa đủ còn dài dòng, chưa nhanh gọn và đặc
Trang 3biệt là nếu lập bảng xét dấu ở một số bài toán thì mất rất nhiều thời gian làm bài của các em
2.3 Một số giải pháp
Trước hết ta cần nắm vững định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai
I Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất (Đại số 10).
Nhị thức f x( ) ax+b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong
khoảng ( b; )
a
�, trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng ( ; b)
a
�
Bài toán: Xét dấu nhị thức f(x) = ax + b
Giải:
+ Phương trình f(x) = 0 có nghiệm x b
a
+ Để xét dấu nhị thức ta có thể trình bày theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Lập bảng xét dấu f x( )
a
Cách 2: Dùng trục số
Ghi nhớ: Khoảng lớn hơn nghiệm của nhị thức cùng dấu với hệ số a, khoảng bé
hơn nghiệm của nhị thức trái dấu với a
Vận dụng: Xét dấu các nhị thức sau
a) f x( ) 2 x 3; b) f x( ) 4x 5
Giải:
a) f(x) = 0 có nghiệm 3
2
x và có hệ số a = 2 > 0 nên Cách 1: ta có bảng xét dấu f x( )
Cách 2: Ta có trục xét dấu f x( )
Kết luận
b a
Trái dấu với a Cùng dấu với a
3 2
Trang 42
2
f x � � �x
b) f(x) = 0 có nghiệm 5
4
x và có hệ số a = -4 < 0 nên Cách 1: Ta có bảng xét dấu f x( )
4
-Cách 2: Ta có trục xét dấu f x( )
Kết luận:
5
4
4
f x � �x �
II Định lí về dấu của tam thức bậc hai: (Đại số 10)
Cho f x( ) ax 2 bx c a ( � 0), b2 4ac
+ Nếu 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x��;
+ Nếu 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x b
a
+ Nếu 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x x 1 hoặc x x 2, trái dấu với
hệ số a khi x1 x x2 trong đó x x x1, (2 1x2) là hai nghiệm của f(x).
Bài toán: Xét dấu tam thức f x( ) ax 2 bx c a ( � 0)
Khi đó ta có hai cách trình bày
Cách 1: Dùng bảng xét dấu
+ Nếu 0 tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi x
f(x) Cùng dấu với hệ số a
+ Nếu 0Khi đó tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi
2
b x a
�
2
b a
f(x) Cùng dấu với hệ số a 0 Cùng dấu với hệ số a
+ Nếu 0Tam thức có hai nghiệm x x1 ; 2 Khi đó tam thức cùng dấu với
hệ số a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm và tam thức trái dấu với hệ số a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm
f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
Cách 2: Dùng trục số
+ Nếu 0 tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi x
5 4
Trang 5-+ Nếu 0Khi đó tam thức cùng dấu với hệ số a với mọi
2
b x a
�
+ Nếu 0Tam thức có hai nghiệm x x1 ; 2 Khi đó tam thức cùng dấu với hệ số a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm và tam thức trái dấu với hệ số a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm
Áp dụng: Xét dấu các tam thức sau
Giải: Chúng ta sẽ giải các câu trên theo cả hai cách
a) Ta có 9 0nên f(x) có hai nghiệm x 1,x 2 và a 1 0 nên ta có bảng xét dấu sau:
Vậy f x( ) 0 � � �x ( ; 2) (1; � � ) và f x( ) 0 � �x ( 2;1)
Hoặc ta trình bày theo cách sau:
Ta có 9 0nên f(x) có hai nghiệm x 1,x 2 và a 1 0 nên ta trục xét dấu sau:
Vậy f x( ) 0 � � �x ( ; 2) (1; � � ) và f x( ) 0 � �x ( 2;1)
b) Ta có 7 0 và a 2 0 nên ta có bảng xét dấu
Vậy f x( ) 0 với ��x
Hoặc 7 0 và a 2 0 nên ta có trục xét dấu
Vậy f x( ) 0 với ��x
c) Ta có 16 0 nên f(x) có hai nghiệm x 1,x 3 và a 1 0 nên ta có bảng xét dấu sau:
-Vậy f x( ) 0 � �x ( 1;3) và f x( ) 0 � � �x ( ; 1) (3; � � )
Cùng dấu với hệ số a
1
Trái dấu với a
Cùng dấu với hệ số a 2 Cùng dấu với hệ số a
b a
2
-+
Trang 6Hoặc ta trình bày theo cách sau:
Ta có 16 0 nên f(x) có hai nghiệm x 1,x 3 và a 1 0 nên ta có trục xét dấu sau:
Vậy f x( ) 0 � �x ( 1;3) và f x( ) 0 � � �x ( ; 1) (3; � � )
d) Ta có 0 và a 4 0 nên ta có bảng xét dấu sau:
2
Vậy f x( ) 0 với ( ; 1) ( 1; )
x� � � �
Hoặc có 0 và a 4 0 nên ta có trục xét dấu sau:
Vậy f x( ) 0 với ( ; 1) ( 1; )
x� � � �
Nhận xét: Đối với cách lập bảng và cách dùng trục số đều có ưu nhược điểm
của nó như: Dùng bảng số thì ta biết được dấu của từng hàm số thành phần trong hàm số f(x) và biết được hàm số f(x) xác định hay không xác định tại điểm x0 (
0
x là nghiệm của hàm số thành phần) nhưng cũng có nhược điểm là dùng bảng thì cồng kềnh trong các bài toán gồm nhiều hàm số thành phần, còn đối với trục
số thì ta không thể hiện được dấu của hàm số thành phần và không thể hiện rõ hàm số có xác định hay không xác định tại x0 nhưng nếu chỉ xét dấu không thì cách làm này lại ngắn ngọn đơn giản Vậy tùy vào từng bài toán cụ thể mà ta dùng bảng số hay trục số
Bây giờ ta vận dụng dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai giải một số bài toán.
Bài 1 Giải bất phương trình 2x2 3x � 5 0
Hướng dẫn:
+ Xét phương trình 2
5
1
x
x
�
�
��
� + Xét dấu f x( ) 2 x2 3x 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x2 3x � 5 0 là ( ; 5] [1; )
2
1 2
5 2
1
-+
Trang 7Nhận xét:
+ Phần không gạch chéo là phần nghiệm của bất phương trình Ngoặc vuông tại điểm nào thì lấy nghiệm tại điểm đó, ngoặc tròn là không lấy
+ Do bất phương trình trên lấy nghiệm bằng 0 nên tại điểm x 25;x1 ta để
ngoặc vuông hướng về phía tập nghiệm chứa điểm đó của bất phương trình nếu không lấy bằng 0 thì ta để ngoặc tròn hướng về tập nghiệm kề nó
+ Đối với những bài toán đơn giản chỉ cần xét dấu của biểu thức thì tôi thường bảo các em dùng trục số cho nhanh
+ Tam thức bậc hai f x( ) có hai nghiệm phân biệt thì trong trái, ngoài cùng (tức trong khoảng hai nghiệm f x( ) trái dấu với hệ số a, ngoài khoảng hai nghiệm ( )
f x cùng dấu với hệ số a)
Bài 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm
trái dấu
3x (m 2m 5)x m 2m 8 0
Hướng dẫn:
Phương trình trên là một tam thức bậc hai để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì a.c<0
Yêu cầu bài toán tương đương với m2 2m 8 0
Vậy m� ( 4;2)
Bài 3 Giải bất phương trình 3x2 x 4 0
Hướng dẫn:
Do 47 0 và a = -3<0 nên 3x2 x 4 0 với ��x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( � � ; )
Bài 4 Giải hệ bất phương trình sau
2
2 0
x
x x
�
�
�
Hướng dẫn:
Để giải hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình và lấy nghiệm chung của chúng
* Giải x 2 0
x � x
Xét dấu:
Vậy nghiệm của x 2 0 là ( 2; � )
* Giải x2 3x � 4 0
2 3 4 0 4; 1
x x � x x
Xét dấu:
Vậy nghiệm của x2 3x � 4 0 là ( � ; 4] [1; � � )
Kết hợp nghiệm:
Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là [1; � ).
4
2
4
4
(2
Trang 8Bài 5 Tìm m để bất phương trình 2mx2 2(m 1)x 3m 1 0 đúng với ��x Hướng dẫn:
Đặt f x( ) 2 mx2 2(m 1)x 3m 1
TH1: m =0 thì bất phương trình đã cho tương đương 2 1 0 1
2
Vậy m = 0 loại
TH2: m�0 Khi đó để f x( ) 2 mx2 2(m 1)x 3m �� 1 0, x thì �� ��m 00
5
m
Vậy m 15 thỏa mãn đề ra
Chú ý: Rất nhiều em không xét trường hợp 1 mà sử dụng điều kiện của trường
hợp 2 luôn Trường hợp 2 chỉ được sử dụng khi hệ số của x2 đã khác không
Bài 6 Xét dấu đa thức f x( ) (2 x 1)( x2 3x 10)
Hướng dẫn:
2
Khi đó ta có các cách trình bày
Cách 1: lập bảng xét dấu
2 3 10
x x
-( )
-Vậy f x( ) luôn dương với mọi x thuộc ( ; 2) ( ;5)1
2
( )
f x luôn âm với mọi x thuộc ( 2; ) (5;1 )
2
Cách 2: vẽ trục số
Vậy f x( ) luôn dương với mọi x thuộc ( ; 2) ( ;5)1
2
( )
f x luôn âm với mọi x thuộc ( 2; ) (5;1 )
2
Chú ý:
+ Dấu của f x( ) là tích của dấu hai biểu thức thành phần 2x 1 và x2 3x 10 + Để xác định dấu của f x( ) trong một khoảng nào đó ta chọn một điểm đại diện
0
x trong khoảng đó rồi thay vào f x( ) nếu f x( ) dương thì khoảng đó mang dấu dương, nếu f x( ) âm thì khoảng đó mang dấu âm Tôi thường chọn khoảng chứa các giá trị đặc biệt như chứa 0; 1; 2; …
2
Trang 9+ f x( ) 0 có 3 nghiệm 1; 2; 5
2
x x x (không có nghiệm bội) nên các khoảng lân cận nhau mang dấu trái nhau
Bài 7 Giải bất phương trình x 1 2x � 1 x 3 0.
Hướng dẫn:
Để giải bất phương trình này ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối Muốn phá ta dùng định nghĩa của trị tuyệt đối (bài này không bình phương hai vế được)
( )
f x khi f x
f x
f x khi f x
�
�
�
Vì bài toán này có chứa hai dấu trị tuyệt đối nên ta dùng bảng để phá trị tuyêt đối và giải bất phương trình Đặt f x( ) x 1 2x 1 x 3
Dựa vào bảng trên ta thấy:
+ Nếu x 12 thì f x( ) 4x 3
Yêu cầu bài toán tương đương 4 3 0 3
4
Kết hợp đk 1
2
x thì 1
2
x thỏa mãn (1) + Nếu 1 1
� � thì f x( ) 5 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán (2)
+ Nếu x 1 thì f x( ) 2 x 3
Yêu cầu bài toán tương đương 2 3 0 3
2
x �۳ x
Kết hợp đk x 1 thì x 1 thỏa mãn (3)
Từ (1), (2), (3) tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( � � ; )
Nhận xét: Từ bài toán này ta thấy để giải bài toán chứa nhiều dấu trị tuyệt đối ta
nên dùng bảng để phá dấu trị tuyệt đối
Bài 8 Giải bất phương trình: 21 3 0
x x �
Hướng dẫn:
ĐK x ��2
Đặt ( ) 21 3
f x
( )
x
f x
( )
x
f x
x x
Yêu cầu bài toán tương đương tìm x để f x �( ) 0 � 3 5 0
x
x x
1 0 0 555
Trang 10Giải phương trình: 3 5 0 5
3
(x 2)(x 2) 0 � x 2;x 2 Xét dấu f x( )
Dựa vào trục số tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( ; 2) [ 5;2)
3
Nhận xét: Bài toán dạng này ta nên dựa vào trục số để xét dấu f(x) thay vì lập
bảng xét dấu
Bài 9 Xét dấu phân thức ( ) ( 2 1)(22 2 1)
f x
x x
Hướng dẫn:
Giải phương trình (x2 1)(2x2 x 1) 0 � x � 1
x2 4x 3 0 � x 1;x 3
Xét dấu f x( )
Vậy f x( ) 0 khi x� � ( ; 3) (1; � � )
f x( ) 0 khi x� ( 3; 1) ( 1;1) �
Nhận xét:
+ Nhiều em thấy cả tử và mẫu có x 1 chung nên đơn giản � Kết luận sai vì tại
1
x biểu thức f x( ) không xác định
+ Theo quy luật ở các bài toán trước lân cận khoảng dương là khoảng âm, lân cận khoảng âm là khoảng dương � sẽ sai ở bài toán này (những em lập bảng xét dấu sẽ ít sai hơn) Khi dùng trục số ta thấy cả tử và mẫu đều có nghiệm
1
x Trong trường hợp này ta coi x 1 là nghiệm bội của biểu thức f x( ) vì vậy khoảng lân cận bên trái và bên phải của -1 mang cùng một dấu
Bài 10 Xét dấu biểu thức f x( ) ( x2 4)(2x2 x 10)
Hướng dẫn:
Giải phương trình x2 4 0 � x � 2
2
x x � x x
Xét dấu f x( )
2
( ) 0 ( 5; 2)
2
f x � �x
Nhận xét: f x( ) có nghiệm bội tại x 2 nên khoảng bên trái và bên phải của 2 mang cùng một dấu
Bài 11 Tập nghiệm của bất phương trình 3x2 �x 10 0 là
2
3
2 )
3
5 2
Trang 113
3
B S 5
3
Hướng dẫn:
3
Xét dấu tam thức 3x2 x 10
Vậy tập nghiệm của bất phương trình 3x2 �x 10 0 là [ 5;2]
3
S � đáp án A
Bài 12 Tập nghiệm của bất phương trình ( x 2)(x2 �x) 0 là
( ;0] [1;2]
A S � � B S [0;1] [2; � � )
( ;0) (1;2)
C S � � D S (0;1) (2; � � )
Hướng dẫn:
Giải phương trình ( x 2)(x2 x) 0 � x 2;x 0;x 1
Xét dấu biểu thức ( x 2)(x2 x)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình ( x 2)(x2 �x) 0 là S [0;1] [2; � � ) � đáp
án B
Bài 13 Tập nghiệm của bất phương trình
2
0
2 2
2
B S
2 2
2
D S
Hướng dẫn:
2
x x x � x x x
( 2 1)(2 2 3) 0 1; 3
2
Xét dấu biểu thức
2
5 3
3
3 2
1 2 2
(
Trang 12Vậy tập nghiệm của bất phương trình
2
3 1
2 2
Nhận xét:
+ Bất phương trình không xác định tại 1; 3
2
x x nên khi lấy nghiệm cần loại
bỏ các giá trị này
+ Dùng trục số những bài toán dạng này xét dấu nhanh hơn dùng bảng xét dấu
Bài 14 Gọi S là tập hợp các số nguyên thỏa mãn
x x x x x x � Tính số phần tử của S
.3
Hướng dẫn:
Phương trình x x( 1)(x 2) ( 2 x 3) ( 3 x 4) ( 4 x 5) 5 0có nghiệm
x x x x x x trong đó có các nghiệm x 2;x 4 là nghiệm bội (có số nghiệm chẵn)
Xét dấu biểu thức x x( 1)(x 2) ( 2 x 3) ( 3 x 4) ( 4 x 5) 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình x x( 1)(x 2) ( 2 x 3) ( 3 x 4) ( 4 x 5) 5 � 0 là
[0;1] [3;5] � � S {0;1;3;4;5} vậy đáp án C.
Nhận xét: -Đối với bài toán dạng này nhiều em không biết lấy dấu của biểu thức
như thế nào Các em chỉ cần ghi nhớ nếu biểu thức có nghiệm bội tại x=4 thì khoảng bên trái và bên phải 4 mang cùng một dấu, còn không phải nghiệm bội thì làm như cũ
Bài 15 Cho hàm số f x( ) như hình vẽ Gọi S là tập hợp các số nguyên dương thõa mãn f x �( ) 0 Tính số phần tử của S
.7.
Hướng dẫn:
f x � � � �x � S {1;2;3;4} Vậy đáp án B.
0
x
y
0 2
( )
f x