Khai thác tính chất nghiệm để giải một số bài toán biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức – giải tích lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC TÍNH CHẤT NGHIỆM ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP HỢ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC TÍNH CHẤT NGHIỆM ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI

HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC – GIẢI TÍCH 12

Người thực hiện: Nguyễn Hữu Các Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2020

MỤC LỤC Trang

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp thực hiện 4

2.3.1 Một số kiến thức cơ bản về nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức 4

2.3.2 Một số ví dụ về việc biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức bằng cách khai thác tính chất của nghiệm 5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 14

2.4.1 Trước khi thực hiện sáng kiến kinh ghiệm…… ……… …14

2.4.2 Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm……… ……….14

3 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 14

TÀI LIỆU THAM KHẢO 16

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Toán học là một trong những môn đòi hỏi sự tư duy sáng tạo và việc linh hoạt trong việc vận dụng các kiến thức cơ bản, học sinh muốn học tốt cần phải hiểu được bản chất của các vấn đề, biết cách khai thác và vận dụng các tính chất cơ bản để vận dụng giải các bài tập Mặt khác bài tập toán rất đa dạng và phong phú, trong phân phối chương trình số tiết ôn tập lại không nhiều so với nhu cầu luyện tập các dạng bài tập cho học sinh Chính vì thế, giáo viên khi giảng dạy cần phải định hướng cho học sinh cách khai thác các tính chất cơ bản một cách tốt nhất, hiệu quả nhất nhằm giúp các em có định hướng trong việc giải bài tập Hướng dẫn cho học sinh định hướng khai thác các tính chất cơ bản

sẽ tạo cho học sinh có cảm giác mình đã giải được bài toán, tạo cho học sinh niềm say mê, sự hứng thú và yêu thích môn học

Trong các đề thi trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi những năm gần đây, các câu hỏi có liên quan tới việc biện luận phương trình bậc hai và phương trình quy về bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức rất

đa dạng và phong phú, đồng thời nhóm câu hỏi này thường nằm trong các câu hỏi thuộc nhóm câu hỏi vận dụng hay vận dụng cao Gặp những câu hỏi liên quan đến chủ đề này học sinh thường lúng túng trong việc hiểu rõ yêu cầu của bài toán về điều kiện của nghiệm, chưa phân biệt được khái niệm môđun và khái niệm giá trị tuyệt đối Giúp học sinh cách vận dụng các tính chất cơ bản vào việc giải toán là một trong những phương pháp giảng dạy giúp học sinh tự tìm tòi và sáng tạo trong việc lĩnh hội tri thức nhanh nhất và hiệu quả nhất Qua thực tế những năm giảng dạy ở trường trung học phổ thông tôi đã tìm tòi và nghiên cứu việc khai thác tính chất nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức nhằm giúp học sinh giải được các dạng bài tập khó về chủ đề này Vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để

nghiên cứu là: “Khai thác tính chất nghiệm để giải một số bài toán biện

luận phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức – Giải tích lớp 12”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích của đề tài này là giúp các em học sinh hiểu được tính chất nghiệm, và giải được một số bài toán có liên quan tới việc biện luận phương trình bậc hai và phương trình quy về bậc hai với hệ số thực thông qua việc khai thác các công thức nghiệm và tính chất của nghiệm Từ đó các em có thể phân loại và đưa ra các phương pháp giải các bài tập liên qua tới phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức một cách nhanh nhất, chính xác và đạt hiệu quả cao nhất

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài “Khai thác tính chất nghiệm để giải một số bài toán biện luận

phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức – Giải tích lớp 12” tập trung nghiên cứu hệ thống các kiến thức trọng tâm về công thức

nghiệm và các tính chất cơ bản của nghiệm phương trình bậc hai trên tập hợp

số phức nhằm tìm ra định hướng giải một số bài toán về biện luận phương trình bậc hai và phương trình quy về bậc hai với hệ số phức trong chương trình giải tích lớp 12 THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

1.4.1 Nghiên cứu lí luận.

- Nghiên cứu cơ sở lí luận để làm sáng tỏ các tính chất về nghiệm để nhằm tìm

ra định hướng giải toán, áp dụng để giải các dạng bài tập liên quan tới phương trình trên tập số phức nói riêng và bài tập toán nói chung

1.4.2 Nghiên cứu thực tiễn.

- Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa và tìm hiểu chương trình giả tích lớp 12 THPT, nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan để xác định các dạng bài tập có liên quan tới phương trình bậc hai và quy về bậc hai trên tập hợp số phức

Từ đó xác định các kiến thức về tính chất nghiệm của phương trình bậc hai, và các kiến thức liên quan để vận dụng giải các bài tập nhanh và chính xác nhất

1.4.3 Thực nghiệm sư phạm

- Tiến hành giảng dạy song song với việc tìm hiểu các học sinh lớp 12 trường THPT Hoằng Hoá 4 – Hoằng Hoá – Thanh Hoá Trên cơ sở phân tích định tính

và định lượng kết quả thu được trong quá trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp do đề tài sáng kiến đưa ra

- Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm: Từ tháng 08 năm 2019 đến tháng 06 năm 2020

- Địa điểm: Trường THPT Hoằng Hoá 4 – Hoằng Hoá – Thanh Hoá

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

- Đề tài “Khai thác tính chất nghiệm để giải một số bài toán biện luận

phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức – Giải tích lớp 12” đã đưa ra định hướng giải bài toán biện luận phương trình bậc hai và

phương trình quy về bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức thông qua việc khai thác tính chất nghiệm

- Từ cách khai thác này giúp các em học sinh có thể phân loại và đưa ra phương pháp giải phù hợp để giải một số dạng bài tập thường gặp về biện luận phương trình trên tập số phức trong các đề thi Tốt nghiệp THPT quốc gia

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Việc dạy học toán học trong nhà trường phổ thông không chỉ giúp học sinh hiểu được sâu sắc và đầy đủ các kiến thức toán học phổ thông mà còn giúp các em vận dụng các kiến thức đó giải quyết nhiệm vụ của bài tập toán Để đạt được điều đó, học sinh phải có những định hướng đúng đắn nhất trong việc giải toán Kỹ năng khai thác các tính chất cơ bản để tìm ra định hướng giải toán là thước đo độ sâu sắc và vững vàng những kiến thức toán mà học sinh đã được học

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Qua thực tế khảo sát học sinh các lớp trực tiếp giảng dạy và học sinh các khối lớp trong trường tôi nhận thấy việc định hướng tìm ra lời giải của học sinh tương đối thụ động, phụ thuộc vào giáo viên giảng dạy, đặc biệt việc giải các bài toán khó còn rất hạn chế Khi gặp một dạng bài tập toán học sinh thường lúng túng trong quá trình phân tích, phân loại dạng bài tập và sử dụng kiến thức liên

quan để giải quyết bài toán đó Các tài liệu tham khảo hiện có thường chỉ giải một số bài tập cụ thể, vì vậy học sinh không áp dụng được cho các dạng bài tập

ở dạng tương tự Các năm gần đây, để phân loại học sinh trong các đề thi thường xuyên xuất hiện một số câu hỏi khó về biện luận phương trình trên tập số phức Khi gặp những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải sử dụng nhiều kiến thức toán học kết hợp với bản chất về nghiệm của phương trình bậc hai trên tập số phức mới đưa ra cách giải nhanh và chính xác Xuất phát từ thực trạng đó tôi đã

viết đề tài “Khai thác tính chất nghiệm để giải một số bài toán biện luận

phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức – Giải tích lớp 12” nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về dạng toán này, phân loại và

đưa ra các phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài tập, giúp học sinh khắc sâu kiến thức và vận dụng để giải quyết được các câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong đề thi THPT quốc gia

2.3 Các giải pháp thực hiện.

2.3.1 Một số kiến thức cơ bản về nghiệm của phương trình bậc hai với hệ

số thực trên tập hợp số phức.

a.[1] Công thức nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai az2 bz c 0a b c, , ;a0;z 

Xét  b2  4ac, ta có

+)TH1  0 : phương trình có nghiệm thực 2

b x

a



+)TH2.  : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức0

1,2

2

b

z

a

  



+)TH3.  : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức0 1,2

| | 2

b i

z

a

  



b [1].Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai az2 bz c 0a b c, , ;a0;z có hai nghiệm z z1, 2 (nghiệm thực hoặc nghiệm phức)

Ta có hệ thức Vi–ét

1 2

1.z2

b

S z z

a c

P z

a









c.[3] Một số tính chất nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực

Tính chất 1. Nếu phương trình bậc hai

az bz c  a b c, , ;a0; z

có hai nghiệmz z1, 2 không phải là số thực thì khi đó hai nghiệm này là hai số phức liên hợp với nhau

Tính chất 2. Nếu phương trình bậc hai

az bz c  a b c a z

có một nghiệm là z thì 0 z cũng là một nghiệm của nó.0

Lưu ý:

+) Nếu z là số phức thì z gọi là môdun của số phức z

+) Nếu z là số thực thì z gọi là giá trị tuyệt đối của số thực z

2.3.2 Một số ví dụ về việc biện luận phương trình bậc hai và quy về bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức bằng cách khai thác tính chất của nghiệm.

Ví dụ 1.[9]: Cho phương trình z2 bz c 0, (z  Tìm các số thực b, c để) phương trình trên nhận z   là một nghiệm.1 i

Phân tích bài toán:

+) Bài toán này có thể làm bằng cách thay nghiệm vào phương trình để tìm b, c +) Tuy nhiên nếu ta sử dụng tích chất 2 và định lý vi-et thì sẽ cho ra kết quả nhanh hơn, rất phù hợp cho việc thi trắc nghiệm hiện nay

Bài giải:

Do phương trình z2 bz c 0, (z  có hệ số là số thực và có nghiệm là số) phức không phải là số thực, nên z   là một nghiệm thì 1 i z0    cũng là z 1 i

một nghiệm của phương trình

Áp dụng định lý vi-et ta có

0 0



Vậy b2;c 2

Ví dụ 2.[9]: Cho phương trình 4z2 4(m 1)z m  2 3m0, (z  Tìm các số) thực m để phương trình trên có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau) z z thỏa1, 2 mãn z1  z2  2

Phân tích bài toán:

+) Cái khó của bài toán này là học sinh chưa hiểu rõ được điều kiện z1  z2 2 , vì vậy thường sẽ xét thiếu trường hợp

+) Đối với bài toán này cần phân biệt cho học sinh ký hiệu z khi nào gọi là

môdun; khi nào gọi là giá trị tuyệt đối

Bài giải:

Phương trình 4z2 4(m 1)z m  2 3m0 (1), (z  có ' 4)   m 4

+)TH1: ' 0   m  Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm 1 z z không là1, 2

số thực

Do đó z1z2  z1 z2 Khi đó

2

z  z   z   z   z z 

Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có

2

1 2

3 4

z z  

1

4 4

m

m







 (không thỏa mãn điều kiện m   )1

+)TH2: ' 0   m Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm thực1

1 2 1

z z  , suy ra z1  z2  Vậy 2 m  thỏa mãn điều kiện.1

+)TH3: ' 0   m  Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm thực 1 z z 1, 2

Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có

1 2

2

1 2

1 3 4

z z

  











Khi đó ta có

2

1 2 2 ( 1 2) 4 1 2 1 2 2 4

z  z   z  z   z  z z  z 

m  m m  m

2

3

khi m m

m

m khi m m

Vậy giá trị m cần tìm là m3;m 1

Ví dụ 3.[9]: Giả sử số thực m a b  20 ( ,a b là các số nguyên khác 0) là một

số thực sao cho phương trình 2z 2 2(m 1)z 2m 1 0, (z      có hai nghiệm) phức phân biệt z z thỏa mãn 1, 2 z1  z2  10 Tìm số nguyên a

Phân tích bài toán:

+) Đây là bài tập tương tự như Ví dụ 2; thông qua ví dụ này để củng cố và khắc sau cho học sinh dạng toán trên, cũng như rèn luyện kỹ năng hiểu đề bài trong các bài toán trắc nghiệm

+) Lưu ý yêu cầu của bài là hai nghiệm phức phân biệt.

Bài giải:

Phương trình 2z 2 2(m 1)z 2m 1 0, (z      có )  ' m2  6m 1

+)TH1:   ' 0 3 10 m 3 10 Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm

1, 2

z z không là số thực

Do đó z1z2  z1 z2 Suy ra z1  z2  10

2

Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có 1 2

2

m

z z  

2

m

m



(thỏa mãn điều kiện )

+)TH2:

3 10 ' 0

3 10

m m

  

   

 

 Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm thực

1, 2

z z Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có

1 2

1 2

1

2

m

z z

  









Khi đó ta có

2

1 2 10 ( 1 2) 10 1 2 1 2 2 10

z  z   z  z   z  z z  z   (z z )1 2 2  2z z1 22 z z1 2 10 (1 m)2  (2m 1) 2  m 1 10

2 2



Đối chiếu với điều kiện suy ra m  3 20

Vậy có hai giá trị m cần tìm là m2;m 3 20 Theo yêu cầu của bài toán thì m a b  20, vậy giá trị a cần tìm là a  3

Ví dụ 4.[9]: Cho phương trình z2  3 z m 2 2m0, (z  Tìm các số thực)

m để phương trình trên có nghiệm phức z thỏa mãn 0 z 0 3

Phân tích bài toán:

+) Đây cũng thuộc dạng toán phải chia các trường hợp của để xét bản chất của nghiệm (nghiệm thực hay không là nghiệm thực)

+) Để giải bài tập này học sinh phải vận dụng linh hoạt các tính chất nghiệm của phương trình trên

Bài giải:

Phương trình z2  3 z m 2 2m0, (z ) (1)có  ' 4m2 8m 3

+)TH1:

Khi đó phương

trình (1) có nghiệm thực z Khi đó 0

0 0

0

3 3

3

z z

z





+) Với z 0 3, thay vào phương trình (1) ta được m2  2m  (vô nghiệm)6 0

+) Với z 0 3, thay vào phương trình (1) ta được

2

m

m







+)TH2:

2

2

2

m

m











Khi đó phương trình (1) có nghiệm phức không phải là số thực z Khi đó 0 z0 cũng là nghiệm của phương trình (1)

Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có

2

0 0 2

z z m  m

0

1

3

m

m





 (thỏa mãn) Vậy các giá trị m cần tìm là m  1;0;2;3

Ví dụ 5.[9]:

Cho phương trình 9z2 6z 1  m0, (z  Gọi S là tổng các giá trị thực của)

m để phương trình trên có nghiệm phức z thỏa mãn 0 z  Tính tổng S ? 0 1

Phân tích bài toán:

+) Đây là bài tập tương tự như Ví dụ 4; thông qua ví dụ này để củng cố và khắc sau cho học sinh dạng toán trên, cũng như rèn luyện kỹ năng hiểu đề bài trong các bài toán trắc nghiệm

Bài giải:

Phương trình 9z2 6z 1  m0, (z ) (1)có ' 9m 

+)TH1: ' 0   9m 0 m Khi đó phương trình (1) có nghiệm thực 0 z 0

Khi đó

0 0

0

1 1

1

z z

z





   



+) Với z  , thay vào phương trình (1) ta được 0 1 m  (thỏa mãn)16

+) Với z  , thay vào phương trình (1) ta được 0 1 m  (thỏa mãn)4

+)TH2: ' 0   m 0

Khi đó phương trình (1) có nghiệm phức không phải là số thực z Khi đó 0 z0 cũng là nghiệm của phương trình (1)

Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có

0 0

1

9

m

z z   0 2 1 1

(thỏa mãn)

Vậy các giá trị m cần tìm là m  8;4;16 , suy ra tống các giá trị của m là 12

S 

Ví dụ 6.[9]: Tìm các số thực m để phương trình z4 mz2 2m , (z0  ) không có nghiệm thực

Phân tích bài toán:

+) Đây là dạng phương trình bậc 4 trùng phương tuy nhiên xét trên tập hợp số phức (z  vì vậy một số học sinh sẽ lúng túng trong cách xử lý bài toán.) +) Bản chất của vấn đề thì tương tự như việc biện luận phương trình bậc 4 trùng phương trên tập hợp các số thực

Bài giải

Đặt z2  , khi đó phương trình t z4 mz2 2m0 (1)trở thành

t mt m Phương trình (1) không có nghiệm thực khi:

+)TH1: Phương trình (2) không có nghiệm thực, tương đương với

      

+)TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm thực âm, tương đương với

     





Vậy giá trị m cần tìm là m  0