KINH NGHIỆM GIÚP học SINH lớp 12 GIẢI QUYẾT bài TOÁN tỉ số THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

Đặc biệt từ năm học 2016 – 2017, kỳ thi THPT Quốc gia thidưới hình thức trắc nghiệm, những học sinh sử dụng kết quả môn Toán để xétĐại học – Cao đẳng cần phải làm được câu hỏi ở mức độ v

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rấtquan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quátrình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiếnthức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ vàđộng cơ học tập đúng đắn Thực tế dạy và học cho thấy còn có nhiều vấn đề cầnphải giải quyết như học sinh học hình còn yếu, đặc biệt là khi phải vẽ thêmđường phụ, chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo, trong quá trình giải toán hìnhhọc không gian Đặc biệt từ năm học 2016 – 2017, kỳ thi THPT Quốc gia thidưới hình thức trắc nghiệm, những học sinh sử dụng kết quả môn Toán để xétĐại học – Cao đẳng cần phải làm được câu hỏi ở mức độ vận dụng, đặc biệt lànhững câu hỏi vận dụng về tỉ số thể tích khối đa diện trong hình học không gian

Để làm được câu hỏi dạng này đòi hỏi học sinh ngoài việc học tốt kiến thức vềhình học không gian còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp, kỹ thuật

để từ đó quy bài toán khó về dễ và phù hợp với kiến thức mình đang có, đặc biệt

là kỹ năng phân tích, xác định phương pháp và tính toán nhanh để đạt được yêucầu kiến thức lẫn thời gian của một câu hỏi trắc nghiệm

Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm,cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, tác giả trăn trở về vấn đề này

nên chọn đề tài “Kinh nghiệm giúp học sinh lớp 12 giải quyết bài toán tỉ số thể tích khối đa diện” để giúp các em có hướng làm bài hiệu quả hơn mà rút

ngắn được thời gian

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh hình thành tư duy sáng tạo trong giải quyết bài toán tỉ sốthể tích khối chóp, tỉ số khối lăng trụ và tỉ số khối hộp Qua đó kích thích họcsinh tìm tòi, phát hiện và tạo hứng thú trong quá trình học môn Toán Học sinhbiết cách áp dụng vào để giải các bài toán tỉ số thể tích khối đa diện trong các đềthi THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi

Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏiđồng nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhàtrường và cơ sở phát động

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số vấn đề như sau:

Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm tỉ số thể tích khối đa diện trong khônggian

1.3.1 Tỉ số thể tích khối chóp

1.3.2 Tỉ số thể tích khối lăng trụ

1.3.3 Tỉ số thể tích khối hộp

Ngoài ra đối tượng khảo sát chính là các em học sinh của lớp 12A1; 12A2Trường THPT Sầm Sơn.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Vấn đề tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung thể tích khối đa diệntrong hình học không gian ở chương trình hình học 12 Ngoài ra phải bổ trợthêm các kiến thức về hình học không gian lớp 11 cũng như kiến thức về tỉ sốđoạn thẳng ở Toán lớp 8 Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các

kỹ năng suy luận, liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toánmới Các bài tập của đề tài được thiết kế theo một hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễđến khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huytính tích cực của học sinh Hệ thống bài tập giúp các em học sinh có thể tiếp cận

và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy,khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán vàtrình bày lời giải Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt hơn Trongquá trình giảng dạy nội dung tỉ số thể tích khối đa diện ở chương trình hình học

12 và ôn thi THPT Quốc gia, tôi thấy kỹ năng giải bài toán về tỉ số thể tích khối

đa diện của học sinh còn yếu, đặc biệt là các bài toán trắc nghiệm đòi hỏi thờigian ngắn, đa số học sinh bỏ qua Do đó cần phải giúp học sinh tiếp cận bài toánmột cách dễ dàng, thiết kế trình tự bài giảng hợp lí giảm bớt khó khăn giúp họcsinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo vàlĩnh hội kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài toán trắc nghiệm kháchquan, từ đó đạt kết quả cao nhất trong các kỳ thi

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Bài toán về tỉ số thể tích khối đa diện không phải là bài toán mới nhưng

do thiếu hụt kiến thức về hình học không gian lớp 11 nên nhiều học sinh gặpkhó khăn trong việc xác định thiết diện mặt cắt Qua thực tế giảng dạy, tôi nhậnthấy đa số các em còn lúng túng khi phân chia khối đa diện, chưa hiểu cách vận

dụng, phân tích, sâu chuỗi vấn đề đưa ra dạng bài toán liên quan, chưa khai tháctriệt để các tính chất, giả thiết của bài toán để đưa ra hướng giải quyết Để giảiquyết nhanh chóng và ngắn gọn dạng bài toán này các em cần tổng hợp và nắmvững kiến thức cơ sở của vấn đề này.

2.3 Giải pháp để giải quyết vấn đề

2.3.1 Cơ sở lý thuyết

Để tính tỉ số thể tích của khối đa diện bất kỳ, chúng ta thường nghĩ ngayđến việc chia khối đa diện đó thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thứctính như: Khối chóp

1 .3

V  B h

, khối lăng trụ V B h. , khối hộp chữ nhật V a b c . ,

…[1] rồi cộng các kết quả lại, sau đó lập tỉ số

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp việc tính thể tích của các khối chóp,khối lăng trụ gặp khó khăn do không xác định được đường cao hay diện tíchđáy, nhưng có thể sử dụng công thức tỉ số thể tích để giải quyết bài toán này

Trước hết ta có một số định lý tỉ lệ và kỹ thuật cơ bản sau

Kỹ thuật chuyển đỉnh (đáy không đổi)

Trường hợp song song đáy

V IA

Đỉnh 1 (A)

I Đỉnh 2 (B)

Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi)

Bài toán 1 [1] (Bài tập 4 trang 25 sách giáo khoa hình học 12 cơ bản)

Cho khối chóp S ABC. Trên các đoạn thẳng SA SB SC, , lần lượt lấy ba điểm

', ', '

' ' '

1

1 sin 2

H'

H A'

B' C'

Suy ra

' ' ' ' ' ' ' '

Từ (1) dễ dàng suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 2 Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành, một mặtphẳng  P cắt các cạnh SA SB SC SD, , , lần lượt tại A B C D', ', ', ' khác với S

a Xét ba mặt phẳng phân biệt SAC, SBD

I S

Trong trường hợp đáy là tứ giác ta có thể làm theo các bước sau:

Bước 1: Phân chia khối chóp tứ giác đã cho thành nhiều khối chóp tam giác Bước 2: Sử dụng công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác và kỹ thuật

chuyển đỉnh, kỹ thuật chuyển đáy để tính thể tích khối chóp tam giác

Bước 3: Kết luận các tính chất về thể tích của khối chóp tứ giác ban đầu.

A

B

C D

S

A'

D'

Kết quả (5) vẫn đúng trong trường hợp đáy là n- giác

Chứng minh tương tự bằng cách phân chia khối chóp thành các khối chóp tamgiác và áp dụng công thức (1)

Bài toán 3 Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ', một mặt phẳng  P cắt các cạnh

AA ',BB CC', ' lần lượt tại M N P, , Chứng minh

' ' '

1

ABC MNP ABC A B C

1

A BCPN ABC A B C

1.

A MNP ABC A B C

Bài toán 4 Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ', một mặt phẳng  P cắt các cạnh

AA ',BB CC DD', ', ' lần lượt tại M N P Q, , , Chứng minh

Tương tự OI là đường trung bình của hình thang BNQD

1 2

ABC A B C ABCD A B C D

V

nên

' ' ' '

1.

ABC MNP ABCD A B C D

1

ACD MPQ ACD A C D

1 2

ACD A C D ABCD A B C D

V

nên

' ' ' '

1

ACD MPQ ABCD A B C D

Từ các bài toán trên chúng ta đã có hệ thống các công thức cơ bản về tỉ

số thể tích khối đa diện, từ đó có thể giải quyết được một lớp bài toán từ dễ đến khó liên quan đến vấn đề này Sau đây, ta sẽ giải quyết hệ thống các bài toán từ

dễ đến khó thường hay gặp trong các kỳ thi THPT Quốc gia cũng như trong đề thi học sinh giỏi trong những năm gần đây Các bài toán này thường gặp khó khăn trong việc xác định chiều cao và diện tích đáy của khối chóp hoặc khối lăng trụ, do đó cần phải dùng công thức tỉ số thể tích đã được đề cập ở trên để giải quyết vấn đề.

2.3.2 Phân dạng bài tập theo mức độ và hướng dẫn giải

Mức độ nhận biết

Ví dụ 1 [4] (THPT Quỳnh Lưu 3 - Nghệ An năm 2018 - 2019)

Cho khối chóp S ABC. Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của SA SB SC, ,

Tỉ số thể tích

.

P

Ví dụ 2 [4] (THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam năm 2019-2020)

Trên các cạnh SA SB, của khối chóp S ABC. lần lượt lấy hai điểm A B', ' saocho

Đây là khối chóp tam giác nên sử dụng công thức (1)

ta có

' '

Ví dụ 3 [4] (THPT Lê Văn Thịnh – Bắc Ninh năm 2018 - 2019)

Cho hình chóp S ABCD. Gọi A B C D', ', ', ' theo thứ tự là trung điểm của

Vì A B C D', ', ', ' theo thứ tự là trung điểm của

1 8

Ví dụ 4 [4] (Đề thi khảo sát năng lực ĐHQG TPHCM năm 2018 - 2019)

Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi E F, lần lượt là trung điểm của

Đây là khối lăng trụ tam giác nên sử dụng công

A B C EBF A B C ABC

;Nên . ' ' '.

1 3

Ví dụ 5 [1] (Bài tập 11 – trang 27, sách giáo khoa hình học 12 cơ bản)

Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi E F, theo thứ tự là trung điểm của cáccạnh BB' và DD' Mặt phẳng CEF chia khối hộp trên làm hai khối đa diện.Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó

Phân tích

Đây là bài toán chúng ta chưa thể sử dụng công thức tỉ số thể tích khốihộp ngay, mà cần phải xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng CEF với hìnhhộp Sau đó sẽ sử dụng công thức (8) để suy ra kết quả bài toán Cụ thể như sau:

Hướng dẫn giải

Đây là hình hộp nên sử dụng công thức (7) ta có

ABCD A EF A ECF B C D ABCD A B C D

Vậy

' ' ' ' '

Ví dụ 6 [4] (Đề thi thử THPT Quốc gia lần 1 Sở Ninh Bình năm 2019-2020 )

Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB D' ' vàthể tích của khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' bằng

Đây là bài toán không phải xác định thiết diện mặt cắt, mà cần phải phânchia khối hộp thành tổng các khối chóp sao cho có thể thiết lập mối liên hệ tỉ sốthể tích với khối hộp Cụ thể như sau:

B ABCD B ABCD ABCD

A A B D DACD CB C D

Suy ra

' ' ' '

' ' ' '

ACB D ACB D

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N, lầnlượt là trung điểm của AD SC, và I là giao điểm của BM AC, Tính tỉ số thể tíchcủa hai khối chóp ANIB và S ABCD.

Bài toán đã xác định rõ hai khối chóp cần lập tỉ số, do đó với trường hợpnày ta không sử dụng công thức tỉ số mà sử dụng kỹ thuật chuyển đỉnh kết hợpvới kỹ thuật chuyển đáy để giải quyết Cụ thể như sau:

1 2

Ví dụ 8 [4] (Đề thi thử THPT Quốc gia Sở Đà Nẵng năm 2017 - 2018)

Cho khối chóp tứ giác đều S ABCD. Gọi M là trung điểm của SC, mặtphẳng  P chứa AM và song song với BD chia khối chóp thành hai khối đadiện, đặt V1 là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện

có chứa đáy ABCD Tính

1 2

V V

1 2

V

V  C

1 2

2 3

V

1 2

1 3

V

V  Phân tích

Bài toán chưa xác định rõ khối đa diện cần lập tỉ số, do đó trước hết phải

xác định thiết diện cắt bởi  P , rồi từ đó sử dụng công thức tỉ số thể tích (1) đểsuy ra kết quả bài toán Cụ thể như sau:

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của BD AC, , G là giao điểm

của SO AC, Khi đó G là trọng tâm SAC

Qua G kẻ đường thẳng song song BD cắt SB SD,

lần lượt tại N K, Khi đó   P  AKMN

Vì G là trọng tâm SAC nên

2 3

1 6

S AMK S ANM S ABCD

Ví dụ 9 [4] (Đề thi KSCL lớp 12 của THPT Chuyên Đại học Vinh năm 2020)

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là

V Gọi P là trung điểm của SC Mặt phẳng   chứa AP và cắt hai cạnh SD SB,lần lượt tại M N, Gọi V' là thể tích của khối chóp S AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa tỉ số

Trước hết, cần xác định thiết diện mặt cắt AMPN Sau đó, sử dụng côngthức tỉ số thể tích (4) để suy ra tỉ số, rồi sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánhgiá Cụ thể như sau:

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC BD, , I là giao điểm của

Ví dụ 10 [4] (Đề thi thử TN THPT Sở Hưng Yên năm 2020)

Cho tứ diện ABCD Hai điểm M N, lần lượt di động trên hai đoạn thẳng

BC và BD sao cho 6

BM BN  Gọi V V1 , 2 lần lượt là thể tích khối tứ diện

ABMN và ABCD Giá trị nhỏ nhất của

1 2

Bài toán đã xác định rõ hai khối tứ diện cần lập tỉ số, nên dễ dàng sử dụng

kỹ thuật chuyển đáy để thiết lập tỉ số Mặt khác, với tổng không đổi để tích nhỏnhất thì nghĩ ngay đến bất đẳng thức quen thuộc Cauchy để giải quyết Cụ thểnhư sau:

Hướng dẫn giải

Sử dụng kỹ thuật chuyển đáy ta có

1

Mức độ vận dụng cao

Ví dụ 11 [4] (Đề thi thử TN THPT Sở Thái Nguyên năm 2020)

Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ', M là trung điểm của C D' ', N là điểmtrên cạnh AD sao cho DN 2AN Mặt phẳng B MN'  chia khối hộp thành haiphần có thể tích lần lượt là V V1 ; 2 thỏa mãn V1 V2 Tỉ số

1 2

Trước hết ta cần xác định thiết diện mặt cắt để thấy rõ hai phần đa diệncần lập tỉ số Sau đó, phân chia khối đa diện thành tổng của các khối đa diện mà

có thể thiết lập tỉ số thể tích với khối hộp ban đầu Cụ thể như sau:

Hướng dẫn giải

Gọi I là giao điểm của BM A D, ' ' gọi P K,

là giao điểm của IN với DD AA', ' và Q là giao

điểm của KB AB', Khi đó thiết diện của hình

Ta có

3 '

Ví dụ 12 [4] (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa lần 1 năm 2018 - 2019)

Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC BD AC, , lần lượt lấy các điểm

1 2

V V

3 19

V

V  C

1 2

15 19

V

1 2

26 13

V

V  Phân tích

Đây là bài toán chưa xác định rõ hai khối đa diện cần lập tỉ số, do đó tacần xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng MNP với tứ diện Mặt khác, với tỉ sốxác định các điểm M N P, , ta thấy không tỉ lệ, nên không thể sử dụng định lý Ta-

let, do đó cần sử dụng định lý Menelaus để rút ra tỉ số các đoạn thẳng Sau đó,phân chia khối đa diện thành tổng các khối chóp để thiết lập mối liên hệ với tứdiện ban đầu Cụ thể như sau:

Hướng dẫn giải

Gọi I là giao điểm của MN CD, và Q là giao

điểm của AD IP, Khi đó thiết diện của tứ

diện ABCD là tứ giác MNQP

B

D

P

I J

2.3.3 Bài tập tự luyện

Bài tập 1 [4] (THPT Vĩnh Lộc lần 2– Thanh Hóa năm 2017 -2018)

Cho khối chóp đều S ABC. có SA3a, D thuộc cạnh SB và DB a Mặtphẳng   đi qua AD và song song với BC cắt SC tại E Tính tỉ số giữa thể tíchkhối tứ diện SADE và thể tích khối chóp S ABC.

Bài tập 2 [4] (Đề thi thử TN THPT Sở Hà Tĩnh năm 2020)

Cho khối tứ diện đều ABCD có thể tích V Gọi M là trung điểm của BC,

N là điểm thuộc cạnh CD thỏa mãn CN 2ND, G là trọng tâm của tam giác

ABD Mặt phẳng MNG chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1

là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A Tính

1

V V

Bài tập 3 [4] (Đề thi thử THPT Quốc gia của Sở GD&ĐT Đà nẵng năm 2017)

Cho khối lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M N, lần lượt là trung điểmcủa AB và AD, mặt phẳng C MN'  chia khối lập phương thành hai khối đadiện, đặt V1 là thể tích khối đa diện có thể tích nhỏ và V2 là thể tích khối đa diện

có thể tích lớn Tính

1 2

V V

13 23

V

V  C

1 2

1 2

V

1 2

25 47

V

V  .

Bài tập 4 [4] (Đề minh họa của Bộ GD&ĐT năm 2018 - 2019)

Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' có thể tích bằng 1 Gọi M N, lần lượt làtrung điểm của các đoạn thẳng AA' và BB' Đường thẳng CM cắt đường thẳng

Bài tập 5 [4] (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng năm 2018 - 2019)

Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA, 2a Haimặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với ABCD Một mặt phẳng  P qua

A và vuông góc SC, cắt các cạnh SB SC SD, , lần lượt tại B C D', ', ' Gọi V1 và V2

lần lượt là thể tích của khối chóp S AB C D. ' ' ' và khối đa diện ABCD D C B ' ' ' Tỉ số

Bài tập 6 [3] (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017)

Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a Gọi M N, lần lượt là trungđiểm của các cạnh AB BC, và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng

MNE chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diệnchứa đỉnh A có thể tích V Tính V

a

V 

.

2.4 Hiệu quả nghiên cứu

Tác giả đã thực hiện việc áp dụng cách làm này trong nhiều năm vớinhững mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng một khóa học hoặc giữa cáclớp ở các khóa học khác nhau

Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy ở lớp 12A2 năm học 2019-2020 ởTrường THPT Sầm Sơn Trong quá trình học đề tài này, học sinh thực sự thấy tựtin, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cáchnhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho họcsinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập,nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản, nhiều em vận dụng tốt ở từng bài