KỸ THUẬT tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của mô ĐUN số PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG mặt PHẲNG

Bìa chính Mẫu M11SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KỸ THUẬT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔ-ĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRO

Bìa chính (Mẫu M1(1))

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔ-ĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Nguyễn Thị Bích Huệ Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2020

MỤC LỤC

1 Mở đầu 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu ……….…………1

1.3 Đối tượng nghiên cứu ……….… 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 6

2.4 Hiệu quả sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 15

3 Kết luận, kiến nghị 17

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài.

Mục tiêu của Luật giáo dục 2019: “Mục tiêu giáo dục nhằm phát triển toàndiện con người Việt Nam có đạo đức, tri thức, văn hóa, sức khỏe, thẩm mỹ và nghềnghiệp; có phẩm chất, năng lực và ý thức công dân; có lòng yêu nước, tinh thần dântộc và chủ nghĩa xã hội; phát huy tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân;nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đáp ứng yêu cầucủa sự nghiệp xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và hội nhập quốc tế” [1]

Yêu cầu về phương pháp giáo dục của Luật giáo dục 2019: “Phương pháp giáodục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo củangười học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học và hợp tác, khả năng thựchành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” [1]

“Làm thế nào để phát huy tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân?”;

“Làm thế nào để phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo của người học?”

Đó là những câu hỏi tôi luôn băn khoăn, trăn trở trong quá trình giảng dạy

Vì vậy bên cạnh việc truyền đạt các kiến thức cơ bản thì việc tìm kiếm các kỹthuật dạy học mới phù hợp, giúp học sinh hứng thú, chủ động mở rộng, phát triểncác kiến thức là điều mà tôi luôn hết sức chú ý và chăm chút Đó cũng chính là lý

do tôi chọn đề tài: Kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số

phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Trong đề tài này, tôi xin phép được trình bày một số hướng phát triển, mởrộng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất mô-đun số phức dựa trên kỹ thuật giải là

áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bên cạnh đó cũng cần nói thêm rằng lớp đối tượng mà tôi giảng dạy chủ yếu

là các học sinh trung bình và khá, do đó tôi lựa chọn hướng phát triển từ từ, thíchhợp với đại đa số học sinh, đồng thời nó cũng là hướng mở để các học sinh khá,giỏi có thể phát triển bài toán hơn nữa

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Với lý do như trên thì mục đích nghiên cứu của đề tài là giúp học sinh tìm

hiểu, xây dựng và phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

mô-đun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Phân tích ưu, nhược

điểm và so sánh kỹ thuật này với các kỹ thuật giải khác

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất mô-đun của số phức, đặc biệt là kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtmô-đun của số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bên cạnh đó một đối tượng nghiên cứu khác vô cùng quan trọng chính là các

em học sinh của hai lớp 12A9 và 12A7 trường THPT Sầm Sơn mà tôi giảng dạy

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở

lý thuyết Ngoài ra còn có phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Sáng kiến kinh nghiệm này được xây dựng trên cơ sở các kiến thức cơ bản về

số phức kết hợp với các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.Các kiến thức cơ bản về số phức bao gồm:

+ Các định nghĩa cơ bản về số phức

+ Các phép toán về số phức

+ Các tính chất về mô-đun số phức

+ Các tính chất về biểu diễn hình học của số phức

Các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng bao gồm:

Tính chất 1: Trong hệ trục Oxy, cho đường thẳng  và một điểm A Điểm M

thuộc  sao cho khoảng cách MA ngắn nhất khi M là hình chiếu của A trên  Lúc đó: MAmin d A ; 

Tính chất 2: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn  C và một điểm A không thuộcđường tròn Điểm M thuộc  C sao cho khoảng cách MA lớn nhất, nhỏ nhất khikhi M là giao điểm của IA với đường tròn  C Lúc đó:

1) Trường hợp: A nằm trong đường tròn

min

MA  R IA ; MAmax  R IA

2) Trường hợp: A nằm ngoài đường tròn.

min

MA IA R ; MAmax  R IA

Tính chất 3: Trong hệ trục Oxy, cho Elip  E Điểm M thuộc  E sao cho khoảngcách OM lớn nhất, nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox;Oy với Elip Lúc đó:min

MO b - độ dài bán trục bé (khi M là giao điểm của Oy với elip),

max

MO a - độ dài bán trục lớn (khi M là giao điểm của Ox với elip)

Tính chất 4: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn  C và đường thẳng  không cắtđường tròn Điểm M thuộc  C , N thuộc  sao cho khoảng cách MN nhỏ nhấtkhi M N, lần lượt là giao điểm của đưởng thẳng d (qua I vuông góc với đườngthẳng  ) cắt đường tròn  C và đường thẳng  Lúc đó: MNmin d I ,   R

Tính chất 5: Trong hệ trục Oxy, cho hai đường tròn  C và C' không cắt nhau.Hai điểm M N, lần lượt thuộc hai đường tròn sao cho khoảng cách MN lớn nhất,nhỏ nhất khi M N, lần lượt là giao điểm của đưởng thẳng II' (đường nối tâm củahai đường tròn) với hai đường tròn Lúc đó:

min ' '

MN II R R  ; MAmax II R R'   '

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Số phức là một phần rất mới trong chương trình toán THPT (được đưa vàochương trình vào cuối năm lớp 12) Đây là một phần không khó, tuy nhiên khá lạ

do lâu nay học sinh đã quen với tập số thực, với lối tư duy trên tập số thực nênnhiều học sinh gặp khó khăn với các bài toán số phức, đặc biệt là các bài toán khó.Bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức là một bàitoán khó về số phức Cách giải thông thường của bài toán là áp dụng bất đẳngthức.Tuy nhiên, bất đẳng thức là cũng một phần khó trong chương trình toán họcphổ thông, lại được học từ giữa năm lớp 10 nên rất nhiều học sinh đã quên và gặprất nhiều khó khăn khi áp dụng Thêm nữa việc phát triển bài toán bằng bất đẳngthức là không dễ nhất là đối với các đối tượng học sinh mà tôi đang giảng dạy

Việc áp dụng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số

phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, bài toán được chuyển sang bài

toán hình giải tích trong mặt phẳng nên trực quan hơn, dễ dàng xử lý hơn Đặc biệt,chúng ta có thể mở rộng, phát triển bài toán theo nhiều hướng khác nhau, rất đadạng

Chúng ta cùng xem xét một ví dụ cụ thể như sau:

Ví dụ: Trong các số phức z thỏa mãn z1   z 1 2i , tìm số phức z sao cho

Khi đó: 2 2

3 1 1 3 2( ; )

2

1 1

IM d I     

Phương trình đường thẳng IM: x y  4 0

Tọa đôM nghiệm hệ

Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy khi tôi giới thiệu về các cáchgiải của bài toán thì phần lớn học sinh chọn cách giải thứ hai Hơn nữa, khi chúng

ta phát triển bài toán, phức tạp hóa các điều kiện hay yêu cầu thì việc sử dụng bấtđẳng thức trở nên khó khăn, nhiều bài toán không thể giải được Trong khi nếudùng theo cách giải thứ hai bài toán dễ phát triển mở rộng hơn

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Với thực trạng như trên, trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu các giải phápxây dựng và phát triển kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun sốphức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Dựa trên việc áp dụng các tính chất của phương pháp tọa độ trong mặt phẳngvào các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức, chúng ta

có thể phân chia bài toán thành các dạng như sau:

Dạng 1: Quy về tính khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm và và một điểm thuộc đường thẳng.

Chúng ta cùng bắt đầu với bài toán đầu tiên khá đơn giản:

Bài toán 1: Trong tất cả các số phức có dạng: z m (m1)i với m R , tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất [2]

Giải.

Gọi M m m ( ; 1) là điểm biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳng phức Oxy,khi đó M thuộc đường thẳng :x y  1 0

Ta có : z OM , OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên .

Khi đó:

2 ( ; )

biểu diễn cho số phức z thuộc một đường thẳng Chúng ta cùng xem xét bài toánthứ hai như sau:

Bài toán 2: Trong các số phức z thỏa mãn z1  z 1 2i , tìm số phức z có đun nhỏ nhất [2].

mô-Đối với bài toán này chúng ta đã thay thế điều kiện z m (m1)i bởi một điềukiện khác về mô-đun z phức tạp hơn là: z 1  z 1 2i Nhưng khi khai thác điềukiện này chúng ta được điều kiện tương đương với điều kiện đã cho trong bài toánban đầu

Ta có : z OM , OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên .

Bài toán 3: Trong các số phức z thỏa mãn z1   z 1 2i , tìm số phức z sao cho

Khi đó : z 3 i  z (3i) IM ,

Để IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên 

3 1 1 3 2( ; )

2

1 1

IM d I     

Phương trình đường thẳng IM: x y  4 0

Bài toán 4: Trong các số phức z thỏa mãn z1   z 1 2i , tìm số phức z sao cho

Ta có : iz2 i z  2i i z 2i  z 2i AM (với A(0; 2) là điểm biểu diễn cho sốphức 2i)

Để AM nhỏ nhất thì M là hình chiếu của A trên 

Tọa đôM nghiệm hệ

M thuộc một đường tròn Chúng ta cùng xem xét các bài toán sau:

Bài toán 5: Trong các số phức z thỏa mãn z 1 2, tìm số phức z có mô-đun nhỏ nhất, lớn nhất [3]

x y

Mở rộng với M thuộc Elip ta được bài toán sau:

Bài toán 7: Trong các số phức z thỏa mãn z 3  z3 10 , tìm số phức z có đun lớn nhất, nhỏ nhất [3]

Nên: OMmin  4 khi M(0; 4) hoặc M(0;4) tương ứng với z4i hoặc z4i.

max 5

OM  khi M ( 5;0) hoặc M(5;0) tương ứng với z 5 hoặc z 5

Dạng 4: Quy về tính khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc đường thẳng

và một điểm thuộc đường tròn.

Lại nâng cao, phát triển bài toán từ tìm một số phức sang tìm hai số phức tađược bài toán thứ bảy như sau:

Bài toán 8: Trong các số phức z z1 , 2 thỏa mãn z1  2  i 1; z2  1 z2   1 2i , tìm các số phức z z1 , 2 sao cho z1  z2 nhỏ nhất [4]

Tọa độ điểm M là nghiệm hệ

2 2 2 2 1

2 2 2 1 2

Vẫn là bài toán tìm hai số phức, song điều kiện của hai số phức được thây đổi

từ thuộc một đường thẳng, một đường tròn sang thuộc hai đường tròn ta được bàitoán thứ tám và thứ chín

Bài toán 9: Trong các số phức z z1 , 2 thỏa mãn z1  2  i 1; z2   1 3i  1, thì z1  z2

Gọi N x y( ; ) 2 2 là điểm biểu diễn cho số phức z2 trong mặt phẳng phức, khi đó N

Gọi N x y( ; ) 3 3 là điểm biểu diễn cho số phức z3 trong mặt phẳng phức, khi đó N

từ đơn giản đến phức tạp tùy thuộc vào điều kiện hay yêu cầu của bài toán, tùythuộc vào sự đa dạng của bài toán hình học giải tích tương ứng mà chúng ta lựachọn

Với một lớp đối tượng học sinh không tốt lắm (phần lớn là học sinh trungbình và một bộ phận nhỏ học sinh khá), tôi lựa chọn cách phát triển mở rộng bàitoán dần dần từng bước một như trên, giúp học sinh được tiếp cận từ từ phù hợpvới trình độ, nhận thức của học sinh Đồng thời đơn giản hóa các bài toán về giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất mô-đun số phức giúp các bài toán đến gần hơn với họcsinh, để học sinh cảm thấy mình “có thể” giải được bài toán, có hứng thú hơn, nỗlực hơn trong qua trình học tập

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Để kiểm chứng tính hiệu quả của đề tài, tôi đã tiến hành triển khai đề tài tạilớp 12A9, còn lớp 12A7 thì không (nghĩa là ở lớp 12A7 thì tôi dạy học sinh tìm giátrị lớn nhất, giả trị nhỏ nhất của mô-đun số phức bằng cách sử dụng bất đẳng thức,còn lớp 12A9 thì chủ yếu tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của mô-đun số phứcbằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng) Đây là hai lớp mà tôi đánh giá có chất

lượng tương đương Sau đó tôi đã đánh giá kết quả bằng một bài kiểm tra trắcnghiệm ngắn (15 phút) như sau:



D

1 2



Câu 5: Cho số phức z thõa mãn z 1 2i  10 Giá trị lớn nhất của z 1 4i là

[5; 7) 18 40 21 43,75

So sánh kết quả đạt được của hai lớp, chúng ta có thể thấy được hiệu quả của

đề tài sau khi được triển khai

Nhìn chung, nhiều học sinh đã biết cách làm các bài toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của modun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Họcsinh không còn tâm lý “e ngại” khi gặp phải các bài toán dạng này, thậm chí một bộphận không nhỏ học sinh có thể tiếp cận với những bài toán khó hơn trong các đềthi trung học phổ thông quốc gia hay các đề khảo sát của các trường

Bên cạnh đó học sinh cũng học hỏi được cách tư duy lô-gic, cách quy lạ vềquen, cách mở rộng phát triển các bài toán không chỉ trong phần này mà còn cácphần khác nữa

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận.

Trên đây là những kinh nghiệm của tôi trong quá trình dạy học Với tuổi đời

và tuổi nghề còn non trẻ, kinh nghiệm chưa nhiều nên tôi không tránh khỏi nhữngthiếu sót Rất mong được các đồng chí góp ý và chia sẻ kinh nghiệm giúp tôi ngàytiến bộ hơn trong công tác, phát triển hơn chuyên môn nghiệp vụ

Tôi xin trân trọng cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 7 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của người

khác

Nguyễn Thị Bích Huệ

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Luật Giáo dục 2019 Nguồn: https://luatvietnam.vn

[2] Chuyên đề số phức – Bùi Trần Duy Tuấn Nguồn: https://toanmath.com

[3] Chuyên đề số phức – Nguyễn Chín Em Nguồn: https://toanmath.com

[4] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa modul số phức – Nguyễn Hoàng Việt Nguồn: https://toanmath.com