RÈN LUYỆN NĂNG lực GIẢI TOÁN tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm ẩn CHO học SINH THPT

Bên cạnh những ưu điểm nổi trội sovới hình thức thi tự luận thì một trong những nhược điểm đáng lưu ý, đó là cónhững học sinh chọn bừa và được đáp án đúng, có em chọn đúng đáp án nhưnglờ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM ẨN CHO HỌC SINH THPT

Người thực hiện:Lê Thị Tuyết Nhung Chức vụ : Phó tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc môn : Toán

THANH HÓA NĂM 2020

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.3.1

.

Trang bị cho học sinh kĩ năng cơ bản để đọc được

thông tin của hàm số từ đồ thị, từ bảng biến thiên

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

18

3.2. Kiến nghị

Tài liệu tham khảo

Danh mục các đề tài SKKN tác giả đã được hội đồng

cấp ngành sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên

19

1.MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

“Khái niệm hàm số là khái niệm then chốt của toàn bộ toán học” [1]

Trong thực tế người ta thường kết hợp cả ba phương pháp (phương pháp giảitích, phương pháp bảng, phương pháp đồ thị) để mô tả hàm số Biểu thức giảitích cho phép ta nghiên cứu các tính chất định tính, đồ thị cho ta một hình ảnhtrực quan, và bảng cho ta một định lượng cụ thể của hàm số

Trong sách giáo khoa ở Việt nam, khái niệm hàm số được xây dựng qua

nhiều cấp lớp, nhưng biểu thức giải tích dường như luôn chiếm ưu thế

Bắt đầu từ năm học 2016-2017, tại kì thi THPT Quốc gia - môn Toán đã ápdụng hình thức thi trắc nghiệm khách quan Việc áp dụng thi trắc nghiệm đối với

bộ môn Toán có những ưu và nhược điểm Bên cạnh những ưu điểm nổi trội sovới hình thức thi tự luận thì một trong những nhược điểm đáng lưu ý, đó là cónhững học sinh chọn bừa và được đáp án đúng, có em chọn đúng đáp án nhưnglời giải còn mang tính ngộ nhận, không thể hiện rõ bản chất của bài toán.Vớinhiều học sinh khác lại có thể sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải quyếtbài toán mà không cần phải trải qua một số bước trong quy trình giải bằng lýthuyết toán học Để khắc phục một số hạn chế trên, cũng như để giữ nguyên tínhthẫm mĩ của bộ môn Toán đòi hỏi khâu ra đề cần có sự đầu tư kĩ lưỡng, cần cómột ngân hàng đề đủ lớn với chất lượng tốt Đó là công việc cần một công trình

sư giỏi, một quản lí dự án cứng, một đội ngũ mạnh và cần nhiều thời gian làmviệc nghiêm túc Khi đó thao tác bấm máy chỉ là hỗ trợ trong quy trình giải mộtbài toán

Thực tế cho thấy, bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất(GTNN) của một hàm số hầu như khi nào cũng xuất hiện trong các đề thi họcsinh giỏi, thi THPT Quốc gia Ở chương trình Giải tích lớp 12, bài toán tìmGTLN-GTNN của hàm số bằng công cụ đạo hàm đã được trình bày một cách rấtchi tiết, các bài tập đưa ra thường cho các hàm số cụ thể nên học sinh có thể sửdụng máy tính cầm tay để giải nhanh Tuy nhiên, nếu bài toán không cho biết

hàm số cụ thể mà chỉ cho một hoặc vài thông số ràng buộc ( xin gọi là : hàm ẩn) thì việc giải trở nên khó khăn hơn khi học sinh không nắm rõ định nghĩa và

các quy tắc tìm Rõ ràng, lúc này vai trò giải nhanh của máy tính cầm tay sẽ trởnên mờ nhạt Và để tìm ra được đáp án đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiếnthức cơ bản và tuân thủ các thao tác, quy trình trong lý thuyết Toán học

Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần hàm số,thông qua việc rèn luyện năng lực giải dạng toán này cho học sinh THPT Mặtkhác để khơi dậy sự đam mê, yêu thích bộ môn Toán và tạo sự tự tin cho các emhọc sinh trước mỗi kỳ thi.Từ kinh nghiệm của bản thân, trong quá trình giảngdạy kết hợp với sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán, tôi lựa

chọn đề tài: “Rèn luyện năng lực giải toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm ẩn cho học sinh THPT”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh vượt qua những khó khăn, vướng mắc khi giải bài toán tìmGTLN và GTNN của hàm ẩn Phân tích, tìm tòi và xây dựng phương pháp giảithông qua các ví dụ mẫu Đề xuất hệ thống bài tập vừa sức, hướng dẫn học sinhnghiên cứu, mở rộng vấn đề mới, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mônToán trong trường phổ thông cũng như tích luỹ kinh nghiệm cho bản thân

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải các bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm ẩn ở các

đề thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT, các Sở GD&ĐT trên cả nước,

đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây của Bộ GD&ĐT

Các vấn đề tôi trình bày trong đề tài nhằm rèn luyện năng lực giải bài toántìm GTLN-GTNN của hàm ẩn cho đối tượng học sinh lớp 12 trong kì thi THPTQuốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Sáng kiến này dựa trên cơ sở lý thuyết, hệ thống lại kiến thức cơ bản có liênquan, xây dựng hệ thống bài tập vận dụng kiến thức cũ và tổ chức thực hiện Thực tiễn dạy học cũng như việc dự giờ, trao đổi chuyên môn với đồngnghiệp cũng giúp cá nhân tôi hoàn thiện cơ sở lý luận và tổ chức triển khai ápdụng

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Theo G.Polya: “ Nếu như người thầy dùng tất cả thì giờ cho học sinh làmnhững bài tập tầm thường, thì sẽ làm học sinh mất hết hứng thú, làm trở ngạicho việc phát triển trí tuệ của họ và như vậy đã không biết sử dụng những thuậnlợi của mình Nhưng nếu người thầy khơi gợi được trí tò mò của học sinh bằngcách ra cho học sinh những bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toán bằngcách đặt ra câu hỏi gợi ý, thì người thầy có thể mang lại cho họ cái hứng thú của

sự suy nghĩ độc lập và những phương tiện để đạt được kết quả ”[3]

Trong khuôn khổ của đề tài này tôi chủ yếu tập trung vào việc phân tíchcác bài toán để học sinh nắm vững cách giải quyết từng bài toán cụ thể, từ đócác em sẽ biết làm các bài tương tự Học sinh cần nắm vững và vận dụng đượckiến thức cơ bản vào trong những trường hợp cụ thể, biết giải những bài toántương tự với bài toán đã biết, biết qui bài toán phức tạp thành bài toán đơn giảnhơn là những yếu tố rất cần thiết để giải được những bài toán khó

Để làm được điều này tôi xin nêu lại định nghĩa; quy tắc tìm giá trị nhỏnhất-giá trị lớn nhất của hàm số bằng công cụ đạo hàm

Chú ý: Khi nói đến GTLN và GTNN của một hàm số, bao giờ ta cũng xét

trên tập D cụ thể Cùng một hàm số, nhưng nếu xác định trên tập khác nhau thìnói chung GTLN và GTNN tương ứng là khác nhau

* Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y= f x( )trên tập D, bằng cách khảo sát trực tiếp

Bước 1: Tính ( ) f x� và tìm các điểm x x1 , , , 2 x n�D mà tại đó ( )f x� = 0 hoặc làm

cho f x� ( ) không xác định

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) trên tậpD

Bước 3:Đọc bảng biến thiên và suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

;

;

min max

2.2 Thực trạng của vấn đề

- Các bài toán về hàm ẩn còn khá mới mẻ không chỉ đối với học sinh màngay cả với giáo viên, chưa có bộ giáo án hoàn chỉnh, phân dạng các loại bài tập

và bài tập cho học sinh luyện tập

- Nội dung hàm ẩn chưa được khai thác nhiều, tài liệu tham khảo còn rất ít

- Học sinh còn lúng túng, không có hướng giải quyết khi đứng trước bàitoán tìm GTLN và GTNN của hàm ẩn Hơn nữa là có rất ít bài tập để tự luyện.Điều đó được thể hiện qua việc trước khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi đãkhảo sát chất lượng học sinh ở hai lớp 12 ở trường THPT Sầm Sơn về nội dung

đề tài

Dựa trên kết quả thu được chúng tôi thấy rằng số học sinh làm được dưới50% yêu cầu chiếm phần lớn, rất nhiều học sinh còn lúng túng, chưa có địnhhướng lời giải mặc dù có lớp được điều tra là lớp chọn khối A (12A1)

Tôi cho rằng, nguyên nhân chủ yếu là do đây là phần kiến thức mới, họcsinh chưa được hướng dẫn và giảng dạy phần này một cách có hệ thống Về phíagiáo viên, một số chưa giành thời gian nghiên nội dung này, số khác chưa cậpnhật kịp thời những nội dung mới trong đề tho THPTQG của Bộ

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Trang bị cho học sinh kĩ năng cơ bản để đọc được thông tin của hàm

số từ đồ thị, từ bảng biến thiên.

Để giải pháp này khả thi , khi giảng dạy chủ đề hàm số cho học sinh từ các lớpdưới, người thầy nên tận dụng các cơ hội có thể để rèn luyện kĩ năng đọc thôngtin từ đồ thị (đồ thị đi qua điểm nào, khoảng đồng biến, nghịch biến của đồ thị,giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, đoạn tính liên tục,tính chẵn,

lẻ ) cho học sinh

Ví dụ 1.(Trích đề thi thử THPTQG chuyên Lam Sơn Thanh Hóa, năm học

2018-2019)

Cho hàm sốy= f x( ) liên tục trên� và có đồ thị như

hình vẽ bên Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [- 2;6] Giá trị

biểu thức T= 2M + 3m bằng:

Phân tích bài toán

Dựa vào đồ thị hàm số trên ta thấy:

Giá trị lớn nhất của ( )f x trên [- 2;6] bằng6, đạt được tạix=- 2 Suy ra M = 6

Giá trị nhỏ nhất của ( )f x trên [- 2;6] bằng- 4, đạt được tại x= 4 Suy ra m=- 4

Vậy T= 2M+ 3m= 2.6 3.( 4) + - = 0 Chọn đáp án D.

*Nhận xét:

- Đây là một bài toán cơ bản kiểm tra kỹ năng đọc đồ thị của hàm số màkhông cần biết cụ thể công thức của hàm số đó Do đó, học sinh mức độ trungbình nếu được rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị thì sẽ làm ngay được ví dụ này

- Để kiểm tra khả năng thông hiểu của học sinh, trong ví dụ trên ta thayđoạn [- 2;6] bằng nửa khoảng (- 2;4] hoặc khoảng (- 1; 4), khi đó có thể họcsinh sẽ mắc sai lầm là thừa nhận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đồng thời cùng tồntại Như vậy, dạng bài tập kiểu này không những rèn luyện cho học sinh kỹnăng đọc đồ thị mà còn củng cố lý thuyết về giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất củahàm số một cách trực quan hơn

Ví dụ 2 Cho hàm số y f x  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên Gọi

,

M m lần lượt là GTLN – GTNN của hàm số g x   f ��2 sin 4x cos 4x��.

Tổng M m bằng

Phân tích bài toán

- Đề bài cho đồ thị của hàm số y f x 

- Yêu cầu tìm GTLN, GTNN của hàm y f u u ;  sin 4 x cos 4x

- Cần kiểm tra xem u thuộc miền nào, hay tập giá trị của u là gì? Sau đó

sử dụng chính đồ thị f(x) để đánh giá f(u) trên tập giá trị đã chỉ ra

Nhận xét:

Trong bài toán này, học sinh cần hiểu ý đồ của đề bài, phải biết dựa vào

đồ thị f(x) để suy ra tính chất của đồ thị f(u), như vậy ngoài thao tác đọc đượcthông tin của đồ thị, HS còn phải biết qui lạ về quen, biết tìm miền giá trị của u(đây là một thói quen mà HS cần thường xuyên được rèn giũa: khi đặt ẩn phụcần lưu ý điều kiện của ẩn mới)

Ví dụ 3 Cho hàm số y f x  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ

Xét hàm số g x   f 2x3   x 1 m.

Tìm m để max  0;1 g x    10.

Phân tích bài toán:

Khi HS đã làm quen với dạng toán này, GV cần dẫn dắt HS đến lời giải của bàitoán theo một qui trình:

+ Với yêu cầu của đề, đầu tiên ta sẽ thực hiện như thế nào ?

Đặt t  2x3  x 1 với x� 0;1

+ Cần lưu ý điều gì khi đặt ẩn phụ? (Tìm điều kiện của ẩn phụ với điều kiện đãcho của ẩn ban đầu, lưu ý ở bài này x thuộc miền nào?)

Ta có t' 6  x2   1 0,  �x  0;1

Suy ra hàm số t x  đồng biến nên x� 0;1 � �t  1;2 

(Thi trắc nghiệm HS sẽ dùng máy tính để tìm điều kiện của t)

+ Từ đồ thị, hãy cho biết GTLN của hàm số f(t) khi t có vai trò như x

Từ đồ thị hàm số ta có max 1;2 f t  3 max 1;2 f t  m 3 m.

Theo yêu cầu bài toán ta cần có: 3   m 10 �m  13. Đáp án C

Ví dụ 4 Cho hàm số y f x  liên tục trên tập R và có bảng biến thiên như sau

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x 2  2xtrên đoạn 3 7;

Phân tích bài toán:

- Đồ thị là sự hình ảnh hóa bảng biến thiên, đọc được bảng biến thiên cũnggiống như đọc đồ thị dù hình ảnh từ bảng biến thiên không trực quan bằng đồthị Tuy nhiên đây cũng là một dạng bài tập thường gặp trong các đề thi mà HSphải thường xuyên được trau dồi

Hs tiến hành giải bài toán:

Nhận xét:Từ các VD trên, GV yêu cầu HS đưa ra quy trình giải bài toán:

Cho đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y= f x( ), tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của hàm số y= f x y( ), = f u x( ( )) trên tập hợp D

Bước 1: Đặt t=u x x D( ), �

Bước 2: Tìm điều kiện (miền giá trị của t)

Bước 3: Dựa vào tính chất không phụ thuộc vào biến số, căn cứ vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của f(x) để kết luận GTLN,GTNN của f(t) với điều kiện t đã tìm được.

Bài tập vận dụng (Trích trong các đề thi THPTQG)

Bài 1.

Cho hàm số f x  liên tục trên đoạn  1;3 và có đồ thị như hình vẽ bên Gọi M

và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên  1;3.

Giá trị của M m bằng:

Bài 2 Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn  3; 4 và có đồ thị như hình vẽ

bên Gọi M và m lần lượt là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho

trên đoạn  3; 4 Tính M m

Bài 3:Cho hàm số y= f x( ) liên tục

trên � và có đồ thị như hình vẽ bên

Gọi M và mtương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số(1 2cos )

2.3.2. Sử dụng bảng biến thiên (hoặc đồ thị) của hàm số y= f x�( ), xác định tính chất của hàm ( )f x từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f x( )trên tập hợp D.

Khi sử dụng đạo hàm vào giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của một hàm số y= f x( )cụ thể học sinh bắt buộc phải tính ( )f x� Tuynhiên, khi gặp các bài toán hàm ẩn mà giả thiết bài toán cho đồ thị hoặc bảngbiến thiên của hàm số y=f x�( ); khi đó để tìm được giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất của hàm số y= f x( )ta phải dựa vào bảng biến thiên để xác định tínhchất của hàm số Dưới đây là các ví dụ minh họa

Ví dụ 5 ( Trích đề thi thử trường Thiệu Hóa- Thanh Hóa-lần 1 năm 2019)

Phân tích bài toán

Từ hình vẽ ta lập được bảng biến thiên của hàm số y= f x( ) trên đoạn [0;5]

Từ bảng biến thiên ta thấy ngay max[0;4] ( ) (3)

Dựa vào đồ thị của hàm số y= f x�( ) ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra:

Phân tích bài toán:

Từ đồ thị hàm số y f x'  ta có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số g x  có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên R

B Hàm số g x  có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên R

C Hàm số g x  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R

D Hàm số g x  không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R [4]

Phân tích bài toán:

Từ bảng biến thiên suy ra đáp án B.

Ví dụ 8 Cho hàm số y f x  liên tục trên R Đồ thị của hàm số y f x� 

A 2018 B 2019 C 2020 D 2021 [5]

2.3.3 Sử dụng linh hoạt giữa việc nghiên cứu tính chất của hàm số f(x) từ

đồ thị hàm số y= f x�( ) kết hợp với tính diện tích của hình phẳng

Ví dụ 9. Cho hàm số y f x  Đồ thị y f x�  như hình bên dưới

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  0;3

A ( )f 1 , (0)f B. f    2 ,f 0

C ( )f 1 ,f( )3 D ( )f 0 ,f ( )3 [5]

Phân tích bài toán

+ Một cách tự nhiên học sinh sẽ lập bảng biến thiên của hàm số y f x 

+Khi đó: min 0;3 f x   f  1 .

+ Để xác định GTLN, cần so sánh ( )f 0 ;f( )3

+ Dựa vào đồ thị f’(x), hãy so sánh diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y=f’(x) với trục hoành và các đường thẳng x=0; x=1; hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f’(x) với trục hoành và các đường thẳng x= 1; x=3

Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy : (f - 1)> f( )- 2 , ( )f 6 >f ( )2 và (f - 1)> f( )2 Suy ra max[ 2;6] ( ) max{ ( ) ( )1 , 6 }

Trong ví dụ này, giả thiết không có một biểu thức liên hệ giữa các giá trị

của hàm số như các ví dụ trước, việc so sánh diện tích các hình phẳng giới hạnbởi các đường thẳng x=a x; =b y, = 0 và đồ thị của y= f x� ( ) trong bài này thựchiện được một cách trực quan vì hệ trục tọa độ vẽ trên mặt phẳng có dạng lưới ôvuông

Ví dụ 11.(Trích đề thi thử cụm liên trường Hải Phòng -lần 1 năm 2019)

Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên có đồ thị của hàm sốy= f x�( )cho như hình

Nhận xét : Ví dụ này giống VD6, nhưng không yêu cầu tìm giá trị lớn nhất mà

là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [- 3;3], do đó lời giải cũng có

những lập luận và kĩ năng khác biệt !