RÈN LUYỆN CHO học SINH kỹ NĂNG GIẢI QUYẾT bài TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH từ một điểm đến mặt bên của HÌNH CHÓP

Bài toán 1: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt bên của hình chóp khi biết chân đường cao của hình chóp.. Bài toán 2: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt bên của hình chóp khi chưa biết ch

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN

MẶT BÊN CỦA HÌNH CHÓP

Người thực hiện: Hà Duyên Dũng

Chức vụ: Phó Hiệu trưởng

SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán học

THANH HOÁ NĂM 2020

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.1 Định nghĩa chân đường cao của hình chóp 3 2.1.2 Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 3 2.1.3 Các tính chất của quan hệ vuông góc và quan hệ song song 3 2.1.4 Một số cách xác định chân đường cao của hình chóp 4 2.1.5 Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt bên

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 7

2.3.1 Bài toán 1: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt bên của

hình chóp khi biết chân đường cao của hình chóp. 7 2.3.2 Bài toán 2: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt bên của

hình chóp khi chưa biết chân đường cao của hình chóp. 7

Tài liệu tham khảo

Danh mục các chữ cái viết tắt

Danh mục SKKN đã đạt giải

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt bên của hình chóp là bài toánthường xuất hiện trong các đề thi học kỳ II lớp 11, trong các đề thi tốt nghiệpTHPT , đề thi vào các trường ĐHCĐ và đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh hằng năm

Từ năm học 2016 - 2017, môn toán đã được đổi sang hình thức thi trắcnghiệm, bên cạnh sự cần thiết của nắm chắc lý thuyết thì việc hiểu và thuần thụccác kỹ năng giải bài tập là vô cùng quan trọng đối với các em học sinh

Khi giảng dạy cho học sinh các kỹ năng giải quyết bài toán “ tính khoảngcách từ một điểm đến mặt bên của hình chóp” đạt hiệu quả cao cần làm chohọc sinh nắm được ba vấn đề đề sau:

- Vấn đề 1: Xác định được chân đường cao H của hình chóp

- Vấn đề 2: Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên của hìnhchóp

- Vấn đề 3: Biểu diễn mối liên hệ khoảng cách từ điểm cần tính vớikhoảng cách từ điểm H đến mặt bên của hình chóp

Với xu hướng ra đề thi trắc nghiệm môn Toán học theo 4 mức độ: nhậnbiết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao thì bài toán “ tính khoảng cách

từ một điểm đến mặt bên của hình chóp” ở mức độ nào thì phụ thuộc vào chânđường cao H của hình chóp dễ xác định hay khó xác định; phụ thuộc vào biểudiễn mối liên hệ khoảng cách từ điểm cần tính với khoảng cách từ điểm H đếnmặt bên của hình chóp dễ hay khó

Các bài toán tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau, khoảngcách giữa đường thẳng song với mặt phẳng và khoảng cách giữa hai mặt phẳngsong song đều có thể quy về khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

Từ những lý do trên, tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng

giải quyết bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mặt bên của hình chóp”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh lớp 11 làm tốt bài toán toán tính khoảng cách từ một điểmđến mặt bên của hình chóp Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm tốt bài toántính khoảng cách của 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa đường thẳngsong song với mặt phẳng và khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm

đến mặt bên của hình chóp

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu lý luận dạy học

2 Thực hành qua các tiết học tự chọn và ôn thi tốt nghiệp

3

Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

3

3 Tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy ở các

năm.2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận

2.1.1 Định nghĩa chân đường cao của hình chóp.

Cho hình chóp Điểm H được

gọi là chân đường cao của hình chóp

nếu SH ⊥ (A A A A1 2 3 )n và

2.1.2 Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm đến mặt

phẳng là khoảng cách giữa điểm

và hình chiếu vuông góc của trên

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc

với nhau nếu trong mặt phẳng này tồn

tại một đường thẳng vuông góc với mặt

Đường thằng nếu đường thẳng

với 2 đường thẳng cắt nhau nằm

trong

Ký hiệu:

Q

a

c Tính chất 3:

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau

thì đường thẳng nào nằm trong mặt

phẳng này mà vuông góc với giao

tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia

Nếu đường thẳng a song song với

đường thẳng và avuông góc với (P)

a Cách 1: Dựa vào các tính chất của quan hệ vuông góc và quan hệ song

song của mục 2.1.3

b Cách 2:

Nếu hình chóp là hình chóp đều

hoặc hình chóp có các cạnh bên

bằng nhau thì chân đường cao của

hình chóp là tâm của đường tròn

ngoại tiếp đa giác đáy

c Cách 3:( Áp dụng học sinh ôn thi TN THPT)

Nếu hình chóp có tâm đường tròn

ngoại tiếp là và tâm mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp là thì chân đường

cao H của hình chóp là giao điểm

của mặt phẳng đáy với đường thằng

đi qua S song song với

2.1.5 Phương pháp xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt bên (P) của hình chóp.

* Bước 1: Dựa vào lý thuyết mục 2.1.4 để xác định chân đường cao

6

H M

- Tìm một mặt phẳng chứa và

vuông góc với là với là

hình chiếu của lên

- Xác định giao tuyến của

- Trong mặt phẳng , từ điểm

dựng đường thẳng vuông góc với

tại thì là hình chiếu vuông góc

của trên mặt phẳng , do đó

- Dựa vào giả thiết tính , Từ đó

dựa vào hệ thức lượng trong tam giác

K

H

M

IKP

7

- Khả năng 3: Ta tìm 1 điểm phụ mới N và tìm mối liên hệ

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nhiều học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lựchọc ở mức độ trung bình khá khi giải quyết bài toán về tính khoảng cách từ mộtđiểm đến mặt bên của hình chóp rất thuộc phương pháp nhưng lúng túng khi ápdụng với lý do là các em chưa có kỹ năng giải quyết bài toán tính khoảng cách

từ một điểm đến mặt bên của hình chóp

2.3 Giải pháp

Trước thực trạng trên tôi đã phân chia bài toán tính khoảng cách từ mộtđiểm đến mặt bên của hình chóp thành hai bài toán và mỗi bài toán lại chiathành ba loại nhỏ, đồng thời cụ thể hóa phương pháp bằng các ví dụ minh họa

để giúp các em dễ dàng tiếp thu và áp dụng

2.3.1 Bài toán 1: Tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt bên của hình

chóp khi biết chân đường cao của hình chóp.

* Loại 1:

* Loại 2:

* Loại 3: Tìm một điểm phụ mới là N và tìm mối liên hệ giữa với

2.3.2 Bài toán 2 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt bên của hình

chóp khi chưa biết chân đường cao của hình chóp.

Đối với bài toán 2 giáo viên phân tích để học sinh tìm được chân đườngcao của hình chóp và quay về bài toán 1

2.3.3 Bài tập trắc nghiệm áp dụng.

2.3.1 Bài toán 1 Cho biết chân đường cao H của hình chóp và tính khoảng

cách từ một điểm M đến mặt bên (P) của hình chóp

Ví dụ 1: Hình chóp đáy hình vuông cạnh , ; Tính Khoảng cách từ đến mặt phẳng

A

C

B H

I

S

K a

600

C H

- Trong tam giác vuông :

Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , hình chiếu

vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của , mặt phẳng

tạo với đáy một góc bằng Tính theo khoảng cách từ điểm đếnmặt phẳng

* Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa

- Ta có: và là trung điểm của BC nên

Ví dụ 3: Cho hình chóp có tam giác vuông tại , , làđiểm trên cạnh sao cho , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng

là trung điểm của , mặt phẳng tạo với đáy một góc bằng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo

Phân tích:

* Bước 1: Chân đường cao H của hình chóp

là điểm của BC

* Bước 2: Tính khoảng cách từ C đến (SAB)

- Mặt phẳng phụ chứa SH vuông góc với

(SAB) là (SHK) với và K là trung

điểm của AB

với bằng cách chọn thêm điểm

phụ C

- Theo giả thiết ta có: nên

Mà là trung điểmcủa BC nên

đều và là giao điểm của và nên

chân đường cao của hình chóp là điểm điểm

O

* Bước 2: Tính khoảng cách từ O đến (SCD)

- Mặt phẳng phụ chứa SO vuông góc với

(SCD) là (SOM) với và M là trung

-Ta có: và là trung điểm của BD nên

Ví dụ 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng Tamgiác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tínhkhoảng cách từ đến

Phân tích:

* Bước 1:Vì hình chóp có tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc

với mặt đáy đáy nên chân đường cao

H là trung điểm của AB

* Bước 2: Tính khoảng cách từ H đến (SCD)

- Mặt phẳng phụ chứa SH vuông góc với

(SCD) là (SOM) với và M là trung

Ví dụ 6: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại , ;

hai mặt phẳng và cùng vuông góc với

; là trung điểm Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

tròn ngoại tiếp tam giác

- Dựa vào định lý hàm số cos trong

tam giác ta tính được:

- Tam giác ABC vuông tại B nên tâm

O của đường tròn ngoại tiếp là trung

điểm của AC và O là chân đường cao

O

MB

14

- Ta có: Từ kẻ ta có

- Tính

* Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa với

- Ta có: là trung điểm của nên

Lời giải

* Chứng minh: Tam giác ABC vuông tại B

- Xét tam giác theo định lí cosin ta có :

- Xét tam giác theo định lí cosin ta có :

- Xét tam giác theo định lí cosin ta có :

- Gọi là trung điểm của Ta có là tâm đường tròn ngoại tiếp

* Chứng minh: Điểm O là chân đường cao

- Vì và là trung điểm của nên .

- Gọi là trung điểm của ta có

* Vì là trung điểm của nên

Ví dụ 8: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , ,

, góc giữa 2 mặt phẳng và bằng Gọi là điểmtrên cạnh sao cho Tính khoảng cách từ đến

15

Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

15

Phân tích

* Bước 1: Xác định chân đường cao H

của hình SABC

- Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

là trung điểm O của BC

- Vì nên tâm I của mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp là trung

điểm I của SA Suy ra vì là

trục của đường tròn đáy

- Trong mặt phằng từ S kẻ 1 đường

thẳng song song với cắt tại Suy

ra và là chân đường cao

của hình chóp

- Vì I là trung điểm của SA và IO//SH

nên O là trung điểm của AH tứ giác

là hình hình bình hành

- Vì tam giác là tam giác vuông cân

tại tứ giác là hình vuông

* Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm H

B

H

MO

AC

16

Mà là trungđiểm của nên

- Chứng minh:

+ Trong ta có vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nêncân tại là đường phân giác

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng Góc giữa cạnhbên và mặt phẳng đáy bằng Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng Tamgiác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tínhkhoảng cách từ đến

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh

và mặt bên hợp với mặt đáy một góc Khoảngcách từ điểm đến mặt phẳng bằng

Câu 6: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , Biết vuông góc với đáy (Hình tham khảo) Khoảng cách từ điểm đếnmặt phẳng bằng

A B C D

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng , vuônggóc với mặt phẳng Biết góc giữa và mặt phẳng bằng Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật cạnh

, , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng , góc giữa

và mặt phẳng bằng Gọi là trung điểm của cạnh (tham khảohình vẽ) Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng bằng

19

Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

19

Câu 10: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với đáy và Biết diện tích tam giác là , khoảngcách từ điểm đến là

Câu 11: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , ,

Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh

và Khi đó khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

Câu 14: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại , ;

cạnh bên vuông góc với đáy; là trung điểm Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

A B C D

Câu 15: Cho hình chóp có tam giác vuông tại , , làtrung điểm của hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trungđiểm của , mặt phẳng tạo với đáy một góc bằng Tính khoảngcách từ điểm đến mặt phẳng theo

Câu 16: Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng , cạnhbên bằng Gọi là tâm của đáy , là khoảng cách từ đến mặtphẳng và là khoảng cách từ đến mặt phẳng Tính

A B C D

Câu 17: Cho hình chóp , đáy là hình thang vuông tại và , biết

điểm của , Tính khoảng cách từ đến theo

Câu 18: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng góc giữa cạnhbên và mặt đáy bằng Gọi , lần lượt là trung điểm của các cạnh , Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

Câu 21: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ,

Hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là trung điểm củacạnh Biết Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

?

Câu 22: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và ,

, là trung điểm cạnh , là đường cao của hìnhchóp Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

21

Hà Duyên Dũng – Phó Hiệu trưởng trường THPT Lê Hoàn

21

A B C. D

Câu 23: Cho hình chóp đều có và cạnh đáy bằng Gọi

là một điểm thuộc miền trong của hình chóp này sao cho , với làtâm đường tròn nội tiếp tam giác Gọi , , lần lượt là khoảng cách từ đến các mặt phẳng , , Tính giá trị của biểu thức

A B C D

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Tôi áp dụng phương pháp trên ở 2 nhóm học sinh có học lực môn Toánhọc tương đương nhau thông qua việc, kiểm tra 15 phút, kiểm tra 1 tiết, kết quảthu được như sau:

- Nhóm không sử dụng phương pháp trên (nhóm đối chứng):

- Nhóm thực nghiệm (có sử dụng phương pháp mới)

Lớp Sĩ số Số lượngĐạt yêu cầu% Số lượng Không đạt yêu cầu%

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận

Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:

1 Đề tài đã chỉ ra được cách khắc phục khó khăn trong việc áp dụng kiếnthức hình không gian của một lớp đối tượng học sinh vào giải các bài toán vềtính khoảng cách từ một điểm đến một mặt bên của hình chóp

2 Đề tài đã chỉ ra hướng đi nhằm đơn giản các đơn vị kiến làm cho họcsinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn

3 Đề tài được dùng trong những tiết luyện tập để nâng cao kết quả hoạtđộng giáo dục

4 Thông qua việc tìm ra bài toán gốc, việc tổng quát bài toán, việc tạo rabài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, sángtạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương phápmới của Bộ Giáo dục và Đào tạo Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin,hứng thú khi học tập bộ môn.

3.2 Kiến nghị

Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụngtrong giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinhhọc tập tốt hơn Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ sungthêm Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các đồng nghiệp

Thanh hoá, ngày 10 tháng 07 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung