Rèn Luyện Tư Duy Sáng Tạo Cho Học Sinh Khá Giỏi Trong Dạy Chuyên Đề Tam Thức Bậc Hai Định Hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤCTRẦN KIM ANH RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRONG DẠY CHUYÊN ĐỀ "TAM THỨC BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG VÀ CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN KIM ANH

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRONG DẠY CHUYÊN ĐỀ "TAM THỨC BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG VÀ CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG

THỨC LIÊN QUAN"

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2020

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN KIM ANH

RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRONG DẠY CHUYÊN ĐỀ "TAM THỨC BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG VÀ CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG

THỨC LIÊN QUAN"

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY

HỌC BỘ MÔN TOÁN

Mã số 8 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Văn Mậu

HÀ NỘI - 2020

LỜI CẢM ƠN

Thực tế luôn cho thấy, sự thành công nào cũng đều gắn liền với những

sự hỗ trợ, giúp đỡ của những người xung quanh dù cho sự giúp đỡ đó

là ít hay nhiều, trực tiếp hay gián Trong suốt thời gian từ khi bắt đầulàm luận văn đến nay, tôi đã nhận được sự quan tâm, chỉ bảo, giúp đỡcủa thầy cô, gia đình và bạn bè xung quanh

Với tấm lòng biết ơn vô cùng sâu sắc, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thànhnhất từ đáy lòng đến quý Thầy Cô của trường Đại học Giáo Dục đãcùng dùng những tri thức và tâm huyết của mình để có thể truyền đạtcho tôi trong vốn kiến thức quý báu suốt thời gian học tập tại trường.Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu đãtận tâm chỉ bảo hướng dẫn tôi qua từng buổi học, từng buổi nói chuyện,thảo luận về đề tài nghiên cứu Nhờ có những lời hướng dẫn, dạy bảo

đó, bài luận văn này của tôi đã hoàn thành một cách suất sắc nhất Mộtlần nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy!

Hà Nội, ngày tháng năm 2020

Người làm luận văn

Trần Kim Anh

DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ

Bảng 1.1 Kết quả mức độ mắc sai lầm của học sinh trong cácbài thi và bài kiểm tra 10Bảng 1.2 Kết quả đánh giá mức độ sáng tạo của HS 11Bảng 1.3 Kết quả đánh giá nhận thức của GV về tư duy sángtạo 14Bảng 1.4 Kết quả dánh giá HS gặp khó khăn khi giải bài toánbất đẳng thức 15Bảng 3.1 Điểm số của học sinh hai lớp 10 Toán trước khi tiếnhành thực nghiệm 66Biểu đồ 3.1 Điểm số của học sinh hai lớp 10 Toán trước khitiến hành thực nghiệm 66Bảng 3.2 Điểm số của học sinh hai lớp 10 Toán sau khi tiếnhành thực nghiệm 67Biểu đồ 3.2 Điểm số của học sinh hai lớp 10 Toán sau khi tiếnhành thực nghiệm 67Biểu đồ 3.3 Sự thay đổi điểm số của học sinh hai lớp trước vàsau khi thực nghiêm 68

Mục lục

Lời cảm ơn i

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ii

Danh mục các bảng iii

Mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng, khách thể nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

6 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 2

7 Cấu trúc luận văn 2

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 4

1.1 Cơ sở lí luận 4

1.1.1 Khái niệm và đặc điểm của tư duy 4

1.1.2 Tư duy sáng tạo 6

1.1.3 Hoạt động chứng minh 7

1.2 Cơ sở thực tiễn 8

1.2.1 Thực trạng dạy học chuyên đề Tam thức bậc hai và các dạng bất đẳng thức liên quan ở trường Trung học phổ thông 8

1.2.2 Tam thức bậc hai 15

1.2.3 Các bất đẳng thức chứa tam thức bậc hai cơ bản và ứng dụng giải bất đẳng thức liên quan 17

Kết luận chương 1 20

Chương 2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi trong dạy học chuyên đề "tam thức bậc hai định hướng và các

dạng bất đẳng thức liên quan" 21

2.1 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi thông qua dạy các dạng toán về tam thức bậc hai 21

2.1.1 Phân loại các dạng toán về biểu thức đại số chứa một biến, ba biến liên quan đến tam thức bậc hai một biến 21

2.1.2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh về các dạng toán so sánh bậc hai 31

2.2 Mở rộng và các dạng toán liên quan đến tam thức bậc hai 53 2.3 Các đề thi HSG và Olympic liên quan 58

2.4 Đề xuất biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua nội dung tam thức bậc hai định hướng và các bất đẳng thức liên quan 62

Kết luận chương 2 63

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm 64

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 64

3.1.1 Mục đích 64

3.1.2 Nhiệm vụ 64

3.2 Cách tiến hành thực nghiệm 64

3.2.1 Thời gian thực nghiệm 64

3.2.2 Địa điểm thực nghiệm 64

3.2.3 Đối tượng thực nghiệm 64

3.2.4 Công cụ thực nghiệm 65

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 65

3.3.1 Phân tích định tính 65

3.3.2 Phân tích định lượng 65

3.3.3 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 70

3.3.3 Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 70

Kết luận chương 3 70

Kết luận và khuyến nghị 72

1 Kết luận 72

2 Khuyến nghị 72Tài liệu tham khảo 73Phụ lục

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức là một trong những chuyên đề cổ điển nhất của toánhọc Chuyên đề này rất phong phú về nội dung và đa dạng về phươngpháp nên có tính hấp dẫn cao khi dạy và học ở nhà trường phổ thông.Các đề toán về bất đẳng thức thường xuất hiện trong các kỳ thi Olympic

và thi học sinh giỏi bộ môn toán ở các cấp bậc THPT Các dạng toánnày thường khó, thậm chí là rất khó

Tam thức bậc hai là một trong các phần quan trọng và rất thú vịthường được sử dụng trong chứng minh các dạng bài về bất đẳng thức.Trên cơ sở đó, luận văn "Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khágiỏi trong dạy học chuyên đề Tam thức bậc hai định hướng và các dạngbất đẳng thức liên quan" nhằm tìm hiểu sâu thêm về các dạng bất đẳngthức có chứa tam thức bậc hai và khảo sát một số dạng toán liên quan.Nội dung của luận văn bao gồm phần lí thuyết về tam thức và các dạngbài tập áp dụng về bất đẳng thức

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nhằm hệ thống và tổng hợp các bài toán về bất đẳng thứctam thức bậc hai và các dạng bất đẳng thức liên quan Từ đó, xây dựngphương pháp giảng dạy phù hợp và bước đầu hình thành sự sáng tạocho học sinh khá giỏi khi tiếp cận chuyên đề này

3 Đối tượng, khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu của luận văn là Tư duy sáng tạo cho học sinhlớp 10

- Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học môn Toán, cụ thể là chuyên

đề Quá trình dạy học môn Toán, cụ thể là chuyên đề "Tam thức bậchai định hướng và các dạng bất đẳng thức liên quan"

4 Phương pháp nghiên cứu

a) Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu, phân tích, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu vềgiáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán

- Nghiên cứu các sách tham khảo từ tài liệu tiếng việt, tài liệu tiếnganh, tài liệu điện tử và các luận văn nghiên cứu có các vấn đề liên quan

trực tiếp tới đề tài.

b) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Điều tra giáo dục

- Tham khảo, rút kinh nghiệm từ ý kiến của chuyên gia

- Quan sát, đánh giá quá trình thực nghiệm sư phạm

- Tìm hiểu, nghiên cứu, hệ thống các sản phẩm hoạt động giáo dục

- Tổng hợp kinh nghiệm giáo dục thu được

c) Phương pháp thực nghiệm giảng dạy

- Thực nghiệm hoạt động dạy học hai giáo án soạn theo định hướngcủa đề tài để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

d) Phương pháp thống kê, đánh giá toán học

- Tác giả sẽ ứng dụng phần mềm Office Excel để xử lí số liệu điều trakhảo sát

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đề tài cần nêu sáng tỏ thế nào là tư duy, tư duy sáng tạo và cácloại tư duy

- Tác giả cần nghiên cứu các biểu hiện của tư duy sáng tạo của họcsinh trong quá trình thực nghiệm

- Tìm hiểu thực trạng dạy học Rèn luyện tư duy sáng tạo cho họcsinh và dạy chuyên đề "Tam thức bậc hai định hướng và các dạng bấtđẳng thức liên quan"

- Từ đó, đề xuất các biện pháp nhằm mục đích rèn luyện tư duy sángtạo cho học sinh

- Tìm tòi, khai thác và xây dựng các dạng bài tập phù hợp với sựphát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi THCS

- Thực nghiệm quá trình giảng dạy nhằm mục đích kiểm nghiệm tínhkhả thi đề tài và tính hiệu quả của đề tài

6 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

- Giới hạn nghiên cứu Chương trình Toán học lớp THPT

- Địa bàn thực nghiệm là lớp 10A1, 10A2 của trường THPT NguyễnThị Minh Khai, Quận Bắc Từ Liêm, TP Hà Nội

7 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm: ngoài phần mở đầu , kết luận và khuyến nghị,luận văn được trình bày trong nội dung 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn

Chương 2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi trong dạyhọc chuyên đề "Tam thức bậc hai định hướng và các dạng bất đẳng thứcliên quan"

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1 Khái niệm và đặc điểm của tư duy

a) Khái niệm tư duy

Thực tế, môi trường xung quanh chúng ta xuất hiện rất nhiều điều, sự vật,hiện tượng mà chúng ta chưa biết đến, chưa hiểu vì sao Với xã hội ngày càngphát triển không ngừng, nhiệm vụ mỗi con người trong cuộc sống là cần họckiến thức, học hỏi xung quanh, luôn tìm hiểu kiến thức học được ứng dụngthế nào vào hoạt động thực tiễn của bản thân Con người cần hiểu biết mọivật một cách khách quan, sâu sắc, đúng đắn và chính xác nhất Mỗi chúng tacần phải vạch ra bản chất và quy luật tác động của chúng Quá trình nhậnthức về hiện thực đó được gọi là tư duy

Theo Nguyễn Quang Cần, tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh nhữngthuộc tính, bản chất, mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của

sự vật, hiện tượng trong thực tiễn khách quan mà trước đó ta chưa biết [xem3]

Theo Rubistein, tư duy là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về kháchthể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuấthiện do tác động của khác thể [xem 3]

Tóm lại, tư duy có thể hiểu là nhận thức lý tính, tức suy nghĩ trong đầu

óc mỗi con người khi gặp hoàn cảnh có vấn để, Tư duy không phải cảm giác,nhận thấy tính chất thoáng qua, chủ quan, đánh giá theo lối mòn mà tư duycần phải có sự lập luận, phân tích, diễn giải từ các căn cứ suy luận bởi đầu

óc con người Nói theo cách khác, tư duy được chia thành tư duy lý trí và tưduy lý tính [xem 3]

Đặc điểm của tư duy

Các đặc điểm chủ yếu của tư duy như sau:

- Tư duy sẽ chỉ nảy sinh khi thấy hoàn cảnh có vấn đề

- Tư duy có tính khái quát hiện vật

- Tư duy còn có tính gián tiếp

- Ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết và rất quan trọng đối với tư duycon người Ngôn ngữ và tư suy luôn có sự quan hệ chặt chẽ với nhau,không bao giờ tách rời nhau và cũng không đồng nhất với nhau Tư duy

và ngôn ngữ luôn tạo ra sự thống nhất giữa hai loại và kết quả được thểhiện ở quá trình tư duy

- Ngoài quan hệ mật hiết với ngôn ngữ, tư duy còn quan hệ mật thiết vớinhận thức cảm tính, nhận thức cảm tính bắt đầu có tư duy Với sự kháiquát, trừu tượng của tư duy đến đâu thì các thành phần cảm tính (cảmgiác, tri giác, biểu tượng trực quan, ) luôn được chứa đựng trong tưduy

- Có thể nói tư duy là một quá trình: tư duy sẽ nảy sinh, có diễn biến và

có kết thúc; đây gọi là quá trình tư duy

Các thao tác tư duy

- Đầu tiên là thao tác phân tích - tổng hợp Phân tích có thể hiểu là quátrình tư duy phân chia các đối tượng nhận thức thành các “bộ phận”, cácthuộc tính, các mối liên hệ và sự quan hệ giữa chúng nhằm nhận thức đốitượng sâu sắc hơn Tổng hợp là quá trình tư duy hợp nhất những “bộ phận”

- Thao tác trừu tượng hóa và khái quát hóa là thao tác cuối cùng Trừutượng hóa được hiểu là một quá trình con người dùng tư duy loại bỏ các vấn

đề, các loại thuộc tính không cần thiết, không quan trọng của phương diệnnào đó và trừu tượng hóa chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tư duy Kháiquát hóa là quá trình tư duy bao quát được nhiều đối tượng khác nhau hướngthành một nhóm, một loại theo những thuộc tính chung nhất định

Cấu trúc tư duy Toán học Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư

duy Trong toán học có một số loại hình tư duy sau

(1) Tư duy cụ thể

(2) Tư duy trừu tượng

(3) Tư duy trực giác

(4) Tư duy hàm

(5) Tư duy biện chứng

(6) Tư duy sáng tạo

(7) Các phong cách toán học của tư duy

Đặc biệt, tư duy trừu tượng có thể tách ra các thành phần

- Tư duy phân tích

- Tư duy logic

- Tư duy lược đồ không gian

1.1.2 Tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo là một loại hình thức tư duy Tư duy sáng tạo có tác dụngrất quan trọng trong việc phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt tác dụng

to lớn cho đối tượng học sinh khá và giỏi Người dạy học cần phải tìm hiểu

để phát huy hết khả năng tìm tòi, phát hiện những vẻ đẹp của Toán học

Tư duy sáng tạo bao gồm các điều kiện cần thiết như tính linh hoạt, tínhđọc lập và tính phê phán hiện vật Đây là các mặt khác nhau của tư duy sángtạo Tư duy sáng tạo nghĩa là thể hiện rõ nét nhất ở khả năng tìm tòi, tư duytạo ra cái mới, khả năng phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo rakết quả mới Tư duy sáng tạo cần nhấn mạnh cái mới nhưng không có nghĩa

là coi nhẹ cái cũ

Loại tư duy có hiệu quả khi tư duy dẫn đến lời giải mới của một bài toánnào đó Tư duy có thể coi là tư duy sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra nhữngphương tiện, lập luận nhằm giải các bài toán sau này Nhiều bài toán có vẻđẹp riêng, có cái hay riêng, dạng muôn màu muôn vẻ thì mức độ sáng tạo của

tư duy càng nhiều Ví dụ như sự cố gắng của con người tìm tòi, phát hiện rađược các phương pháp mới áp dụng cho những bài toán khác Giải một bàitoán vạch được các ý gợi mở có thể nói là một cách sáng tạo gián tiếp, chẳnghạn như ta ra để một bài toán chưa có hướng giải quyết nhưng đã giúp íchngười khác trong việc suy luận để giải bài toán hiệu quả hơn

Tư duy sáng tạo có thể hiểu là một loại hình tư duy mang hướng tích cựchơn, cũng là loại hình tư duy độc lập Khi nhắc đến tư duy sáng tạo là nóiđến việc học sinh tự tìm tòi, khám phá, suy luận tự tìm cách giải quyết mộtvấn đề trong giải toán Não bộ gặp tình huống gợi vấn đề, loại hình tư duysáng tạo nhằm mục đích giúp con người giải quyết được các mâu thuận tồntại trong tình huống đó với hiệu quả cao, có tính hợp lý Tư duy sáng tạomang lại cho học sinh một công cụ, một niềm tin, sự phấn khích sau khi tìm

ra được giải pháp Nói tóm lại, tư duy sáng tạo là một loại hình tư duy có

sự độc lập, tư duy dùng não bộ để tạo ra ý tưởng, phát hiện mới mang tínhriêng biệt, độc đáo và hiệu quả giải quyết vấn đề cao

Các đặc trung cơ bản của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu, tư duy sáng tạo được cấu thành bởi 5 thành phần sau:

- Tính mềm dẻo: là khả năng con người có thể chuyển từ hoạt động trí tuệnày sang hoạt động trí tuệ khác

- Tính nhuần nhuyễn: là khả năng con người nghĩ ra được nhiều giải pháp

ở nhiều góc độ khác nhau và tình huống khác nhau

- Tính độc đáo: là khả năng con người có thể tìm kiếm và đưa ra quyếtđịnh có phương thức giải quyết mới, lạ hoặc duy nhất

- Tính hoàn thiện : là khả năng con người có thể lập kế hoạch, liên kết,phối hợp các ý nghĩ, hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh

ý tưởng

- Tính nhạy cảm vấn đề: là năng lực của con người phát hiện nhanh đượccác vấn đề sai, mâu thuẫn, sự thiếu logic, Từ đó, nảy sinh ra các ý muốncấu trúc lại vấn đề một cách hợp lí, hài hòa nhằm tạo ra cái mới độc đáo

1.1.3 Hoạt động chứng minh

Chứng minh có thể hiểu là con người dùng não bộ để suy luận, con ngườisuy luận dựa vào những phán đoán (mệnh đề) mang tính đúng đắn đã đượcnhà toán học, nhà nghiên cứu công nhận để lại nhằm mục đích khẳng địnhtính chân thực của một mệnh đề khác đã được chứng minh

Chứng minh được chia thành ba bộ phận như sau:

1) Luận đề là các mệnh đề chúng ta cần phải chứng minh Trong các bàitoán chứng minh nó trả lời câu hỏi; “Ta cần chứng minh điều gì”

2) Luận cứ là các mệnh đề được chúng ta thừa nhận (định nghĩa, tiên đề,định lý, ) được áp dụng làm tiền đề trong mỗi khi suy luận giải bài toán.Trong bài toán chứng minh nó trả lời cho câu hỏi “Ta cần chứng minh ápdụng kiến thức nào”.

3) Luận chứng là các suy luận tổng quát được vận dụng trong mỗi bướcsuy luận của bài toán chứng minh Trong bài toán chứng minh, trả lời chocâu hỏi: “Để có điều này, ta cần chứng minh như thế nào, sử dụng quy tắcsuy luận gì”

Ta thường sử dụng hai phương pháp chứng minh thường dùng là chứngminh trực tiếp và chứng minh gián tiếp Phương pháp chứng minh trực tiếp

là cách chứng minh ta cần đưa ra luận cứ và sử dụng các quy tắc suy luận

để tư duy rút ra luận đề Từ đó, sử dụng các quy tắc suy luận đi từ giả thiếtđến kết luận Ngoài ra, phương pháp chứng minh gián tiếp có một phươngpháp hay sử dụng đó là phương pháp chứng minh phản chứng [xem 13].1.2 Cơ sở thực tiễn

1.2.1 Thực trạng dạy học chuyên đề Tam thức bậc hai và các

dạng bất đẳng thức liên quan ở trường Trung học phổthông

Chúng tôi tiến hành khảo sát thực trạng của việc dạy và học chuyên đềbất đẳng thức, rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua dạy học chuyên đề bấtđẳng thức ở trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai, Bắc Từ Liêm, Hà Nội.Đây là trường công lập có uy tín, chất lượng cao trên địa bàn Tôi đã khảosát dưới hình thức phát phiếu hỏi (20 phiếu của GV và 60 phiếu của HS), dựgiờ (4 tiết), nghiên cứu giáo án, vở ghi của HS và trao đổi trực tiếp với cán

bộ quản lí, giáo viên và học sinh trong trường

Sau khi thống kê các phiếu khảo sát, kết quả thu được như sau:

Đối với học sinh:

Sau khi nhận được các phiếu trả lời của học sinh, không có học sinh nào

để trống câu trả lời

I Trong quá trình làm bài thi và bài kiểm tra, các em thường mắc phải nhữngkhó khăn, sai lầm nào? (điền vào ô trống 1 trong 4 mức độ lựa chọn)

1 Rất thường xuyên 3 Thỉnh thoảng

Bảng 1.1 Kết quả mức độ mắc sai lầm của học sinh trong các bài thi vàbài kiểm tra

1 Do HS chưa biết cách trình bày

8 Nguyên nhân khác Không hiểu đề bài: 5%

Không phân bố khoa họcthời gian làm bài: 22%

Nhận xét Như vậy qua câu hỏi này, trong quá trình làm bài kiểm tranhiều học sinh không biết cách trình bày hay vận dụng chưa xét hết cáctrường hợp có thể xảy ra Điều đó cho thấy tư duy HS còn theo khuôn mẫu,chưa linh hoạt, sáng tạo

II Thống kê vào bảng sau:

Bảng 1.2 Kết quả đánh giá mức độ sáng tạo của HS

3 Em có nắm và hiểu được bài ngay

trên lớp không và có hỏi lại khi

không hiểu bài không?

4 Trong học tập, khi gặp một bài toán

có vấn đề em có từng đặt ra một

trong các câu hỏi như: Nếu có kết

luận sẽ có điều gì? Kiểm tra hết sai

sót bài hay không? Mình nên thử

tìm cách giải khác không?

5 Khi giải một bài toán em có suy nghĩ

để tìm ra nhiều cách giải sau đó chọn

cách giải độc đáo nhất không?

6 Kết quả bài kiểm tra của em được

điểm không được cao và có một số

lỗi sai, em có tìm ra lỗi sai đó không?

Nhận xét Nhiều HS đã có hướng tự phát triển tư duy sáng tạo bằng cách

tự sáng tạo các bài toán khác nhau Một số HS luôn tìm tòi hướng tìm lờigiải khác nhau cho một bài toán Điều đó cho thấy bước đầu HS đã có nhữngbiểu hiện tư duy sáng tạo thể hiện thông qua nhận thức và thực hiện nhữnghoạt động mang tính rèn luyện tư duy sáng tạo trong các giờ học Toán.III Sau khi học 2 tiết môn Toán về chuyên đề này, HS nêu ý kiến cá nhâncủa mình:

1 Điều gì làm HS thấy thú vị nhất: Cô dạy nhiều cách sáng tạo bất đẳngthức, các con được hoạt động nhóm nhiều,

2 Khó khăn HS gặp phải: Một số HS còn mơ hồ cách vận dụng bất đẳng

3 Để nhớ được nội dung kiến thức bài học, HS có thường sử dụng bản đồ

tư duy: 22% HS sử dụng, 78% HS không sử dụng

HS nêu cách học khác: Thông qua làm bài tập: 8%

4 Trong quá trình học toán, theo em có cần thiết trao đổi, thảo luận vớinhóm bạn (học nhóm) để tăng hiệu quả học tập không?

tư duy sáng tạo chưa?

A Biết rõ, quan tâm và tìm hiểu: 22%

B Biết rõ nhưng không quan tâm: 28%

C Có từng nghe nhưng chưa thực sự hiểu: 48%

D Chưa nghe nói đến và chưa tìm thấy bao giờ cả: 2%

Nhận xét chung Như vậy, qua bài khảo sát ý kiến từ HS, hầu hết họcsinh đã từng nghe nhưng chưa quan tâm lắm HS trao đổi được nghe qua GV

bộ môn, nguồn thông tin Internet, trên chương trình giáo dục Việt Nam Dù100% các em đều cảm thấy tư duy sáng tạo rất quan trọng đối với việc học,phát triển tư duy nhưng rất ít HS tìm hiểu (22%) về loại hình tư duy này.Đối với giáo viên:

Câu 1: Một trong những mục tiêu giáo dục môn Toán ở trường phổ thônghiện nay là rèn luyện tư duy cho học sinh Các thầy/ cô có biết về tư duysáng tạo hay không?

A Biết rõ tư duy sáng tạo là gì và đã quan tâm, tìm hiểu: 75%

B Biết rõ tư duy sáng tạo là gì nhưng không quan tâm phát triển cho HS:0%

C Có nghe nhưng chưa thực sự hiểu: 25%

D Chưa được ai nhắc đến hay nghe thông tin từ mạng bao giờ: 0%

Nhận xét Kết quả khảo sát cho thấy phần lớn giáo viên biết rõ và quantâm rèn luyện tư duy cho học sinh

Câu 2: Theo thầy/ cô có nên rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPTtrong bộ môn Toán hay không?

Câu 3: Xin thầy/ cô cho biết quan niệm của mình về tư duy sáng tạo

Bảng 1.3 Kết quả đánh giá nhận thức của GV về tư duy sáng tạo

cấu trúc tư duy Toán học

loại hình tư duy mangtính cực và tính độc lập

Hay nói cụ thể hơn, tưduy sáng tạo là việc họcsinh tự tìm hiểu, khámphá, tự tìm tòi cách giảiquyết một vấn đề tronggiải toán

3 Tư duy nảy sinh khi gặp

vấn đề có hoàn cảnh

mục tiêu quan trọng tronggiảng dạy bộ môn Toán,cần rèn luyện và hìnhthành tư duy sáng tạo chohọc sinh

5 Môi trường giáo dục hiện

tại đòi hỏi tư duy sáng tạohơn bao giờ hết

6 Tư duy của con người và

ngôn ngữ tư duy luôn cómối quan hệ chặt chẽ, mậtthiết với nhau

7 Để phát triển tư duy sáng

tạo, giáo viên cần khuyếnkhích học sinh thảo luận,tranh luận, đặt câu hỏi

8 Năng lực tư duy sáng tạo

giúp HS có tư duy trừutượng hơn

tảng để học sinh pháttriển tư duy

Bảng 1.4 Kết quả dánh giá HS gặp khó khăn khi giải bài toán bất đẳngthức

3 Làm sai vì chưa phân tích

điều kiện đề bài

bản và các bất đẳng thức

5 HS hiểu các dạng bài

tập cơ bản nhưng khôngghi nhớ được để làmcông cụ làm bài tập kháchoặc nắm được nhưng vậndụng một cách máy móc,thiếu sáng tạo

Nhận xét Như vậy, GV đánh giá, nhìn nhận được các lỗ hổng của HSkhi dạy học bộ môn Toán Tuy nhiên, nhiều GV đang gặp phải khó khăn khi

sử dụng phương pháp dạy học

Đánh giá chung thực trạng của HS và GV

Qua phân tích kết quả điều tra thực trạng, tôi cho rằng nhìn chung việcrèn luyện tư duy sáng tạo cho HS hiện nay ở trường trung học phổ thôngchưa được quan tâm đúng mực

- Nhận thức của GV, HS về dạy và học rèn luyện tư duy sáng tạo còn mơ

hồ, chung chung

- Chưa có môi trường sư phạm thích hợp cho việc dạy học tư duy nói chung

và rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS nói riêng

- GV còn chưa chú ý rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS trong quá trình dạyhọc

- Nhà trường hiện nay còn ảnh hưởng bởi cách dạy truyền thống, chưa ápdung nhiều phương pháp dạy học tích cực, hiện đại để giúp HS chủ động, tìmtòi

Như vậy, kết quả nghiên cứu thực trạng cho thấy từ nhận thức đến biệnpháp rèn luyện tư suy sáng tạo cho HS của GV THPT còn chung chung, đơnđiệu Thực tế này có nhiều nguyên nhân và lí do khác nhau mà nguyên nhânchính là GV chưa thực sự đầu tư thời gian tìm hiểu, học hỏi, tìm phươngpháp dạy học đẩy mạnh tính chủ động của HS

1.2.2 Tam thức bậc hai

Trong chương trình đại số phổ thông, bất đẳng thức cơ bản và cũng rấtnền tảng dạng toán bất đẳng thức, tìm GTLN, tìm GTNN chính là bất đẳng

(x1)2+ (x2)2 ≥ 2.x1.x2, ∀x1, x2 ∈ R.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2

Dạng bất đẳng thức (1.1) là dạng bậc 2 đơn giản nhất mà HS đã đượchọc và tìm hiểu ở chương trình Đại số lớp 9 Trong nội dung giảng dạy Đại

số 9, định lý Vi-et đóng vai trò quan trọng giúp HS tính toán, tư duy ướclượng nhanh các giá trị một số biểu thức dạng đối xứng theo các nghiệm củaphương trình bậc hai tương ứng Định lý Vi-et xuất hiện trong rất nhiều kỳthi tuyển THPT, HSG với đối tượng HS lớp 9 HS bước vào chương trình Đại

số 10, dạng bào tập ứng dụng định lý thuận và đảo về dấu của tam thức bậchai cũng là công cụ hữu hiệu cần thiết cho HS khi làm nhiều dạng toán ở bậcTHPT

Định lý 1.1 Xét dấu tam thức bậc hai f (x) = ax2+ bx + c, a 6= 0

Khi đó

af (x) =



ax + b2

(ii) Xét ∆ = 0 ta có af (x) ≥ 0, ∀x ∈ R

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = −b

2a;(iii) Nếu ∆ > 0 thì a.f (x) = a2(x − x1)(x − x2) với

1.2.3 Các bất đẳng thức chứa tam thức bậc hai cơ bản và ứng

dụng giải bất đẳng thức liên quan

a) Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean and GeometricMean)

Định lý 1.3 Với mọi bộ số thực dương a1, a2, a3, , an ta luôn có bất đẳngthức

a1+ a2+ a3+ · · · + an

a1.a2.a3 an (1.3)Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = · · · = an

Chứng minh Ta có thể sử dụng phương pháp “quy nạp Cauchy” để chứngminh

• Giả sử (1.3) đúng với n = p − 1 Đặt ap = a1+ ap−1

p − 1 ≥ p−1√

a1 ap−1

≥ √p

a1 ap−1 p−1√

a1 ap−1 = p−1√

a1 ap−1.Suy ra a1+ · · · + ap−1+ p−1√

b) Bất đẳng thức Cauchy -Schwarz

Định lý 1.4 Giả sử a1, a2, , an; b1, b2, , bn là 2n số thực Khi đó

(a1b1+ a2b2+ · · · + anbn)2 ≤ (a21+ a22+ · · · + a2n)(b21+ b22· · · + b2n) (1.4)Chứng minh Ta thấy có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo

n Bất đẳng thức (1.4) cần chứng minh tương đương với

|a1b1+ a2b2+ · · · + anbn| ≤

q(a21+ a22+ · · · + a2

n)(b21+ b22· · · + b2

n).Khi n = 2, BĐT (1.4) trở thành

(a1b1+ a2b2)2 ≤ (a21+ a22)(b21+ b22) ⇔ (a1b1− a2b2)2 ≤ 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1b1 = a2b2

Giả sử BĐT (1.4) đúng với giá trị n ≥ 2 nào đó Ta cần phải chứng minhBĐT đúng với n + 1

1+ b2

2· · · + b2

n + b2 n+1),

với bất kỳ hai bộ 2(n + 1) số

a1, a2, , an, an+1; b1, b2, , bn, bn+1

Bằng cách áp dụng BĐT tam giác của các số thực, nhóm các số hạng thuđược thành hai nhóm và sử dụng giá thiết quy nạp (BĐT đã đúng với n ≥ 2)

và điều đã kiểm tra cho trường hợp n = 2, ta được

c) Bất đẳng thức Schur

Định lý 1.5 Với các số thực không âm a, b, c và t ∈ R bất kì thì

at(a − b)(a − c) + bt(b − c)(b − a) + ct(c − a)(c − b) ≥ 0 (1.5)Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong chúng bằngnhau hoặc số còn lại bằng 0

Khi t là một số nguyên dương chẵn thì BĐT (1.5) đúng với mọi số thực

Vì mọi số hạng vế trái không âm suy ra ĐPCM

Trường hợp t < 0, tương tự như trường hợp đã xét, ta thu được

(b − c)[ct(a − c) − bt(a − b)] + at(a − b)(a − c) ≥ 0

Đặc biệt ứng với t = 1, ta xét các trường hợp sau

- Xét trường hợp khi b = 0, c = 0 Khi đó BĐT đã cho tương đương a3 ≥ 0hay a > 0 (hiển nhiên đúng)

- Xét trường hợp khi b + c > 0 và biến đổi vế trái của BĐT, ta thu được

a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b)

Kết luận chương 1

Trong chương 1, luận văn đã trình bày rõ rệt được cơ sở lí luận và thựctiễn Ở cơ sở lý luận, luận văn đã trình bày được khái niệm, đặc điểm, đặctrưng của tư duy và nêu được khái niệm về tư duy sáng tạo Ngoài ra ở cơ

sở lý luận, luận văn chỉ ra được hiện trạng học và dạy hiện nay: Giáo viênchưa đầu tư thời gian, công sức để tìm hiểu, rèn luyện tư duy sáng tạo chohọc sinh Từ đó người dạy định hướng rèn luyện tư duy sáng tạo thông quachuyên đề tam thức bậc hai và các bất đẳng thức liên quan

CHƯƠNG 2RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠOCHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRONG DẠY HỌC

CHUYÊN ĐỀ "TAM THỨC BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG

VÀ CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN"

2.1 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi

thông qua dạy các dạng toán về tam thức bậc haiTrong phần này, ta trình bày các dạng toán về tam thức bậc hai một biến.Trước hết ta phân loại theo các dạng toán

2.1.1 Phân loại các dạng toán về biểu thức đại số chứa một

biến, ba biến liên quan đến tam thức bậc hai một biến

Khái niệm và đặc điểm của tư duyPhân loại các dạng toán về biểu thứcđại số chứa một biến, ba biến liên quan đến tam thức bậc hai một biếnDạng 1 Các bất đẳng thức cơ bản đưa về khảo sát tam thức bậchai

Trong mục này sử dụng tính chất x2 ≥ 0, ∀x ∈ R Dấu đẳng thức xảy rakhi và chỉ khi x = 0

a +

1

c =2

b.

Chứng minh.

a) Ta có

(bx + ay)(ax + by) ≥ (a + b)2xy, ∀a, b ∈ R+; x, y ∈ R

⇔abx2+ aby2+ (a2+ b2)xy ≥ (a + b)2xy

⇔ab(x − y)2 ≥ 0, BĐT này luôn đúng

b) Ta có √c + a

c2+ a2 ≥ √c + b

c2+ b2.Bình phương hai vế BĐT cần chứng minh, ta thu được

b =

1

2 +

a2c;

b − 1

+

c

b + 12c

1 + c

a − 1

≥ 4

⇔3c2a +

1

2+

3a2c +

(1 + a + b + c)2

2 ≥ 0 ⇔ 1 + a + ab + bc + ca + b + c ≥ 0 (2.7)Cộng (2.6) và (2.7) ta suy ra đpcm

Ví dụ 2.4 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minhrằng a + ab + 2abc ≤ 9

2.Chứng minh Từ giả thiết đề bài cho, ta rút ra b = 3 − a − c Bất đẳngthức trên tương đương bất đẳng thức sau

a(3 − a − c) + a + 2ac(3 − a − c) ≤ 9

2.Bất đẳng thức trên tương đương với

Áp dụng định lý dấu của tam thức bậc hai, ta suy ra f (a) ≥ 0

Ví dụ 2.5 Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện

Ta có f (y) là một tam thức bậc hai có hệ số của y2 là 1+z −z2 = 1+z(1−z) ≥

Dạng 2 Các dạng toán cực trị đưa về khảo sát tam thức bậc hai

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng phân thức,chúng ta có thể dựa vào bài toán tổng quát dưới đây Bài toán này cũng làphương pháp giải cho các ví dụ trình bày phía dưới

Ví dụ 2.6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

c2

và B 6= a1

a2

.Giả sử B là một giá trị của biểu thức, B 6= c1

c2 và B 6=

a1

a2.Khi đó ta có phương trình

a1x2+ b1x + c1

a2x2+ b2x + c2 = Bphải có nghiệm, hay phương trình (a2B − a1)x2+ (b2B − b1)x + (c2B − c1) = 0phải có nghiệm

Suy ra max B = B2 và min B = B1, đạt được khi xảy ra đồng thời

Lời giải Giả sử giá trị của biểu thức là B = B0 khi và chỉ khi phương trình

2011.

A = 2011



t − 12011

2

+ 2010

2011 ≥ 2010

2011.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1

2011 khi và chỉ khi x = 2011 (thỏamãn)

⇔ (A − 1)x2+ 2x − 2011 = 0 (2.8)Nếu A − 1 = 0 thì A = 1 thì (2.8) suy ra

x = 2011

Nếu A − 1 6= 0 thì (2.8) là phương trình bậc hai đối với ẩn x

Suy ra x tồn tại khi phương trình (2.8) có nghiệm khi và chỉ khi

∆0 ≥ 0 ⇔ 2011(A − 1) + 12 ≥ 0 ⇔ A ≥ 2010

2011.Dấu đẳng thức xảy ra khi (2.8) có nghiệm kép

x2− x + 13(x2+ x + 1) +

2(x2− 2x + 1)3(x2+ x + 1) .

A = 1

3+

2(x − 1)23(x2+ x + 1) ≥ 1

3.Suy ra min A = 1

3 với x = 1.

Cách 2 Phương pháp miền giá trị của hàm số

Giả sử biểu thức A có giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sao cho

có nghiệm là

a = x

2− x + 1

x2+ x + 1.

Trường hợp 2 Nếu a 6= 1 thì đẳng thức (2.11) có nghiệm, cần và đủ là

Ta thấy rằng, đề bài cho x + y + z = 1 ta có z = 1 − x − y, khi đó ta có

P = 9xy + 11zx + 10yz = 9xy + z(10y + 11x) = 9xy + (10y + 11x)(1 − x − y).Khai triển biểu thức và rút gọn, ta thu được

P = −11x2+ 11x + 10y − 10y2− 12xy

Tương đương với

10y2+ 11x2− 10y + (12y − 11)x + P = 0 (2.13)Coi đây là tam thức bậc hai ẩn x, để P tồn tai giá trị lớn nhất thì phươngtrình (2.13) phải có nghiệm, tức

∆ = (11 − 12y)2− 44 10y2− 10y + P
≥ 0



·



− 544510952



= 495

148.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x = 11 − 12y

2574

x = +r 3

2, y = 0, z = −

r 32

nên giá tri nhỏ nhất của P là −3.

Lời giải trên rất nhanh và hay Tuy nhiên cách đánh giá khá khó với nhiều

HS Tôi xin giới thiệu cách giải dễ hiểu hơn như sau

Quan sát lai đề bài, ta nhận thấy rằng biểu thức P có đai lượng 2zx, y.(z +x) Ở giả thiết xuất hiện x2+ z2 nên ta sẽ làm cách nào đó tạo được 2zx +

x2+ z2 = (x + z)2 và khi đó, ta sẽ có một phương trình bậc hai theo (z + x)

Ta có

P = xy + yz + 2zx + x2 + y2+ z2 − 3khi và chỉ khi

(x + z)2+ (x + z) · y + y2− P − 3 = 0

Để tồn tai P thì phương trình bậc hai theo (x + z) phải có nghiệm, tức là

∆x+2 = y2− 4 y2 − P − 3
≥ 0khi và chỉ khi

x = +r 3

2, y = 0, z = −

r 32nên giá tri nhỏ nhất của P là −3

Như vậy, một lần nữa ta lai thấy được sự hiệu quả của phương pháp tamthức bậc hai

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của P

Để tìm giá trị lớn nhất của P, ta tìm số thực k > 0 nhỏ nhất sao cho bấtđẳng thức sau đúng với mọi số thực x, y, z thỏa mãn x2+ y2+ z2 = 3

P = xy + yz + 2zx ≤ k x2+ y2+ z2
Bất đẳng thức này tương đương

k · y2− (x + z) · y + kx2+ kz2− 2xz ≥ 0

Vì k > 0 nên ta sẽ tìm k sao cho ∆y ≤ 0, ∀x, z tức là

(x + z)2− 4k kx2+ kz2− 2xz
≤ 0, ∀x, z

1 − 4k2 x2+ 2xz(1 + 4k) + z2
≤ 0, ∀x, z (2.14)Đặt x = tz ta có (2.14) tương đương

⇔k ≥ 1 +

√3

Vậy kmin = 1 +

√3

2 , từ đó suy ra

P = xy + yz + 2zx ≤ k x2+ y2+ z2
= 3(1 +

√3)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y =

r

3 −√3

2 , x = z =

r

3 +√3

Vậy giá trị lớn nhất của P là 3(1 +

√3)

Mặt khác

(1 + a + b + c)2

2 ≥ 0 ⇔ 1 + a + b + c + ab + bc + ac ≥ 0 (2.16)Cộng (2.15), (2.16) ta có 2(1 + a + ab + b + bc + c + ac) + abc ≥ 0 ĐPCMBài toán 2.2 Chứng minh rằng a ≥ 4; b ≥ 5; c ≥ 6 và a2 + b2+ c2 = 90 thì

Vậy 16 ≤ a + b + c, dấu đẳng thức xảy ra khi a = 4; b = 5; c = 7

Bài toán 2.3 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc ≥ 0 Chứng minh rằng

Vì ta có (a − b)2+ (b − c)2+ (c − a)2 ≥ 0 và kết hợp bài trên ta được

a2+ b2+ c2+ kabc + 2k ≥ k(a + b + c) + ab + bc + ac (với 0 ≤ k ≤ 2)

Chọn k = 1 ta có bài toán sau