Một số giải pháp nâng cao kĩ năng giải các bài toán tích phân của một số hàm ẩn cho học sinh lớp 12 trường THPT hàm rồng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM ẨN CHO HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG CAO KĨ NĂNG

GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM ẨN CHO HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

Người thực hiện: Đỗ Thị Lan Chức vụ: Giáo viên Môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2020

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 2

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

2 NỘI DUNG 2

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 2

2.2 CƠ SỞ THỰC TIỄN 3

2.2.1 Thực trạng của đề tài 3

2.2.2 Giải pháp tổ chức thực hiện 4

2.2.3 Phương pháp tính tích phân một số hàm ẩn 4

2.2.3.1 Phương pháp biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản 4

2.2.3.2 Phương pháp đổi biến số 8

2.2.3.3 Phương pháp tính tích phân từng phần 11

2.2.3.4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dưới tích phân 133

2.2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 19

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19

3.1 KẾT LUẬN 19

3.2 KIẾN NGHỊ 20

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong Chương trình phổ thông, phép tính tích phân chiếm một vị trí hết sứcquan trọng trong Toán học, tích phân được ứng dụng rộng rãi trong thực tế như

là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó là một trong những cơ sở

để nghiên cứu Giải tích hiện đại Ngoài ra phép tính tích phân còn được ứngdụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học,

Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và nó

có mặt hầu hết trong các kỳ thi như thi THPT- QG, thi học sinh giỏi các cấp.Hiện nay với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân còn được yêu cầu rộnghơn và đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn và tích phân của một số hàm

ẩn đã được đưa vào để yêu cầu học sinh, mặc dù đã được học kỹ các phươngpháp tính tích phân, nhưng đứng trước yêu cầu về tính tích phân của hàm ẩn đa

số các em còn nhiều lúng túng và thậm chí là không định hình được lời giải khiđứng trước các bài toán dạng này

Muốn học sinh học tốt được tích phân thì mỗi người Giáo viên không phảichỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trongcác sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách gập khuôn, máy móc, làmcho học sinh học tập một cách thụ động Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc họctập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ khôngcao Nó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các emthành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với nhữngđổi mới diễn ra hàng ngày

Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy họcmôn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh Vìvậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết

kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế

Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có có hệ thống kiếnthức về tính tích phân của hàm ẩn và tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nângcao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục , tôi đã chọn đề tài

sáng kiến kinh nghiệm “Một số giải pháp nâng cao kĩ năng giải các bài toán tích phân của một số hàm ẩn cho học sinh lớp 12 trường THPT Hàm Rồng ”.

Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và thànhthạo trong việc tính tích phân nói chung và tích phân của hàm ẩn nói riêng

đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức

- Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề thenchốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo

- Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phầnnâng cao chất lượng dạy học

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Chương Nguyên hàm - Tích phân và chủ yếu là phương pháp tính tích phâncủa một số hàm ẩn

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :

+ Nghiên cứu tài liệu :

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đềtài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

- Tham khảo các đề minh họa thi THPT - QG của Bộ GD và đề thi thử củacác trường trên toàn Quốc

+ Nghiên cứu thực tế :

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung tích phân

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông quacác tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

- Nghiên cứu khả năng nắm bắt của học sinh qua từng tiết học

- Tìm hiểu qua phiếu thăm dò của học sinh

tích phân của ftrên đoạn [a;b]

Người ta dùng kí hiệu F(x)ba để chỉ hiệu số F(b) F(a) - Như vậy Nếu F là một

nguyên hàm của f trên K thì òb = b =

-a a

Giả sử f ,g liên tục trên K và a, b,c là ba số bất kì thuộc K Khi đó ta có

2.1.3 Phương pháp đổi biến số

Tính tích phân

b

a

I =òg(x)dx.Giả sử g(x) được viết dưới dạng f u(x) u (x)[ ] ¢ ,

trong đó hàm số u(x)có đạo hàm trên K , hàm số y f u    liên tục sao cho hàm hợp f u(x)[ ] xác định trên K và a, b là hai số thuộc K Khi đó

u (b) b

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho

x Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là

ò ò (trong đó u, v có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K).

2.2 CƠ SỞ THỰC TIỄN

2.2.1 Thực trạng của đề tài

Năm học 2019 - 2020 với tình hình dịch bệnh covid diễn ra nên học sinh phảinghỉ học nhiều, bộ GD-ĐT thay đổi phương án thi THPT quốc gia sang thi tốtnghiệp THPT đòi hỏi phương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp

Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT, đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi thửcủa các trường THPT trên toàn Quốc, học sinh thường gặp một số câu về tính tíchphân của hàm ẩn và các bài toán có liên quan, đây là các bài ở mức độ vận dụng đểlấy điểm cao Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo được cho các em cóthêm phương pháp, có linh hoạt hơn trong việc tính tích phân và nâng cao tư duytrong giải toán nhằm lấy được điểm cao hơn trong bài thi

Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tậpcủa học sinh trường THPT Hàm Rồng (thông qua các lớp trực tiếp giảng dạy) về cácbài toán tính tích phân của hàm ẩn, đã thu được kết quả như sau:

số ví dụ tương ứng đó là: Phương pháp biến đổi để đưa về nguyên hàm cơ bản,Phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần và tạo bình phươngcho biểu thức dưới dấu tích phân

2.2.2 Giải pháp tổ chức thực hiện

Thực hiện đề tài này tôi chia nội dung thành bốn phần

Phần 1 Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản

Phần 2 Phương pháp đổi biến số

Phần 3 Phương pháp tính tích phân từng phần

Phần 4 Tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân

Mỗi phần được thực hiện theo các bước:

- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài

Đặt v(x) = u (x) ¢ ta được [u(x).f (x)]¢=v(x).f (x) u(x).f (x)+ ¢ (*) Như vậy nếu

biểu thức có dạng v(x).f (x) u(x).f (x)+ ¢ ta có thể biến đổi đưa về dạng

[u(x).f (x) ¢] Khi đó ta có bài toán tổng quát cho ví dụ 5 như sau:

Cho A(x);B(x);g(x)là các biểu thức đã biết Tìm hàm số f (x) thỏa mãn

A(x)f (x) B(x)f (x)+ ¢ =g(x) (**)

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**) Û [u(x).f (x)]¢= g(x)

Trong đó u(x) được chọn sao cho: u (x) A(x) u (x) A(x)

Þ từ đây ta sẽ chọn được biểu thức u(x)

Ví dụ 7: Cho f (x) có đạo hàm trên [ ]0;1 thỏa mãn f (1) 1

I =òg(x)dx.Giả sử g(x) được viết dưới dạng f u(x) u (x)[ ] ¢ ,

trong đó hàm số u(x) có đạo hàm trên K, hàm số y = f u( ) liên tục sao cho

hàm hợp f u(x)[ ] xác định trên K và a, b là hai số thuộc K Khi đó

u (b) b

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho

x Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là

íï = Þ ïî

-

íï

ï = Þ = ïïïî

Ví dụ 4: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ ]0;3 và thỏa mãn f (x).f (3 x) 4

íï = Þ = ïî

íï = Þ = ïî

u(x)v (x)dx¢ = u(x)v(x) - v(x)u (x)dx¢

ò ò (trong đó u, vcó đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai số thuộc K)

2 1

Nếu f (x) ³ 0 với " Î x [a;b] thì

Nhận xét : Giả thiết chứa [ ]2

f (x) và xf (x) nên ta tạo bình phương dạng

Nhận xét : Giả thiết chứa [ ]2

đó trước hết ta biến đổi

Nhận xét : Giả thiết chứa éëf (x)¢ ùû và 2 f (x) nên ta chưa thể tạo bình phương, do

đó trước hết ta biến đổi 2

0

cos x.f (x)dx

p

ò để tạo biểu thức f (x)¢ bằng cách đặt

p p

2

p p

Nhận xét : Giả thiết chứa

2

f (x) x

đó trước hết ta biến đổi ( )

Ví dụ 6: Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [0;2] Biết f (2) = 7 và

Đến đây ta có hai biểu thức éëf (x) ¢ ùû2 và f (x) nên ta chưa thể tạo bình phương, do

đó trước hết ta biến đổi

Nhận xét : Giả thiết chứa [ ]2

2.2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Hàm Rồng tôi được nhà trường giaocho giảng dạy ba lớp 12B8 và 12B9 Sau khi thử nghiệm dạy nội dung này quaviệc lồng ghép giờ dạy trên lớp, các giờ dạy tự chọn, bồi dưỡng tôi thấy học sinhrất hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả và chất lượng học toán đượcnâng lên rõ rệt

Sau khi áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát lại học sinh và thu được kết quảnhư sau:

Với đề tài này tôi cũng đã đưa ra trước tổ bộ môn để trao đổi, thảo luận vàrút kinh nghiệm Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng cóhiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vữnghơn về bản chất biến đổi trong việc tính tích phân của hàm ẩn , cũng như tạothói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 KẾT LUẬN

Dạy Toán ở trường THPT là một quá trình sáng tạo Mỗi giáo viên đều tựhình thành cho mình một con đường ngắn nhất, những kinh nghiệm hay nhất đểđạt được mục tiêu giảng dạy là đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, những chủ nhântương lai của đất nước Việc tính tích phân và ứng dụng là dạng toán không thểthiếu được trong chương trình toán phổ thông cũng như trong kì thi THPT quốcgia Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏingười giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo, thườngxuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này

Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu thamkhảo tôi và ôn thi THPT quốc gia tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên Như

vậy đề tài “Một số giải pháp nâng cao kĩ năng giải các bài toán tích phân của một số hàm ẩn cho học sinh lớp 12 trường THPT Hàm Rồng” đã giúp

học sinh có được hệ thống kiến thức, linh hoạt hơn trong việc định hướng biếnđổi và có kinh nghiệm trong việc tính tích phân nói chung và tích phân của hàm

ẩn nói riêng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng được yêu cầu đổimới trong dạy học

Cuối cùng dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồng nghiệpsong vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự góp ý, bổsung của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

3.2 KIẾN NGHỊ

3.2.1 Đối với tổ chuyên môn :

Cần có nhiều hơn các buổi họp thảo luận về nội dung phương pháp tínhtích phân Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến nhữngdạng bài tập toán trong bài giảng

3.2.2 Đối với trường :

Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học sinh bổtrợ nhau về kiến thức Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựngbài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán

3.2.3 Đối với sở giáo dục :

Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thờisau mỗi năm sở sẽ tập hợp những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sáchnội bộ để gửi về các trường làm sách tham khảo cho học sinh và giáo viên

Đỗ Thị Lan

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1 Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn

Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên)

2 Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam Nguyễn Huy

Đoan (Chủ biên)

3 Đề minh họa môn Toán năm 2020, Bộ Giáo dục và đào tạo

4 Đề thi tham khảo tốt nghiệp THPT năm 2020, Bộ Giáo dục và đào tạo

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI

Họ và tên tác giả: Đỗ Thị Lan

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Hàm Rồng

giá xếp loại

Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học đánh giá xếp loại

1.

Sử dụng tư duy sáng tạo, tư

duy ngược trong dạy học toán

THPT qua nội dung phương

trình và bất phương trình

Sở Giáo dục

và đào tạoThanh Hóa

C 2010 – 2011

2

Vận dụng tư duy triết học duy

vật biện chứng trong dạy học

và nghiên cứu bất đẳng thức

ở trường THPT

Sở Giáo dục

và đào tạoThanh Hóa

C 2011 - 2012

3

Rèn luyện năng lực khái quát

hóa, đặc biệt hóa và tương tự

cho học sinh thông qua khai

thác một BĐT lượng giác

Sở Giáo dục

và đào tạoThanh Hóa

C 2018 - 2019