Một số cách giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất cho học sinh THPT

MỤC LỤC MỤC LỤC Nội dung Trang 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CHO HỌ

MỤC LỤC MỤC LỤC

Nội dung Trang

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC

CÓ MÔĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

CHO HỌC SINH THPT

Người thực hiện: Trịnh Đình Chiến Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ, NĂM 2020

MỤC LỤC

1.MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận

2.1.1 Định nghĩa số phức………

2.1.2 Hai số phức bằng nhau………

2.1.3 Biểu diễn hình học của số phức…

2.1.4.Phép cộng và phép trừ số phức………

2.1.5 phép nhân số phức………

2.1.6 Số phức liên hợp………

2.1.7 Môdun của số phức………

2.1.8 Phép chia số phức………

2.1.9 Một số kiến thức áp dụng………

2.1.10 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp…………

2.2 Cơ sở thực tiễn

2.3 Các phương pháp tìm số phức có môdun lớn nhất, nhỏ nhất

2.3.1 Dạng 1

2.3.2 Dạng 2

2.3.3 Dạng 3

2.4 Kiểm chứng , so sánh

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ………

3.1 Kết luận

3.2 Kiến nghị

Tài liệu kham khảo

1 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3

4

4 4 5 5 5 5 9

10 11 13 13 13 14

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước trên thế giới, nhưng lại là nội dung mới với học sinh trung học phổ thông ở Việt Nam, và thực sự gây không ít khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế Bên cạnh

đó các bài toán về số phức trong những năm gần đây không thể thiếu trong các

đề thi THPT Quốc gia Đặc biệt việc giải bài toán “Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức” không phải là bài toán quá khó đối với học sinh Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán trên.Vấn đề là thông qua bài toán này học sinh biết khai thác kiến thức cơ bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, bài toán cực trị trong hình học, để từ đó giải quyết được bài toán

“Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho trước”.

Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của mình Riêng bản thân, ở mối tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn trăn trở tìm ra những phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối tượng học sinh,

và tìm mọi cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức một cách thụ động Đồng thời nâng cao trình độ tư duy và sức sáng tạo của học sinh Chính vì vậy mà tôi chọn

đề tài “Một số cách giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất cho học sinh THPT” để viết sáng kiến kinh nghiệm

1.2 Mục đích nghiên cứu

Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh bậc trung học phổ thông hiện nay Vì mới đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập

3

cũng như các dạng bài tập về số phức trong Sách giáo khoa còn nhiều hạn chế Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh gặp không

ít những khó khăn Bài toán tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn

số phức z và bài toán tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất có quan hệ

mật thiết vơi nhau Trong quá trình giảng dạy phần nội dung này tôi nhận thấy vẫn còn một số học sinh chưa giải quyết được bài toán tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức mặc dù tập hợp các điểm cần tìm thông thường là đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol, Nhiều học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhât Để làm tốt được bài toán này trước hết học sinh phải tìm được tập hợp các điểm biểu diễn số phức sau đó áp dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, hình giải tích trong mặt phẳng: đường thẳng, đường tròn, Elíp, để từ đó tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài được áp dụng trong phần tìm GTLN-GTNN của biểu thức có liên

quan đến số phức Phương pháp này dành cho học sinh ôn thi học sinh giỏi và

ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Ở đây tôi nêu ra phương pháp xây dựng cơ sở lí thuyết thông qua một số bài toán cụ thể về số phức Trong mỗi ví dụ tôi đã cố gắng phân tích để dẫn dắt người đọc hiểu và áp dụng được phương pháp để giải tốt bài toán Bên cạnh đó tôi còn nêu ra một số bài tập để người đọc có thể rèn luyện thêm kiến thức

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận

2.1.1 Định nghĩa số phức.

Một số phức là một biểu thức có dạng x+ yi , trong đó x, y là các số thực và

số i thoả mãn i1=−1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z=x + yi

i được gọi là đơn vị ảo

x được gọi là phần thực

y được gọi là phần ảo của số phức z = x +yi

Tập hợp các số phức ký hiệu là C

2.1.2 Hai số phức bằng nhau.

Cho z = x + yi và z’ = x’ + y’i.

z = z’ Û { x=x ' ¿¿¿¿

2.1.3 Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x;y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy

Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi

2.1.4 Phép cộng và phép trừ các số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:

' ( ') ( ') ' ( ') ( ')

z z a a b b i

z z a a b b i







2.1.5 Phép nhân số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:

' ' ' ( ' ' )

zz aa bb   ab a b i

2.1.6 Số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức

trên

5

Vậy z = a bi = a - bi

Tính chất của số phức liên hợp:

(1): z z

(2): z z '  z z'

(3): z z ' z z '

(4): z.z= a2b2 (z = a + bi )

2.1.7 Môđun của số phức.

Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau:

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z = OM

= a2b2

- Nếu z = a + bi, thì z = z z. = a2b2

2.1.8 Phép chia số phức khác 0.

Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a 2 +b 2 > 0 )

Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số

z -1 =

2

2 2

a b z

Thương

'

z

z của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:

1 2

.

z z



Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường

2.1.9 Một số kiến thức áp dụng.

+ Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực

Với 4 số thực a, b, c, d ta có: (ab+cd )2≤(a2+c2) (b2+d2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc

+ Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên

+ Tính chất của hàm số lượng giác

2.1.10 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp.

Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0

Phương trình đường tròn: ( x−a )2+( y−b )2=R2 .

Phương trình đường Elíp:

x2

a2+

y2

b2=1

2.2 Cơ sở thực tiễn

Trong trường THPT hiện nay có rất nhiều đối tượng học sinh, do đó công việc giảng dạy sao cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu và vận dụng giải toán không phải là công việc đơn giản của mỗi giáo viên

Để giảng dạy nâng cao kết quả học tập của học sinh trường THPT Hàm Rồng, tôi đã thực hiện nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ trong đó không thể thiếu phương pháp giảng dạy khoa học lôgic, tạo động lực để học sinh say mê, tìm tòi, nghiên cứu, trên cơ sở khoa học mà người thầy đã gieo Trong các biện pháp đó có một vấn đề liên quan đến đề tài mà tôi đang trình bày và đề tài có nhấn mạnh đến một số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi, nó không phải là để dạy ở một lớp có nhiều đối tượng học sinh Tuỳ thuộc vào yêu cầu rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải quyết

2.3 Các phương pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất.

Tìm số phức z có môđun lớn nhất (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp chung:

Bước 1 Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện Bước 2.Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ¿ (G ) sao cho khoảng cách OM có giá trị lớn nhất (hoạc nhỏ nhất)

2.3.1 Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn

7

(5 cách giải)

Ví dụ 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiên sau Tìm số phức z có

môđun lớn nhất, nhỏ nhất

1 z 2 4 i  5 2 | z−2+2i|=1

3 |

z+2−i

z+3−5i z−1+3i |= √ 2

Lời giải

Cách 1: Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi Khi đó:

( 2) ( 4) 5 (1)

Suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;4), bán

kính R  5

4 ( 2) 2( 4) 25 (2)

Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

(x 2) 2(  y 4)  (1  2 ) (  x 2)  (y 4)      5 5 (x 2) 4(  y 4) 5 

(3)

Từ (2), (3) ta suy ra: 5z 3 5 .Vậy:

min

max

1

2 3

6

x

y x

y

















Cách giải 2: (định lý về dấu của tam thức bậc 2)

Đặt t= √ x2+ y2 Do (x−2)2+(y −4)2=5⇔ x2+y2+15=4 ( x+2 y )

Ta có | x+2 y|≤ √ 5 ( x2+ y2) = √ 5.t , Suy ra t2+15≤4√5 t ⇔√5≤t≤3√5

Vậy

min

max

1

2 3

6

x

y x

y

















Cách giải 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)

Đặt x−2= √ 5sin t , y−4= √ 5cost

Tacó : x2+y2=(2+√5.sin t)2+(4+√5 cost)2=25+4√5(sin t+2 cost)

Do − √ 5≤sin t +2.cost≤ √ 5⇒5≤x2+ y2≤45⇔ √ 5≤|z|≤3 √ 5

Vậy

min

max

1

2 3

6

x

y x

y

















Cách giải 4 (Phương pháp hình học)

Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z

khi đó |z|min⇔OM min , |z|max⇔OM max

Ta có phương trình đường thẳng OI là: 2x− y=0

Đường thẳng OI cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B có toạ độ là nghiệm của

hệ phương trình:

{ ( x−2 ) 2 + ( y−4 ) 2 =5 ¿¿¿¿ ⇒A(1;2), B(3;6)

Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì OA≤OM≤OB Hay

√ 5≤|z|≤3 √ 5

Vậy:

min

max

1

2 3

6

x

y x

y

















Cách giải 5 (phương pháp hình học)

Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B như hình vẽ

Ta có |z|min⇔OM min⇔ M trùng với điểm A trên (C) gần O nhất

Ta có OI= √ 4+16=2 √ 5

Kẻ AH ⊥Ox theo định lý ta lét ta có:

AH

OA

OI =

2√5−√5

2√5 =

1 2

⇒AH=2 ⇒OH =1⇒ z=1+2 i

M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất

9

4 I

A

y

K

B

x

Kẻ BK ⊥Ox , theo định lý ta lét ta có:

4

BK =

OI

OB=

2√5

2√5+√5=

2 3

⇒BK=6 ⇒OK =3⇒ z=3+6 i

Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 5 cách giải trên

Đáp số:

2 z=

4+√2

4 +√2

4−√2

4−√2

2 i

3 z=(−3+√10)i , z =−(3+√10)i

4 z=5+10√5

13 −(1+2√5

√13)i , z=5−10√5

13 −(1−2√5

√13)i,

Ví dụ 2 : Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 i 3

Tìm môđun lớn nhất của số phức z 2 i

A 26 6 17  B 26 6 17  C 26 8 17  D 26 4 17 

Giải:

Gọi z x yi; x  ;y  z 2i x y 2i

 2  2

Đặt x 1 3 sin ;t y 2 3 cos ;tt  0; 2.

max

26 6 17 z 2i 26 6 17 z 2i 26 6 17

 Chọn đáp án A.

Lưu ý: Ta cũng có thể dùng máy tính bỏ túi nhập hàm số

(x) 26 6 sinx 4 cosx

Ví dụ 3 :

H O

Cho số phức z thoả mãn z 3 4 i  5 Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của biểu thức

2

P z  z i Tính môđun của số phức

.

w M mi 

A w  2315. B w  1258 C w 3 137 D w 2 309. Giải

Đặt z  x yi Ta có    

P x  y  x  y   x y

Đặt x 3 5 sint, y 4 5 cost

Suy ra P4 5 sint2 5 cost23

Ta có 10 4 5 sin t2 5 cost10

Do đó 13  P 33  M  33, m13 w  332132  1258 Chọn B

2.3.2 Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đưởng thẳng

(4 cách giải)

Ví dụ 4: Tìm z sao cho | z| đạt giá trị nhỏ nhất.Biết số phức z thỏa mãn

điều kiện sau:

1 u=(z+3−i)( z+1+3 i) là số thực.

2 u=(z−1)(z+2i) là số thực

3 |

z+2−3i

z−4+i |=1

4 | z+i|=|z−2−3i|

Lời giải

Cách giải 1: Giả sử z=x+ yi ( x , y ∈R)

u=(x+3+(y−1)i) (x +1+(3− y)i)=x2+y2+4 x−4 y+6+2(x − y+4)i

Ta có u∈R ⇔ x − y+4=0

11

tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là dường thẳng (d): x− y+4=0

Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z thì |z|min⇔OM min⇔OM ⊥(d )

Ta được M(-2;2) ⇔z=−2+2 i

Cách giải 2 Ta có | z|= √ x2+ y2= √ x2+ ( 4+x )2= √ 2 ( x+2 )2+8≥2 √ 2 .

Vậy |z|min=2√2⇔ x=−2⇒ y=2⇔ z=−2+2i

Cách giải 3 | z|= √ x2+ y2= √ x2+ ( 4+x )2= √ 2 x2+8 x+16

Xét hàm số f (x )=√2 x2+8 x +16 , f '(x )= 2 x+4

√2 x2+8 x +16

f '(x )=0 ⇔ x=−2 ⇒|z|min⇔f ( x )min⇔x=−2 ⇒ y =2⇔ z =−2+2i

Cách giải 4: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z = x+yi.

M∈(d )⇒ x− y +4=0⇔ x− y=−4 ⇒16=( x− y )2≤2(x2+y2)

⇒x2+y2≥8 ⇒|z|=√x2+y2≥2√2⇒|z|min=2√2⇔ x=− y=−2⇔ z=−2+2 i .

Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 1 trong 4 cách trên

Đáp số: 2 z=

4

5+

2

5i

3 z=

3

10−

1

10i

4 z=

3

5+

6

5i

2.3.3 Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp

(3 cách giải)

Ví dụ 5: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn

nhất.Biết số phức z thoả mãn điều kiện:

1 z 1 z1 4 2 | z−4i|+|z+4i|=10 3. | z+2|+|z−2|=6

Lời giải

Trong mặt phẳng Oxy Giả sử các điểm M, F F1 , 2 lần lượt biểu số phức z,

-1, 1 Suy ra:

F M1

biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ;F M 2

biểu diễn số phức z-1.Với F F1 , 2 nằm trên trục thực Ox

-Khi đó điều kiện: z 1 z1 4 Û MF MF1  2  4 và F F 1 2 2

Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng 2 3

Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là:

2 2

1

Tìm z sao cho |z|min, |z|max

Cách giải 1: Ta có |z|=OM =√x2+y2=√3+x2

4

Do

2 2

1

  ⇒0≤x2

Vậy :

|z|min=√3⇔z=±√3i

|z|max=2⇔z=±2

Cách giải 2: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z ⇒

x2

y2

Khi đó: OM

2

=x2+y2=4(x42+

y2

4 )≤4(x42+

y2

3 )=4 ⇒OM ≤2

OM 2=x2+y2=3(x32+

y2

3 )≥3(x42+

y2

3 )=3⇒ OM≥√3

Từ đó ta được √ 3≤|z|≤2

Vậy:

|z|min=√3⇔z=±√3i

|z|max=2⇔z=±2

Cách giải 3:

Đặt x=2.sint , y= √ 3cost , t∈[0;2π )

Ta có: OM 2=x2+y2=4 sin2t+3 cos2t=3+sin2t

13

Do 0≤sin2t≤1,∀t ⇒3≤OM2≤4 ⇒ √ 3≤|z|≤2 .

Vậy:

|z|min=√3⇔z=±√3i

|z|max=2⇔z=±2

Các bài còn lại học sinh làm tương tụ theo 1 trong 4 cách trên

Đáp số:

2.|z|min=3⇔ z=±3, |z|max=4⇔ z=±4i

3.|z|min=√5⇔ z=±√5i, |z|max=3⇔ z=±3i

2.4 Kiểm chứng - so sánh.

Năm học 2018 - 2019 tôi được phân dạy môn toán lớp 12C6, 12C7 trường THPT Hàm Rồng (là lớp chọn theo khối A1 của nhà trường) Kết quả kiểm tra 2

nhóm học sinh (có học lực từ TB khá trở lên) cuối năm lớp 12 về chủ đề: Tìm

số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất tôi thu được kết quả như sau:

Nhóm 1 (Được dạy phương pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất): là các học sinh của lớp 12C6.

Nhóm 2 (không được dạy phương pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất): là học sinh của lớp 12C7.

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết quả thực hiện.

Qua các năm giảng dạy chương trình toán học 12 ôn luyện thi THPT Quốc gia, tôi thấy khả năng tiếp thu và vận dụng các phương pháp trên để giải các bài tập tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất đã mang lại những kết quả đáng mừng + Số học sinh hiểu bài và vận dụng giải bài tập có hiệu quả cao dần thể hiện

ở số lượng cũng như chất lượng học sinh có điểm thi vào các trường Đại học tăng + Đa số học sinh tỏ ra tự tin khi giải quyết các bài tập về tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất khi được tiếp cận với các phương pháp giải được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm

+ Học sinh có thể tự chọn cho mình một cách giải bất kỳ trong các cách giải nêu trong sáng kiến kinh nghiệm

3.2 Kiến nghị

Qua đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được một số phương pháp giảng dạy cho từng dạng phù hợp với từng đối tượng học sinh Chính điều đó sẽ thuận lợi cho giáo viên khi dạy tiết giải bài tập trong quá trình ôn luyện thi THPT Quốc gia

Đề tài của tôi trên đây có thể còn mang màu sắc chủ quan, chưa hoàn thiện,

do nhiều hạn chế Vì vậy tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến quý báu của các Thầy Cô, các bạn đồng nghiệp để ngày càng hoàn thiện hơn

Xin chân thành cám ơn!

Thanh Hoá, ngày 27 tháng 5 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Xác nhận của Hiệu trưởng Người viết đề tài

Trịnh Đình Chiến

15