Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về đồ thị hàm số

Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin được trình bày: “Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về đồ thị hàm số” giúp học sinh học lớp 12 làm bài thi THPT Quốc Gia môn Toán t

2.3.1 Phân dạng, nhận dạng, xây dựng các bài toán tổng quát 6

2.3.1.1 Dạng 1:Từ đồ thị hàm số tìm khoảng đơn điệu của hàm số. 6

2.3.1.2.Dạng 2:Từ đồ thị hàm số tìm điểm cực trị của hàm số. 7-8

2.3.1.3 Dạng 3:Từ đồ thị hàm số nhận biết hàm số 8-10 2.3.1.4 Dạng 4: Các phép biến đổi đồ thị 10-12 2.3.1.5 Dạng 5.Từ đồ thị hàm số tìm số nghiệm của phương trình 12-15

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Năm học 2019 -2020 là năm học tiếp tục thực hiện Nghị quyết 29 của Ban

chấp hành TW Đảng khóa XI về “ Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và

đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế”.

Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ Ý thức được điều đó, tôi luôn tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em

Trong giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu, trao đổi với đồng nghiệp, tìm tòi các phương pháp mới phù hợp nhằm giúp học sinh thích nghi tốt hơn với sự thay đổicủa hình thức thi THPT Quốc Gia Đặc biệt, bắt đầu từ năm học 2016 - 2017 (Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2017), môn Toán đã áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Đây là thử thách và cũng là cơ hội không chỉ với giáo viên mà cả với học sinh trong giảng dạy và học tập ở tầm phát triển mới Việc chuyển từ thi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay đổi cách học, cách làm bài quen thuộc của các em Do hình thức thi trắc nghiệm môn Toán còn mới nên các tài liệu về dạy và học môn Toán theo hình thức thi trắc nghiệm còn ít, các thầy cô, nhà trường cũng chưa có nhiều kinh nghiệm về thi trắc nghiệm môn Toán Hơn nữa, các em học sinh còn chưa định hướng đúng được cách học để làm bài thi trắc nghiệm

Làm thế nào để giải quyết được những khó khăn của các em học sinh và định hướng đúng cách học của các em học sinh? Vì vậy tôi đã nghiên cứu xây dựng các chuyên đề ôn luyện cho học sinh chuẩn bị tốt cho các em trong các kì thi THPT Quốc Gia năm học 2018-2019 và năm học 2019-2020 Trong các chuyên đề xây dựng ở các năm học 2018-2019 và 2019-2020, có nhiều chuyên

đề hay được áp dụng trong kì thi THPT Quốc Gia như: Các bài toán vận dụng Toán học vào thực tế; Bài toán về hàm hợp; …Tuy nhiên, tôi tâm đắc nhất là chuyên đề đồ thị hàm số và các bài toán liên quan Trong khuôn khổ đề tài này,

tôi xin được trình bày: “Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về

đồ thị hàm số” giúp học sinh học lớp 12 làm bài thi THPT Quốc Gia môn Toán

theo hình thức trắc nghiệm

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Từ đồ thị hàm số để nhận dạng và suy ra các tính chất của hàm số là dạng toán được khai thác từ sách giáo khoa theo hướng thi trắc nghiệm Với hình thứcthi trắc nghiệm, học sinh không phải vẽ đồ thị hàm số trong bài thi nhưng phải hiểu đúng bản chất của đồ thị Đây là hướng khai thác mới của bài toán đồ thị hàm số để phù hợp với hình thức thi trắc nghiêm Trong đề thi THPT Quốc Gia

những năm qua, có nhiều câu hỏi dạng cho đồ thị hàm số sau đó giải quyết các bài toán liên quan ở mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng Vì vậy, cần phải

xây dựng chuyên đề “Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về đồ

thị hàm số”

Mục đích: Đề tài này góp phần trang bị cho các em cách nhìn nhận một đồ thị hàm số để giải quyết yêu cầu của bài toán Qua đó học sinh có thể giải được, giải đúng, giải nhanh dạng toán về đồ thị trong các đề thi Đồng thời, phát triển

tư duy cho học sinh: tư duy sáng tạo, tư duy phân tích, tổng hợp, tư duy trừu tượng, và thói quen đặt câu hỏi ngược khi giải quyết một vấn đề, nhìn nhận vấn

đề dưới nhiều góc cạnh từ đó tìm phương án nhanh gọn để giải quyết hiệu quả nhất Những yếu tố trên cũng rất cần thiết trên con đường thành công của mỗi học sinh trong tương lai

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Lớp 12A4 năm học 2018-2019 của trường THPT Yên Định 1.

- Lớp 12A10-12A11 năm học 2019-2020 của trường THPT Yên Định 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phối hợp nhiều phương pháp trong đó chủ yếu là phương pháp:

Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Dựa trên cơ sở kiến

thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia và các đề minh họa, đề khảo sát của

Sở GD Thanh Hóa từ năm học 2016-2017; đọc tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ năng phân tích, nhận dạng và áp dụng lí thuyết vào bài toán cụ thể

Phương pháp thực hành: Soạn và thiết kế chuyên đề theo phương pháp định

hướng năng lực, tiến hành thực nghiệm tại lớp 12A4 năm học 2018-2019 và lớp 12A10- 12A11 năm học 2019-2020

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

- Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “ Phương pháp giáo dục phổ thông cần

phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”.

- Dựa vào các kiến thức về hàm số trong SGK giải tích 12 nâng cao.

2.1.1 Tính đơn điệu của hàm số

Định lí 1 (Về mối liên hệ giữa tính đơn điệu và dấu của đạo hàm)

Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trênK

- Nếu f x'( ) 0,  x K thì f (x) đồng biến trên K

- Nếu f x'( ) 0,  x K thì f (x) nghịch biến trên K

2.1.2 Cực trị của hàm số

Định lí 2 Giả sử hàm số y  f (x) liên tục trên khoảng K x0  h; x0h và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x 0 với h 0.

y

x o

y

x o

Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với những bài toán về đồ thị hàm số

học sinh không cần phải vẽ đồ thị hàm số Tuy nhiên, trong quá trình học, các

em phải biết vẽ đồ thị hàm số từ đó biết suy luận ra các tính chất của hàm số

Chính vì vậy, bộ giáo dục và đào tạo khi xây dựng đề thi khai thác rất nhiều câu

hỏi từ đồ thị để yêu cầu học sinh phải nắm được đúng bản chất của đồ thị

Khi gặp dạng toán về đồ thị hàm số, đối vói học sinh giỏi thì có thể suy luận

được Tuy nhiên, vói những học sinh khá, trung bình thì lúng túng và không có

định hướng giải bài toán một cách chủ động Trong khi đó, tài liệu cơ bản vói các em là sách giáo khoa thì các câu hỏi cho hình thức trắc nghiệm cho bài toán

về đồ thị hàm số còn chưa nhiều

Đề thi THPT Quốc Gia và đề minh họa từ các năm 2017 có nhiều câu hỏi

về đồ thị hàm số Trong quá trình giảng dạy học sinh tôi nhận thấy các em còn gặp nhiều khó khăn trong cách nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải, đặcbiệt đối với học sinh có năng lực khá, trung bình Vì vậy, tôi xây dựng đề tài

“Một số giải pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán về đồ thị hàm số” để ôn

luyện cho học sinh lớp 12 thi THPT Quốc Gia

2.3 Giải pháp cụ thể.

2.3.1 Phân dạng, nêu cách nhận dạng, xây dựng các bài tổng quát.

2.3.1.1 Dạng 1:Từ đồ thị hàm số tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Cách nhận biết tính đơn điệu của hàm số khi biết đồ thị:

- Nếu đồ thị có hướng “đi lên” từ trái qua phải thì hàm số đồng biến.

- Nếu đồ thị có hướng “đi xuống” từ trái qua phải thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ 1

Cho hàm số y  f (x) liên tục trên R và có đồ thị

như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là

đúng?

A f (x) nghịch biến trên khoảng 2 ;  

B f (x) đồng biến trên khoảng   ;  2

C f (x) nghịch biến trên khoảng 0 ; 2

D f (x) nghịch biến trên khoảng  2 ; 0

Hướng dẫn Chọn đáp án C

Từ đồ thị ta có:

Đồ thị có hướng “đi lên” trên các khoảng  2 ; 0và 2 ;  

Đồ thị có hướng “đi xuống” trên các khoảng 0 ; 2và   ; 2

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  2 ; 0và 2 ;   và nghịch biến trên các khoảng 0 ; 2và   ; 2

Ví dụ 2[1]. Đường cong hình bên là đồ



1

x y

-3 O -3

Chọn D

Đồ thị hàm số có hướng “đi xuống” từ trái qua phải trên từng khoảng xác định.

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (   ;1) và (1;   )

2.3.1.2 Dạng 2:Từ đồ thị hàm số tìm các điểm cực trị

Cách nhận biết cực trị từ đồ thị hàm số yf x 

Nếu qua x0 đồ thị “chuyển hướng” Khi đó y, đổi dấu qua điểm x0

Suy ra x0 là điểm cực trị của hàm số

Ví dụ 3 Cho hàm số yf x  xác

định, liên tục trên đoạn [  1;3 ] và có đồ

thị là đường cong như hình vẽ Hàm

số f x  đạt cực đại tại điểm nào dưới

đây ?

A x 2 B x 0

C x 2 D x 1

Hướng dẫn Chọn đáp án B

Phân tích đồ thị:

- Đồ thị hàm số “chuyển hướng” qua hai điểm x 0 và x 2

- Qua điểm x 0 đồ thị từ có hướng “đi lên” chuyển sang hướng “đi

xuống” Khi đó, y’ đổi dấu từ “ + ‘’ sang “-“

Vậy x = 0 là điểm cực đại của hàm số

Ví dụ 4[3] Cho hàm số yf x( ) liên tục

trên R và có đồ thị là đường cong như hình

vẽ bên Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm

sốyf x( )

A y 2. B x 0.

C M(0; 2)  D N(2; 2).

Hướng dẫn Chọn đáp án C

Phân tích đồ thị:

- Đồ thị “chuyển hướng” qua ba điểm x= -2; x = 0; x = 2

- Qua điểm x = 0 từ có hướng “đi xuống” sang hướng “đi lên”.

Khi đó, y’ đổi dấu từ “ - ‘’ sang “+“ nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm sốVậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là M0  ; 2

x y

2

-1 -2

-2

Lưu ý: Bài toán này học sinh dễ chọn nhầm phương án B Do vậy, giáo viên cần

nhấn mạnh cho học sinh là điểm của đồ thị là điểm hình học

Ví dụ 5[ 2] Cho hàm số

) , , , (

Phân tích đồ thị:

- Đồ thị hàm số “chuyển hướng “ qua hai điểm

Vậy hàm số có hai điểm cực trị

2.3.1.3 Dạng 3:Từ đồ thị hàm số nhận biết hàm số.

Cách nhận biết hàm số khi biết đồ thị hàm số:

- Căn cứ vào hình dạng đồ thị của các hàm số thường gặp như:

) 0 (

Căn cứ vào hướng đi của đồ thị ta có a < 0 nên ta chọn đáp án B

Ví dụ 8[2] Cho đường cong trong hình

vẽ bên dưới là đồ thị của một hàm số

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A,B,C,D dưới đây Hỏi đó là

x y x

x y x







Hướng dẫn Chọn đáp án B

- Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận x = -1 và y = 2 nên ta loại đáp án

C, D

- Đồ thị hàm số đã cho có hướng “đi lên” nên hàm số đồng biến ta loại đáp án A.

Ví dụ 9[1] Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số 4 2

A

-3 -2 -1 1 2 3

x y

-3 -2 -1 1 2 3

-3 -2 -1

1 2 3

x y

C

-3 -2 -1 1 2 3

x y

-3 -2 -1 1 2 3

x y

Hướng dẫn Chọn đáp án C

- Đáp án A, B không là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương nên loại

- Giao điểm của đồ thị hàm số 4 2 2 1

- Giao điểm của đồ thị vói trục Oy là 

x y

ac cd bd ab

bc ad

(

0 ) ( )

(

| ) (

|

x f voi x

f

x f voi x

f x

f y

(

0 )

( )

(

x voi x f

x voi x

f x f y

Lưu ý Đồ thị hàm số y | f(x) | nằm phía trên và trên trục hoành Đồ thị hàm số

- Chúng ta thấy rằng yx3  3x 2  0 nên đồ thị phải nằm trên trục hoành, loại đáp án D

- Đáp án B, C hai đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng là hàm chẵn mà hàm

số đề bài cho không phải là hàm chẵn nên loại B, C

Ví dụ 12[1] Cho hàm số y x 3 6x29x có đồ thị như Hình 1 Khi đó đồ thị Hình 2 là của hàm số nào dưới đây ?

A yx3  6x2  9x B yx3 6x2  9 x .

C y x3  6x2  9x D 3 2

yx  x  x

Hướng dẫn Chọn B

Đồ thị hàm số ở hình 2 nhận trục tung làm trục đối xứng nên loại đi hai đáp án

Ví dụ 13[1] Đường cong trong hình

bên dưới là đồ thị của một hàm số

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn

phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi

hàm số đó là hàm số nào ?

A y lnx 1  ln 2 B y lnx

C y ln x  1 ln 2 D y ln x

Hướng dẫn Chọn B

Đồ thị đã cho nằm bên phải trục tung nên tập xác định của hàm số là

  

 0 ;

D

nên ta loại các đáp án A, C, D

Mặt khác đồ thị đã cho nằm phía trên trục hoành nên là đồ thị hàm số y lnx

2.3.1.5 Dạng 5 Từ đồ thị hàm số tìm số nghiệm của phương trình.

- Ta có f x  1 0   f x  1

- Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y 1

- Từ đồ thị hàm số ta suy ra đồ thị hàm số cắt đường thẳng y 1 tại 3 điểm

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

- Ta có  

 

1

2 1

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm

- Ta có : 2 | f(x) |  1  0  | f(x) | 12

- Số nghiệm của phương trình| f(x) | 12 là sô giao điểm của đường thẳng 1

2

y 

và đồ thị hàm số y f x 

- Ta có đồ thị hàm số y f x 

Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình đã cho có 6 nghiệm

Chú ý: Đồ thị hàm số chỉ cần xác định một cách tương đối thông qua giá trị cực

- Với t 1  f x   1 Quan sát đồ thị hàm số yf x , ta thấy đường thẳng y 1

cắt đồ thị hàm số yf x  tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành

độ dương nên phương trình t 1 có hai nghiệm x dương phân biệt

- Với t  1 3 Quan sát đồ thị hàm số yf x , ta thấy đường thẳng y  1 3

cắt đồ thị hàm số yf x tại một điểm và là điểm có hoành độ dương nên

phương trình t  1 3 có một nghiệm x dương

- Với t  1 3 Quan sát đồ thị hàm số yf x , ta thấy đường thẳng y  1 3

cắt đồ thị hàm số yf x  tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành

độ dương nên phương trình t  1 3 có hai nghiệm x dương phân biệt

Vậy phương trình bài ra có 5 nghiệm phân biệt dương

2.3.2 Các bài tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ năng.

- Xây dựng các bài tập có đủ 3 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp

- Xây dựng bài tập đủ 5 dạng đã nêu trong đề tài

Câu 2 Cho hàm số f x  liên tục

trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới

đây, hàm số f x  nghịch biến trên

khoảng nào?

A 1;  B  1;1

C   ;0 D    ; 1

Câu 3 Cho hàm số yf x  xác định,

liên tục trên đoạn  2;2 và có đồ thị

là đường cong trong hình vẽ bên

Hàm số f x  đạt cực đại tại điểm nào

Câu 4 Cho hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn  1;3

và có đồ thị như hình vẽ bên Khẳng định nào sau

đây đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x 0, cực đại tại x 2.

B Hàm số có hai điểm cực tiểu là x 0, x 3.

C Hàm số đạt cực tiểu tại x 0, cực đại tại x 1.

D Hàm số có hai điểm cực đại là x 1, x 2.

Câu 5 Trong các hình vẽ sau, hình nào biểu diễn đồ thị của hàm số

O

3

y

Câu 7 Cho hàm số yf x( ) liên tục trên

đoạn  2;2 và có đồ thị là đường cong như

hình vẽ bên Tìm số nghiệm của phương

- 4

y

Câu 10 Cho hàm số f x x3  3x2  2 có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđề phương trình x3 3x2   2 m

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

- Trong quá trình giảng dạy triển khai đề tài, tôi thấy đề tài của mình phần nào

đã giúp học sinh phân loại và nêu cách giải, có thể giải được tốt một số dạng bài toán về đồ thị hàm số Đặc biệt, với những học sinh có lực học trung bình, khá thì việc phân loại và nêu từng dạng cho các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

áp dụng vào bài giảng là rất thành công Các em nhận dạng, nêu được phương pháp giải và ứng dụng tốt vào bài làm Ngoài ra các em còn rèn luyện được kỹ năng làm bài, tránh được sai sót trong tính toán

- Trong năm học 2019 – 2020 từ các đề của năm học trước tôi bổ sung, xây dựng hai đề kiểm tra mức độ tương đương nhau kiểm tra học sinh ở lớp 12A10, 12A11 Kết quả hai lần kiểm tra được thống kê tại bảng sau:

Lớp Sĩ số

Tỉ lệ điểm Trước khi áp dụng SKKN

Sau khi áp dụng SKKN