Phân loại và phương pháp giải bài tập phương trình đường tròn cho học sinh lớp 10 trường THPT thường xuân 2

Lí do chọn đề tài: Phương trình đường tròn là phần kiến thức cơ bản trong sách giáo khoahình học 10, cũng là phần kiến thức chiếm tỉ trọng cao trong các bài kiểm tracuối năm, tuy nhiên

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài:

Phương trình đường tròn là phần kiến thức cơ bản trong sách giáo khoahình học 10, cũng là phần kiến thức chiếm tỉ trọng cao trong các bài kiểm tracuối năm, tuy nhiên thời lượng bài tập sách giáo khoa chỉ có 01 tiết và ôn tậpthêm buổi chiều khoảng 6 tiết, để có được tài liệu dạy học được đầy đủ phần cơbản của phương trình đường tròn này trong thời gian trên thì cần phải phân loại

và đưa ra các phương pháp phù hợp với các bài tập này

Hiện tại các sách bài tập, sách tham khảo về phần phương trình đườngtròn hình học 10 phong phú và đa dạng tuy nhiên hệ thống bài tập phù hợp vớihọc sinh học chương trình ban cơ bản và thời lượng ôn tập trên lớp không nhiều

Do vậy tôi biên soạn và lựa chọn đề tài “Phân loại và phương pháp giải bài tập phương trình đường tròn cho học sinh lớp 10 trường THPT Thường Xuân 2”.

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phảinghiên cứu bài phương trình đường tròn trong sách giáo khoa cơ bản lớp 10hiện hành và các tính chất của của đường tròn ở các phần trước đó

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phân loại các dạng bài về phương trình đường tròn theo bám theo nộidung bài “Phương trình đường tròn” sách giáo khoa hình học 10 cơ bản hiệnhành, qua đó đưa ra phương pháp giải phù hợp với mỗi loại bài tập

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm [1]:

2.1.1.Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy , đường tròn ( )C tâm I a b( ; ) bán kính R có phương trình: (x a- )2+ -(y b)2=R2

Chú ý Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kínhR là x2+y2=R2

2 2

R = a + -b c

2.1.3.Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn ( )C có tâmI a b( ; ) và bán kínhR và đường thẳng D là tiếp tuyến với( )C tại điểmM x y0( ; )0 0 .

Ta có

● M x y0( ; )0 0 thuộcD

● IMuuur=(x0- a y; 0- b)là vectơ pháp tuyến của D

Do đó D có phương trình là (x0- a x x)( - 0) (+ y0- b y y)( - 0)=0

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Qua các năm giảng dạy tôi thấy còn nhiều học sinh vẫn còn lúng túng khi làm bài tập về phường trình đường tròn, một phần các em chưa có mối liên hệ với kiến thức đường tròn lớp dưới, phần còn lại đa số các em chưa phân loại tổng hợp, đưa ra phương pháp giải các dạng bài tập về phần này nên các em thấynhiều bài tập và khó nhớ cách làm

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn

1 Phương pháp

1.1 Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy đường tròn , ( )C tâm I a b( ; ), bán kính R có phươngtrình:

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+y2- 2x+2my+10= 0 (1). Có bao

nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn?

Lời giải Ta có: x2+y2- 2x+2my  10+ = nên0

a= b= - m c= Þ a + -b c> Û m - >

33

m m

é < ê

-Û ê >ê

Do đó có 7 giá trị nguyên dương của m Î {4;5;6;7;8;9;10 }

Dạng 2: Thiết lập phương trình đường tròn

1 Phương pháp:

Cách 1:

+ Tìm toạ độ tâm I a b( );

của đường tròn (C) + Tìm bán kính R của đường tròn (C)

+ Viết phương trình của (C) theo dạng : (x a- )2+ -(y b)2 =R2.

từ đó tìm được phương trình đường tròn ( )C .

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính với

Viết phương trình đường tròn ( )C

có tâm thuộc d và đi

qua hai điểm , A B

Lời giải

Gọi I là tâm của ( )C

và bán kính R =IA =5.Vậy phương trình đường tròn cần tìm ( ) ( ) (2 )2

d x y + = Viết phương trình đường tròn ( )C

đi qua hai điểm,

đi qua hai điểm , A B nên tâm I của ( )C

thuộc trung trực D nên( ;4 2)

t =

 Với t = , suy ra 3 I (3; 2- )

Bán kính R =IA =5.Khi đó phương trình đường tròn cần tìm

t =

, suy ra

31; 272

I æççç - ö÷÷÷

÷

çè ø Bán kính R =IA = 652 .

Khi đó phương trình đường tròn cần tìm

Gọi I (- 2t+3;t) Î d là tâm của ( )C

Theo giả thiết bài toán, ta có

25

tiếp xúc ngoài với ( )C

nên tâm 'I thuộc đường thẳng IA , suy ra I ¢(2 3 ;2t t +2)

Hơn nữa, R =2 'R nên

- Nếu hệ ( )I

vô nghiệm thì ( )D

và ( )C

không có điểm chung

1.2 Vị trí tương đối của đường tròn với đường tròn

Cho hai đường tròn ( ) ( )C1 ; C2

y x

ìï =ïí

ï =ïîVậy tọa độ giao điểm là ( )3;3

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn:

suy ra hai đường tròn cắt nhau

Gọi điểm M x y( ; ) thuộc đường thẳng cần tìm

Nhận thấy M x y( ; )luôn thỏa mãn phương trình (3)

Suy ra đường thẳng qua giao điểm của hai đường tròn là: 2x- 3y- 5= 0

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hai đường tròn

I

bán kính R = , Đường tròn 5 ( )C ¢

có tâm K -( 2;3)

bán kính13

R¢= - m Ta có vì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm ,A B nên tọa độ

Do đó phương trình đường thẳng AB là: 2 x+2y m+ + = , Đường 8 0thẳng trên đi qua điểm M -( 3;4)

nên 2 3( )- +2.4+m+ = Û8 0 m= - 10thỏa mãn (*)

Với m= - 10Þ ( )C¢:x2+y2+4x- 6y- 10=0

khi đó ( )C ¢

có tâm( 2;3)

K

bán kính R = 23

Ta có IK = 2 và 5- 23< 2< +5 23 nên

R R- ¢<IK < +R R¢ suy ra hai đường tròn cắt nhau Vậy m = - 10.

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn

( )C :x2+y2+2x- 8y- 8=0

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng : 3d x+4y- 2= và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài0bằng 6

Lời giải

Đường tròn ( )C :x2+y2+2x- 8y- 8=0

có tâm I -( 1;4)

và bán kính5

Vậy có hai đường thẳng là: 3x+4y+19=0;3x+4y- 21 0=

Ví dụ 6: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

Dễ thấy hai đường tròn ( )C1 ,( )C2 khác tâm và có cùng bán kính nên hệ đã

cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ( )C1 ,( )C2 tiếp xúc ngoài với nhau

Vậy với m = thì hệ có nghiệm duy nhất.2

Ví dụ 7: Định m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm

Hệ (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng d cắt đồ thị ( )C tại hai

điểm phân biệt

Giả sử giao điểm làM x y( 1; 1) (,N x y2; 2)

Khi đóA =(x1- x2)2+(y1- y2)2 =MN2.

A lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất Û MN =2R = d6 Û đi qua

tâm O của đường tròn ( )C

•Bài toán 2: Cho đường tròn( )C

có tâm I a b( );

, bán kính R Viết

phương trình tiếp tuyến tại điểm M x y0( 0; 0)

Phương pháp:

Cách 1: Tiếp tuyến D của ( )C

đi qua M x y0( 0; 0)

, nhận uuuurIM0

làm vectơ pháp tuyến nên nó có có phương trình:

•Bài toán 4: Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Cách 1: Viết phương trình đường thẳng

• Xác định tâm & bán kính của 2 đường tròn:

+Nếu hệ có nghiệm x =x0 thì đó chính là phương trình tiếp tuyến chung

vuông góc với trục hoành của ( )C1

và ( )C2

.+Nếu hệ vô nghiệm thì( )C1

+Giải hệ phương trình (1) ta tìm được mối liên hệ giữa , k m; Từ đó viết

phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn

Lưu ý: Để kiểm tra kết quả ta dùng tính chất của vị trí tương đối giữa 2

đường tròn Hạn chế của cách 2 là phải chia trường hợp, học sinh thường nghĩ

đến đường thẳng có hệ số góc k , do vậy nếu không xét trường hợp tiếp tuyến

vuông góc với trục hoành trong một số trường hợp sẽ dẫn tới thiếu nghiệm

2 Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn ( )C

có tâm I -( 3;2)

và một tiếp tuyến của nó có phương trình là: 3x+4y- 9= Viết phương trình 0của đường tròn ( )C

+Vậy phương trình đường tròn là: ( ) (2 )2

Do đó điểm M (3; 5- )

thuộc đường tròn ( )C

.Tiếp tuyến của ( )C

tại M (3; 5- )

có véctơ pháp tuyến là IM =uuur ( )2;0

.Vậy phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( )C

-Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là

có tâm I -( 1;3)

, bán kính R = 5.

D là tiếp tuyến của ( )C

10( )5

Ví dụ 6: Cho đường tròn ( ) ( ) (2 )2

C x- + -y = Lập phương trình tiếp tuyến của ( )C

biết tiếp tuyến của ( )C

có véc tơ pháp tuyến uurn =( )a b; (a2+b2 ¹ 0)

x y

é =ê

trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn

2MB =11 3+ MA là một đường tròn Viết phương trình tiếp tuyến của đường

tròn đó, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng D :4x+3y- 3=0

có tâm I -( 1;4)

, bán kính R = 1

Phương trình đường thẳng D¢ song song với đường thẳng D có dạng:

C x- + y+ = Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( )C

biết tiếp tuyến tạo với D : 2x y+ - 4=0

, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

0

2

4; 2 4

2

x

M x

-Giải hệ phương trình tạo bởi ( ) ( )2 , 4

0

0

.2;02

0

x

M x

ta được tiếp tuyến d4 : 3x y- + =6 0

Vậy có bốn tiếp tuyến d d d d1, 2, 3, 4

biết tiếp tuyến cắt Ox Oy;

lần lượt tại A B;

saocho OA =2OB

Lời giải

( )C

có tâm I ( )2;1

, bán kính R = 5Tiếp tuyến cắt Ox Oy;

lần lượt tại A B;

sao cho OA =2OB Þ Tiếp tuyến

có hệ số góc

12

OB k

OA

= ± = ±

.Trường hợp 1: Với

12

k = Þ

Phương trình tiếp tuyến có dạng

1:

2

b b

b

é

ê =ê

ê = ê

5

15

2

m m

-Ví dụ 10: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:

có tâm I2(3; 4- )

bán kính R =2 3.Gọi D :ax by c+ + = với 0 a2+b2> ;0

D là tiếp tuyến chung của ( )C1

và ( )C2

1 2

( , ) 3( , ) 3

ê =êTH1: Nếu a=2bchọn a=2,b=1 thay vào (*) ta được c = - ±2 3 5nên ta có 2 tiếp tuyến là 2x y+ - 2 3 5± =0

2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục: Năm học 2019-2020 tôi dạy 2 lớp 10C6 và

10C7 là hai lớp cơ bản có học lực tương đương theo đánh giá trong kỳ 1 Dođiều kiện về thời gian lớp 10C6 không được ôn tập bài tập trong sáng kiến này,còn lớp 10C7 được ôn tập đầy đủ các dạng bài tập trong sáng kiến kinh nghiệmnày Kết quả bài kiểm tra 45’ sau thời gian học và ôn tập bài “Phương trìnhđường tròn” theo đánh giá của tôi là học sinh lớp 10C7 làm bài tốt hơn lớp10C6 Cụ thể như sau:

Lớp

10C6

Sĩ số

Số hsđiểmyếu

Số hsđiểmtrungbình

Số hskhá,giỏi

Điểm trungbình trung

cả lớp

Điểm thấpnhất

Điểmcaonhất

Số hsđiểmtrungbình

Số hskhá,giỏi

Điểm trungbình trung

cả lớp

Điểm thấpnhất

Điểmcaonhất

2.4.2 Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường: có tài liệu tham khảo khi

giảng dạy bài “Phương trình đường tròn” chương trình hình học lớp 10

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận:

Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh chuyên đề này, tôi thấy các emhọc sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về phương trình đường tròn và kếtquả làm bài tập về phần này có nhiều tiến bộ

Với thời lượng hạn chế trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, tôi

có bổ sung thêm một số kiến thức liên quan ở trong phần phụ lục Bên cạnh đótôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tàiđược hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho học

sinh học bài “Phương trình đường tròn” và được lưu ở thư viện nhà trường đểcác đồng nghiệp và học sinh tham khảo

4.Tài liệu tham khảo

và cộng sự (2006) Hình học 10, nhà xuất bản giáo dục, 3, 81-83.

5 Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành

GD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.

Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Hào

Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2

Kết quả đánh giá xếp

Năm học đánh giá

Tỉnh ) hoặc C)(A, B, loại

1 Hướng dẫn học sinh tìm tòi và

2

Hướng dẫn học sinh THPT

Thường Xuân 2 sử dụng máy

tính Casio FX-570ES trong

Xác nhận của Hiệu trưởng

Thường Xuân, ngày 02 tháng 7 năm 2020

Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này

do tôi tự viết chứ không phải đi sao chép Nếu sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm!

Tác giả

Đỗ Văn Hào