Ứng dụng tính đơn điệu, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để khảo sát nghiệm phương trình, bất phương trình

Đối với học sinh THPT thì khái niệm phương trình, bất phương trình thìlên lớp 10 mới được định nghĩa, nhưng trên thực tế thì phương trình, bất phươngtrình đã học và giải từ rất sớm bằng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ KHẢO SÁT NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện: Lê Hữu Nam Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

MỤC LỤC

1 Mở đầu……… … 1

1.1 Lí do chọn đề tài……….… ….1

1.2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm……….….3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….4

1.4 Phương pháp nghiên cứu……….4

1.5 Những điểm mới của SKKN……… 5

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……….……….6

2.1 Cơ sở lí luận của sang kiến kinh nghiệm………6

2.1.1 Tính đơn điệu của hàm số………6

2.1.2 Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số……… 6

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN………8

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề……… 8

2.3.1 Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số……… 8

2.3.2 Bài tập rèn luyện 12

2.3.3 Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số 13

2.3.4 Bài tập rèn luyện………15

2.4 Hiệu quả đạt được của sáng kiến kinh nghiệm……….……17

3 Kết luận và kiến nghị……… 18

3.1 Kết luận……….18

3.2 Kiến nghị……… ………18

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, và đóng vaitrò trung tâm trong chương trình Toán phổ thông Hàm số cũng là một trongnhững nền tảng của nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học nói riêng và khoahọc nói chung Nắm được những vấn đề cơ bản của hàm số và biết vận dụngchúng không những giúp giải quyết được bài toán có nhiều rang buộc phức tạp

mà còn góp phần quan trọng đẻ rèn luyện phẩm chất tư duy hệ thống, sang tạocho người học Qua đó hình thành cho người học năng lực xử lý linh hoạt, hiệuquả các tình huống của thực tế đời sống

Trong các kì thi quan trọng về Toán từ cấp THPT trở lên ở trong nướccũng như trên thế giới luôn có một lượng đáng kể các bài toán về hàm số Nóiriêng ở Việt Nam, trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học, chọn học sinh giỏicác câp thì phần lớn các bài toán mang tính phân loại cao đều có thể giải quyếtbằng phương pháp hàm số Ngoài những bài toán chỉ được giải quyết bằngphương pháp hàm số, còn nhiều bài toán có những cách giải khác nhau trong đócách sử dụng hàm số nhìn chung là “nhẹ nhàng” hơn cả

Đối với học sinh THPT thì khái niệm phương trình, bất phương trình thìlên lớp 10 mới được định nghĩa, nhưng trên thực tế thì phương trình, bất phươngtrình đã học và giải từ rất sớm bằng các bài toán tìm số chưa biết thỏa mãn cácđiều kiện cho trước Do đó khi học và giải các phương trình, bất phương trìnhthì học sinh đã quá quen thuộc, vấn đề là giải như thế nào cho hợp lôgic Nhữngphương trình, bất phương trình học sinh thường gặp như: Lớp 10 có phươngtrình, bất phương trình quy về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn Lớp 11 có phươngtrình lượng giác Lớp 12 có phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Đặcbiệt ở lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm gồm các dạng toán liên quan đến khảosát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Với tính năng ưuviệt của việc ứng dụng đạo hàm vào giải toán, không những chỉ đơn thuần giảicác bài toán liên quan đến các bài toán khảo sát hàm số như biện luận số nghiệm

của phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mà còn cóthể giải quyết được rất nhiều dạng toán như khảo sát nghiệm phương trình và bấtphương trình vô tỉ, đặc biệt là các dạng phương trình, bất phương trình chứatham số Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy bộ môn toán THPT đa số học sinhđều yếu trong việc vận dụng phương pháp hàm số để giải một lóp các bài toánkhác Trong các kỳ thi, ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số tathường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm sốnhư là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương trình, bất phươngtrình ,tìm cực trị , Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thầy vàtrò trong các giờ lên lớp Trong các giờ giảng các em thường bị động trong nghegiảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân là do các emchưa hiểu được bản chất của vấn đề, chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việcvận dụng hàm số vào giải toán, các em luôn đặt ra câu hỏi:“Tại sao nghĩ và làmđược như vậy?’’ Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi dưỡngnăng lực tư duy hàm số cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cầnthiết Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyềnthụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểumột cách lôgic bản chất của toán học Từ đó giúp các em có sự say mê trongviệc học môn Toán - môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên Đểtoán học trở nên gần gũi và là sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê đốivới các em học sinh THPT ta phải cần giải quyết các vấn đề sau:

Một là: Việc giải phương trình, bất phương trình bằng những phép biến đổitương đương thông thường thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 vàlớp 11, nhưng giải bằng ứng dụng tính đơn điệu và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất thì đến lớp 12 mới được học nên khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trênvới nhau thì học sinh lại lúng túng trong lời giải, dẫn đến sai kết quả

Hai là: Khi học sinh làm bài tập về phương trình, bất phương trình hoặc tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có điều kiện mà trong lời giải có bướcđặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là

đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiệncủa nó, hoặc đã tìm chính xác điều của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên phươngtrình, bất phương trình theo ẩn phụ thì lại không xét trên điều kiện ràng buộc của

nó nên dẫn đến kết luận không chính xác

Ba là: Từ khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạngtoán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định línày đã bỏ, do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rấtnhiều bài toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang vàkhông biết phải giải quyết như thế nào

Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trungkhai thác cách giải phương trình, bất phương trình bằng việc ứng dụng tính đơnđiệu và GTLN – GTNN của hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, nhữngbài toán về phương trình, bất phương trình sẽ được giải quyết một cách rất tự

nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản Đó là lí do để tôi chọn đề tài : “ Ứng

dụng tính đơn điệu và GTLN, GTNN của hàm số để khảo sát nghiệm phương trình, bất phương trình”.

1.2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với sốgiao điểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó để giảiquyết các bài toán về phương trình, bất phương trình Đặc biệt là phương trình,bất phương trình chứa tham số

Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình hoặcbài toán tìm GTLN , GTNN của một biểu thức có điều kiện mà phải thực hiệnviệc đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết, việc tìm điềukiện của ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bàitoán đã cho bằng hàm số Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ thì những yêucầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầutương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên điều kiện của nó Đó là điều quan trọng

để chọn đặt hàm số tương ứng trên tập giá trị của ẩn phụ

Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các emhọc sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng hàm số để giảibài toán phương trình, bất phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình

có tham số

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nóitrên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình

và các bài toán tìm GTLN, GTNN đặc biệt là các bài toán về phương trình, bấtphương trình chứa tham số

- Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trìnhđại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần:phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vô tỉ, phươngtrình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lí thuyết tính đơn điệu, GTLN – GTNN của hàm số Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp hàm số đồng thời có những lời nhận xét trước và sau các bài giải giúp học sinh trả lời thỏa đáng câu hỏi: “Tại sao nghĩ và làm được như vậy?” Phương pháp được sử dụng nhiều ở đây là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp

Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đềtài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phầnứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn ôn thi, tôi đãlồng ghép các bài tập phương trình, bất phương trình mà khi giải phải cần đếnhàm số Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếmlĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em

về nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làmbài và một số học sinh khác nhận xét lời giải Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả

lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọngtrong mỗi bài, qua mỗi dạng.

1.5 Những điểm mới của SKKN.

+ Cung cấp cho học sinh một phương pháp giải toán hay, vừa sức mà họcsinh ít gặp trong SGK để kích thích sự tìm tòi, tư duy của học sinh

+ Đây là một phương pháp vừa sức với học sinh, học sinh lĩnh hội khôngkhó khăn,cho nên một số bài toán trở nên đơn giản khi áp dụng phương phápnày

+ Đối với học sinh tham gia các kỳ thi chọn HSG và thi Đại học, Caođẳng thì đây là một phương pháp cần phải biết

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sang kiến kinh nghiệm.

liên tục trên D thì số nghiệm phương trình f x( )k ( k là hằng số cho trước) trên D không nhiều hơn một nghiệm và f x( )f y( ) khi và chỉ khi x=y với mọi x, y thuộc D.

Từ định lí trên ta có thể áp dụng vào giải phương trình sau:

Bài toán: Giải phương trình F x ( ) 0 ta thực hiện đưa phương trình về dạng

Từ định lí trên ta có thể áp dụng vào giải phương trình sau:

Bài toán: Giải phương trình F x ( ) 0 ta thực hiện đưa phương trình về dạng( ) ( )

f x g x trong đó f x g x( ), ( ) là hai hàm đơn điệu ngược chiều Khi đó tatìm một nghiệm và kết luận đó là nghiệm duy nhất của phương trình

Cho hàm số y f x( ) xác định trên D

Số M được gọi là GTLN của hàm số y f x( ) trên D nếu f x( )M, x D

và  x0 Dsao cho f x( )0 M Kí hiệu M mDax ( )f x

1 Được tham khảo từ TLTK số [5], [6]

2 Được tham khảo từ TLTK số [5], [6]

Số m được gọi là GTNN của hàm số y f x( ) trên D nếu f x( )m x D,  và

0

x D

  sao cho f x( )0 m Kí hiệu m min ( )D f x

những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất (nhỏ nhất) các giá trị đó chính làGTLN ( GTNN ) của hàm số

và GTNN theo các bước sau :

- Tìm các điểm x x1, , ,2 x n trên đoạn a b;  mà tại đó f x'( )bằng 0 hoặc f x'( )

f x g m với hàm số f x( )có GTLN - GTNN trên tập xác định D Khi đó:

- Phương trình f x( )g m( )có nghiệm trên D khi và chỉ khi

- Bất phương trình f x( ) g m( ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi

Nếu bất phương trình có dạng " " hoặc " " thì bổ sung thêm dấu " " chocác điều kiện

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN.

Đây là phương pháp hay tuy nhiên rất ít gặp trong SGK vì thời lượngchương trình ít nên học sinh hay lúng túng hoặc không biết sử dụng phươngpháp này Tuy nhiên phương pháp này thường được sử dụng trong các kỳ thi,đặc biệt là các kỳ thi chọn HSG, các câu hỏi vận dụng, vận dụng cao trong các

đề thi THPT Quốc Gia do đó việc giảng dạy phương pháp này là cần thiết

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Từ các định lí trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi

chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy

nhất

Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi

dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng

suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

4 Được tham khảo từ TLTK số [4]

Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu

khi đó ta có: u = v

Đối với bất phương trình thì biến đổi về dạng f u( ) f v  rồi chứng

minh f đơn điệu để kết luận

Nhận xét:

Với phương trình này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, nếu áp dụng tính đơn điệu hàm số vào giải bài toán này chúng ta sẽ thu được kết quả dễ dàng.

Vậy ta sẽ gải bài toán như sau:

f    

  nên

1

2

x  là nghiệm của phương trình đã cho

nhất

Nhận xét:

5 Được tham khảo từ TLTK số [1]

6 Được tham khảo từ TLTK số [5]

Để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất trên D ta có thể tiến hành theo cách sau:

+ Chứng minh phương trình f x ( ) 0luôn có nghiệm Để chứng minh điều này ta cần chứng minh f x( ) liên tục trên D và tồn tại hai số a, b sao cho

Nên f x( ) là hàm đồng biến trên [1;)

Vậy: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Nhận xét: Rõ ràng đây là một phương vừa bậc cao, vừa chứa căn thức nên sẽ

gây rất nhiều khó khắn trong việc giải bằng các phương pháp thông thường, vậy

ta sẽ dùng đến tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập này Để sử dụng phương pháp hàm số ta đưa phương trình về dạng f u( ) f v( ) Ta sẽ chứng minh f x( ) là hàm số đơn điệu Từ đó suy ra u v .

Giải

7 Được tham khảo từ TLTK số [3]

8 Được tham khảo từ TLTK số [2]

9 Được tham khảo từ TLTK số [2]

Nhận xét: Bất phương trình này chứa biểu thức Logarit và biểu thức căn phức tạp Không thể sử dụng các phương pháp thông thường vậy ta phải suy nghĩ đến phương pháp hàm số để giải bất phương trình này.

133

2.3.2 Bài tập rèn luyện

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

2.3.3 Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số

x  x  m x  x

Nhận xét: Đây là một bài toán khó mà học sinh rất khó tìm hướng giải Chúng

ta sẽ biến đổi bất phương trình sau đó sử dụng tính chất hàm số.

Ví dụ 2:11 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực.

Nhận xét: Đây là phương trình chứa căn hỗn tạp nên trước khi sử dụng hàm số

ta sẽ biến đổi để cô lập tham số m Cách giải như sau:

Giải: Điều kiện: x 2 Phương trình trở thành

:

2 4

2

22

22

11 Được tham khảo từ TLTK số [5]

12 Được tham khảo từ TLTK số [5]

x  có nghiệm

2 Tìm m để : 2 2

2 cos

1 sin

3 3

01

có 4 nghiệm phân biệt.

5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2.4 Hiệu quả đạt được của sáng kiến kinh nghiệm.

+ Trong quá trình thực hiện đề tài, người viết đã tiến hành giảng dạy ở

trường THCS và THPT Nghi sơn, thị xã Nghi Sơn, tỉnh Thanh Hóa Một trườngmới thành lập trên địa bàn nhiều biến động, gặp nghiều khó khăn trong công tácbồi dưỡng học sinh giỏi Kết quả có hai em đạt giải Khuyến khích và giải Batrong kì thi chọn HSG môn toán cấp tỉnh bậc THPT năm học 2018-2019

+ Qua giảng dạy học sinh không chỉ nắm bắt được những nội dung kiếnthức trong chương trình mà còn có thêm một phương pháp hay nữa trong việckhảo sát nghiệm phương trình và bất phương trình Tự phát hiện và giải quyếtcác vấn đề trong nội dung kiến thức, biết cách tập hợp, xâu chuỗi kiến thức cóliên quan để vận dụng giải quyết vấn đề mới

+ Qua trao đổi chuyên môn với đồng nghiệp ở trường và các trường THPT khácvới cách làm trên thì các đồng nghiệp đều có nhận xét chung là rất khả thi, khảnăng ứng dụng cao, hiệu quả giáo dục tốt