Một số giải pháp xây dựng chủ đề dạy học nâng cao cho học sinh lớp 10 ở giai đoạn đầu nhằm phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu về toán học

Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng t

Trang 1

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong đợt tập huấn công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cho giáo viên cốt cán ở trường THPT tháng 12 năm 2017, tôi được Sở GD&ĐT Thanh Hóa điều động làm giảng viên (cùng với Thầy Trần Đức Nội – Trường THPT Đông Sơn 1), từ những kinh nghiệm mà bản thân có được, tôi đã chuẩn bị một báo cáo để trình bày trước các thầy cô giáo viên cốt cán của các trường THPT trong tỉnh và cũng đã nhận được khá nhiều các phản hồi tích cực từ các thầy cô tham dự đợt tập huấn

Từ sau đợt tập huấn tháng 12 năm 2017, tôi tiếp tục được nhà trường giao

phụ trách giảng dạy lớp mũi nhọn ban KHTN và phụ trách đội tuyển HSG (năm 2017-2018 tham gia Hội đồng ra đề thi HSG của Sở, năm 2018-2019 phụ trách

ĐT HSG lớp 11 đạt 5/5 giải tỉnh, năm 2019-2020 tiếp tục phụ trách ĐT HSG 11 nhưng Sở dừng tổ chức thi vì dịch Covid-19), tôi đã tiếp tục nghiên cứu để hoàn

thiện hơn các nội dung trong báo cáo nêu trên để lấy làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp trong tổ bộ môn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán của nhà trường

Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn

đề tài: “Một số giải pháp xây dựng chủ đề dạy học nâng cao cho học sinh lớp 10

ở giai đoạn đầu nhằm phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu về Toán học’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2019 – 2020.

Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để

đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là thiết kế một số chủ đề dạy học nâng cao cho học sinh lớp 10 nhằm định hướng hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực tư duy toán học, phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu về Toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các chủ đề dạy học có liên quan đến lớp các bài toán về tam thức bậc hai, phương trình bậc hai và quy về bậc hai, hàm số bậc hai có tham số ,…

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra, quan sát

- Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm

1.5 Điểm mới của đề tài

- Điểm mới của đề tài là việc tác giả đề xuất ý tưởng xây dựng các tình hống dạy học theo các chủ đề và thiết kế các nội dung dạy học theo ý tưởng thiết

kế nhằm phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò

Trang 2

thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy học sinh lớp 10 khi tiếp cận các bài toán có tham số và các bài toán vận dụng tính chất của hàm số bậc hai thường lúng túng, hay gặp sai sót và còn thường còn tuy duy theo lối mòn ở cấp 2 khi gặp câu hỏi “Phương trình vô nghiệm” hay “Phương trình có nghiệm duy nhất” là ngay lập tức có điều kiện hay !

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Trong phần này, tác giả chủ yếu nêu ý tưởng về các cách thiết kế, xây dựng một số chủ đề dạy học và ý tưởng về hướng giải quyết các yêu cầu đặt ra Do khuôn khổ một SKKN bị hạn chế về số trang nên việc chi tiết hóa cách giải quyết từng bài tập xin phép được dành cho bạn đọc quan tâm vận dụng trong quá trình giảng dạy

2.3.1 Xây dựng chủ đề dạy học Phương trình bậc cao (bậc 3, trùng phương) có tham số bằng phương pháp nhẩm một nghiệm không đổi.

Tư tưởng:

+ Đối với phương trình bậc 3:

Các yêu cầu có thể đặt ra cho bài toán:

- Có 3 nghiệm phân biệt, có đúng 2 nghiệm, có nghiệm duy nhất

- So sánh nghiệm với một số thực

- Các nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng giữa các nghiệm

+ Đối với phương trình trùng phương: Xét các phương trình dạng

, trong đó các hệ số được chọn sao cho phương trình nhận

là nghiệm hoặc thỏa mãn hệ thức

Các yêu cầu có thể đặt ra cho bài toán:

- Có 4 nghiệm phân biệt, có đúng 3 nghiệm, có nghiệm duy nhất

- So sánh nghiệm với một số thực

- Các nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng giữa các nghiệm

Các bài tập minh họa

(Nhẩm là một nghiệm)

Bài 1.1 Cho phương trình

Tìm để phương trình

a) Có 3 nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm duy nhất

c) Có 3 nghiệm phân biệt không nhỏ hơn

Phân tích, hướng dẫn:

Trang 3

a) (1.1) có 3 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt khác

b) (1.1) có nghiệm duy nhất (2) VN hoặc có nghiệm kép bằng

c) (1.1) có 3 nghiệm phân biệt phân biệt không nhỏ hơn (2) có hai nghiệm

phân biệt và khác

d) Điều kiện để (1.1) có 3 nghiệm là

Biến đổi

b) Có nghiệm duy nhất

c) Có 3 nghiệm phân biệt nhỏ hơn

d) Có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn

a) (1.2) có 3 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt khác

b) (1.2) có nghiệm duy nhất (2) VN hoặc có nghiệm kép bằng

c) (1.2) có 3 nghiệm phân biệt phân biệt nhỏ hơn (2) có hai nghiệm phân

Trang 4

d) Điều kiện để (1.2) có 3 nghiệm phân biệt là

Biến đổi

b) Có 4 nghiệm phân biệt lớn hơn

Đặt , ta được phương trình có các hệ số thỏa mãn công thức nhẩm nghiệm ( ), suy ra phương trình có hai nghiệm

a) (1.3) có 4 nghiệm phân biệt

b) Với điều kiện thì (1.3) có 4 nghiệm phân biệt là

Khi đó (1.3) có 4 nghiệm phân biệt lớn hơn Kết hợp

ta được kết quả

c) (1.3) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn

(thỏa mãn) và (loại)

b) Có 4 nghiệm phân biệt nhỏ hơn

Trang 5

Phương trình (2) có

Suy ra phương trình (2) có hai nghiệm

a) (1.4) có 4 nghiệm phân biệt

b) Với điều kiện thì (1.4) có 4 nghiệm phân biệt là

Khi đó (1.4) có 4 nghiệm phân biệt nhỏ hơn Kết hợp với điều kiện được

c) (1.4) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn

(thỏa mãn)

(Không nhẩm được nghiệm, tuy nhiên các hệ số thỏa mãn: )

Tìm để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn

Phương trình (2) có

(1.5) có 4 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt dương

Khi đó các nghiệm của (1.5) xếp theo thứ tự tăng dần là

Hệ thức

2.3.2 Xây dựng chủ đề dạy học Phương trình quy về bậc hai có tham số bằng phương pháp chọn tham số độc lập (cô lập tham số)

Tư tưởng:

Trang 6

- Cô lập tham số để biến đổi phương trình về dạng với

là hàm số bậc 2

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên

- Hướng thiết kế các bài tập xuất phát từ phương trình:

+ Dạng: ( là tham số, là hàm số bậc nhất hoặc bậc hai)

+ Dạng: ( là tham số, là hàm số bậc nhất hoặc bậc 2)

 Các bài tập minh họa:

Bài 2.1 Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có

nghiệm duy nhất

Phương trình

Lập bảng biến thiên của hàm số trên ta được

hoặc

Bài 2.2 Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình

có nghiệm âm

Phương trình

Lập bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng ta được giá trị cần tìm

Bài 2.3 Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình

có nghiệm

Đặt Điều kiện hoặc Phương trình trở thành

Bài 2.4 Tìm để phương trình

Trang 7

có nghiệm.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có

được cần tìm

nghiệm

Tương tự Bài 2.4

nghiệm

ĐKXĐ:

Đặt Để tìm điều kiện của ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1:

Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập sẽ tìm được điều kiện của

PT có nghiệm là

Phương trình (2.6) trở thành phải có nghiệm

Lập BBT của hàm số trên nửa khoảng ta sẽ được ĐK của

Nhận xét: Nếu yêu cầu của bài toán là 4 nghiệm phân biệt thì cần tìm ĐK của

để mỗi cho 2 giá trị phân biệt Khi đó nếu sử dụng Cách 2 hoặc Cách 3 ta sẽ

tìm được ĐK của là

Bài 2.7 Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số để phương trình

có đúng bốn nghiệm?

Trang 8

Đặt

Với mỗi thỏa mãn thì có hai nghiệm phân biệt

Phương trình đã cho trở thành:

Phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm khi và chỉ khi (**) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện Lập bảng biến thiên của hàm số

trên khoảng ta được điều kiện của tham số là:

4 nghiệm phân biệt

Tương tự Bài 2.7 với điều kiện của ẩn phụ là

Bài 2.9 Tìm để phương trình (2.9) có nghiệm

ĐKXĐ:

Chia hai vế của phương trình cho và đặt , với điều kiện của ẩn phụ là Đưa PT trở thành Lập BBT của hàm số

trên nửa khoảng sẽ được điều kiện của

nghiệm

Đặt

Phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên, (*) có nghiệm khi :

Vậy phương trình có nghiệm khi

Bài 2.11.

Trang 9

Cho hàm số có đồ thị như

hình vẽ bên Tìm m để phương trình:

(2.12) có nghiệm thuộc đoạn

Khi đó phương trình (2.12) có nghiệm thuộc đoạn khi và chỉ khi (*) có

Xét hàm , lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn , từ

đó tìm được giá trị của m.

Bài 2.12.

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên

(2.13) có nghiệm thuộc đoạn

Do đó nếu đặt thì Khi đó (2.13) trở thành

(*) Lập bảng biến thiên của hàm số trên sẽ tìm được

giá trị m.

2.3.3 Xây dựng chủ đề dạy học Giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số hoặc của biểu thức đại số bằng phương pháp quy về tính chất của hàm số bậc hai.

Tư tưởng: Bằng cách đổi biến để đưa việc tìm GTLN, GTNN của một hàm số

hoặc một biểu thức về việc tìm GTLN,GTNN của hàm số bậc hai dạng

Bài 3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

b)

Trang 10

e) ,

a) Đặt , đưa về tìm GTLN,NN của hàm số

Lập bảng biến thiên của hàm số trên , ta được

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn ta được

e) Ta có

Đặt Lập bảng biến thiên của hàm số với

Khi đó, hàm số được viết lại : với

khi

Bài 3.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Đặt

Lập BBT, suy ra GTNN là khi và chỉ khi

Bài 3.3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a)

b)

c)

Trang 11

a) Đặt Đưa về tìm GTLN,GTNN của hàm số

b) Ta có

Đặt Đưa về tìm GTLN,GTNN của hàm số

c) Ta có

Đặt Đưa về tìm GTLN,GTNN của hàm số

, từ đó tìm được GTLN,GTNN của hàm số đã cho

Bài 3.4 Cho các số thực thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3.5 Cho các số thực không âm thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ta có

Khi đó

Trang 12

Bằng cách lập BBT của hàm số trên , ta được

Bài 3.6 Cho các số thoả mãn: Chứng minh rằng

Đặt , khi đó

Từ bảng biến thiên ta có

Suy ra điều phải chứng minh

Bài 3.7 Cho là các số thực thoả mãn:

v

Ta có

Mặt khác

Từ đây suy ra ĐPCM

Bài 3.8 Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 13

Đặt , ta được:

Xét hàm số trên đoạn ta tìm được:

;

Bài 3.9 Cho các số thực không âm thỏa mãn điều kiện Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Tính giá trị

Ta có

Khi đó

Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên

Dựa vào BBT của hàm số trên , ta có:

, khi

Ta có:

Nhận xét: Khi thực hành “dồn biến” ta phải chú ý đến điều kiện ràng buộc

(điều kiện của bài toán) và khéo léo đánh giá điều kiện của biến mới.

Một số đánh giá cơ bản: Với ta có: ;

Với không âm, ta có:

Trang 14

2.3.4 Xây dựng chủ đề dạy học Hàm số và đồ thị của hàm số bậc hai phằng phương pháp phối hợp và xử lí linh hoạt giữa các yếu tố đại số và hình học

Bài 4.1 Tìm các giá trị của tham số sao cho parabol cắt tại hai điểm phân biệt thỏa mãn

Phân tích, hướng dẫn

Phương trình hoành độ giao điểm:

Để cắt tại hai điểm phân biệt thì có hai nghiệm phân biệt

Theo giả thiết

+ TH1:

Bài 4.2 Cho parabol và đường thẳng Tìm tất

cả các giá trị thực của để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác bằng

Phương trình hoành độ giao điểm của và là

Để cắt tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

Gọi là hình chiếu của lên Suy ra

Theo giả thiết bài toán, ta có

Bài 4.3 Tìm để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2

Tương tự Bài 4.2

Trang 15

Bài 4.4 Cho parabol và đường thẳng Tìm giá trị thực của tham số để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ

Phương trình hoành độ giao điểm của và là

Để cắt tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

Bài 4.5 Cho hàm số và hàm số Tìm m để đồ thị các

hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau

Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm phân biệt

Gọi là 2 nghiệm của (*), I là trung điểm AB ta có ;

Kết hợp ĐK, kết luận

Bài 4.6 Cho hàm số Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB bằng khoảng cách từ O đến ∆

Phương trình hoành độ giao điểm

Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt

(thỏa mãn điều kiện)

Bài 4.7 Cho parabol (P) có phương trình , đường thẳng d có phương trình Lập phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d sao

cho ∆ cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B và AB = 1.

Đường thẳng ∆ song song với d có dạng y = x + m (m ≠ 3)

Trang 16

Phương trình hoành độ giao điểm

Để ∆ cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có 2 nghiệm phân biệt, điều kiện là

Gọi là hai nghiệm phân biệt của (1) Theo định lý Viet ta có

Tọa độ hai giao điểm là

Kết hợp điều kiện ta được

Bài 4.8 Cho hàm số và hàm số Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương

Ta có:

Điều kiện

Bài 4.9 Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm và có

hệ số góc k Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d) Giải sử A, B lần lượt có hoành độ là

a) Tìm k để trung điểm của đoạn AB nằm trên trục tung

b) Chứng minh rằng

a) Đường thẳng (d) có PT:

PT tương giao (d) và (P):

PT (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt vì

Trung điểm M của AB có hoành độ là M nằm trên trục tung

b) Chứng minh rằng

Theo Vi et có:

Ta có

Có

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,48 MB